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技巧02 填空题型的答题策略与精准求解
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................5
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................7
题型一：特殊法速解填空题
7
题型二：转化法巧解填空题
8
题型三：数形结合巧解填空题
9
题型四：换元法巧解填空题
10
题型五：整体代换法巧解填空题
11
题型六：坐标法巧解填空题
11
题型七：赋值法巧解填空题
13
题型八：正难则反法巧解填空题
13
1
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高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的
小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问
题的能力．
（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本
策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其
是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．
（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．
求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选
择题还有排除法（筛选法）等．
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3
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1、面对一个抽象或复杂的数学问题时，不妨先考虑其特例，这就是数学中常说的特殊化思维策略
“特殊化思维”是解高考数学填空题的一种常用解题策略，其实质是把一般情形转化为特殊情形，把抽象
问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，实现快速、准确求解的目的．
2、等价转化可以把复杂问题简单化，把陌生问题熟悉化，把原问题等价转化为便于解决的问题，从
而得出正确结果．
3、数形结合实际上就是把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，相互转化，实
现形象思维和抽象思维的优势互补．一方面，借助图形的性质使许多抽象概念和关系直观而形象，以利于
探索解题途径；另一方面，几何问题代数化，通过数理推证、数量刻画，获得一般化结论．
4
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1．（2024 年北京高考数学真题）若直线
与双曲线
只有一个公共点，则
的一个取值
为 ．
2．（2024 年北京高考数学真题）在平面直角坐标系
中，角
与角
均以
为始边，它们的终边关于
原点对称.若
，则
的最大值为 ．
3．（2024 年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线
与
在
上有两个不同的
交点，则
的取值范围为 ．
4．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）
的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
5．（2024 年天津高考数学真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取值范围为 ．
6．（2024 年天津高考数学真题）已知正方形
的边长为1，
若
，其中
为实数，则
；设
是线段
上的动点，
为线段
的中点，则
的最小值为
．
7．（2024 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线
的左右焦点分别为
，过
作平行于
轴的直线交C 于A，B 两点，若
，则C 的离心率为 ．
8．（2023 年北京高考数学真题）设
，函数
，给出下列四个结论：
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①
在区间
上单调递减；
②当
时，
存在最大值；
③设
，则
；
④设
．若
存在最小值，则a 的取值范围是
．
其中所有正确结论的序号是 ．
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题型一：特殊法速解填空题
【典例1-1】已知集合
，
将
的所有元素从小到
大依次排列构成一个数列
，记
为数列
的前n 项和，则使得
成立的n 的最小值为
______．
【典例1-2】已知函数
给出下列四个结论：
①任意
，函数
的最大值与最小值的差为2；
②存在
，使得对任意
，
；
③当
时，对任意非零实数x，
；
④当
时，存在
，
，使得对任意
，都有
其中所有正确结论的序号是_________．
【变式1-1】已知函数
对任意的
，都有
成立．给出下列结论：
①
；②
；③
；④
其中所有正确结论的序号是
．
【变式1-2】数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D 在平面直角坐标系xOy 中的方程为
当
时，给出下列四个结论：
①曲线D 不经过第三象限；
②曲线D 关于直线
轴对称；
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③对任意
，曲线D 与直线
一定有公共点；
④对任意
，曲线D 与直线
一定有公共点．
其中所有正确结论的序号是
．
1 ．已知
，
，
，则下列结论中正确的是
．
①当
时，
；
②当
时，P 有1 个元素；
③若P 有2 个元素，则
；
④若P 有4 个元素，则m 无整数解．
2．函数
，给出下列四个结论：
①
的值域是
；
②
，
且
，使得
；
③任意
，
且
，都有
；
④规定
，
，其中
，则
其中，所有正确结论的序号是
．
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题型二：转化法巧解填空题
【典例2-1】已知曲线C 是平面内到定点
与到定直线
的距离之和等于6 的点的轨迹，若点
P 在C 上，对给定的点
，用
表示
的最小值，则
的最小值
为
．
【典例2-2 】已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则
取值范围
是
．
【变式2-1】设点P 在单位圆的内接正八边形
的边
上，则
的取值
范围是
．
【变式2-2】已知
R ，则
的最小值是
．
1 ．在
中，
，
的角平分线交BC 于D ，则
．
2．设
、
为双曲线C：
左右焦点，点A 在双曲线C 上，若
，且
，
则
．
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题型三：数形结合巧解填空题
【典例3-1】机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示，该纸杯母线长为12cm，开口直径为
旅客使用纸
杯喝水时，当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时，椭圆的离心率等于
．
【典例3-2】学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如
图，该模型为长方体
挖去四棱锥
后所得
的几何体，其中O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中
点，
，
打印所用原料密度为
不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______
【变式3-1】在平面直角坐标系xOy 中，已知
，A、B 是圆C：
上的两个动点，
满足
，则
面积的最大值是
．
【变式3-2】设
，
是定义在R 上的两个周期函数，
的周期为4，
的周期为2，且
是
奇函数．当
时，
，
其中
若在区间
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上，关于x 的方程
有8 个不同的实数根，则k 的取值范围是
．
1 ．已知函数
当
时，
，则
的最大值
是
．
2．已知
，函数
若关于x 的方程
恰有2 个互异的实数解，则
a 的取值范围是
．
题型四：换元法巧解填空题
【典例4-1】函数
的最大值为
．
【典例4-2】设点
，
，
，若动点P 满足
，且
，则
的最大值为
．
【变式4-1】已知函数
有两个零点
，
，且
设n 为常数，当a 变化时，
有最小值e，则常数n 的值为
．
【变式4-2 】函数
是定义在R 上的奇函数，且关于x 的不等式
有解，则实数m 的取值范围为
．
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1．已知函数
在R 上具有单调性，且
，则
．
2．已知函数
，若
的图象上存在不同的两个点关于原点对称，则实数m 的取
值范围为
．
题型五：整体代换法巧解填空题
【典例5-1 】已知实数a ，b 满足
，且
，则
的最小值
为
．
【典例5-2】已知
，则
【变式5-1】已知P 为圆
上任意一点，
，则
的最小值
为
．
【变式5-2】已知
为等比数列
的前n 项和，
，
，则
的值
为
．
1．已知
，
，
，则
的最小值为
．
2．已知平面上任意一点
，直线l：
，则点P 到直线l 的距离为
；当
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点
在函数
图象上时，点P 到直线l 的距离为
，请参考该公式求出
的最小值为
．
题型六：坐标法巧解填空题
【典例6-1】根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面
积正好等于在两直角边作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如下图所示
的图形若
，则
．
【典例6-2】已知等边
的边长为
，P 为
所在平面内的动点，且
，则
的取值
范围是
．
【变式6-1】在等腰直角三角形ABC 中，
，点P 是边AB 上异于A，B 的一点，光线从点P 出
发，经BC，CA 发射后又回到原点
若光线QR 经过
的重心，则AP 长为
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【变式6-2】已知平面向量
，
，
，若
，且
，则
的
取值范围是
．
1．已知
，
为单位向量，且
，若向量
满足
，则
的最
小值为
．
2．在梯形ABCD 中，
，
，
，E，F 分别是BC，CD 的中点，
则
．
题型七：赋值法巧解填空题
【典例7-1】
的展开式中
的系数为
用数字作答
【典例7-2】若定义在区间
上的函数
满足：对于任意的
，
，都有
，且
时，有
，若
的最大值为M，最小值为N，则
的值为
．
【变式
7-1 】已知
，则
．
【变式7-2 】已知函数
，
的定义域为R ，
为
的导函数，且
，
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，若
为偶函数，则
．
1．已知
满足
，且
，则
．
2．已知函数
对任意实数x，y 满足
，
，当
时，
，
那么，当
时，实数a 的取值范围是
．
题型八：正难则反法巧解填空题
【典例8-1】设集合
…，
，
，2，3，…，
，则集合A 中满足条件“
…
”的元素个数为
．
【典例8-2】2022 北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求．
甲､乙､丙3 人为了能购买到冰墩墩，商定3 人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲､乙2 人中至少有1
人购买到冰墩墩的概率为
，丙购买到冰墩墩的概率为
，则甲，乙､丙3 人中至少有1 人购买到冰墩墩的
概率为
．
【变式8-1】将一颗质地均匀的骰子一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具先后抛
掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是
．
【变式8-2】欧拉函数
的函数值等于所有不超过n 且与n 互质的正整数的个数公约数只有1
的两个整数称为互质整数，例如：
，
记
，数列
的前n 项和为
，若
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恒成立，则实数
的取值范围为
．
1．某科技公司组织技术人员进行某新项目研发，技术人员将独立地进行项目中不同类型的实验甲、乙、
丙，已知实验甲、乙、丙成功的概率分别为
、
、
，对实验甲、乙、丙各进行一次，则至少有一次成
功的概率为
结果用最简分数表示
2．新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从A 医院某科室的6 名男医生含一名主任医师､
名女医生含一名主任医师中分别选派3 名男医生和2 名女医生，要求至少有一名主任医师参加，则不同
的选派方案共有
种
用数字作答
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