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进阶篇 不等式证明方法
进阶 1 指对放缩
切线放缩证明不等式是一种常用的方法，它可以解决许多数学问题，常见的有指对切线放缩，使用切线放
缩可以深入理解数学的本质.
题型一 指对切线放缩
常见的指对切线放缩
例1 证明不等式：ex-ln(x+2)>0.
思维升华 指对同时出现时，一般求导难以解决，常见的方法有隐零点、同构、放缩等.
1
跟踪训练1 当x>0时，证明：ex2-xln x<xex+ .
e
题型二 指对增强放缩
1.与ex相关的增强放缩
x2 x x2 x3 xn
(1)ex≥x+1 ex≥1+x+ 2 (x≥0) ex=1+1！+2！ +3！ +…+n！ +o(xn)(泰勒展开式).(2)ex≥ex ex≥ex+(x-1)2(x≥0).
(3)通过变换得到的其他不等式
把ex≥x+1中的x换成ln x，可得ln x≤x-1.
把ex≥x+1中的x换成x-1，可得ex≥ex.
1
把ex≥x+1中的x换成-x，可得e-x≥-x+1，取倒数后可得ex≤ (x<1).
1-x
把ex≥x+1中的x换成x+ln x，可得ex+ln x=xex≥x+ln x+1(朗博同构).
2.与ln x相关的增强放缩
1 x2 x3 x4 xn+1
(1)ln x≤x-1 ln(x+1)≤x ln x≥1-x ln(x+1)=x- 2 + 3 - 4 +…+(-1)n n+1+o(xn+1)(泰勒展开
式).
x
(2)ln x≤ .
e
2(x-1) 1( 1)
(3)飘带不等式： ≤ln x≤ x- ，x≥1.
x+1 2 x
(4)通过变换得到的其他不等式
把ln x≤x-1中的x换成ex，可得ex≥x+1.
x x
把ln x≤x-1中的x换成 ，可得ln x≤ .
e e
把ln x≤x-1中的x换成x+1，可得ln(x+1)≤x.
1 1
把ln(x+1)≤x中的x换成 ，可得ln(n+1)-ln n< .
n n
1 1
把ln(x+1)≤x中的x换成- ，可得ln(n+1)-ln n> .
n+1 n+1
1
例2 证明：ex+ ≥2-ln x+x2+(e-2)x.
x思维升华 在利用ex≥x+1或ex≥ex进行切线放缩时，不等号右侧的增长速度比左侧的快，显然不成立，
此时选用增强版的曲线放缩.
e
跟踪训练2 证明：对任意x>0，不等式ex+x2-(e+1)x+ >2成立.
x
答案精析
例1 证明 要证ex-ln(x+2)>0，
即证ex>ln(x+2)，
又ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立，
令t=x+2，则ln(x+2)=ln t≤t-1=x+1，
即ln(x+2)≤x+1，当且仅当x=-1时等号成立，
故ex≥x+1≥ln(x+2)，等号成立的条件不一致，则ex>ln(x+2)，结论得证.
1
跟踪训练1 证明 要证当x>0时，ex2-xln x<xex+ ，
e
1
只需证ex-ln x<ex+ .
ex
1
下证-ln x≤ ，
ex
1 1
即证ln ≤ ，
x ex
1 1
令t= ，即证ln t≤ t.
x e
显然成立，且等号成立的条件是t=e，
1
即x= .
e
又ex≤ex，当且仅当x=1时等号成立，
由不等式的基本性质及等号成立的条件不一致得原不等式成立.
例2 证明 由题意知x>0，因为ex≥ex+(x-1)2，
1
所以要证ex+ ≥2-ln x+x2+(e-2)x成立，
x1
只需证ex+(x-1)2+ ≥2-ln x+x2+(e-2)x，
x
1 1
即证ln ≤ -1，
x x
1
令t= ，即证ln t≤t-1，显然成立.
x
结论得证.
跟踪训练2 证明 因为ex≥ex，
e
所以只需证ex+x2-(e+1)x+ >2成立，
x
e
即证x2-x+ >2成立，
x
e
即证x2-2x+1+x+ -1>2成立，
x
( e)
即证(x-1)2+ x+ >3成立，
x
e
由基本不等式得x+ ≥2√e，当且仅当x=√e时等号成立，
x
而2√e>3，(x-1)2≥0，故原不等式成立，
结论得证.
