2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接六 一元函数的导数及其应用
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.求在曲线上一点处的切线方程
2024 全国甲卷；2023 全国甲卷；
2022 新高考全国 I 卷；2022 新高考全国 II 卷；
2021 全国甲卷
考点2.利用导数研究函数的单调性
2023 新课标 II 卷；2023 全国乙卷；
2022 新高考全国 I 卷；2022 全国甲卷；
2021 新高考全国 II 卷；2021 全国乙卷
考点3.利用导数研究函数的极值
2025 全国二卷；2024 新高考全国 I 卷；
2024 新课标 II 卷；2023 全国乙卷；
2023 新课标 I 卷；2023 新课标 II 卷；
2022 全国乙卷；2021 全国乙卷
考点4.利用导数研究函数的零点
2025 全国二卷；2024 新课标 II 卷；
2024 全国甲卷；2023 全国乙卷；
2022 全国甲卷；2022 全国乙卷；
2021 全国甲卷；2021 新高考全国 II 卷；
2021 全国甲卷
考点5.利用导数研究不等式恒成立问题
2025 全国一卷；2024 全国甲卷；
2024 新课标 I 卷；2023 全国甲卷
🎯【命题解读】（考前必看）
1.本章内容是高考的热点，一般考查“两小一大”或“一小一大”。解答题一般作为中档或压轴
题出现，选择、填空题也有可能作为压轴小题出现，难度较大.
2.高考重点考查利用导数判断函数的图象、导数的几何意义、求曲线的切线方程、利用导数判断
或证明函数的单调性、函数的极值和最值问题.
3.考查利用导数证明不等式、解决恒成立问题及有解问题、函数的零点问题.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】 (人教A 版选择性必修第二册P81·T3)已知函数f(x)=13-8x+√2x2,且f'(x0)=4,求x0.
1
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)设函数
，若
，则
.
【教材母题2】
（1）(人教A 版选择性必修第二册P81·T4)求函数
在点
处的切线方程；
（2）(人教A 版选择性必修第二册P81·T5)求曲线
在点
处的切线方程；
（3）(人教A 版选择性必修第二册P81·T7)设函数f(x)＝1－ex的图象与x 轴相交于点P，求该曲线在点P 处的
切线方程；
（4）(人教A 版选择性必修第二册P82·T11 设曲线
在点
处的切线与直线
垂直，求
的值.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国甲卷)曲线y= e
x
x +1在点(1, e
2)处的切线方程为( )
A.y=e
4 x B.y=e
2x C.y= e
4 x+e
4 D.y=e
2x+3e
4
（2）(2020·全国Ⅰ卷)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1,f(1))处的切线方程为( )
A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1
（3）(2021·全国甲卷)曲线y=2 x−1
x +2 在点(-1,-3)处的切线方程为 .
（4）（2025·全国一卷）（一题多解）若直线y＝2x＋5 是曲线y＝ex＋x＋a 的切线，则a＝ ．
【🚀新题预测】
（1）（2025·四川成都1 月检测）已知直线
是曲线
的一条切线，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
（2）（2026·山西晋中模拟）若函数
，则曲线
在点
处的切线方程为
_______________.
2
【教材母题3】 (人教A 版选择性必修第二册P104·T13)已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线
y=ax2+(2a+3)x+1 只有一个公共点,求a 的值.
【🚀衔接高考】
（1）(2020·全国Ⅲ卷)若直线l 与曲线y=√x和圆x2+y2=1
5都相切,则l 的方程为( )
A.y=2x+1 B.y=2x+1
2 C.y=1
2x+1 D.y=1
2x+1
2
（2）(2024·新高考Ⅰ卷)若曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线,则a= .
【🚀新题预测】
（1）（2026·河南南阳1 月模拟）已知函数
与
存在公切线，则实数
的最小值为（
）
A．
B．
C．
D．
（2）（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知曲线
在
处的切线与曲线
相切，则
___________．
【教材母题4】 (湘教版选择性必修第二册P26·T4)写出过点A(-5,3)并且和曲线xy=1 相切的两条直线的方程.
【🚀衔接高考】
（1）(2021·新高考Ⅰ卷) （一题多解）若过点(a,b)可以作曲线y=ex的两条切线,则( )
A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea
（2）(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a 的取值范围是 .
（3）(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为 , .
【教材母题5】 (人教B 版选择性必修第三册P91·T5)设l 是曲线y=1
x 的一条切线，证明l 与坐标轴所围成的
三角形的面积与切点无关.
【🚀衔接高考】
(2024·全国甲卷)设函数f(x)=e
x+2sin x
1+ x
2
,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(
)
3
A.1
6 B.1
3 C.1
2 D.2
3
【教材母题6】 (人教A 版选择性必修第二册P93·例6)求函数f(x)=1
3x3-4x+4 在区间[0,3]上的最大值与最小值.
【🚀衔接高考】
(2021·新高考Ⅰ卷)函数f(x)=|2x-1|-2ln x 的最小值为 .
【🚀新题预测】
（1）（2026·甘肃金昌模拟）函数
的最小值为 .
（2）（2026·江苏扬州模拟）若函数
的最小值为2，则实数a 的值是 .
【教材母题7】 (人教A 版选择性必修第二册P95·例7)给定函数f(x)=(x+1)ex.
（1）判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的极值；
（2）画出函数f(x)的大致图象；
（3）求出方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.
【🚀衔接高考】
（1）（2025·全国二卷）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
（2）（2025·全国二卷）若
是函数
的极值点，则
（3）（2025·上海高考）已知
．
①若
，求不等式
的解集；
4
②若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
【🚀新题预测】
（2026·甘肃金昌模拟）若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围为 .
【教材母题8】 (人教A 版选择性必修第二册P98·T8)将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为
x 的小正方形,做成一个无盖方盒.
（1）试把方盒的容积V 表示为x 的函数;
（2）x 多大时,方盒的容积V 最大?
【🚀衔接高考】
(2022·全国乙卷)已知球O 的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O 的球面上,则当该四棱锥的
体积最大时,其高为( )
A.1
3 B.1
2 C.√3
3
D.√2
2
【教材母题9】(人教A 版选择性必修第二册P104·T18)
（一题多解）已知函数f(x)=ex-ln(x+m),当m≤2 时,求证f(x)>0.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=a(ex+a)-x.
①讨论f(x)的单调性;
②证明:当a>0 时,f(x)>2ln a+3
2.
（2）(2021·全国乙卷)设函数f(x)=ln(a-x),已知x=0 是函数y=xf(x)的极值点.
①求a;
②设函数g(x)= x + f ( x)
xf ( x) ,证明:g(x)<1.
5
【教材母题10】(人教B 版选择性必修第三册P113·T5)
（一题多解）已知a>0 且f(x)=ax+a−2
x
+2-2a,若f(x)≥2ln x 在[1,+∞)上恒成立,求a 的取值范围.
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国乙卷)设a∈(0,1),若函数f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是 .
（2）(2024·新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)=ln
x
2−x +ax+b(x-1)3.若f(x)>-2 当且仅当1<x<2,求b 的取值范围.
（3）(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)=(1-ax)ln(1+x)-x.当x≥0 时,f(x)≥0,求a 的取值范围.
（4）(2022·新高考Ⅱ卷节选) （一题多解）已知函数f(x)=xeax-ex,当x>0 时,f(x)<-1,求a 的取值范围.
6
（5）(2023·全国甲卷节选) （一题多解）已知函数f(x)=ax- sin x
co s
3 x ,x∈(0, π
2).若f(x)<sin 2x,
求a 的取值范围.
【教材母题11】 (湘教版选择性必修第二册P51·T20)对数均值不等式:∀x1,x2>0,且1≠x2,√x1 x2<
x1−x2
ln x1−ln x2
<
x1+ x2
2
.
【🚀衔接高考】
（1）(2022·全国甲卷节选) （一题多解）已知函数f(x)=e
x
x -ln x+x-a,证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x2<1.
（2）(2022·新高考Ⅱ卷节选)设n∈N
∗，证明：
1
√1
2+1
+
1
√2
2+2
+⋯+
1
√n
2+n
>ln(n+1)．
【教材母题12】 (人教A 版·选择性必修第二册P104·T19)已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.
（1）讨论f(x)的单调性;
（2）若f(x)有两个零点,求a 的取值范围.
7
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国乙卷)函数f(x)=x3+ax+2 存在3 个零点,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,-2) B.(-∞,-3) C.(-4,-1) D.(-3,0)
（2）(2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=ex-a(x+2).
①当a=1 时,讨论f(x)的单调性;
②若f(x)有两个零点,求a 的取值范围.
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读】通过阅读《探究与发现——牛顿法——用导数方法求方程的近似解》(人教A 版选择性必修第二册
P82),得出如下结论:
（1）牛顿切线法的步骤
用“作切线”的方法求方程的近似解如图,设r 是函数y=f(x)的一个零点,
①任意选取x0作为r 的初始近似值,过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线l1,设l1与x 轴交点的横坐标为x1,并称x1为r
的1 次近似值.
②过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线l2,设l2与x 轴交点的横坐标为x2,称x2为r 的2 次近似值.
③过点(xn-1,f(xn-1))(n∈N*)作曲线y=f(x)的切线ln,记ln与x 轴交点的横坐标为xn,称xn为r 的n 次近似值,若f'(xn-1)≠0,
则xn=xn-1- f ( xn−1)
f '( xn−1).
④直到|xn-r|<ε(ε 为所需精确度)为止,xn可作为r 的近似值.
（2）不同的初始值对求方程的近似解有影响吗?如果有,影响在什么地方?
（3）你还知道其他求方程近似解的方法吗?你认为牛顿法的优点和缺点是什么?
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【🚀新题预测】
(2026·锦州模拟)记R 上的可导函数f(x)的导函数为f'(x),满足xn+1=xn- f ( xn)
f '( xn)(n∈N*)的数列{xn}称为函数f(x)的
“牛顿数列”.已知数列{xn}为函数f(x)=x2-x 的牛顿数列,且数列{an}满足a1=2,an=ln
xn
xn−1,xn>1.
（1）求a2;
（2）证明数列{an}是等比数列并求an;
（3）设数列{an}的前n 项和为Sn,若不等式(-1)n·tSn-14≤Sn
2对任意的n∈N*恒成立,求t 的取值范围.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第二册P88)研究数函数y=ln x 与幂函数y=x3在区间(0,+∞)上增长快慢的情况.
【探究2】(人教A 版选择性必修第二册P99·T13)三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d 的常见结论.
（1）任意三次函数均有对称中心(x0,f(x0)),其中x0满足f″(x0)=0,且x0=- b
3a.
（2）设f(x)对称中心的横坐标为x0,两个极值点分别为x1,x2,则f ( x1)−f ( x2)
x1−x2
=2
3f'(x0)=-a
2(x1-x2)2.
（3）f(x)的对称中心为点P(x0,f(x0)),极大值为M,极小值为m,且f(x)=M 的两根为x1,x2(x1<x2),f(x)=m 的两根为
x3,x4(x4<x3),则x1,x0,x3将区间[x4,x2]四等分.
9
【🚀衔接高考】
（1）(多选)(2024·新高考Ⅱ卷)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则( )
A.当a>1 时,f(x)有三个零点
B.当a<0 时,x=0 是f(x)的极大值点
C.存在a,b,使得x=b 为曲线y=f(x)的对称轴
D.存在a,使得点(1,f(1))为曲线y=f(x)的对称中心
（2）(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=x3-x+1,则( )
A.f(x)有两个极值点 B.f(x)有三个零点
C.点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心 D.直线y=2x 是曲线y=f(x)的切线
【🚀新题预测】
（2026·吉林长春模拟）已知函数
的极大值为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10
