文档文本内容
2024 年高考押题预测模拟测试卷 02
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题
1．已知复数 ,其中 为虚数单位，则
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【分析】由复数的乘方、复数的除法法则化简复数后由模的定义计算．
【解析】 ，所以 ，
故选：A.
2．设全集 ，则图中阴影部分所表
示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由正弦函数性质求集合A，解一元二次方程求集合B，根据韦恩图、集合的并、补运算求结果.
【解析】由题设得 ，则 ，
由图知：阴影部分为 .
故选：D
3．某校高三（1）班（45人）和高三（2）班（30人）进行比赛，按照分层抽样的方法从两个班共抽取10
名同学，相关统计情况如下：高三（1）班答对题目的平均数为 ，方差为 ；高三（2）班答对题目的平均
数为 ，方差为 ，则这10人答对题目的方差为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据分层抽样求各层的人数，再根据平均数、方差的公式运算求解.
【解析】由分层抽样可得高三（1）班抽取的人数为 ，高三（2）班抽取的人数为
，
设高三（1）班（6人）答对题目数依次为 ，高三（2）班（4人）答对题目数依次为 ，
由题意可得：
，
可得 ，
则这10人答对题目的平均数 ，
这10人答对题目的方差 .
故选：D.
4．已知点 ， ， ， ，则与向量 同方向的单位向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由单位向量的定义、向量坐标的线性运算以及向量模的坐标公式即可求解.【解析】由题意 ，所以 ，
从而与向量 同方向的单位向量为 .
故选：A.
5．已知数列 为等比数列， 是函数 的极值点，设等差数
列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A． 或 B． C． D．2
【答案】C
【分析】根据极值点的定义可得 是 的两个实数根，进而由等比以及等差数列的
性质，结合求和公式即可求解.
【解析】由 得 ，
由题意可知 是 的两个实数根，
所以 又 ，
所以 ，因此 ，
故选：C
6．函数 在区间 上的图象大致为（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，求出 的值，排除A，进而可得求出 ，比较三个数值的大小，即可
求得答案.
【解析】根据题意，函数 ，
有 ，排除A，
又由 ，排除C、D，
故只有B符合题意
故选：B.
【点睛】本题主要考查了根据函数表达式求函数图象，解题掌握函数图象基础知识和灵活使用特殊值法，
考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
7．如图圆柱 的底面半径为1，母线长为6，以上下底面为大圆的半球在圆柱 内部，现用一垂直于
轴截面 的平面 去截圆柱 ，且与上下两半球相切，求截得的圆锥曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．3【答案】A
【分析】根据题意作出截面图，分析出平面 与底面夹角余弦值为 ，再利用立体图形得到 ，
，再计算出 值得到离心率.
【解析】作出截面图，显然平面 经过 中点，设中点为 ，切点分别为 ， ，
半径为1， ，则 ， ， ，则 ，作出以下立体图，则
平面 与底面夹角余弦值为 ，
圆柱的底面半径为 椭圆的短轴 ,得 ，
又 椭圆所在平面与圆柱底面所成角余弦值为 ,
以 为原点建立上图所示平面直角坐标系，
，则椭圆标准方程为 ，
，故离心率 ,故选：A.
8．已知 为函数 图象上一动点，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先观察出函数关于 对称，在根据所求的式子可以判断 时比 的值要大，所以只需研
究 的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两
点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.
【解析】由函数解析式可知函数 关于 对称，设 ，不妨设
则 ，当 ， ，
即当 时 的值要大于 时 的值，所以只需研究 的情况即可，
当 时， ，设 ，
则 ，
根据复合函数单调性可知： 时， 递增，当 ， 递减.
，所以 的几何意义是函数 上一点与点 的斜率，
设过点 的切线与函数 的交点坐标（即切点）为 ，
，
所以切线的斜率 ，切线方程为 ，把点 代
入切线方程整理得：
，所以 或 ，设 ， ，所以 在 单调递增，所以 ，
即 不合题意，所以 ，此时切线的斜率 ，
如图：
根据数形结合思想可知 的范围为 ，所以当 时， 最大，
此时 .
故选：A
【点睛】方法点睛：式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，求函数的最值或值域常用方法有：
（1）换元法；
（2）函数单调性法；
（3）复合函数法；
（4）数形结合；
（5）导数法；
（6）基本不等式.
二、多选题
9．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.为了建立茶水温度 随时间 变化的回
归模型，小明每隔1分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据 ， ，…， （其中
， ），绘制了如图所示的散点图.小明选择了如下2个回归模型来拟合茶水温度 随时间的变化情况，回归模型一： ；回归模型二： ，下列
说法正确的是（ ）.
A．茶水温度与时间这两个变量负相关
B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，因此模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变
化情况
C．若选择回归模型二，利用最小二乘法求得到 的图象一定经过点
D．当 时，通过回归模型二计算得 ，用温度计测得实际茶水温度为65.2，则残差为
【答案】AB
【分析】由正负相关的定义即可判定A；由图象中变量的变化趋势即可判定B；由最小二乘法及非线性回
归模型的拟合方法判断C；由残差的定义即可判定D.
【解析】由散点图可知随时间增加，温度逐渐降低，且变化趋势趋于平缓，故为负相关且模型二拟合更好，
即A、B正确；
根据非线性回归模型的拟合方法，先令 ，则 ，此时拟合为线性回归方程，
对应的回归直线过点 ，原曲线不一定经过 ，故C错误；
残差为真实值减估计值，即为65.2-65.1=0.1，故D错误.
故选：AB.
10．直三棱柱 ，中， ， ，点D是线段 上的动点（不含端点），
则以下正确的是（ ）
A．AC∥平面
B．CD与 不垂直C．∠ADC的取值范围为
D． 的最小值为
【答案】AD
【分析】A.将直三棱柱其补成正方体，再利用线面平行的判定定理判断；B.以A为坐标原点，AC为x轴，
AB为y轴， 为z轴，利用向量法判断；C.判断以AC为直径的球与 的交点情况即可；D.将面 ，
翻折至与 共面，此时点C与 重合求解判断.
【解析】A.如图所示： ，将其补成正方体，因为 ， 平面 ，
平面 ，所以AC∥平面 ，故A正确．
B.如图所示： ，以A为坐标原点，AC为x轴，AB为y轴， 为z轴，
则 ， ， ， ， ，
设 ， ，则 ，
， ， ，
当 时， ，当 且 时， 与 不垂直，故B错误．C.判断以AC为直径的球与 的交点情况，
如图所示： ，取AC中点F，则 ，
，
所以以AC为直径的球与 没有交点．所以 ，故C错误．
D.将面 ，翻折至与 共面，此时点C与 重合，所以 的最小值为 ，且 ，故
D正确．
故选：AD
11．在平面直角坐标系 中，双曲线 ： 的下、上焦点分别是 ， ，渐近线方
程为 ， 为双曲线 上任意一点， 平分 ，且 ， ，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的方程为
C．若直线 与双曲线 的另一个交点为 ， 为 的中点，则
D．点 到两条渐近线的距离之积为
【答案】AD
【分析】延长 ， 交于点 ， 平分 ，且 ，则 为 的中点，可得 ，渐近线方程为 ，得 ，可得双曲线方程，逐个验证选项即可.
【解析】不妨设 为双曲线 的下支上一点，延长 ， 交于点 ，如图，
因为 ，因为 平分 ，所以 ，
所以 ，所以 为等腰三角形，
则 为 中点，又 为 中点，所以 ，
根据双曲线的定义得， ，所以， ，
因为双曲线 的渐近线方程为 ，所以 ，得 ， ， ，
所以双曲线 的标准方程为 ，离心率为 ，所以A正确，B不正确；
设 ， ， ，因为 ， 在双曲线 上，所以 ①， ②，
① ②并整理得， ，因为 ， ，
所以， ，所以C不正确.
由 ，代入 ，即 ，即 ，
所以点 到两条渐近线的距离之积为 ，所以D正确；
故选：AD.三、填空题
12．在 的展开式中， 项的系数为 .
【答案】220
【分析】根据给定条件，分析展开式中 项出现的情况，再列式计算作答.
【解析】 的展开式通项
，
当 时， 展开式中 的最高指数小于12，而 的指数小于等于 ，
因此 中 的指数是负整数，要得到 项，当且仅当 ，
所以展开式中 项的系数是 展开式中 项的系数 .
故答案为：220
13．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 的直线与抛物线交于点A、B，与直线 交于点D，若
且 ，则 .
【答案】3
【分析】设准线与 轴的交点为 ，作 ， 垂足分别为 ， ，利用几何关系和抛物线的定
义得到 ，解方程即可求得.
【解析】如图，设准线与 轴的交点为 ，作 ， 垂足分别为 ， ，则 .根据抛物线定义知 ， ，
设 ，因为 ，所以 ，
∴ .
设 ，所以 ，所以 .
14．有 个编号分别为1，2，…，n的盒子，第1个盒子中有2个白球1个黑球，其余盒子中均为1个白球
1个黑球，现从第1个盒子中任取一球放入第2个盒子，再从第2个盒子中任取一球放入第3个盒子，以此
类推，则从第2个盒子中取到白球的概率是 ，从第 个盒子中取到白球的概率是 ．
【答案】
【分析】记事件 表示从第i个盒子里取出白球，利用全概率公式可得
，进而可得 ，然后构造等比数列，求通
项公式即得.
【解析】记事件 表示从第 个盒子里取出白球，则 ， ，
所以 ，
，
，进而可得 ， ，
又 ， ， ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ，
故答案为： ； .
四、解答题
15．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 .
(1)求A；
(2)若D为边BC上一点，且 ，试判断 的形状.
【答案】(1) ；
(2)直角三角形.
【分析】（1）利用三角变换得到 ，即可求出 ；
（2）设 ，利用正弦定理，化简求出 ，得到 ，即可证明.
【解析】（1）由 得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 .
（2）设 ， ，则 ， ， ，
在 中，由正弦定理知 ，
即 ，即 ，
化简得 ，
所以 ， ，
所以 是直角三角形.
16．如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形， ， ， ，
．
(1)证明：
(2)若平面 平面PCD，且 ，求直线AC与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）利用余弦定理和勾股定理可得 ，进而根据线面垂直的判定和性质分析判断；
（2）方法一：建系，利用空间向量求线面夹角；方法二：利用等体积法求点A到平面PBC的距离，结合
线面夹角的定义分析运算.
【解析】（1）如图1，连接BD，
因为四边形ABCD是平行四边形，且 ， ， ，
所以 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
又因为 ， ，BD，PD 平面PBD，
所以 平面PBD，
因为PB 平面PBD，所以 ，
因为 ，所以 ．
（2）如图2，设平面PAB和平面PCD的交线为直线l，
因为 ，CD 平面PAB，AB 平面PAB，所以 平面PAB，
因为CD 平面PCD，平面PAD 平面 ，
所以 ，
因为 平面PBD，所以 平面PBD，
因为PB，PD 平面PBD，所以∠BPD是平面PAB与平面PCD的二面角，
因为平面 平面PCD，所以 ，即
在Rt△ABP中，因为 ， ，所以
在Rt△BPD中，因为 ，则 ，所以△BPD为等腰直角三角形，
方法一：由（1）得CD⊥平面PBD，如图3，以点D为坐标原点，DB所在直线为x轴，DC所在直线为y
轴，过点D垂直于平面ABCD的直线为z轴建立空间直角坐标系，则 ， ， ，，
所以 ， ， ，
设平面PBC的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，得 ，
记直线AC与平面PBC所成角为θ，
则 ，
所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 ．
方法二：在△ABC中，因为 ， ， ，则
，
设点A到平面PBC的距离为d，
由（1）知CD⊥平面PBD，因为四边形ABCD是平行四边形，所以 ，
又因为 平面PBC， 平面PBC，所以 平面PBC，
所以 ，
因为 ，所以 ，
设点A到平面PBC的距离为d，由（1）知CD⊥平面PBD，
所以 ，
在△PBC中， ， ， ，因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
记直线AC与平面PBC所成角为θ，则 ，
所以直线AC与平面PBC所成角的正弦值为 ．
17．近年来，短视频作为以视频为载体的聚合平台，社交属性愈发突出，在用户生活中覆盖面越来越广泛，
针对短视频的碎片化缺陷，将短视频剪接成长视频势必成为一种新的技能．某机构在网上随机对1000人进
行了一次市场调研，以决策是否开发将短视频剪接成长视频的APP，得到如下数据：
青年人 中年人 老年人
对短视频剪接成长视频的APP有需求 200
对短视频剪接成长视频的APP无需求 150
其中的数据为统计的人数，已知被调研的青年人数为400．
(1)求 的值；
(2)根据小概率值 的独立性检验，分析对短视频剪接成长视频的APP的需求，青年人与中老年人是
否有差异？
参考公式： ，其中 ．
临界值表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)(2)有差异
【分析】
（1）根据题意列式求解即可；
（2）根据题意可得 列联表，计算 ，并与临界值对比分析.
【解析】（1）
由题意可得： ，解得 ．
（2）
零假设为 ：对短视频剪接成长视频APP的需求，青年人与中老年人没有差异．
由已知得，如下 列联表：
青年人 中老年人 合计
对短视频剪接成长视频的APP有需求 300 250 550
对短视频剪接成长视频的APP无需求 100 350 450
合计 400 600 1000
可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，
所以对短视频剪接成长视频的APP有需求，青年人与中老年人有差异．
18．已知椭圆 的离心率与双曲线 的离心率互为倒数，短轴长为 ．(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l与椭圆C相切于点A，A关于原点O的对称点为点B，过点B作 ，垂足为M，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）先求得椭圆C的离心率 ，又椭圆C的短轴长为 ，可得a,b,c的值，即得椭圆C的
标准方程；
（2）利用直线上两点的距离公式 算得 的表达式，可得
.
【解析】（1）设椭圆C的半焦距为c．
因为双曲线 的离心率 ，
所以椭圆C的离心率 ，
又椭圆C的短轴长为 ，所以 ，解得 ．
联立 解得 ，
故椭圆C的方程为 ．
（2）设点 ，易知直线l的斜率一定存在，设直线 ，联立 消元可得 ，
由题意， ，即 且 ，
整理得 ．
由过点A的切线是唯一的得 ，
所以直线 ，
又直线 交于点M，得直线 ．
联立 可得 ．
所以 ，
，
即 ，当且仅当 ，即 时取等号．
故 面积的最大值为2．
19．已知函数 ，对于数列 ，若 ，则称 为函数 的“生成
数列”， 为函数 的一个“源数列”.
(1)已知 为函数 的“生成数列”， 为函数 的“源数列”，求 ；
(2)已知 为函数 的“源数列”，求证：对任意正整数 ，均有 ；
(3)已知 为函数 的“生成数列”， 为函数 的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列 ，试问在数列 中是否存在连续三项构成等比数列?请说明
理由.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意确定 ， ，计算得到答案.
（2）确定 ，构造 ，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.
（3）确定 ， ，根据 得到 ，确定 ，再假设存在得到
，整理得到 ，无解，得到答案.
【解析】（1） ， ， ，故 ，
则 ；
（2） ， ，故 ，
构造函数 ， ，则 ，
函数 在 上单调递增， ，
故 在 恒成立， 单调递增，
故 ，即 ， ，
当 时， ，
综上所述： 恒成立，即 .（3） ，则 ， ，
设 ，即 ，则 ，
设函数 ，函数单调递增，对于任意 ，有唯一的 与之对应，
即数列 中每一项，都有 中的项与之相等， 单调递增，
故 ，
假设数列 中存在连续三项构成等比数列， ， ， ，
故 ，整理得到 ，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
【点睛】关键点睛：本题考查了函数导数和数列综合，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能
力，其中构造新函数确定函数的单调性得到 是解题的关键，这种技巧是常考技巧，需要熟练掌
握.
