§2.2 函数的单调性与最值
课标要求 1.借助函数图象,会用数学符号语言表达函数的单调性、最值,理解实际意义.2.掌握函数单调性
的简单应用.
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数
减函数
定义
一般地,设函数f(x)的定义域为D,区间I D,如果∀x ,x ∈I
1 2
⊆
当x <x 时,都有 f ( x )< f ( x ),那么就称函数f(x)在区间I上单调递增,
1 2 1 2
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数
当x <x 时,都有 f ( x )> f ( x ),那么就称函数f(x)在区间I上单调递减,
1 2 1 2
特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数
图象
描述
自左向右看图象是上升的
自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减,那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,
区间I叫做y＝f(x)的单调区间.
2.函数的最值前提 一般地,设函数y＝f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足
(1) x∈D,都有 f ( x ) ≤ M ； (1) x∈D,都有 f ( x ) ≥ M ；
条件
(2) x ∈D,使得 f ( x ) ＝ M (2) x ∈D,使得 f ( x ) ＝ M
∀ 0 0 ∀ 0 0
∃ ∃
结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2),则f(x)在[－3,2]上单调递增.( × )
(2)若函数f(x)在(－2,3)上单调递增,则函数f(x)的单调递增区间为(－2,3).( × )
(3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在区间[a,b]上一定有最值.( √ )
1
(4)函数y＝ 的单调递减区间是(－∞,0)∪(0,＋∞).( × )
x
2.下列函数中,在区间(0,＋∞)上单调递增的是( )
A.y＝－x＋1 B.y＝(x－1)2
C.y＝|ln x| D.y＝x
答案 D
解析 y＝－x＋1在(0,＋∞)上单调递减,不符合题意；
y＝(x－1)2在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；
{-lnx,0<x<1,
因为y＝|ln x|＝ 则y＝|ln x|在(0,＋∞)上不单调,不符合题意；
lnx,x≥1,
y＝x在(0,＋∞)上单调递增,符合题意.
1
3.函数y＝－ 在区间[1,2]上的最大值为( )
x＋1
1 1
A.－ B.－
3 2
C.－1 D.不存在
答案 A
1 1
解析 y＝－ 在(－1,＋∞)上单调递增,则y＝－ 在区间[1,2]上单调递增,
x＋1 x＋1
1 1
所以y ＝－ ＝－ .
max 2＋1 3
(1)
4.函数f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,则满足f(2x－1)>f 的x的取值范围是 .
3[1 2)
答案 ,
2 3
解析 ∵f(x)的定义域是[0,＋∞),
1
∴2x－1≥0,即x≥ ,
2
又∵f(x)是定义在[0,＋∞)上的减函数,
1 2
∴2x－1< ,即x< ,
3 3
[1 2)
则x的取值范围为 , .
2 3
1.熟记与函数单调性有关的常用结论
(1)若∀x ,x ∈I(x ≠x ),则
1 2 1 2
f(x )-f(x )
1 2
① >0(或(x －x )[f(x )－f(x )]>0) f(x)在区间I上单调递增.
x -x 1 2 1 2
1 2
f(x )-f(x ) ⇔
1 2
② <0(或(x －x )[f(x )－f(x )]<0) f(x)在区间I上单调递减.
x -x 1 2 1 2
1 2
⇔
1
(2)y＝x＋ 的单调递增区间为(－∞,－1]和[1,＋∞),单调递减区间为(－1,0)和(0,1).
x
(3)在区间I上,两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数.
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”.
2.解题时谨防以下易误点
(1)单调区间只能用区间表示,不能用不等式表示.
(2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时,必须先求函数的定义域.
(3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“,”连接,不能用“∪”连接.
(4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上单调”是两个不同的概念,显然N M.
⊆
题型一 确定函数的单调性
命题点1 函数单调性的判断
例1 (多选)下列说法中,正确的是( )
1
A.函数y＝e－x－ 在(－∞,0)上单调递减
x2
B.若f(x),g(x)都是R上的增函数,则h(x)＝f(x)＋g(x)也是R上的增函数
C.函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1]
D.函数f(x)＝2-x2＋2x＋3的单调递增区间为[1,＋∞)答案 ABC
1 1
解析 在(－∞,0)上函数y＝e－x与y＝－ 都单调递减,所以y＝e－x－ 在(－∞,0)上单调递减,故A正确；
x2 x2
两增函数的和为增函数,故B正确；
作出函数y＝2|x＋1|的图象,如图所示,
由图象可知,函数y＝2|x＋1|的单调递减区间是(－∞,－1],故C正确；
由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得f(x)的单调递增区间为(－∞,1],故D错误.
命题点2 利用定义证明函数的单调性
ax
例2 试讨论函数f(x)＝ (a≠0)在(－1,1)上的单调性.
x-1
解 方法一 定义法
设－1<x <x <1,
1 2
x-1＋1 ( 1 )
因为f(x)＝a· ＝a 1＋ ,
x-1 x-1
所以f(x )－f(x )＝a ( 1＋ 1 ) －a ( 1＋ 1 ) ＝ a(x 2 -x 1 ) ,
1 2 x -1 x -1 (x -1)(x -1)
1 2 1 2
由于－1<x <x <1,
1 2
所以x －x >0,x －1<0,x －1<0,
2 1 1 2
故当a>0时,f(x )－f(x )>0,
1 2
即f(x )>f(x ),函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
1 2
当a<0时,f(x )－f(x )<0,
1 2
即f(x )<f(x ),函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
1 2
方法二 导数法
(ax) ' (x-1)-ax(x-1) ' a(x-1)-ax a
f'(x)＝ ＝ ＝－ .
(x-1) 2 (x-1) 2 (x-1) 2
故当a>0时,f'(x)<0,函数f(x)在(－1,1)上单调递减；
当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(－1,1)上单调递增.
思维升华 确定函数单调性的四种方法
(1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法.
跟踪训练1 (1)下列函数中,满足“对任意x ,x ∈(0,＋∞),当x <x 时,都有f(x )>f(x )”的是( )
1 2 1 2 1 21
A.f(x)＝|x| B.f(x)＝
x
-
3
C.f(x)＝－x2＋2x D.f(x)＝ex
答案 B
解析 对任意x ,x ∈(0,＋∞),
1 2
当x <x 时,都有f(x )>f(x ),
1 2 1 2
则函数f(x)在(0,＋∞)上单调递减,
f(x)＝|x|在(0,＋∞)上单调递增,故A错误；
1
f(x)＝
x
- 3在(0,＋∞)上单调递减,故B正确；
f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1在(0,＋∞)上不单调,故C错误；
f(x)＝ex在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.
g
(2)(2024·唐山模拟)函数f(x)＝lo 1(2x2－3x－2)的单调递增区间为 .
2
( 1)
答案
-∞,-
2
解析 令2x2－3x－2>0,
1
解得x>2或x<－ ,
2
( 1)
则f(x)的定义域为 -∞,- ∪(2,＋∞),
2
g ( 1)
由y＝lo 1x在(0,＋∞)上单调递减,y＝2x2－3x－2在 -∞,- 上单调递减,在(2,＋∞)上单调递增,
2 2
( 1)
根据复合函数的单调性可知,f(x)的单调递增区间为 -∞,- .
2
题型二 函数单调性的应用
命题点1 比较函数值的大小
f(x )-f(x )
例3 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x ,x ∈(－∞,0](x ≠x ),有 1 2 <0,则( )
1 2 1 2 x -x
1 2
A.f(－2)<f(3)<f(4)
B.f(－2)>f(3)>f(4)
C.f(3)<f(4)<f(－2)
D.f(4)<f(－2)<f(3)
答案 A
f(x )-f(x )
解析 因为对任意的x ,x ∈(－∞,0](x ≠x ),有 1 2 <0,
1 2 1 2 x -x
1 2
所以f(x)在(－∞,0]上单调递减,又f(x)为偶函数,
所以f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
则f(2)<f(3)<f(4),
又f(－2)＝f(2),
所以f(－2)<f(3)<f(4).
命题点2 求函数的最值
1
例4 函数y＝ －1＋x(x≥3)的最小值为 .
x-1
5
答案
2
解析 设t＝x－1,t≥2,
1 1
则y＝ －1＋x＝t＋ (t≥2),
x-1 t
1
又函数y＝t＋ 在[2,＋∞)上单调递增,
t
所以当t＝2,即x＝3时,
1 5
函数有最小值2＋ ＝ .
2 2
求函数的值域(最值)的常用方法
(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.
(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.
(3)数形结合法.
(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.
(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的
形式.
典例 (多选)下列函数中，值域正确的是( )
A.当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6)
2x＋1
B.函数y＝ 的值域为R
x-3
[15 )
C.函数y＝2x－√x-1的值域为 ，＋∞
8
D.函数y＝√x＋1＋√x-1的值域为[√2，＋∞)
答案 ACD解析 对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6).
2x＋1 2(x-3)＋7 7 7
对于B，(分离常数法)y＝ ＝ ＝2＋ ，显然 ≠0，∴y≠2.
x-3 x-3 x-3 x-3
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
( 1) 2 15
对于C，(换元法)设t＝√x-1，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2 t- ＋ ，
4 8
[15 )
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为 ，＋∞ .
8
对于D，函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝√x＋1与y＝√x-1在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝√x＋1＋√x-1在[1，＋∞)上为增函数，
∴当x＝1时，y ＝√2，即函数的值域为[√2，＋∞).
min
命题点3 解函数不等式
例5 (2025·湖州模拟)已知函数f(x)＝ex－e－x,则使f(|x|)<f(－3x2＋4)成立的实数x的取值范围是( )
A.(－1,0) B.(－1,＋∞)
C.(－1,1) D.(1,＋∞)
答案 C
解析 函数y＝ex为增函数,函数y＝e－x为减函数,
所以函数f(x)＝ex－e－x为增函数,
所以f(|x|)<f(－3x2＋4) |x|<－3x2＋4,
即3|x|2＋|x|－4<0,(|x|－ ⇔1)(3|x|＋4)<0,得0≤|x|<1,
解得－1<x<1,
所以实数x的取值范围为(－1,1).
命题点4 求参数的值(范围)
{-x2-2ax-a,x<0,
例6 (2024·新课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ 在R上单调递增,则a的取值范围是(
ex ＋ln(x＋1),x≥0
)
A.(－∞,0] B.[－1,0]C.[－1,1] D.[0,＋∞)
答案 B
解析 因为f(x)在R上单调递增,
且x≥0时,f(x)＝ex＋ln(x＋1)单调递增,
{
-2a
- ≥0,
则需满足
2×(-1)
-a≤e0 ＋ln1,
解得－1≤a≤0,
即a的取值范围是[－1,0].
思维升华 (1)比较函数值的大小时,先转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.
(2)求解函数不等式时,由条件脱去“f”,转化为自变量间的大小关系,应注意函数的定义域.
(3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象
的升降,再结合图象求解.对于分段函数,要注意衔接点的取值.
x＋a-3
跟踪训练2 (1)若函数f(x)＝ 在(a,＋∞)上单调递增,则实数a的取值范围为 .
x-1
答案 [1,2)
x＋a-3 x-1＋a-2 a-2
解析 f(x)＝ ＝ ＝1＋ ,
x-1 x-1 x-1
∵f(x)在(a,＋∞)上单调递增,
{a-2<0,
∴ ⇒1≤a<2.
a≥1
(2)(多选)函数f(x)的定义域为R,对任意的实数x ,x (x ≠x ),满足x f(x )＋x f(x )>x f(x )＋x f(x ),下列结论正
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1
确的是( )
A.函数f(x)是减函数
B.f(－5)<f(0)<f(1)
C.f(0)＝0
( 4)
D.不等式f(2x－1)<f(3－x)的解集为 -∞,
3
答案 BD
解析 由x f(x )＋x f(x )>x f(x )＋x f(x ),
1 1 2 2 1 2 2 1
得(x －x )[f(x )－f(x )]>0,
1 2 1 2
因此f(x)是增函数,A错误；
由－5<0<1,得f(－5)<f(0)<f(1),B正确；
不一定有f(0)＝0,如f(x)＝2x在R上为增函数,f(0)＝1,C错误；4
由f(2x－1)<f(3－x),得2x－1<3－x,解得x< ,D正确.
3
课时精练
[分值：100分]
一、单项选择题(每小题5分,共30分)
1.下列函数中,在(0,＋∞)上单调递减的是( )
1
A.y＝√x B.y＝－
x
(1) x＋1
C.y＝ D.y＝log x
2 2
答案 C
1 1
解析 y＝ √x＝x2, 因为
2
>0,所以y＝√x在(0,＋∞)上单调递增,故A错误；
1 1
因为y＝ 在(0,＋∞)上单调递减,所以y＝－ 在(0,＋∞)上单调递增,故B错误；
x x
1 (1) x＋1
因为0< <1,所以y＝ 在(0,＋∞)上单调递减,故C正确；
2 2
因为2>1,所以y＝log x在(0,＋∞)上单调递增,故D错误.
2
2.已知f(x)＝2x＋x,则“f(x )＝f(x )”是“x ＝x ”的( )
1 2 1 2
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 因为函数y＝2x,y＝x在R上为增函数,
则函数f(x)＝2x＋x在R上为增函数,
则“f(x )＝f(x )”可以推出“x ＝x ”,“x ＝x ”也可推出“f(x )＝f(x )”,
1 2 1 2 1 2 1 2
故“f(x )＝f(x )”是“x ＝x ”的充要条件.
1 2 1 2
3.函数f(x)＝|x|(x－1)的单调递减区间是( )
( 1)
A.(－∞,0) B. 0,
2
(1 )
C. ,1 D.(1,＋∞)
2答案 B
{ x(x-1),x≥0,
解析 f(x)＝
-x(x-1),x<0,
作出图象,如图所示,
( 1)
可以得到函数f(x)的单调递减区间是 0, .
2
2x
4.已知函数f(x)＝ ,则f(x)在区间[2,6]上的最大值为( )
x-1
12
A. B.3 C.4 D.5
5
答案 C
2x 2
解析 ∵f(x)＝ ＝2＋ 在[2,6]上单调递减,
x-1 x-1
∴f(x) ＝f(2)＝4.
max
{(a-2)x-1,x≤1, f(x )-f(x )
5.已知函数f(x)＝ 满足对任意x ≠x ,都有 1 2 >0成立,则实数a的取值范围为(
log x,x>1 1 2 x -x
a 1 2
)
A.(1,2) B.(2,3)
C.(2,3] D.(2,＋∞)
答案 C
{(a-2)x-1,x≤1,
解析 函数f(x)＝ 的定义域为R,
log x,x>1
a
f(x )-f(x )
由对任意x ≠x ,都有 1 2 >0,
1 2 x -x
1 2
得函数f(x)在R上为增函数,
{a-2>0,
于是 a>1, 解得2<a≤3,
a-3≤0,
所以实数a的取值范围为(2,3].
f(x )-f(x )
6.已知函数y＝f(x)的定义域为R,对任意x ,x 且x ≠x ,都有 1 2 >－1,则下列说法正确的是( )
1 2 1 2 x -x
1 2
A.y＝f(x)＋x是增函数
B.y＝f(x)＋x是减函数C.y＝f(x)是增函数
D.y＝f(x)是减函数
答案 A
解析 不妨令x <x ,∴x －x <0,
1 2 1 2
f(x )-f(x )
1 2
∵ >－1 f(x )－f(x )<－(x －x ) f(x )＋x <f(x )＋x ,
x -x 1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
⇔ ⇔
令g(x)＝f(x)＋x,∴g(x )<g(x ),
1 2
又x <x ,∴g(x)＝f(x)＋x是增函数.
1 2
二、多项选择题(每小题6分,共12分)
2x-1
7.已知函数f(x)＝ ,则下列选项中正确的是( )
2x ＋1
A.f(－x)＝f(x)
B.函数f(x)的值域为[－1,1]
f(x )-f(x )
C. x ,x ∈R,且x ≠x ,有 2 1 >0
1 2 1 2 x -x
2 1
∀
D. x∈R,“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件
答案 CD
∀
2-x-1 1-2x
解析 f(－x)＝ ＝ ＝－f(x),故A错误；
2-x ＋1 2x ＋1
2x-1 2 2
由f(x)＝ ＝1－ , 因为 ≠0,所以f(x)≠1,故B错误；
2x ＋1 2x ＋1 2x ＋1
2x-1 2
由f(x)＝ ＝1－ , 对于∀x ,x ∈R,且x <x ,
2x ＋1 2x ＋1 1 2 1 2
2 2 2 2 2(2x 2-2x 1)
则f(x )－f(x )＝1－ －1＋ ＝ － ＝ ,
2 1 2x 2＋1 2x 1＋1 2x 1＋1 2x 2＋1 (2x 1＋1)(2x 2＋1)
因为x <x ,所以2x 2>2x 1,即2x 2－2x 1>0,
1 2
又因为(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0,
所以f(x )－f(x )>0,所以函数f(x)在其定义域R上为增函数,
2 1
f(x )-f(x )
所以∀x ,x ∈R且x ≠x ,有 2 1 >0,故C正确；
1 2 1 2 x -x
2 1
充分性：当a≥1时,因为－1≤sin x≤1,
由f(x)为增函数,
所以f(a2)≥f(sin x),故充分性成立；
必要性：由f(x)为增函数,
当f(a2)≥f(sin x)恒成立时,因为－1≤sin x≤1,
所以a2≥1,解得a≥1或a≤－1,故必要性不成立,
综上可知“a≥1”是“f(a2)≥f(sin x)”的充分不必要条件,故D正确.
8.已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)＝f(a＋b),f(0)≠0且当x>0时,0<f(x)<1,则( )
1
A. x∈R,都有f(x)＝－
f(-x)
B.当∀ x<0时,f(x)>1
C.f(x)是减函数
1 1 ( 3 )
D.若f(3)＝ ,则不等式f(2t2－5t)> 的解集为 - ,4
2 16 2
答案 BCD
解析 令a＝0,b＝1,则f(0)f(1)＝f(1),易知0<f(1)<1,所以f(0)＝1.
当x<0时,－x>0,所以0<f(－x)<1,
又f(x)f(－x)＝f(x－x)＝f(0)＝1,
1
所以f(x)＝ ,即f(x)>1,A错误,B正确；
f(-x)
设x <x ,且x ,x ∈R,则f(x )－f(x )＝f(x －x ＋x )－f(x )＝f(x －x )f(x )－f(x )＝f(x )[f(x －x )－1],
1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2
又x <x ,所以x －x <0,所以f(x －x )>1,
1 2 1 2 1 2
又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,0<f(x)<1,f(0)＝1,
所以f(x )－f(x )>0,即f(x )>f(x ),
1 2 1 2
所以f(x)是减函数,C正确；
1
因为f(3)＝ ,
2
1
所以f(12)＝f(6)f(6)＝[f(3)]4＝ ,
16
1
所以f(2t2－5t)> ,
16
即f(2t2－5t)>f(12),
又f(x)是减函数,
所以2t2－5t<12,
3
解得－ <t<4,
2
( 3 )
所以不等式f(2t2－5t)>f(12)的解集为 - ,4 ,D正确.
2
三、填空题(每小题5分,共10分)4x-3
9.函数f(x)＝ 的单调递增区间为 .
2x＋3
( 3) ( 3 )
答案 -∞,- , - ,＋∞
2 2
4x-3 4x＋6-9 9
解析 f(x)＝ ＝ ＝2－ ,
2x＋3 2x＋3 2x＋3
3
由2x＋3≠0,得x≠－ ,
2
( 3) 9
当x∈ -∞,- 时,y＝ 单调递减,
2 2x＋3
f(x)单调递增；
( 3 ) 9
当x∈ - ,＋∞ 时,y＝ 单调递减,
2 2x＋3
f(x)单调递增,
( 3) ( 3 )
所以f(x)的单调递增区间为 -∞,- , - ,＋∞ .
2 2
10.柯西(Cauchy,1789—1857)是著名的法国数学家.我们把函数方程f(x＋y)＝f(x)＋f(y)称为柯西方程,满足该
方程的函数f(x)称为“加性函数”.请写出一个在R上单调递减的加性函数 .
答案 f(x)＝－x(答案不唯一)
解析 设f(x)＝－x,在R上单调递减.
f(x＋y)＝－x－y,f(x)＝－x,f(y)＝－y,满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y).
所以函数f(x)＝－x是在R上单调递减的加性函数.
四、解答题(共27分)
1
11.(13分)已知函数f(x)＝x＋ .
x
(1)用定义证明函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增；(7分)
(2)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.(6分)
(1)证明 任取x ,x ∈(1,＋∞)且x <x ,
1 2 1 2
则f(x )－f(x )＝x ＋ 1 －x － 1 ＝x －x ＋ x 2 -x 1＝(x －x ) ( 1- 1 ) ,
1 2 1 x 2 x 1 2 x x 1 2 x x
1 2 1 2 1 2
1
因为x ,x ∈(1,＋∞)且x <x ,可得x －x <0,x x >1,0< <1,
1 2 1 2 1 2 1 2 x x
1 2
1
则1－ >0,
x x
1 2
( 1 )
所以f(x )－f(x )＝(x －x ) 1- <0,
1 2 1 2 x x
1 2即f(x )<f(x ),
1 2
所以函数f(x)在(1,＋∞)上单调递增.
(2)解 由(1)知函数f(x)在[3,6]上单调递增,
37 10
所以f(x) ＝f(6)＝ ,f(x) ＝f(3)＝ ,
max 6 min 3
37 10
所以函数f(x)在区间[3,6]上的最大值为 ,最小值为 .
6 3
12.(13分)已知定义在(0,＋∞)上的函数f(x),满足f(mn)＝f(m)＋f(n)(m,n>0),且当x>1时,f(x)>0.
(m)
(1)求证：f ＝f(m)－f(n)；(5分)
n
(2)若f(2)＝1,解不等式f(x＋2)－f(2x)>2.(9分)
(m ) (m)
(1)证明 f(m)＝f ·n ＝f ＋f(n),
n n
(m)
即f ＝f(m)－f(n).
n
(2)解 任取x ,x ∈(0,＋∞),且x <x ,
1 2 1 2
x
2
则 >1.
x
1
x
( )
2
由(1)得f(x )－f(x )＝f >0,
2 1 x
1
即f(x )>f(x ),
2 1
∴f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
∵f(2)＝1,∴2＝f(2)＋f(2)＝f(4),
f(x＋2)－f(2x)>2 f(x＋2)>f(2x)＋f(4) f(x＋2)>f(8x),
又f(x)在(0,＋∞)上单调递增,
⇔ ⇔
{x＋2>8x, 2
∴ 解得0<x< ,
x>0, 7
{ | 2}
故不等式f(x＋2)－f(2x)>2的解集为 x 0<x< .
7
13，14题每小题6分，15，16题每小题5分，共22分
f(x)
13.(多选)若函数f(x)在定义域内的某区间M上单调递增，且 在M上单调递减，则称函数f(x)在M上是
x
“弱增函数”，则下列选项中正确的是( )
A.若f(x)=x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”1
B.若f(x)=x+ ，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”
x
C.若f(x)=x+x3，则f(x)为R上的“弱增函数”
D.若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，则a=4
答案 BD
f(x)
解析 f(x)=x2在(0，+∞)上单调递增，y= =x在(0，+∞)上单调递增，
x
因此不存在区间M使f(x)=x2为“弱增函数”，A错误；
1 f(x)
由对勾函数的性质知，f(x)=x+ 在［1，+∞)上单调递增，y= =1+x-2在［1，+∞)上单调递减，
x x
1
因此存在区间［1，+∞)使f(x)=x+ 为“弱增函数”，B正确；
x
f(x) f(x)
函数f(x)=x+x3在R上单调递增，y= =1+x2，显然函数 在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递
x x
减，
因此函数f(x)=x+x3不是R上的“弱增函数”，C错误；
若f(x)=x2+(4-a)x+a在区间(0，2］上是“弱增函数”，
4-a
则f(x)=x2+(4-a)x+a在(0，2］上单调递增，有- ≤0，解得a≤4，
2
f(x) a
又y= =x+(4-a)+ 在(0，2］上单调递减，
x x
f(x) a
而当a≤0时，y= =x+(4-a)+ 在(0，2］上单调递增，不符合题意，
x x
a
于是a>0，又由对勾函数的单调性知，函数y=x+ 在(0，√a］上单调递减，
x
因此√a≥2，即a≥4，
所以a=4，D正确.
14.(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数.双曲正
ex-e-x ex+e-x
切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x= ,双曲余弦函数cosh x= ,双曲正切函数tanh
2 2
sinh x
x= .则 ( )
cosh x
A.双曲正弦函数是增函数
B.双曲余弦函数是增函数
C.双曲正切函数是增函数
tanh x+tanh y
D.tanh(x+y)=
1+tanh xtanh y答案 ACD
ex-e-x
解析 对于A,令f(x)=sinh x= ,
2
ex+e-x
则f'(x)= >0恒成立,
2
故双曲正弦函数是增函数,故A正确;
ex+e-x ex-e-x
对于B,令g(x)=cosh x= ,则g'(x)= ,
2 2
e0-e0
由A知,g'(x)为增函数,又g'(0)= =0,
2
故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0,当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误;
ex-e-x
sinh x 2 ex-e-x e2x-1 2
对于C,tanh x= = = = =1- ,
cosh x ex+e-x ex+e-x e2x+1 e2x+1
2
由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x+1>1,
2
故tanh x=1- 是增函数,故C正确;
e2x+1
e2x-1 e2y-1
+
e2x-1 e2x+2y-1 tanh x+tanh y e2x+1 e2y+1
对于D,由C知tanh x= ,则tanh(x+y)= , = =
e2x+1 e2x+2y+1 1+tanh xtanh y e2x-1 e2y-1
1+ ·
e2x+1 e2y+1
(e2x-1)(e2y+1)+(e2y-1)(e2x+1)
(e2x+1)(e2y+1)+(e2x-1)(e2y-1)
e2x+2y+e2x-e2y-1+e2x+2y-e2x+e2y-1
=
e2x+2y+e2x+e2y+1+e2x+2y-e2x-e2y+1
2e2x+2y-2 e2x+2y-1
= = ,
2e2x+2y+2 e2x+2y+1
tanh x+tanh y
故tanh(x+y)= ,故D正确.
1+tanh xtanh y
a
15.已知正实数a，b满足：a·ea-2=1，eb+ln b=1，则 的值是( )
b
A.√e B.2 C.e D.3
答案 C
解析 由a·ea-2=1两边取对数可得，
ln a+a-2=0，即ln a+a=2，
由eb+ln b=1可得，eb+ln b+1=2，即eb+ln eb=2，
方法一 构造函数f(x)=ln x+x(x>0)，
由ln a+a=2和eb+ln eb=2等价于f(a)=ln a+a=2和f(eb)=ln eb+eb=2，
即f(a)=f(eb)，
由于y=ln x在(0，+∞)上单调递增，y=x在(0，+∞)上单调递增，
则f(x)=ln x+x在(0，+∞)上单调递增，
所以f(a)=f(eb)等价于a=eb，
a
故 =e.
b
方法二 所以ln a+a=ln eb+eb，
a
即a=eb，所以 =e.
b
{ax-x2,x≥0, f(x )-f(x )
16.已知函数f(x)＝ 若对任意x ,x ∈R,且x ≠x 都有 2 1 <0,则实数a的取值范围为
-2x,x<0. 1 2 1 2 x -x
2 1
；若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则实数t的取值范围为 .
答案 (－∞,0] (2,4]
f(x )-f(x ) a
解析 若对任意x ,x ∈R,且x ≠x 都有 2 1 <0,则f(x)在R上是减函数,则 ≤0,即a≤0,所以实数a
1 2 1 2 x -x 2
2 1
的取值范围为(－∞,0]；
(a) a2 a2
当a>0时,若f(x)在[－1,t)上的值域为[0,4],则f ＝ － ＝4,
2 2 4
解得a＝4或a＝－4(舍去),
又f(－1)＝2,f(0)＝f(4)＝0,所以2<t≤4；
当a≤0时,f(x)在[－1,t)上单调递减,则f(x)在[－1,t)上的最大值为f(－1)＝2,不符合题意,
所以实数t的取值范围为(2,4].
