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重难点06 功能关系、能量守恒
考点
三年考情分析
2025 考向预测
重力做功与重力势能
功能关系、机械能守恒定律及其
应用
机械能守恒的应用（2024·全国甲
卷，4）
能量守恒定律的应用（2023·全国
乙卷，8）
（1）考点预测：各种功能关系及
能量守恒的应用
（2）考法预测：经常与动量知识
相互综合。与动量综合时，常以
碰撞、板块模型出现。要求体会
守恒观念对认识物理规律的重要
性。
【情境解读】
【高分技巧】
一、功能关系的理解和应用
1．常见的功能关系
能量
功能关系
表达式
势能
重力做的功等于重力势能减少量
W＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
弹力做的功等于弹性势能减少量
静电力做的功等于电势能减少量
分子力做的功等于分子势能减少量
动能
合外力做的功等于物体动能变化量
W＝Ek2－Ek1＝mv2－mv0
2
1
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机械能
除重力和弹力之外的其他力做的功等
于机械能变化量
W 其他＝E2－E1＝ΔE
摩擦产生
的内能
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和
的绝对值等于产生的内能
Q＝Ff·x 相对
电能
克服安培力做的功等于电能增加量
W 电能＝E2－E1＝ΔE
2．功的正负与能量增减的对应关系
(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功．
(2)势能的增加与减少要看对应的作用力(如重力、弹簧弹力、静电力等)做负功还是做正功．
(3)机械能的增加与减少要看重力和弹簧弹力之外的力对物体做正功还是做负功．
3．摩擦力做功与能量转化
类型
比较
静摩擦力做功
滑动摩擦力做功
不同点
能量的转化
只有机械能从一个物体
转移到另一个物体，而
没有机械能转化为其他
形式的能
(1)一部分机械能从一个物体转
移到另一个物体
(2)一部分机械能转化为内能，
此部分能量就是系统机械能的
损失量
一对摩擦力
的总功
一对静摩擦力所做功的
代数和总等于零
一对滑动摩擦力做功的代数和
总是负值，总功W＝－Ffs 相
对，即发生相对滑动时产生的
热量
相同点
做功情况
两种摩擦力对物体可以做正功，也可以做负功，还可以
不做功
二、机械能守恒定律
1．机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不做功(或做功代数
和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统内也没有机械能与其他形式能的转
化，则机械能守恒．
2．表达式
3．应用机械能守恒定律解题的一般步骤
2
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三、能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到别的
物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等；
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
3．系统有热量产生(摩擦生热、焦耳热等)、电势能发生变化时，优先选用能量守恒解决问题较为简便。
（建议用时：40 分钟）
【考向一：功能关系】
1．（2024·山西省名校联考·二模）如图1 所示，质量均为m 的小物块A、B 紧靠在一起放置在水平地面上，
劲度系数为k 的轻弹簧一端与A 拴接，另一端固定在竖直墙壁上，开始时弹簧处于原长，小物块A、B 保
持静止。现给B 施加一方向水平向左，大小为
的恒力，使A、B 一起向左运动，当A、B 的速
度为零时，立即撤去恒力，以此时为计时起点，计算机通过传感器描绘出小物块B 的
图像如图2 所示，
其中Oab 段为曲线，bc 段为直线。已知A、B 与地面间的动摩擦因数均为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦
力，弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能可表示为
（x 为弹簧的形变量），重力加速度为
3
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g，则下列说法正确的是（ ）
A.
时刻弹簧刚好恢复原长
B.
时刻物块A、B 刚要分离
C. 弹簧的最大压缩量为
D.
2．（2024·宁夏吴忠市·一模）（多选）如图甲所示，质量为m 的物块静止在竖直放置的轻弹簧上（不相
连），弹簧下端固定，劲度系数为k。t＝0 时刻，对物块施加一竖直向上的外力F，使物块由静止向上运动，
当弹簧第一次恢复原长时，撤去外力F。从0 时刻到F 撤去前，物块的加速度a 随位移x 的变化关系如图
乙所示。重力加速度为g，忽略空气阻力，则在物块上升过程（ ）
A. 外力F 为恒力
B. 物块的最大加速度大小为2g
C. 外力F 撤去后物块可以继续上升的最大高度为
D. 弹簧最大弹性势能
3．（2024·宁夏银川一中·三模）（多选）水平面有一粗糙段
长为，其动摩擦因数与离A 点距离x 满
足
（k 为恒量）。一物块（可看作质点）第一次从A 点以速度
向右运动，到达B 点时速率为v，
第二次也以相同速度
从B 点向左运动，则（ ）
4
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A. 第二次也能运动到A 点，且速率一定为v
B. 第二次也能运动到A 点，但第一次的时间比第二次时间长
C. 两次运动因摩擦产生的热量相同
D. 两次速率相同的位置只有一个，且距离A 为
4．（2024·山西省太原市·一模）（多选）如图所示，正方体的棱
竖直，可视为质点的带正电小球从
点
沿
方向水平抛出，仅在重力的作用下，恰好经过
点。若空间中增加沿
方向的匀强电场，小球仍从
点沿
方向水平抛出，恰好经过底面中心
点。下列说法正确的是（ ）
A. 小球两次运动的时间相等
B. 小球两次抛出的初速度相同
C. 小球经过
点的动能与经过
点的动能之比为
D. 小球从
到
，机械能增加量是重力势能减少量的一半
5．（2024·陕西省宝鸡市·三模）（多选）如图所示，竖直墙面和水平地面均光滑，质量分别为mA=6kg、
mB=2kg 的A、B 两物体用质量不计的轻弹簧相连，其中A 紧靠墙面。现对B 物体缓慢施加一个向左的力，
使A、B 间弹簧被压缩且系统静止，该力对物体B 做功W=16J。现突然撤去向左的力，则（ ）
5
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A. 撤去外力后，两物体和弹簧组成的系统动量守恒
B. 撤去外力后，两物体和弹簧组成的系统机械能守恒
C. 从撤去外力至A 与墙面刚分离，弹簧对B 的冲量I=8N·s，方向水平向右
D. A 与墙面分离后弹簧首次恢复原长时，两物体速度大小均是2.5m/s，方向相反
6．（2024·陕西省西安市西北工业大学附属中学·二模）如图所示，一轻弹簧竖直放置，下端固定在水平地
面上，自然伸长时弹簧上端处于A 点。
时将小球从A 点正上方O 点由静止释放，
时到达A 点，
时弹簧被压缩到最低点B。以O 为原点，向下为正方向建立x 坐标轴，以B 点为重力势能零点；弹簧形变
始终处于弹性限度内。小球在运动过程中的动能Ek、重力势能Ep1、机械能E0及弹簧的弹性势能Ep2变化图
像可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
7．（2024·陕西省西安市西北工业大学附属中学·二模）（多选）如图所示，甲、乙两传送带，倾斜于水平
地面放置，传送带上表面以同样恒定速率v 向上运动，现将一质量为m 的小物体（视为质点）轻轻放在A
处，小物体在甲传送带上到达B 处时恰好达到传送带的速率v 小物块在乙传送带上到达离B 竖直高度为h
6
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的C 处时达到传送带的速率v，已知B 处离A 处的竖直高度皆为H，则在小物体从A 到B 的过程中
（ ）
A. 两种传送带对小物体做功相等
B. 将小物体传送到B 处，甲图所示的系统中传送带消耗的电能比乙多
C. 两种传送带与小物体之间的动摩擦因数不同
D. 将小物体传送到B 处，甲图所示的系统中因摩擦而产生的热量比乙少
【考向二：机械能守恒定律】
1．（2024·青海省海东市·二模）如图所示，半径为r、质量不计的均匀圆盘竖直放置，可以绕过圆心O 且
与盘面垂直的水平光滑固定轴转动，在盘面的最右边边缘处固定了一个质量为m 的小球A，在圆心O 的正
下方离O 点
处固定了一个质量为m 的小球B。现从静止开始释放圆盘让其自由转动，重力加速度大小为
g，则小球B 上升的最大高度为（ ）
A.
B.
C.
D.
2．（2024·青海省西宁市·二模）（多选）如图所示，有两个物块，质量分别为
、
，
是
的两倍，
用轻绳将两个物块连接在滑轮组上，滑轮的质量不计，轻绳与滑轮的摩擦也不计。现将两滑块从静止释放，
上升一小段距离h 高度。在这一过程中，下列说法正确的是（ ）
7
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A.
和
重力势能之和不变
B.
上升到h 位置时的速度为
C. 轻绳的拉力大小为
D. 轻绳对
和
的功率大小不相等
3．（2024·青海省海南藏族自治州·二模）（多选）蹦极是一项极限运动，某人身系原长为30m 的弹性绳自
P 点无初速度落下，其运动轨迹为图中的虚线，人在最低点Q 时的动能恰好与弹性绳的弹性势能相等。已
知人的质量为75kg，
，
，弹性绳（满足胡克定律）具有的弹性势能
，
式中k 为弹性绳的劲度系数，x 为弹性绳的形变量，不计空气阻力及弹性绳的质量，人可视为质点，取重
力加速度大小
，下列说法正确的是（ ）
A. 弹性绳的劲度系数为150N/m
B. 弹性绳中的最大弹力为1500N
C. 人在Q 点时的速度大小为20m/s
D. 人在Q 点时的加速度大小为30 m/s
2
4．（2024·山西省太原市·一模）轻质弹簧原长为l，将弹簧竖直放置在水平地面上，在其顶端将一质量为
7m 的小球由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度变为原长的一半。现将该弹簧水平放置在光滑水
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平面上，一端固定在A 点，另一端与质量为m 的小球P 接触但不拴连；一长度为2l 的轻绳一端系于O 点，
另一端与质量为m 的小球Q 拴连。用外力缓慢推动P，将弹簧压缩至原长的一半，撤去外力，P 被弹出后
与Q 发生弹性对心碰撞，Q 开始摆动。轻绳在弹力变为O 时断开，Q 飞出后落在水平地面上的B 点（图中
未画出），P、Q 始终在同一竖直平面内运动且均可视为质点，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
（1）弹簧由原长压缩为原长的一半；弹性势能的变化量；
（2）P 与Q 碰撞后的瞬间，Q 速度的大小；
（3）Q 落到B 点时，Q 与P 之间的距离。
5．（2024·山西省太原市·三模）（多选）如图所示，倾角为
、动摩擦因数为
的粗糙斜面体锁定在光滑
水平地面上。轻绳跨过光滑定滑轮
，一端拴连物块
，另一端拴连物块
，
之间的水平绳长为
，
平行于斜面。初始时轻绳无弹力，将
由静止释放，当
摆动到最低点时，
恰好受到最大静摩擦
力，
与斜面体左侧竖直面发生弹性碰撞，碰后的瞬间，同时解除斜面体与光滑地面的锁定。若最大静
摩擦力与滑动摩擦力相等，下列说法正确的是（ ）
A. 解除锁定后，
能上摆到水平位置
B.
与
的质量之比为
C. 解除锁定后，
不会与斜面发生相对滑动
D. 解除锁定前，
在向下摆动的过程中，轻绳对滑轮的作用力先增大后减小
6．（2024·陕西省安康市·一模）某同学利用如图甲所示的装置“验证机械能守恒定律”。
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（1）由静止释放重物后得到如图乙所示的纸带，O 点为计时起点，A、B、C 是打点计时器连续打下的三
个点，已知打点计时器的打点频率为50Hz，则打B 点时重物的速度大小为______m/s。
（2）若该过程中重物的机械能守恒，根据图乙中的数据可知，当地的重力加速度大小为______m/s2，O、
B 两点间的距离为______m。（结果均保留两位小数）
7．（2024·陕西省宝鸡市·三模）某同学用如图所示的装置验证机械能守恒定律，一根细线一端系住钢球，
另一端悬挂在铁架台上的O 点，钢球静止于A 点，光电门固定在A 的正下方，在钢球底部竖直地固定一个
宽度为d 的遮光条（质量不计）。将钢球拉至不同位置由静止释放，遮光条经过光电门的挡光时间t 由计
时器测出，取
作为钢球经过A 点时的速度大小。记录钢球释放时细线与竖直方向的夹角θ 和计时器
示数t，计算并比较钢球从释放点摆至A 点过程中重力势能减少量∆Ep与动能增加量∆Ek，从而验证机械能
是否守恒。重力加速度为g。
（1）已知钢球质量为m，悬点О 到钢球球心的距离为L，则∆Ep=________（用m、θ、L、g 表示）。
（2）改变θ 值，得出多组θ 与挡光时间t 的实验数据，若钢球机械能守恒，下列关于θ 与t 关系的图像正
确的是______。
A.
B.
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C.
D.
（3）依据实验结果，该同学发现钢球的动能增加量∆Ek总是略大于重力势能减少量∆Ep，产生这种差异的
原因是__________________。
【考向三：能量守恒定律】
1．（2024·青海省百所名校·二模）如图所示，足够长的光滑水平地面上静置一辆小车，长
、不
可伸长的轻质柔软细绳一端固定在车厢顶部，另一端系一质量
的木块（可视为质点），质量
的子弹以
的速度水平射入木块并留在其中，此后绳与竖直方向的最大夹角
，
取重力加速度大小
，求：
（1）子弹射入木块时产生的热量Q；
（2）小车的质量M。
2．（2024·山西省名校联考·二模）如图所示，套在一光滑的水平固定轻杆上的小球A 和另一小球B 由绕过
两轻质光滑定滑轮的细线相连，小球B、C 通过一竖直轻弹簧相连，C 球放在水平地面上，定滑轮N 到水
平轻杆的竖直距离为L。初始时MB 和NA 两段细线均竖直，小球A 位于轻杆上的P1点，细线刚刚伸直且
无拉力作用。现在用水平向右的恒力
拉小球A，当A 运动到P2 点时，NP2 与水平方向的夹角为
，此时C 恰好离开地面。已知小球A、B、C 的质量均为m，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性
限度内，细线与两定滑轮之间的摩擦不计，已知
，
，求：
（1）弹簧的劲度系数；
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（2）A 球在P2点时的速度大小。
3．（2024·山西省太原五中·一模）（多选）如图所示，矩形滑块静置于足够长的光滑水平面上，子弹甲以
大小为v 的速度从左向右水平射入滑块，从滑块右侧穿出后，完全相同的子弹乙以大小为v 的速度从右向
左水平射入滑块，设子弹两次穿越滑块过程中所受阻力大小恒定且相同，滑块质量始终保持不变，不计空
气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 子弹乙穿出滑块时，滑块速度恰好为零
B. 子弹甲穿越滑块经历的时间比子弹乙穿越滑块经历的时间长
C. 子弹两次穿越滑块过程中，子弹与滑块系统产生的热量相同
D. 子弹两次穿越滑块过程中，滑块对子弹所做的功相同
4．（2024·山西省太原五中·一模）在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起
绕行星做圆周运动，其速率为v。飞船与登陆艇的质量均为m，行星的质量为M，万有引力恒量为G。已
知质量为m 的物体与该行星的万有引力势能
（以无穷远处势能为零，M 为行星质量，r 表示
物体到行星中心的距离）。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期T 和轨道半径R。
（2）在启动返程时，飞船上火箭作一短时间的喷射（喷出气体的质量可忽略），使飞船相对登陆艇以速
度u 分离，且飞船分离时方向与速度v 同向。若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
ⅰ.求飞船相对登陆艇的速度u。
ⅱ.求飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能
。
5．（2024·陕西安康·三模）如图所示，在光滑的水平面上，质量为3kg 的足够长的木板A 上有一个质量为
0.5kg 的小滑块B，在木板的右侧有一质量为5.0kg 的小球C，三者均处于静止状态。现给B 一个瞬间冲量，
使它获得4m/s 的初速度开始沿木板向右运动，某时刻木板A 和小球C 发生弹性碰撞，之后A 和B 同时停
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下来，以下说法正确的是（ ）
A. 木板碰撞小球前的瞬间A 的速度为0.6m/s
B. 整个过程产生的热量为3.6J
C. 碰后C 的速度为0.5m/s
D. A 和C 碰撞前A、B 已经共速运动
6．（2024·陕西省宝鸡市·二模）如图所示为某缓冲装置模型，轻质弹簧与轻杆相连，轻杆可在固定的槽内
沿水平方向左右移动，轻杆与槽间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力。现小车以水平速度
撞击弹簧，轻杆
恰好向右移动距离l，不计小车与地面间的摩擦，则（ ）
A. 轻杆移动距离l 的过程中先做匀加速再做匀减速运动
B. 弹簧被压缩最短时，轻杆的速度达到最大
C. 根据小车运动的对称性可知，小车以
的速率被弹簧弹回
D. 弹簧的弹性势能最大时，轻杆向右加速的加速度达到最大
13
