培优专题 02 空间向量与立体几何 6 大重难题型
题型01 空间线面平行、垂直关系的证明
抓关键 · 破难点
空间中线、面平行与垂直的判定于性质：
(1)直线与平面平行的判定：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平
l//a,a⊂α,l⊄α⇒l//α
行.
(2)直线与平面平行的性质：一条直线和一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直
a//α,a⊂β,β∩α=b⇒a//b
线与交线平行.
(3)平面与平面平行的判定：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
a//β,b//β,a∩b=P,a⊂α,b⊂α⇒α//β
(4)平面与平面平行的性质：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
α//β,α∩γ=a,β∩γ=b⇒a//b(5)直线和平面垂直的判定：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂
直.
l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,a∩b=O⇒l⊥α
a⊥α,b⊥α⇒a//b
(6)直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线平行.
(7)两个平面垂直的判定：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
(8)两个平面垂直的性质：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么
这条直线与另个平面垂直.
α⊥β,α∩β=a,l⊥a,l⊂β⇒l⊥α
充分利用直线的方向向量和平面的法向量(找而定之，设而求之)
证明空间中——线、面的平行、垂直，求夹角、求距离
l,m
⃗a,⃗b u⃗,⃗v,
设直线 的方向向量分别为 ，平面的法向量分别为 ，则
(1)
l//m⇔⃗a//⃗b⇔⃗a=λ⃗b,λ∈R
【 线 线 关 系 】 ;(2)
l⊥m⇔⃗a⊥⃗b⇔⃗a⋅⃗b=0
【 线 线 关 系 】
l//α⇔⃗a⊥u⃗⇔⃗a⋅u⃗=0 l⊥α⇔⃗a//u⃗⇔⃗a=λu⃗,λ∈R
(3) 【 线 面 关 系 】 ;(4) 【 线 面 关 系 】
α//β⇔u⃗//⃗v⇔u⃗=λ⃗v,λ∈R α⊥β⇔u⃗⊥⃗v⇔u⃗⋅⃗v=0
(5) 【面面关系】;(6) 【面面关系】
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 空间几何体的平行关系的证明
1.（2026·天津·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ，
.
(1)求证： 平面 ；(2)已知点 在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求线段 的值；
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）证法一：连接 与 交于 ,连 ,由相似比与已知比例得 ,从而证得
线面平行.
证法二：以 为原点建系,写出各点坐标,求出平面 的法向量,再验证 与法向量垂直,且 不
在面
内,从而证得线面平行.
（2）解法一：设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐
标,最终求得 长度.
解法二: 设向量 ,代入线面角正弦公式,化简方程并在区间内求得 ,算出 坐标,最终
求得 长度.
（3）解法一：由 得体积比例关系,用棱锥体积公式直接算出 .
解法二：先在 中求边长与正弦值,再用向量求点 到面的距离,代入体积公式得结果.
【详解】（1）证法一：连接 与 交于点 ，再连接 ，因为 ，
所以
因为 ，所以 ，
所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面
证法二：以 为原点， 所在的直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 .
则 .
设 是平面 的一个法向量，
，则 ，
令 ，则 ，平面 的一个法向量为 .
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面
（2）解法一：
设 ，得 ，
，设直线 与平面 所成角为 ，则
，
化简得 ，因为 ，得 ，
，所以线段 的值为 .
解法二：
设 ，得 ，
，
设直线 与平面 所成角为 ，则
，
化简得 ，因为 ，得 ， ，所以线段 的值为 .
（3）解法一：
因为 ，所以 ，
解法二：由（1）所建立的坐标系可得 .
则故由余弦定理可得
所以 ，
由（1）得 ,平面 的一个法向量为 .
点 到平面 的距离 .
2．（25-26高三上·天津蓟州·期末）已知直三棱柱 中， ， ， ，
分别为 ， 的中点， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明 垂直于平面 的法向量即可.（2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算.
（3）利用点到面距离的向量的公式计算.
【详解】（1）在直三棱柱 中， 平面 ，且 ，
以点 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， ，
所以
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，故 ，
又因为 平面 ，故 平面 .
（2） ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，不妨设 ，
因为 ，
设平面 的法向量为
则 ，不妨设 ，则
因此，平面 与平面 夹角的余弦值为 .
（3）点 到平面 的距离
因为 ， 为 的中点
所以 ，
所以三棱锥 的体积 .
🎯命题方向二 空间几何体的垂直关系的证明
3．（2026·天津河西·一模）已知正方体 的棱长为2，M，F分别为 ， 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)1【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线 的方向向量和平面 的法向量，证明两向量平行，由
此证明结论；
（2）求平面 的法向量，结合向量夹角公式求结论；
（3）利用向量方法求点 到平面 的距离，再锥体体积公式求结论.
【详解】（1）如图所示，以D为原点建立空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，则 ，取 ，可得 ，
所以 是平面 的一个法向量．
因为 ，则 ，所以 平面 ．
（2）因为 ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，可得 ，所以 是平面 的一个法向量，
由（1）知 是平面 的一个法向量．
设平面 与平面 夹角为 ，
则 ．
（3）因为 ，由（1）知 是平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离为 ，
因为 是直角三角形， ， ，
所以 ，
所以 ．
4．（2026·天津河北·一模）如图，直角梯形 中， ， ， ，四边
形 为矩形， 底面 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)点P在棱 上，求 与平面 所成角的正弦值的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)(3) ．
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据空间位置关系向量法证明即可；
（2）根据面面角向量法计算求解；
（3）设 ，由空间向量线性运算可得 ，根据线面角向量法计算即可
求解.
【详解】（1）设 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ，
又 ，所以 ．
如图，以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
， ， ， ， ．
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ，故 ，
因为 ，所以 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ．
（2） ， ，设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，故 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 ；
（3）设 ， ，
，
设 与平面 所成角为 ，
则 ，
因为 ， ，
所以 的取值范围是 ．
题型02 空间几何体中空间角问题
抓关键 · 破难点
【线线角】设异面直线 l,m 夹角为θ，则
|⃗a⋅ ⃗b| π
cosθ=|cos⟨⃗a,⃗b⟩|= ,θ∈(0, ]
|⃗a|| ⃗b| 2
【线面角】设直线l与平面α所成角为θ，则
|⃗a⋅u⃗| π
sinθ=| cos ⟨⃗a,u⃗⟩|= ,θ∈(0, ]
|⃗a||u⃗| 2
【面面角】设平面α与平面 β 所成角为θ，则
|u⃗⋅⃗v| π
cosθ=| cos ⟨u⃗,⃗v⟩|= ,θ∈(0, ]
|u⃗||⃗v| 2sinα
=tanα
说明：1.求角的大小，则该角为特殊角；2.三角函数值的转换： sin2x+cos2x=1 ，cosα
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 空间几何体的线面角
5．（2026·天津和平·一模）在直四棱柱 中，底面 是平行四边形，且 ，
， ， ， 分别为 ， 的中点．
(1)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积
【答案】(1)
(2)
(3)1
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角，面面角和点到平面的距离进而即得.
【详解】（1）由 ，直四棱柱 ，有 平面 ，
故以点 为原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．易知 ，
由 分别为 的中点，故 ．
易知 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则直线 与平面 所成角的正弦值为 ．
（2）设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，设平面 与平面 的夹角为 ，
则平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
（3）设点 到平面 的距离为 ．
由 ，有 ，故 ．
6．（25-26高三上·天津河东·期末）如图，四棱锥 中，底面 为梯形， ， ，
底面 ， ， 、 分别为 、 的中点．
(1)证明 平面 ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面向量法向量的性质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量点到平面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）在平面 内，过 作 交 于 ，
因为 ， 所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
以 为原点，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
已知 ， 、 分别为 、 的中点，
则 ，
所以有 ，
设平面 的一个法向量为 ，
，取 ，
因为 ，
所以 ，而 平面 ，
所以 平面 .
（2）由（1）得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
，取 ，
设 与平面 所成角为 ，
所以（3）由（2）可知平面 的法向量为 ， ，
所以点 到平面 的距离为 .
🎯命题方向二 空间几何体的面面角
7．（2025·天津·高考真题）正方体 的棱长为4， 分别为 中点， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明 ，再结合正方体的性质得出 平面 ，
利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可.
【详解】（1）法一、在正方形 中，
由条件易知 ，所以 ，
则 ，故 ，即 ，
在正方体中，易知 平面 ，且 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，∴ ，
∵ 平面 ，∴ 平面 ；
法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系，
则 ，
所以 ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ，令 ，则 ，所以 ，
易知 ，则 也是平面 的一个法向量，∴ 平面 ；
（2）同上法二建立的空间直角坐标系，
所以 ，
由（1）知 是平面 的一个法向量，
设平面 的一个法向量为 ，所以 ，
令 ，则 ，即 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ；
（3）由（1）知 平面 ， 平面 ，∴ ，易知 ，
又 ，则D到平面 的距离为 ，
由棱锥的体积公式知： .
8．（2026·天津南开·一模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
分别是棱 ， 的中点， .
(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)(3) .
【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据向量的坐标运算，结合垂直的坐标关系即可求证，
（2）（3）求解平面法向量，根据点面距的向量法以及夹角公式即可求解.
【详解】（1）以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
因为 ， ，
平面 ，
所以 平面 .
（2） ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 即 ，令 ，得 ，
所以 .
（3） ， .设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 .
设平面 与平面 夹角为 ，
则 .
题型03 空间几何体的距离、体积问题
抓关键 · 破难点
一、求立体几何中点到线的距离:
已知直线 的单位方向向量为 ， 是直线 上的定点， 是直线 外一点.设 ，则向量 在直线
上的投影向量 ，在 中，
由勾股定理得：
二、求立体几何中线到面的距离：
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点.过点 作平面 的垂线 ，交
平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量 的
长度.
三、立体几何中常见的求体积的方法：
（1）公式法；（2）割补法；（3）等体积法.
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 空间几何体中点到面的距离9．（2026·天津·一模）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ， ，
，M是 的中点，P是 的中点，点Q在线段 上，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正弦值；
(3)求点M到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
(3)
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，先根据面面平行判定定理证明平面 平面 ，再证
明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，求平面 和平面 的法向量，结合向量夹角公式求两平面的夹角的余
弦值，根据同角关系求结论；
（3）求 的坐标，利用向量方法求结论即可.
【详解】（1）（1）取 中点 ，连接 ，如下图所示：因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又因为 为 中点， 为 中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
又 平面 ，所以 平面 ；
（2）因 ，则以 为原点， 所在直线为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐
标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，
所以 ，取 ，可得 ，所以 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，
则 ，故 ，
所以 ，取 ，可得 ，
所以 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，又 ，
所以 ；
（3）因为 ， 为平面 的一个法向量，
所以点 到平面 的距离 ，
所以点 到平面 的距离为 .
10．（2026·天津东丽·一模）如图，在三棱锥 中， 平面ABC， 为等腰三角形
， ， ，M为AD的中点，P是 的中点，且 ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的正切值；(3)求点M到平面 的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据线面垂直的关系，建立空间直角坐标系，利用线面平行的判定定理和平面法向量的性
质进行运算证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式进行求解即可；
（3）利用空间向量点到面距离公式进行求解即可.
【详解】（1）在平面ABC中，以A为原点，AB所在直线为x轴，作y轴 ，因为 平面ABC，以
AD所在直线为z轴，建立空间直角坐标系 ，如图所示，
，
，
因为 平面ABC，
所以平面ABC的一个法向量为 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）因为y轴⊥平面BDM，
所以平面BDM的一个法向量为 ，
，
设平面BCD的一个法向量为 ，
，
取 ，则 ，所以 ，设平面BCD与平面BDM的夹角为 ，
，
，
所以平面BCD与平面BDM夹角的正切值为 ；
（3） ，
设点M到平面BCD的距离为d，
.
🎯命题方向二 空间几何体中的体积问题
11．（2026·天津红桥·一模）如图，直棱柱 中，底面 为等腰直角三角形，
， 是 中点， 是 中点．
(1)求证： 平面 ；(2)求二面角 的余弦值；
(3)求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系证明 平面 的法向量 ，即可证明；
（2）求出平面 的法向量，用坐标法求解即可；
（3）使用向量法求出 到平面 的距离，再利用体积公式求解即可.
【详解】（1）
由于在直棱柱 中，则 ⊥平面 ，
又由 ，所以 ， , 两两垂直，
故可以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设平面 的法向量为 ，因为 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 平面 ；
（2）设平面 的法向量为 ，
又 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
由（1）知平面 的法向量为 ，
设二面角 的大小为 ，由图象可知 ，
故 .
（3）由已知 平面 ，所以 为直角三角形，
因为 ， ，
所以 ，
又 ，平面 的法向量为 ，则 到平面 的距离 ，
故 .
12．（25-26高三上·天津西青·期中）如图，在三棱锥 中， 平面 ， ，
，点 ， 分别在棱 和棱 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
(3)求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立恰当的空间直角坐标系，利用向量证明线线垂直，根据线面垂直的判定定理证明
平面 ；
（2）根据点到平面距离的向量求法，求得点 到平面 的距离，进而求得求三棱锥 的体积；
（3）根据平面与平面夹角的向量求法求平面 与平面 夹角的余弦值.
【详解】（1）以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图所示，
则 ， ， ， ， .， ， ，
， ，
即 ， ， ， 平面 ．
（2）由（1）可知 为平面 的一个法向量，且 ，
设点 到平面 的距离为 ，
，即点 到平面 的距离为 ．
又 的面积为 ，所以三棱锥 的体积为 .
（3）由（1）可知 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 ，因为 ， ，
则 令 ，可得 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
即平面 与平面 的夹角的余弦值为 ．
