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第 33 讲 空间几何体的结构
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
有一面是多边形,其余各面
有两个面互相平行,其余各面都是四
都是 用一个平行于棱锥底面的平面
边形,并且相邻两个四边形的公共边
定义 有一个公共顶点的三角形, 去截棱锥,底面和截面之间的那
都互相平行,由这些面所围成的多面
由这些面所围成的多面体 部分多面体叫做棱台
体叫做棱柱
叫做棱锥
图示
和
记法
记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F' 记作棱锥S-ABCD 记作棱台ABCD-A'B'C'D'
底面是正多边形,并且顶点
直棱柱：侧棱与底面垂直 由正棱锥截得的棱台叫做正棱
分类 与底面中心的连线垂直于
正棱柱：底面为正多边形的直棱柱 台
底面的棱锥叫做正棱锥
2.圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台
以矩形的一边所在直线为旋转 以直角三角形的一条直角边所在直 用平行于圆锥底面的平
定义 轴,其余三边旋转一周形成的面 线为旋转轴,其余两边旋转一周形成 面去截圆锥,底面与截面
所围成的旋转体 的面所围成的旋转体 之间的部分
图示和
记法
记作圆柱O'O
记作圆锥SO 记作圆台O'O
3.①球的结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,
定义
简称球
图示及 球心:半圆的圆心
相 半径:连接球心和球面上任意一点的线段
关概念 直径:连接球面上两点并且经过球心的线段
记作球O
②球的截面性质
a.用一个平面去截一个球,截面是圆面,球心和截面圆心的连线垂直于截面.
b.球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系:
4.斜二测画法（平面图形）(1)建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,
两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面.
(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成
平行于x'轴或y'轴的线段.
(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段,在直观图中的长
度为原来的一半.
5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称 圆柱 圆锥 圆台
侧面
展开图
侧面积公式 S =2πrl S =πrl S =π(r+r )l
圆柱侧 圆锥侧 圆台侧 1 2
6.柱、锥、台、球的表面积与体积公式
几何体 表面积 体积
柱体(棱柱和圆柱) S =S +2S V= Sh
表面积 侧 底
1
锥体(棱锥和圆锥) S =S +S V= Sh
表面积 侧 底 3
1
台体(棱台和圆台) S =S +S +S V= (S +S +❑√S S )h
表面积 侧 上 下 3 上 下 上 下
4
球 S= 4πR2 V= πR3
3
7.常用结论
❑√a2+b2+c2
(1)设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,则它的外接球的半径R= .
2
a ❑√3
(2)设正方体的棱长为a,则它的内切球的半径r= ,外接球的半径R= a.
2 2
(3)若棱锥的侧面中有以同一条边为斜边的两个直角三角形，则该边为该棱锥的外接球的直径.
(4)若棱锥有一侧棱垂直于底面，该侧棱长度为 ，底面外接圆的半径为 ，则其外接球的半径 满足：
.
(5)若棱锥有两个互相垂直的侧面，这两个侧面的外接圆的半径分别为 ，交线长度为 ，则其外接球的
半径 满足： .
考点一 几何体体积的求法考点二 几何体表面积的求法
考点三 几何体的“内切”，“外接”球问题
考点一：几何体体积的求法
例1．（2023·陕西商洛·统考二模）已知某圆锥的高为 ，体积为 ，则该圆锥的侧面积为
（ ）
A． B． C． D．
例2．已知在春分或秋分时节，太阳直射赤道附近.若赤道附近某地在此季节的日出时间为早上6点，日落
时间为晚上18点，该地有一个底面半径为 的圆锥形的建筑物，且该建筑物在白天中恰好有四个小时在
地面上没有影子，则该建筑物的体积为（ ）
A． B． C． D．
考点二：几何体表面积的求法
例3．唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图甲所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与
工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图乙
所示.已知半球的半径为 ，酒杯内壁表面积为 ，则圆柱的高和球的半径之比为（ ）
甲 乙
A． B． C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径
，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为 ，则该种胶囊的体积为（ ）A． B． C． D．
考点三：几何体的“内切”，“外接”球问题
例5．已知球面上的四点P、A、B、C，PA、PB、PC的长分别为3、4、5，且这三条线段两两垂直，则这
个球的体积为（ ）
A． B． C． D．
例6．已知圆柱的高为2，侧面积为 ，若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上，则该球的体积
为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2023·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考模拟预测）已知直角三角形ABC， ， ，
，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西·统考模拟预测）在炎热的夏天里，人们都喜欢在饮品里放冰块.如图是一个高脚杯，它的轴
截面是正三角形，容器内有一定量的水.若在高脚杯内放入一个球形冰块后，冰块没有开始融化前水面所在
的平面恰好经过冰块的球心 （水没有溢出），则原来高脚杯内水的体积与球的体积之比是（ ）A．1 B． C． D．
3．（2023·广东汕头·金山中学校考模拟预测）如图l，在高为h的直三棱柱容器 中，
， ，现往该容器内灌进一些水，水深为 ，然后固定容器底面的一边AB于地面上，
再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为 （如图2），则 =（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·天津·大港一中校联考一模）在中国古代数学经典著作 九章算术 中，称图中的多面体
为“刍甍” 书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以
高乘之，六而一，即 ，其中 是刍甍的高，即点 到平面 的距离 若底面
是边长为 的正方形， ，且 ， 和 是等腰三角形， ，
则该刍甍的体积为（ ）
A． B． C． D．5．已知球 与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球 ，则球 与球 的表面积之比为
（ ）
A．2：3 B．3：2 C． D．
6．（2023·江苏·统考一模）已知正四面体 的棱长为1，点O为底面 的中心，球О与该正四面
体的其余三个面都有且只有一个公共点，且公共点非该正四面体的顶点，则球O的半径为（ ）
A． B． C． D．
7．某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打
一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为（
）
A． B． C．4 D．5
8．（2023·内蒙古通辽·校考二模）已知一个实心铜质的圆锥形材料的底面半径为4，圆锥母线长 ，现
将它熔化后铸成一个实心铜球，不计损耗，则铜球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
9．用底面半径为 的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相
邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．
则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（ ）．
A． B． C． D．10．在古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻有一个令他最引以为傲的几何图案.该几何图案是内部嵌入一个内
切球的圆柱，且该圆柱底面圆的直径与高相等，则该圆柱的内切球与外接球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
11．点 是棱长为2的正方体 外接球球面上的任意一点，则四棱锥 的体积的最
大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知三棱锥 的底面 是边长为1的正三角形，侧棱 两两垂直，若此三棱锥的四
个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥 中， 底面 ，则三
棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
14．如图，半球内有一内接正四棱锥 ，该四棱锥的体积为 ，则该半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．已知正方体的棱长为2，则其外接球的表面积为______.
16．已知三棱锥 的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC， ，，则球O的体积是___________.
17．如图，在三棱锥 中， ，则三棱锥 的外接球的表
面积为__________.
18．（2023·内蒙古赤峰·校联考一模）在三棱锥 中，已知 平面 ，且 是边长为
的正三角形，三棱锥 的外接球的表面积为 ，则三棱锥 的体积为___________.
19．已知三棱锥 的每个顶点都在球O的球面上， 两两互相垂直，且 ，
若球O的表面积为 _____．
20．如图，在三棱锥 中，已知 ， ， ， ，平面 平面
，三棱锥 的体积为 ，若点 ， ， ， 都在球 的球面上，则球 的表面积为
____________．
