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高三数学考前冲刺押题模拟卷 01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．若复数 是纯虚数，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．如图，将一个圆柱 等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，组
合成的新几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧
面积是（ ）
A． B． C． D．
4．在 中，角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，则下列选项中，能使 取得最小值25的为（ ）
A． B． C． D．
6．已知数列{a}的前n项和分别为S， ，若任取n∈N*，不等式 恒成立，则实数λ的
n n
取值范围为（ ）
A．（ ） B．（ ） C．（ ） D．（ ）
7．2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小
华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事
件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知 ，若存在实数 ，当 时，满足
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为 ，则（ ）
A．
B．这组数据的中位数为4
C．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5
D．这组数据的第70百分位数为5.5
10．双曲抛物线又称马鞍面，其形似马具中的马鞍表面而得名．其在力学、建筑学、美学中有着广泛的应
用．在空间直角坐标系中，将一条 平面内开口向上的抛物线沿着另一条 平面内开口向下的抛物线
滑动（两条抛物线的顶点重合）所形成的就是马鞍面，其坐标原点被称为马鞍面的鞍点，其标准方程为
，则下列说法正确的是（）A．用平行于 平面的面截马鞍面，所得轨迹为双曲线
B．用法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
C．用垂直于y轴的平面截马鞍面所得轨迹为双曲线
D．用过原点且法向量为 的平面截马鞍面所得轨迹为抛物线
11．在三棱锥 中， 平面 ，平面 内动点 的轨迹是集合
.已知 且 在棱 所在直线上， ，则（ ）
A．动点 的轨迹是圆
B．平面 平面
C．三棱锥 体积的最大值为3
D．三棱锥 外接球的半径不是定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）
13．已知圆 ，圆 ，直线 上存在点 ，过点 向圆 引两
条切线 和 ，切点是 和 ，再过点 向圆 引两条切线 和 ，切点是 和 ，若
，则实数 的取值范围为 .
14．设 ，函数 ，给出下列四个结论：
① 在区间 上单调递减；
②当 时， 存在最大值；
③设 ，则 ；
④设 ．若 存在最小值，则a的取值范围是 ．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图所示，在等腰直角 中， 为线段 的中点，点 分别在
线段 上运动，且 ，设 .
(1)设 ，求 的取值范围及 ；
(2)求 面积的最小值.
16．（15分）如图，在梯形 中， ， ， .将 沿对角线
折到 的位置，点P在平面 内的射影H恰好落在直线 上.
(1)求二面角 的正切值；
(2)点F为棱 上一点，满足 ，在棱 上是否存在一点Q，使得直线 与平面 所成的角
为 ?若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
17．（15分）已知函数 ， .
(1)若 （其中 为 的导函数），讨论 的单调性；
(2)求证： .18．（17分）．已知甲、乙两支登山队均有n名队员，现有新增的4名登山爱好者 将依次通过摸
出小球的颜色来决定其加入哪支登山队，规则如下：在一个不透明的箱中放有红球和黑球各2个，小球除
颜色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山爱好者从箱中不放回地摸出1个小球，再另取完全相同
的红球和黑球各1个放入箱中；接着由下一名新增登山爱好者摸出1个小球后，再放入完全相同的红球和
黑球各1个，如此重复，直至所有新增登山爱好者均摸球和放球完毕．新增登山爱好者若摸出红球，则被
分至甲队，否则被分至乙队．
(1)求 三人均被分至同一队的概率；
(2)记甲，乙两队的最终人数分别为 ， ，设随机变量 ，求 ．
19．（17分）我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为
“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆 ，双曲线 是椭圆 的“姊妺”圆锥曲线， 分别
为 的离心率，且 ，点 分别为椭圆 的左､右顶点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)设过点 的动直线 交双曲线 右支于 两点，若直线 的斜率分别为 .
（i）试探究 与 的比值 是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求 的取值范围.
