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高三下学期数学开学摸底考试卷
本套试卷根据九省联考题型命制，题型为8+3+3+5模式
考试时间：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．从小到大排列的一组数据：29，31， ，39，42，58．若第60百分位数与平均数相等，则该组数据的
中位数为
A．35 B．36 C．37 D．39
【分析】根据题意，由第60百分位数与平均数相等，求出 的值，再由中位数的定义求解．
【解答】解：根据题意，因为有6个数据， ，所以第60百分位数为39．
所以数据的平均数为39， ，求得 ，
所以该组数据的中位数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查数据百分位数、平均数、中位数的计算，注意求出 的值，属于基础题．
2．若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2❑√3，则点P到抛物线的焦点F的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】求得抛物线的准线方程，利用抛物线的定义，可得点P到抛物线的焦点F的距离．
【解答】解：抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1
∵抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2❑√3，则P（3，±2❑√3），
∴P到抛物线的准线的距离为：4，
∴点P到抛物线的焦点F的距离为4．
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，属于基础题．
3．已知等差数列 的前 项和为 ．若 ， ，则
A．21 B．48 C．75 D．83
【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解．【解答】解：因为等差数列 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
则 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，属于基础题．
4．长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约20%的人近视，而该校大约有10%的学生每天玩
手机超过1小时，这些人的近视率约为60%，现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，
则他近视的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答．
【解答】解：令A ＝“玩手机时间超过1h的学生”，
1
A ＝“玩手机时间不超过1h的学生”，B＝“任意调查一人，此人近视”，
2
则 ＝A ∪A ，且A ，A 互斥，P（A ）＝0.1，P（A ）＝0.9，
1 2 1 2 1 2
P（ΩB|A ）＝0.6，P（B）＝0.2，
1
依题意，P（B）＝P（A ）P（B|A ）+P（A ）P（B|A ）＝0.1×0.6+0.9×P（B|A ）＝0.3，
1 1 2 2 2
解得 ，
所以所求近视的概率为 ．
故选：C．
【点评】本题考查全概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】令 ，根据复合函数的单调性可知，内层函数 在 上为减函数，结合二
次函数的单调性可得出实数 的取值范围．【解答】解：令 ，则二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为外层函数 在 上为减函数，
函数 在区间 上为增函数，
所以内层函数 在 上为减函数，故 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
6．已知函数 ，则
A． 在 单调递减 B． 在 单调递增
C． 在 单调递减 D． 在 单调递增
【分析】根据题意整理可得 ，结合余弦函数单调性逐项分析判断．
【解答】解：因为 ，
对于选项 ：因为 ，则 ，
且 在 内不单调，所以 在 内不单调，故 错误；
对于选项 ：因为 ，则 ，
且 在 内不单调，所以 在 内不单调，故 错误；
对于选项 ：因为 ，则 ，
且 在 内单调递减，所以 在 内单调递减，故 正确；
对于选项 ：因为 ，则 ，
且 在 内单调递减，所以 在 内单调递减，故 错误．故选： ．
【点评】本题考查了三角恒等变换、余弦函数的性质，属于中档题．
7．如图，正三棱柱ABC﹣A B C 中，点E为正方形ABB A 的中心，点F为棱CC 的中点，则异面直线
1 1 1 1 1 1
BF与CE所成角的正切值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】根据给定条件，取A B 的中点G，结合平行公理，利用异面直线所成角的定义，借助等腰三角
1 1
形的性质求解即可．
【解答】解：在正三棱柱ABC﹣A B C 中，取A B 中点G，连接FG，EG，BG，
1 1 1 1 1
由点E为正方形ABB A 的中心，得EG∥BB ， ，
1 1 1
而BB ∥CC ，BB ＝CC ，于是EG∥CC ， ，
1 1 1 1 1
由F为棱CC 的中点，得EG∥CF，EG＝CF，则四边形CFGE是平行四边形，有FG∥CE，
1
即∠BFG或其补角就是异面直线BF与CE所成的角，
显然正三棱柱ABC﹣A B C 所有棱长都相等，令棱长为2，
1 1 1
则 ， ， ，等腰△BFG 底边 FG 上的高
，，
所以异面直线BF与CE所成角的正切值为2．
故选：D．
【点评】本题考查异面直线所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理
运用．
8．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为线段 的中点 为坐标原点），
点 在椭圆上且满足 轴，点 到直线 的距离为 ，则椭圆的离心率为
A． 或 B． C． 或 D．
【分析】根据已知条件得到△ △ ，再结合椭圆的定义即可求解结论．
【解答】解： ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 为线段 的中点 为坐标
原点），
点 在椭圆上且满足 轴，可得 ，点 到直线 的距离为 ，
△ △ ，，可得： ，
可得 ，结合 ，
整理可得： ，
或 ，
或 ，
或 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查椭圆的性质以及三角形相似的性质，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知复数z ，z ，则下列结论正确的有（ ）
1 2
A． B．
z2=z 2 z ⋅z =z ⋅z
1 1 1 2 1 2
C．|z z |＝|z |•|z | D．|z +z |＝|z |+|z |
1 2 1 2 1 2 1 2
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，复数模公式，特殊值法，即可求解．
【解答】解：对于A，取z ＝1+i，则 2i， （1﹣i）2＝﹣2i， ，故A错误；
1 z 2= z 2= z 2≠z 2
1 1 1 1
对于B，设z ＝a+bi（a，b R），z ＝c+di（c，d R），则z •z ＝（a+bi）（c+di）＝（ac﹣bd）+
1 2 1 2
（ad+bc）i， ∈ ∈
z ⋅z =（ac﹣bd）﹣（ad+bc）i，
1 2
z ⋅z =（a﹣bi）（c﹣di）＝（ac﹣bd）﹣（bc+ad）i，z ⋅z =z ⋅z ，故B正确；
1 2 1 2 1 2
对于C，结合复数模的性质可知，|z z |＝|z ||z |，故C正确；
1 2 1 2
对于 D，取z ＝1+i z ＝1﹣i，则|z +z |＝2， ，故D错误．
1 2 1 2 |z |+|z |=2❑√2
1 2
故选：BC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
10.关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）A．f（x）是偶函数
π
B．f（x）在区间( ，π)单调递增
2
C．f（x）在[﹣ ， ]有4个零点
D．f（x）的最大π值π为2
【分析】利用正弦函数的图象性质结合函数的奇偶性、单调性最值、零点的概念一一求解．
【解答】解：因为f（x）＝sin|x|+|sinx|的定义域为R，
又f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x），∴f（x）为偶函数，故A正确．
π π
当 ＜x＜π时，f（x）＝2sinx，它在区间( ，π)单调递减，故B错误．
2 2
当0≤x≤ 时，f（x）＝2sinx，它有两个零点：0， ；
当﹣ ≤x＜π 0时，f（x）＝sin（﹣x）﹣sinx＝﹣2sinπx，
它有π一个零点：﹣ ，故f（x）在[﹣ ， ]有3个零点：﹣ ，0， ，故C错误．
当x [2k ，2k + ]π（k N*）时，f（xπ）＝π2sinx； π π
当x∈[2kπ+ ，π2kπ+2 ]∈（k N*）时，f（x）＝sinx﹣sinx＝0，
又f（∈x）π为π偶函数π，π∴f（x∈）的最大值为2，故D正确．
故选：BC．
【点评】本题考查三角函数性质，属于中档题．
11. 已 知 函 数 ， 的 定 义 域 为 ， 为 的 导 函 数 ， 且 ，
，若 为偶函数，则下列一定成立的有
A． （2） B． （4）
C． D．
【分析】根据题意，分析可得 为奇函数，由此分析可得 ，函数 是周期为4的周期
函数；由此分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，若 为偶函数，则其导数 为奇函数，
又由 ，变形可得 ，则有 ，又由 ，必有 ，函数 是周期为4的周期函数；
依次分析选项：
对于 ， ，变形可得 ，
又由 ，
两式相加可得 ，即 的图象关于点 对称，
必有 （2） ， 正确；
对于 ，在 ，令 可得： ，
又由函数 是周期为4的周期函数，则 （4） ，
在 ，令 可得： （4） ，
两式相加可得： （4） ， 正确；
对于 ，由 的结论， 的图象关于点 对称且函数 是周期为4的周期函数，
则 的图象关于点 对称，必有 ， 正确；
对于 ，函数 是周期为4的周期函数，则 也是周期为4的周期函数，
故 （1），不一定有 ， 错误；
故选： ．
【点评】本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数的奇偶性和对称性，属于难题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ， ， 中的最大元素为2，则实数 1 ．
【分析】依题意可得 ，解得 ，再检验即可．
【解答】解：因为 ，所以 ，所以 ，解得 或 ，
显然 不满足集合元素的互异性，故舍去，经检验 符合题意．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系，考查运算求解能力，属于基础题．
13．在正三棱锥P﹣ABC中，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°．若AB＝1，则三棱锥E﹣ABC的
3
外接球的表面积为 ．
2
π
【分析】根据题意推出EF⊥平面PAC，即PB⊥平面PAC，∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，将此三棱锥
补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的表面积
【解答】解：∵三棱锥P﹣ABC正棱锥，
∴PB⊥AC（对棱互相垂直），
∴EF⊥AC，
又∵EF⊥CE，而CE∩AC＝C，
∴EF⊥平面PAC，
即PB⊥平面PAC，
∴∠APB＝∠BPC＝∠APC＝90°，
将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，
设这个正方体的棱长为x，外接球半径为R，
❑√2
∵AB＝1，∴❑√2x＝1，解得x= ，
2
❑√6 ❑√6
∴2R=❑√3x= ，R= ，
2 4
❑√6 3
∴该三棱锥的外接球表面积：S＝4 R2＝4 •（ ）2= ．
4 2
π π π
3
故答案为： ．
2
π
【点评】本题考查三棱锥的外接球的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意割补法的合理运用．
1 1 1
14．已知A为圆C：x2+(y-1) 2= 上的动点，B为圆E：(x-3) 2+ y2= 上的动点，P为直线y= x上
4 4 2
❑√130
的动点，则|PB|﹣|PA|的最大值为 +1 ．
5
1
【分析】根据题意求出圆E关于直线y= x对称的圆E′，由平面几何知识，可知直线 CE′与直线
2
1
y= x的交点为点P时，该直线在两圆上截得的弦长最大．由此作出示意图形，得到（|PB|﹣|PA|）
min
2
＝|AB′|，从而算出本题答案．
1 1
【解答】解：根据题意，圆C：x2+(y-1) 2= 的圆心为C（0，1），半径r = ，
4 1 2
1 1
圆E：(x-3) 2+ y2= 的圆心为E（3，0），半径r = ．
4 2 2
n 1 9
{ ⋅ =-1 {m=
设E关于直线 1 的对称点为E'（m，n），则 m-3 2 ，解得 5 ，所以 9 12 ．
y= x E'( ， )
2 n 1 m+3 12 5 5
= ⋅ n=
2 2 2 5
1 1
圆E关于直线y= x对称的圆E′的方程为：(x-3) 2+ y2= ，
2 4
1
若B'为B关于直线y= x的对称点，则P、A、B'三点共线，且该直线过C、E'时，|PB|﹣|PA|的值最大，
2
√ 9 12 ❑√130
因此，|PB|﹣|PA|的最大值为|AB'|=|CE'|+r +r =❑( ) 2+( -1) 2+1= +1．
1 2 5 5 5
【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、轴对称的性质、两圆的位置关系等知识，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， ．
（1）证明： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值．
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出平面 的法向量，计算即可．
【解答】解：（1）证明：因为 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
又因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，0， ， ，2， ， ， ，2， ， ，1， ，
所以 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，解得 ，
令 ，得 ，所以 ，
设直线 与平面 所成的角为 ，则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
【点评】本题考查线面垂直的证明和直线与平面所成角，属于中档题．
16．一只蚂蚁位于数轴 处，这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位长度，设它向右移动的概率
为 ，向左移动的概率为 ．
（1）已知蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数，求2秒后这只蚂蚁在 处的概率；
（2）记蚂蚁4秒后所在位置对应的实数为 ，求 的分布列与期望．
【分析】（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件 ，记2秒后这只蚂蚁在 处的概率
为事件 ，则由题意可知事件 包括2秒内一直向可移动和一次向右移动与一次向左移动，事件 为2秒
内一次向右移动与一次向左移动，然后利用独立事件的概率公式求出 （A）， ，再利用条件概率
公式可求得结果；
（2）由题意知 可能的取值为 ， ，0，2，4，然后求出相应的概率，从而可求出 的分布列与期望．
【解答】解：（1）记蚂蚁2秒后所在位置对应的实数为非负数为事件 ，记2秒后这只蚂蚁在 处的
概率为事件 ，
则 ，
，故所求的概率为 ．
（2）由题意知 可能的取值为 ， ，0，2，4，
则 ，
，
，
则 的分布列为：
0 2 4
．
【点评】本题考查条件概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
17．已知双曲线 过点 ，离心率为 ，斜率为 的直线 交双曲线 于 ，
两点，且直线 ， 的斜率之和为0．
（1）求双曲线 的方程；
（2）是否存在直线 ，使得 是以 为顶点的等腰三角形，若存在，求出直线 的方程；若不存在，
说明理由．
【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及 ， ， 之间的关系，列出等式求出 和 的值，进而即
可求解；
（2）设出直线 和 ， 两点的坐标，将直线 的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理以及斜率之和为0
求出 的值，假设存在直线 满足条件，设出 的中点坐标，再列出等式进行求解即可．
【解答】解：（1）因为双曲线 过点 ，离心率为 ，所以 ，
解得 ， ，
则双曲线 的方程为 ；
（2）不妨设直线 方程为 ， ， ， ， ，
联立 ，消去 并整理得 ，
此时△ ，
由韦达定理得 ， ，
因为直线 ， 的斜率之和为0，
所以 ，
即 ，
整理得 ，
因为 ， ，
所以 ，
整理得 ，
因为直线 不过点 ，
所以 ，
则 ，所以直线 的方程为 ， ，
假设存在直线 ，使得 是以 为顶点的等腰三角形，
不妨设 的中点 ， ，
此时 ， ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，
当 时，不满足△ ．
故不存在直线 ，使得 是以 为顶点的等腰三角形．
【点评】本题考查双曲线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档
题．
18．已知函数 ， ．
（1）设 是 的极值点，求 的值，并求 的单调区间；
（2）证明：当 时， 在 上恒成立，
【分析】（1）对 求导，由题意可知 （1） ，求出 的值，再利用导数的正负求单调区间；
（2）把不等式证明问题转化为函数的最值处理，设 ，对 分类讨论，利用导数判断函数的
单调性，从而可得 ，即可得证．
【解答】解：（1）函数 的定义域为 ，
，由题设可知 （1） ，即 ，可得 ，经检验 满足已知条件，
从而函数 ， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（2）证明：设 ， ，
则 ，
当 时，因为 ，所以 ， ，所以 ，即 在 上恒成立，
当 时，
因为 ，所以 ，
所以 在区间 上单调递减，
所以 （1） ，即 ，
综上，当 时， 在 上恒成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，极值与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
19．如果无穷数列 满足“对任意正整数 、 ，都存在正整数 ，使得 ”，则称数列
具有“性质 ”．
（1）若等比数列 的前 项和为 ，且 ， ， ．求证：数列 具有“性质
”；
（2）在（1）的条件下，若 对任意正整数 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）如果各项均为正整数的无穷等比数列 具有性质“ ”，且 、 、 、 四个数中恰有两个出现在 中，试求出这两个数的所有可能情况，并求出相应数列首项的最小值，说明理由．
【分析】（1）根据等比数列的性质即可求解；
（2）根据对勾函数的性质，数列的单调性，即可求解；
（3）根据新定义分类讨论，即可求解．
【解答】解：（1）可求出 是首项为2，公比为2的等比数列，通项公式为 ．
因为 中存在 ，即 ，所以存在 ，所以具有性质 ，
（2）因为 对任意正整数 成立，所以 ，
令 ， ，易求 ，所以 ；
（3）从 、 、 、 这四个数中任选两个，共有以下6种情况：
， ； ， ； ， ； ， ； ， ； ， ．
①对于 ， 因为 为正整数，可以认为 是等比数列中的项， ，首项的最小值为1．
下面说明此数列具有性质
， ，任取 ， ， ，则 ，
为正整数，因此此数列具有性质 ；
②对于 ， ．因为 为正整数，认为是等比数列 中的项， ，
首项的最小值为 ，下面说明此数列不具有性质
， ，若 不为等比数列 中的项，因此此数列不具有性质 ，
同理可得 ， ； ， ； ， ； ， 每组所在等比数列 不具有“性质 ．
【点评】本题考查数列的综合应用，属难题．
