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微专题23 痛点问题之概率统计经典解答题
【秒杀总结】
★我们用三条主线将高中数学概率、统计的有关概念串联起来：
一是统计的基本研究过程：收集数据→整理数据→分析数据→统计推断．
收集数据
整理数据
分析数据
统计推断
三种抽样方法：
简单随机抽样
（抽签法、随机
法），
系统抽样，
分层抽样．
五种统计图表：
频率分布表，
频率分布直方图，
茎叶图，散点图，
列联表．
两种数字特征：
集中趋势(众数、中
位数、平均数)，
离散程度（极差、
方差、标准差）．
三种统计推断：
用样本估计总体
（估计思想），
回归分析（拟合思想），
独立性检验（检验思
想）．
二是随机事件的基本研究过程：随机事件→事件概率→基本概型．
随机事件
事件概率
基本概型
八种常见事件：
随机事件，基本事件，
等可能事件，并事件，交事
件，
互斥事件，对立事件，相互独
立事件．
三种常见求法：
用频率估计概率，
利用基本概型的概率公
式，
转化为简单事件的概率.
七种概率模型：
古典概型，几何概型，
互斥事件概率，对立事件概
率，
条件概率，相互独立事件概
率，
独立重复试验概率．
三是随机变量的基本研究过程：随机变量→概率分布模型→分布列及数字特征．
随机变量
概率分布模型
分布列及数字特征
两类随机变量：
离散型随机变量，
连续型随机变量．
四种分布模型：
两点分布，超几何分布，
二项分布，正态分布．
三个问题：
概率分布列，数学期望，方
差．
【典型例题】
例1．（2024·高三·海南·阶段练习）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二
天仍选择餐厅甲就餐的概率为
，第二天选择餐厅乙就餐的概率为
；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选
择餐厅乙就餐的概率为
，第二天选择餐厅甲就餐的概率为
．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是
，
选择餐厅乙就餐的概率是
，记某同学第
天选择餐厅甲就餐的概率为
．
(1)求某学生第二天选择甲餐厅就餐的概率；
(2)记某班3 位同学第二天选择餐厅甲的人数为
，求随机变量
的分布列及期望
；
1
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(3)求出
的通项公式，并证明：当
时，
．
【解析】（1）设某同学第二天选择餐厅甲就餐为事件
，则
，
所以某同学第二天选择餐厅甲就餐的概率为
．
（2）由（1）可知，3 位同学第二天选择餐厅甲就餐的人数为
，
记某班3 位同学第二天选择餐厅甲的人数为
，
所有可能的取值为0，1，2，3，
则
（
，1，2，3）．
所以
的分布列为：
0
1
2
3
．
（3）依题意，
，即
，
则有
，当
时，可得
，
数列
是首项为
公比为
的等比数列，则
，
所以
，当
且为偶数时，
；
当
且为奇数时，
，因此，当
时，
恒成立．
例2．（2024·高三·重庆·阶段练习）某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销
路差.历史数据表明：如果本月销路好，那么下个月继续保持这种状态的概率为
；如果本月销路差，那
么下个月变好的概率为
.用
分别表示第
个月销路好和销路差的概率.
(1)若
，求
，
，并证明
是等比数列；
(2)证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.
【解析】（1）设事件
“第
个月销路好”，
“第
个月销路差”，
由题意，知
，
，
2
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即
，
当
时，
；
，
，
所以
，
因为
，
所以
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）如果第一个月销路好，则
，
，
，
由（1）知，
，
所以
，
所以
，
即
，
从而
，
，
，
，
所以
，
所以
；
如果第一个月销路差，则
，
，
，
由（1）知，
，
所以
，
3
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所以
，
即
，
从而
，
，
，
，
所以
，
所以
；
又函数
在定义域上单调递减，且当
时
，
所以当
时
，
所以无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率会趋近于常数
.
例3．（2024·河北沧州·模拟预测）某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双
程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120 人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双
程票的人数分别为36、60 和24．
(1)若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120 人中随机抽取10 人，再从这10 人中随机抽取4 人，求
随机抽取的4 人中恰有2 人购买单程上山票的概率．
(2)记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2 人和购买回程票的m（
且
）人组成一组，负责人从某组中任选2 人进行询问，若选出的2 人的购票类型相同，则该组
标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B 的概率为p．
（i）试用含m 的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5 组，用
表示恰有3 组被标为B 的概率，试求
的最大值及此时m 的值．
【解析】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为
，所以这10 人中，购买单
程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：
，
，
，
故随机抽取的4 人中恰有2 人购买单程上山票的概率
．
4
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（2）（i）从
人中任选2 人，有
种选法，其中购票类型相同的有
种选法，则询问的某组
被标为B 的概率
．
（ii）由题意，5 组中恰有3 组被标为B 的概率
，
所以
，
，
所以当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以当
时，
取得最大值，且最大值为
．
由
，
且
，得
．
当
时，5 组中恰有3 组被标为B 的概率最大，且
的最大值为
．
例4．（2024·高三·重庆沙坪坝·阶段练习）某微信群群主为了了解微信随机红包的金额拆分机制，统计了
本群最近一周内随机红包（假设每个红包的总金额均相等）的金额数据（单位：元），绘制了如下频率分
布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计红包金额的平均值与众数；
(2)群主预告今天晚上7 点将有3 个随机红包，每个红包的总金额均相等且每个人都能抢到红包.小明是该群
的一位成员，以频率作为概率，求小明至少两次抢到10 元以上金额的红包的概率.
(3)在春节期间，群主为了活跃气氛，在群内发起抢红包游戏规定：每轮“手气最佳”者发下一轮红包，每
个红包发出后，所有人都参与抢红包.第一个红包由群主发.根据以往抢红包经验，群主自己发红包时，抢
到“手气最佳”的概率为
；其他成员发红包时，群主抢到“手气最佳”的概率为
.设前
轮中群主发红
包的次数为
，第
轮由群主发红包的概率为
.求
及
的期望
.
【解析】（1）由频率分布直方图可得,红包金额的平均值为:
；
众数为最高矩形的中点坐标，即为2.5；
5
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（2）由题可知，每个红包抢到10 元以上金额的概率为
，且3 次红包相互独
立，
由独立重复试验概率公式，至少两次抢到10 元以上金额的概率为
；
（3）由题意，
，
，
由
，又
，
∴
是以
为首项，
为公比的等比数列，∴
.
∴
设
为第
轮发红包时群主抢到“手气最佳”的次数，
故
服从两点分布：
，
.
，
∴
.
由已知
，则
例5．（2024·海南·模拟预测）某学校有甲､乙､丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停
车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有
的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，
则下一天有
的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有
的概率是甲管理停车场.已知
今年第1 天管理停车场的是甲.
(1)求第4 天是甲管理停车场的概率；
(2)求第
天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲､乙､丙管理停车场的天数分别为
，判断
的大小关系.（给出结论即可，
不需要说明理由）
【解析】（1）由题意可知：前4 天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
6
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所以
.
（2）设事件
表示“第
天甲管理停车场”，事件
表示“第
天乙管理停车场”，事件
表示“第
天丙管理停车场”，
可知
，
记
，则
，
由题意可知：
，
当
时，
，
即
，整理得
，
可得
，且
，
所以
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，故
，
所以第
天是甲管理停车场的概率为
.
（3）由题意可知：当
时，
，
，
可得
，
两式相减得：
，
且
，可知
，即
，
综上所述：
对任意
恒成立，可知
；
令
的前n 项和为
，则
或
，
可得
，
可知
，
7
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又因为
，
则
；
综上所述：
.
例6．（2024·高三·浙江·阶段练习）记复数的一个构造:从数集
中随机取出2 个不同的数作为复数
的实部和虚部.重复
次这样的构造，可得到
个复数，将它们的乘积记为
.已知复数具有运算性质:
，其中
.
(1)当
时，记
的取值为
，求
的分布列;
(2)当
时，求满足
的概率;
(3)求
的概率
.
【解析】（1）由题意可知，可构成的复数为
共6 个复数，
模长为
的可能取值为
，
，
，
所以分布列为:
X
1
2
3
4
（2）共有
种，
满足
的情况有:
①3 个复数的模长均为1，共有
种;
②3 个复数中，2 个模长均为1，1 个模长为
或者2，共有
种;
所以
.
（3）当
或2 时，显然都满足，此时
;
当
时，满足
共有三种情况:
8
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①
个复数的模长均为1，则共有
;
②
个复数的模长为1，剩余1 个模长为
或者2，则共有
;
③
个复数的模长为1，剩余2 个模长为
或者2，则共有
.
故
，此时当
均成立.
所以
.
例7．（2024·山东潍坊·一模）若
，
是样本空间
上的两个离散型随机变量，则称
是
上的二维
离散型随机变量或二维随机向量．设
的一切可能取值为
，
，记
表示
在
中出现的概率，其中
．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3 的三个盒子中，记1 号盒子中的小球个数为
，2 号盒
子中的小球个数为
，则
是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量
的所有可能取值；
②若
是①中的值，求
（结果用
，
表示）；
(2)
称为二维离散型随机变量
关于
的边缘分布律或边际分布律，求证：
．
【解析】（1）①该二维离散型随机变量
的所有可能取值为：
.
②依题意，
，
，
显然
，则
，
所以
.
（2）由定义及全概率公式知，
.
例8．（2024·黑龙江吉林·二模）恰逢盛世，风调雨顺.某稻米产地今秋获得大丰收，为促进当地某品牌大
米销售，甲、乙两位驻村干部通过直播宣传销售所驻村生产的该品牌大米.通过在某时段100 名顾客在观看
直播后选择在甲、乙两位驻村干部的直播间（下简称甲直播间、乙直播间）购买的情况进行调查（假定每
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人只在一个直播间购买大米），得到以下数据：
网民类型
在直播间购买大米的情况
合计
在甲直播间购买
在乙直播间购买
本地区网民
50
5
55
外地区网民
30
15
45
合计
80
20
100
(1)依据小概率值
的独立性检验，能否认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关；
(2)用样本分布的频率分布估计总体分布的概率，若共有
名网民在甲、乙直播间购买大米，且网民选
择在甲、乙两个直播间购买大米互不影响，记其中在甲直播间购买大米的网民数为X，求使事件“
”的概率取最大值时k 的值.
附：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
2.70
6
3.841
6.635
7.879
【解析】（1）提出零假设
：网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区没有关联，
经计算得
，
依据小概率值
的独立性检验，我们推断
不成立，
即认为网民选择在甲、乙直播间购买大米与网民所处地区有关联.
（2）利用样本分布的频率估计总体分布的概率，
可知网民选择在甲直播间购买夏橙的概率为
，
则
，记
，
，
则
，
则问题等价于求当
取何值时
取最大值，
因为
，
，
又
，
10
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所以当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
所以
，
，
所以当
时，
取最大值，
即使事件“
”的概率取最大值的
的值为
.
【过关测试】
1．（2024·广东广州·一模）某校开展科普知识团队接力闯关活动，该活动共有两关，每个团队由
位成员组成，成员按预先安排的顺序依次上场，具体规则如下：若某成员第一关闯关成功，
则该成员继续闯第二关，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第一关；若某成员第二关闯关成功，
则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位成员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或
所有成员全部上场参加了闯关，该团队接力闯关活动结束.已知
团队每位成员闯过第一关和第二关的概率
分别为
和
，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.
(1)若
，用
表示
团队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求
的均值；
(2)记
团队第
位成员上场且闯过第二关的概率为
，集合
中元素
的最小值为
，规定团队人数
，求
.
【解析】（1）依题意，
的所有可能取值为
，
，
，
所以
的分布列为：
1
2
3
数学期望
.
（2）令
，若前
位玩家都没有通过第一关测试，
其概率为
，
若前
位玩家中第
位玩家才通过第一关测试，
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则前面
位玩家无人通过第一关测试，其概率为
，第位玩家通过第一关测试，
但没有通过第二关测试，其概率为
，
第
位玩家到第
位玩家都没有通过第二关测试，其概率为
，
所以前面
位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：
，
因此第
位成员闯过第二关的概率
，
由
，得
，解得
，则
，所以
.
2．（2024·广东·一模）某单位进行招聘面试，已知参加面试的
名学生全都来自A，B，C 三所学校，其
中来自A 校的学生人数为
.该单位要求所有面试人员面试前到场，并随机给每人安排一个面试号码
，按面试号码
由小到大依次进行面试，每人面试时长5 分钟，面试完成后自行离场.
(1)求面试号码为2 的学生来自A 校的概率.
(2)若
，
，且B，C 两所学校参加面试的学生人数比为
，求A 校参加面试的学生先于其他
两校学生完成面试（A 校所有参加面试的学生完成面试后，B，C 两校都还有学生未完成面试）的概率.
(3)记随机变量X 表示最后一名A 校学生完成面试所用的时长（从第1 名学生开始面试到最后一名A 校学生
完成面试所用的时间），
是
的数学期望，证明：
.
【解析】（1）记“面试号码为2 的学生来自A 校”为事件A，
将A 校n 名学生面试号码的安排情况作为样本空间，则样本点总数为
，
事件A 表示A 校有1 名学生的面试号码为2，
其他
名学生的面试号码在剩余
个面试号码中随机安排，
则事件A 包含的样本点数为
，
故
．
（2）设B 校参加面试的学生有x 名，由题意得
，解得
．
所以B 校参加面试的学生有10 名，C 校参加面试的学生有20 名．
记“最后面试的学生来自B 校”为事件B，“最后面试的学生来自C 校”为事件C，
12
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显然事件B，C 互斥．
记“A 校参加面试的学生先于其他两校学生完成面试”为事件D，则
．
当事件B 发生时，只需考虑A，C 两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自C 校，
则
．
当事件C 发生时，只需考虑A，B 两所学校所有参加面试的学生中最后面试的那位来自B 校，
则
．
所以
．
（3）由题知随机变量X 的取值为
，
，…，
，
则随机变量X 的分布列为
，
，
，…，N．
所以随机变量X 的期望
，
．
所以
．
3．（2024·辽宁·一模）十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，
用二进制记数只需数字0 和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1 在二进制中就表示为
，2
表示为
，3 表示为
，5 表示为
，发现若
可表示为二进制表达式
，则
，其中
，
或1（
）.
(1)记
，求证：
；
(2)记
为整数
的二进制表达式中的0 的个数，如
，
.
（ⅰ）求
；
（ⅱ）求
（用数字作答）.
【解析】（1）
13
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，
，
，
，
；
（2）（ⅰ）
，
，
（ⅱ）
，
，故从
到
中，
有
、
、
、
共9 个，
有
个，由
，即共有
个
有
个，由
，即共有
个
……，
有
个，
.
4．（2024·河南·一模）某档电视节目举行了关于“中国梦”的知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同
一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1 分，答错则对方得1 分，比赛进行到一方比另一方净
胜2 分结束，且多得2 分的一方最终胜出.已知甲、乙两名选手分在同一组，两人都参与每一次抢题，且每
次抢到题的概率都为
.甲、乙两人每道题答对的概率分别为
，
，并且每道题两人答对与否相互独立，
假设准备的竞赛题足够的多.
(1)求第二题答完比赛结束的概率；
(2)求知识竞赛结束时，抢答题目总数
的期望
.
【解析】（1）由条件，每次抢题
答题，甲得分的概率为
，
14
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每次抢答题乙得分的概率为
，
若第二题答完比赛结束，则前两次答题甲得
分或者乙得
分，
因此第二题答完比赛结束事件发生的概率
；
（2）根据题意，竞赛结束时抢答题目的总数
的所有可能取值为
，
记
，
由（1）知，当
时，
，且
，
则
的分布列可表示为：
2
4
6
…
2n
…
…
…
，
解得
.
5．（2024·高三·安徽·阶段练习）某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、
乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
性别
就餐区域
合计
南区
北区
男
33
10
43
女
38
7
45
合计
71
17
88
(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为
；如果前一天在
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乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为
，
；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅
的概率均为
．张同学第1 天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为
，
，
．
（ⅰ）求第2 天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第
天他去甲餐厅用餐的概率
．
附：
；
0.100
0.050
0.025
0.010
2.706
3.841
5.024
6.635
【解析】（1）
依据表中数据，
，
依据
的独立性检验，没有充分证据推断
不成立，因此可以认为
成立，即认为在不同区域就
餐与学生性别没有关联．
（2）设
“第天去甲餐厅用餐”，
“第天去乙餐厅用餐”，
“第天去丙餐厅用餐”，
则
两两独立，
．
根据题意得
，
．
（ⅰ）由
，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2 天去乙餐厅用餐的概率为
．
（ⅱ）记第
天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为
，
则
，由全概率公式，得
故
①
16
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同理
②
③
④
由①②，
，
由④，
，
代入②，得：
，即
，
故
是首项为
，公比为
的等比数列，
即
，所以
于是，当
时
综上所述：
6．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）寒假期间小明每天坚持在“跑步3000 米”和“跳绳2000 个”中选择一项
进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为
，跳绳的概率为
，在下雪天，他跑步的概率为
，跳绳的概率为
．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为
，若前一天下雪，则第二天仍下
雪的概率为
．已知寒假第一天不下雪，跑步3000 米大约消耗能量330 卡路里，跳绳2000 个大约消耗
能量220 卡路里．记寒假第
天不下雪的概率为
．
(1)求
，
，
的值，并证明
是等比数列；
(2)求小明寒假第
天通过运动锻炼消耗能量的期望．
【解析】（1）依题意，
，
依题意
整理得
，又
，
17
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所以
是首项为
，公比为
的等比数列．
（2）（2）由（1），寒假第n 天不下雪的概率
，
从而小明寒假第n 天跑步的概率为
，
则他第n 天通过运动锻炼消耗能量为
．
7．（2024·高三·江苏苏州·阶段练习）甲、乙、丙三人以正四棱锥和正三棱柱为研究对象，设棱长为
，若
甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，定义随机变量
的值为其三角形的面积；若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，定义随机变量
的值为这两条棱的夹角大小（弧度制）；若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，定义随机变量
的值为
这两条棱的夹角大小（弧度制）.
(1)比较三种随机变量的数学期望大小；（参考数据
）
(2)现单独研究棱长
，记
（
且
），其展开式中含
项的系数为
，
含
项的系数为
.
①若
，对
成立，求实数
，
，的值；
②对①中的实数
，
，用数字归纳法证明：对任意
且
，
都成立.
【解析】（1）如图所示：
由题意设
为正四棱锥
的高，
为
中点，
由于正四棱锥的底面边长和高都是2，
所以
，所以
，
由对称性以及三线合一可知
，
若甲从其中一个底面边长和高都为2 的正四棱锥的5 个顶点中随机选取3 个点构成三角形，
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则
的所有可能取值为
，
且
，
所以
，
若乙从正四棱锥（和甲研究的四棱锥一样）的8 条棱中任取2 条，
则
的所有可能取值为
，
，
代入参考数据
，得
，
若丙从正三棱柱的9 条棱中任取2 条，
则
的所有可能取值为
，
，
所以
.
（2）①因为
中
项的系数为
，
一般地，从
中的第
个因式中取一个
，其余因式中取常数即可得到一个
项，
而这一项的系数为
，
，
因为
中
项的系数为
，
一般地，从
中的第
个因式中各取一个
，其余因式中取常数即可得到
一个
项，
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而这一项的系数为
，从而
，
从而
，
，
由题意得
，解得
；
②用数学归纳法证明：
且
时，
.
当
时，
，故结论对
成立，
假设结论对
成立，即
，
则
，
所以结论对
也成立，
故
，对任意
成立.
8．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）这个冬季，哈尔滨文旅持续火爆，喜迎大批游客，冬天里哈尔滨雪花纷飞，
成为无数南方人向往的旅游胜地，这里的美景，美食，文化和人情都让人流连忘返，严寒冰雪与热情服务
碰撞出火花，吸引海内外游客纷至沓来．据统计，2024 年元旦假期，哈尔滨市累计接待游客304.79 万人次，
实现旅游总收入59.14 亿元，游客接待量与旅游总收入达到历史峰值．现对某一时间段冰雪大世界的部分
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游客做问卷调查，其中
的游客计划只游览冰雪大世界，另外
的游客计划既游览冰雪大世界又参观
群力音乐公园大雪人．每位游客若只游览冰雪大世界，则得到1 份文旅纪念品；若既游览冰雪大世界又参
观群力音乐公园大雪人，则获得2 份文旅纪念品．假设每位来冰雪大世界景区游览的游客与是否参观群力
音乐公园大雪人是相互独立的，用频率估计概率．
(1)从冰雪大世界的游客中随机抽取3 人，记这3 人获得文旅纪念品的总个数为X，求X 的分布列及数学期
望；
(2)记n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为
个的概率为
，求
的前n 项和
；
(3)从冰雪大世界的游客中随机抽取100 人，这些游客得到纪念品的总个数恰为n 个的概率为
，当
取最
大值时，求n 的值．
【解析】（1）据题意，每位游客只游览冰雪大世界的概率为
，得到1 份文旅纪念品；
既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的概率为
，获得2 份文旅纪念品，
则
的可能取值为3，4，5，6，
其中
，
，
，
，
所以
的分布列为
3
4
5
6
.
（2）因为n 个游客得到文旅纪念品的总个数恰为
个，则只有1 人既游览冰雪大世界又参观群力音乐公
园大雪人，
于是
，
则
，
于是
，
两式相减，得
，
21
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所以
.
（3）设只游览冰雪大世界的人数为x，则既游览冰雪大世界又参观群力音乐公园大雪人的人数为
，
因此游客得到纪念品的总个数
，此时
，
假定
取最大值，必有
，于是
，
即
，整理得
，解得
，而
，则
，
所以当
取最大值时，
.
9．（2024·山东聊城·一模）如图，一个正三角形被分成9 个全等的三角形区域，分别记作
，
，
，
，
，
，
，
，
. 一个机器人从区域
出发，每经过1 秒都从一个区域走到与之相邻的另一个区域
（有公共边的区域），且到不同相邻区域的概率相等.
(1)分别写出经过2 秒和3 秒机器人所有可能位于的区域；
(2)求经过2 秒机器人位于区域
的概率；
(3)求经过
秒机器人位于区域
的概率.
【解析】（1）经过2 秒机器人可能位于的区域为
、
，
，
经过3 秒机器人可能位于的区域为
，
，
，
，
，
；
（2）若经过2 秒机器人位于区域
，则经过1 秒时，机器人必定位于
，
有三个相邻区域，故由
的概率为
，
有两个相邻区域，故由
的概率为
，
则经过2 秒机器人位于区域
的概率为
；
（3）机器人的运动路径为
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，
设经过
秒机器人位于区域
的概率
，
则当
为奇数时，
，
当
为偶数时，由（2）知，
，由对称性可知，
经过
秒机器人位于区域
的概率与位于区域
的概率相等，亦为
，
故经过
秒机器人位于区域
的概率为
，
若第
秒机器人位于区域
，则第
秒机器人位于区域
的概率为
，
若第
秒机器人位于区域
，则第
秒机器人位于区域
的概率为
，
若第
秒机器人位于区域
，则第
秒机器人位于区域
的概率为
，
则有
，即
，
令
，即
，即有
，
即有
，则
，
故有
、
、
、
，
故
，
即
，
综上所述，当
为奇数时，经过
秒机器人位于区域
的概率为，
当
为偶数时，经过
秒机器人位于区域
的概率为
.
10．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）为了验证某款电池的安全性，小明在实验室中进行试验，假设小明
每次试验成功的概率为
，且每次试验相互独立.
(1)若进行5 次试验，且
，求试验成功次数
的分布列以及期望；
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(2)若恰好成功2 次后停止试验，
，记事件
：停止试验时试验次数不超过
次，事件
：停止
试验时试验次数为偶数，求
.（结果用含有
的式子表示）
【解析】（1）依题意，
，
则
，
，
故
的分布列为：
0
1
2
3
4
5
故
.
（2）事件“
”表示前
次试验只成功了1 次，且第
次试验成功，
故
，
当
为偶数时，
所以
，
令
，
则
，
两式相减得：
，
则
，即
.
当
为奇数时，同理可得
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，
综上，
11．（2024·重庆·模拟预测）设动点
每次沿数轴的正方向移动，且第次移动1 个单位的概率为
，移动
2 个单位的概率为
已知
表示动点
在数轴上第
次移动后表示的数，在第一次移动前动点
在数轴
的原点处．
(1)若
，
，求
的概率；
(2)若每次移动2 个单位的概率都是移动1 个单位的概率的2 倍．
①求
的概率；
②求动点
能移动到自然数
处的概率
【解析】（1）因为
，
，
，
所以
，
即
概率为
；
（2）由题意得
，∴
，
，
（i）因为
，即
在
次移动中恰有
次移动2 个单位，
所以
，
（ii）由题意得
，
，且
，
所以
，即
，
则数列
是等比数列，公比
，而
，
所以
=
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所以
．
12．（2024·广东江门·一模）将2024 表示成5 个正整数
，
，
，
，
之和，得到方程
①，称五元有序数组
为方程①的解，对于上述的五元有序数组
，当
时，若
，则称
是
密集的一组解.
(1)方程①是否存在一组解
，使得
等于同一常数?若存在，请求出该常数；
若不存在，请说明理由；
(2)方程①的解中共有多少组是
密集的?
(3)记
，问是否存在最小值?若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）若
等于同一常数，
根据等差数列的定义可得
构成等差数列，所以
，
解得
，与
矛盾，
所以不存在一组解
，使得
等于同一常数；
（2）因为
，
依题意
时，即当
时，
，
所以
，
，
设有
个
，则有
个
，由
，解得
，
所以
，
，
，
，
中有
个
，个
，
所以方程①的解共有组.
（3）因为平均数
，
又方差
，即
，
所以
，因为
为常数，所以当方差
取最小值时取最小值，
又当
时
，即
，方程无正整数解，故舍去；
当
时，即
是
密集时，取得最小值，
且
.
13．（2024·河南·模拟预测）甲､乙､丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球
的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留；当球在
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乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若
骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙．初始时，球在甲手中．
(1)设前三次投掷骰子后，球在甲手中的次数为
，求随机变量
的分布列和数学期望；
(2)投掷
次骰子后
，记球在乙手中的概率为
，求数列
的通项公式；
(3)设
，求证：
．
【解析】（1）由题意知，
．
所以随机变量
的分布列为
0
1
2
3
随机变量
的数学期望为
.
（2）由于投掷
次骰子后球不在乙手中的概率为
，此时无论球在甲手中还是球在丙手中，均有
的概率传给乙，故有
．
变形为
．
又
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列．
所以
．
所以数列
的通项公式
．
（3）由（2）可得
，
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则
，
所以
．
又因为
，
所以
．
综上，
．
14．（2024·高三·湖南·阶段练习）2023 年10 月11 日，中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255 个光子
的量子计算机原型机“九章三号”，求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍.
相较传统计算机的经典比特只能处于0 态或1 态，量子计算机的量子比特（qubit）可同时处于0 与1 的叠
加态，故每个量子比特处于0 态或1 态是基于概率进行计算的.现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状
态作为是子比特，且自旋状态只有上旋与下旋两种状态，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子间的自
旋状态相互独立.现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后，粒子自旋状态等可能的变为上
旋或下旋，再输入第二道逻辑门后，粒子的自旋状态有
的概率发生改变，记通过第二道逻辑门后的两个
粒子中上旋粒子的个数为
.
(1)若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2，且
，求两个粒子通过第一道逻辑门后
上旋粒子个数为2 的概率；
(2)若一条信息有
种可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为
，
，…，
，则称
（其中
）为这条信息的信息熵.试求两个粒子通过
第二道逻辑门后上旋粒子个数为
的信息熵
；
(3)将一个下旋粒子输入第二道逻辑门，当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入，否则重复输入第二道逻
辑门直至其变为上旋粒子，设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为
（
，2，3，⋯，
，⋯）.证明：当
无限增大时，
的数学期望趋近于一个常数.
参考公式：
时，
，
.
【解析】（1）设
“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为个”，
，1，2，
“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为
个”，
则
，
，
，
，
，
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则
，
故
.
（2）由题知
，1，2，
由（1）知
，
同理可得
，
则
，
故
的信息熵
.
（3）由题知
，其中
，2，3，…，
则
，
又
，
则
，①
，②
得：
，
由题知，当
无限增大时，
趋近于零，
趋近于零，则
趋近于
.
所以当
无限增大时，
的数学期望趋近于一个常数.
15．（2024·福建漳州·模拟预测）“绿色出行，低碳环保”的理念已经深入人心，逐渐成为新的时尚．甲、
乙、丙三人为响应“绿色出行，低碳环保”号召，他们计划每天选择“共享单车”或“地铁”两种出行方
式中的一种．他们之间的出行互不影响，其中，甲每天选择“共享单车”的概率为
，乙每天选择“共享
单车”的概率为
，丙在每月第一天选择“共享单车”的概率为
，从第二天起，若前一天选择“共享单
车”，后一天继续选择“共享单车”的概率为
，若前一天选择“地铁”，后一天继续选择“地铁”的概
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率为
，如此往复．
(1)若3 月1 日有两人选择“共享单车”出行，求丙选择“共享单车”的概率；
(2)记甲、乙、丙三人中3 月1 日选择“共享单车”出行的人数为
，求
的分布列与数学期望；
(3)求丙在3 月份第
天选择“共享单车”的概率
，并帮丙确定在3 月份中选择“共享单
车”的概率大于“地铁”的概率的天数．
【解析】（1）记甲、乙、丙三人3 月1 日选择“共享单车”出行分别为事件
，
记三人中恰有两人选择“共享单车”出行为事件
，
则
，
又
，
所以
，
即若3 月1 日有两人选择“共享单车”出行，丙选择“共享单车”的概率为
．
（2）由题意可知，
的所有可能取值为0，1，2，3，
则
，
，
，
，
所以
的分布列为
0
1
2
3
故
，
即
的数学期望为
．
（3）由题意得
，
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则
，
所以
，
所以
．
又因为
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，
经检验当
时，上式也成立，
所以
．
由题意知，3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率需满足
，即
，
则
，
即
，
当
为偶数时，
显然不成立，
当
为奇数时，不等式可变为
，
当
时，
成立；
当
时，
成立；
当
时，
，
则
时，
不成立．
又因为函数
单调递减，
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所以当
时，
不成立，
所以只有在第1 天和第3 天时，
，
所以丙在3 月份中选择“共享单车”的概率大于“地铁”的概率的天数只有2 天．
16．（2024·河北·一模）某商场周年庆进行大型促销活动，为吸引消费者，特别推出“玩游戏，送礼券”
的活动，活动期间在商场消费达到一定金额的人可以参加游戏，游戏规则如下：在一个盒子里放着六枚硬
币，其中有三枚正常的硬币，一面印着字，一面印着花；另外三枚硬币是特制的，有两枚双面都印着字，
一枚双面都印着花，规定印着字的面为正面，印着花的面为反面．游戏者蒙着眼睛随机从盒子中抽取一枚
硬币并连续投掷两次，由工作人员告知投掷的结果，若两次投掷向上的面都是正面，则进入最终挑战，否
则游戏结束，不获得任何礼券．最终挑战的方式是进行第三次投掷，有两个方案可供选择：方案一，继续
投掷之前抽取的那枚硬币，如果掷出向上的面为正面，则获得200 元礼券，方案二，不使用之前抽取的硬
币，从盒子里剩余的五枚硬币中再次随机抽取一枚投掷，如果掷出向上的面为正面，则获得300 元礼券，
不管选择方案一还是方案二，如果掷出向上的面为反面，则获得100 元礼券．
(1)求第一次投掷后，向上的面为正面的概率．
(2)若已知某顾客抽取一枚硬币后连续两次投掷，向上的面均为正面，求该硬币是正常硬币的概率．
(3)在已知某顾客进入了最终挑战环节的条件下，试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得的礼券的数学期
望，并以此判断应该选择哪种抽奖方案更合适．
【解析】（1）设第一次抽到正常硬币为事件
，抽到双面都印着字的硬币为事件
，抽到双面都印着花的
硬币为事件
，
第一次投掷出正面向上为事件
，第二次投掷出正面向上为事件
，选择方案一进行第三次投掷并正面
向上事件
，选择方案二进行第三次投掷并证明向上为事件
，
由全概率公式可得，
，
，
（2）连续两次都是正面的概率
，
，
所以
；
（3）（一）若选择方案一，设第三次投掷后最终获得的礼券为
元，第三次投掷出正面向上为事件，则
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，
，
，
；
（二）如选择方案二，设第三次投掷后最终获得礼券为
元，第三次投掷出正面向上为事件
，
①如果第一次抽到的是正常硬币，设第二次抽到正常硬币为事件
，第二次抽到两面都是字的硬币为事
件
，第二次抽到两面都是花的硬币为事件
，则
；
②如果第一次抽到的两面都是字的硬币，设第二次抽到正常硬币为事件
，第二次抽到两面都是字的硬
币为事件
，第二次抽到两面都是花的硬币为事件
，则
；
所以
，
，
，
，
,
综上（一）（二）可得，
，所以选择方案二的收益更高.
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