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实战演练 04 高中常见的恒（能）成立问题
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
②基本不等式中的恒（能）成立问题
③函数中的恒（能）成立问题
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、恒成立和有解问题思路一览
设函数 的值域为 或 ，或 或 中之一种，则
①若 恒成立（即 无解），则 ；
②若 恒成立（即 无解），则 ；
③若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
④若 有解（即存在 使得 成立），则 ；
⑤若 有解（即 无解），则 ；
⑥若 无解（即 有解），则 ．
【说明】（1）一般来说，优先考虑分离参数法，其次考虑含参转化法．
（2）取值范围都与最值或值域(上限、下限)有关，另外要注意①②③④中前后等号的取舍！（即端点值的
取舍）
二、分离参数的方法
①常规法分离参数：如 ；
②倒数法分离参数：如 ；
【当 的值有可能取到，而 的值一定不为0时，可用倒数法分离参数．】③讨论法分离参数：如:
④整体法分离参数：如 ；
⑤不完全分离参数法：如 ；
⑥作商法凸显参数，换元法凸显参数．
【注意】
（1）分离参数后，问题容易解决，就用分离参数法（大多数题可以使用此方法）． 但如果难以分离参数
或分离参数后，问题反而变得更复杂，则不分离参数，此时就用含参转化法．
（2）恒成立命题对自变量的范围有时有一部分或端点是必然成立的，应该考虑先去掉这一部分或端点，
再分离参数求解．【否则往往分离不了参数或以至于答案出问题．】
三、其他恒成立类型一
① 在 上是增函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
② 在 上是减函数，则 恒成立．(等号不能漏掉)．
③ 在 上是单调函数，则分上述两种情形讨论；(常用方法)
四、其他恒成立类型二
① ，使得方程 成立 ．
② ，使得方程 成 ．
五、其他恒成立类型三
① ， ；
② ， ；
③ ， ；
④ ， ．
①一元二次不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）对于任意实数x，不等式 恒成立，则实数a取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·青海西宁·阶段练习）若关于 的不等式 对任意 均成立，则实数
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知命题 ： ， 若 为假命题，则 的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（23-24高二下·辽宁沈阳·期末）若命题“ ， ”为假命题，则 的取值范围是
.
5．（2024高三·全国·专题练习）若存在 ，使不等式 成立，则a的取值范围为
.
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ，若 对一切实数x恒成立，
则实数a的取值范围为 ．
②基本不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（23-24高三上·江苏·阶段练习）若两个正实数 满足 且不等式 恒成立，则
实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·江西宜春·阶段练习）设 ，且 恒成立，则n的最大值为
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设实数x，y满足 ， ，不等式
恒成立，则实数k的最大值为（ ）A．12 B．24 C． D．
二、填空题
4．（23-24高三上·安徽·期中）若 ， ，则实数 的取值范围是 .
5．（2024·江西·一模）已知正数x，y满足 ，若不等式 恒成立，则实数a的取值范
围是 ．
③函数中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，且 在区间 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·河南·开学考试）已知正数 满足 ，若 恒成立，则实数 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·福建厦门·一模）已知 ， ， ，则下列结论错误的为（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 ，使得 成立，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·北京昌平·二模）已知函数 若对任意的 都有 恒成立，则实数
的取值范围是（ ）A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意 ， ”为假命题，则实数 的取值范围是 .
7．（23-24高三上·上海闵行·期中）已知函数 ， ，若对任意的 ，总存
在 使得 成立，则实数 的取值范围是 .
8．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知函数 在 上恒成立，则实
数a的取值范围为 ．
9．（23-24高三上·重庆·阶段练习）已知 ， ，若对 ， 使
成立，则实数 的取值范围是 .
④利用导数研究不等式中的恒（能）成立问题
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）若 ，使得不等式 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·湖北孝感·阶段练习）已知函数 ，若 在R上单调递增，
则实数a的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．e
3．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．若存在 ，使得
成立，则实数a的最大值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三下·全国·专题练习）设函数 ，若存在唯一的正整数 ，使得
，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
6．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式 有解，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（22-23高三上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若不等式 （其中 是自然对数的底数）对
恒成立，则实数 的取值范围为
8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的取
值范围 ．
9．（2024高三上·全国·专题练习）已知函数 ，若 在 上恒成立，则a的取值
范围是
10．（2024·广西·模拟预测）已知函数 ，若 的图象经过第一象限，则实数 的取值范围
是 ．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得 成立，
则实数 的取值范围 ．
12．（23-24高二下·四川南充·阶段练习）若对任意的正实数 ，当 时，
恒成立，则实数 的取值范围是 .
13．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围是 ．
