重难点11 立体几何的内切外接球
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重难冲刺练
模拟实战 挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感”
近三年：结合近三年高考数学命题趋势及立体几何核心考点分布，球的内切与外接问题始终
是高频重难点。考察聚焦 “空间几何转化为平面几何” 的核心思想，以多面体与球的切接
关系为载体，综合考查空间想象、逻辑推理和运算求解能力，题型分布：以选择题、填空题
为主（占比约 85%），偶尔作为解答题的第二问出现（如与体积最值、截面问题结合），属
于 “中高频中档题 + 压轴小题” 的定位。
预测2026 年：稳定方向：继续以 “三棱锥、长方体、正四面体” 为核心载体，考察外接球
半径计算、表面积 或者体积求解，保持 “基础公式 + 逻辑转化” 的考察模式。
命题的创新方向：
1. 与截面问题结合：如求球被平面截取的截面圆面积，需先求球心到平面的距离
2. 2.与函数、向量结合：如通过向量垂直关系确定多面体结构，再求切接球参数
3.不规则多面体切接：如带二面角的折叠体的外接球，，属于热门创新点。
。
考向01 内切球1：内切球思维核心
椎体的内切球，多采用体积分割法求解。可做如下对比理解
一、三角形内切圆
二、类比：三棱锥
1．（2006·江西·高考真题）如图，在四面体
中，截面
经过四面体的内切球（与四个面都相切的
球）球心
，且与
、
分别截于
、
.如果截面将四面体分为体积相等的两部分，设四棱锥
与三棱锥
的表面积分别为
，
，则必有（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不能确定
【答案】C
【分析】连接
、
、
、
，
，
，表示出
、
，即可得到
与
的关系.
【详解】解：连接
、
、
、
，
，
，
则
，
，
又
，
而以上等式右边的每个三（四）棱锥的高都是原四面体的内切球的半径，又面
公共，
故
，即
.
故选：C．
2．（2024·江苏宿迁·三模）若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个球是这个多面体的内切
球．在四棱锥
中，侧面
是边长为1 的等边三角形，底面
为矩形，且平面
平面
．若四棱锥
存在一个内切球，设球的体积为
，该四棱锥的体积为
，则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】过点
作出四棱锥
的内切球截面大圆，确定球半径表达式，再借助四棱锥体积求出球
半径计算作答.
【详解】如图，取
中点
，
中点
，连接
，
，
，
因
是正三角形，则
，又
是矩形，有
，
而平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
因此
平面
，
平面
，
又
，则
平面
，
平面
，则
，
，
，
平面
，则
平面
，又
平面
，
所以
，而
，则
，显然
，
由球的对称性和正四棱锥
的特征知，平面
截四棱锥
的内切球
得截面大圆，
此圆是
的内切圆，切
，
分别于
，
，有四边形
为正方形，
设
，又
，
，则球的半径
，
又四棱锥
的表面积为
，
由
得：
，
即
，
故
即
，解得
，
故
，
，
，
所以
.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键是过点
作出四棱锥
的内切球截面大圆，利用等体积法求
出内切球半径和
.
3．（2020·福建三明·模拟预测）已知某正三棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的余弦值为
，
球
为该三棱锥的内切球.球
与球
相切，且与该三棱锥的三个侧面也相切，则球
与球
的表面积之
比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先利用侧面与底面所成二面角的余弦值为
可得三个侧面的等腰三角形底边上的高，再根据等体
积法可求得球
的半径，进而根据立体几何中的相似，可得
所切的三棱锥的相似比，进而得到
的半径比以及表面积的比.
【详解】如图，正三棱锥
，设
在底面
上的投影为
，取
中点
，易得
，
，
即为侧面与底面所成二面角.
又
，故
，
.
设球
的半径为
，则
，即
，解得
.
根据题意可知，
为与正三棱锥
相似的正三棱锥的内切球，且该三棱锥的高
.故两正三棱锥的相似比为
，故其内切球的
的半径比也
为
，故球
与球
的表面积之比为
.
故选：D
【点睛】本题主要考查了三棱锥的内切球的问题，需要根据等体积法求得内切球的半径，同时也考查了立
体几何中的相似比问题，需要画图分析内切球与所切的三棱锥的关系，同时也考查了计算能力，属于难题.
4．（24-25 高三全国专题练习）棱长为1 的正四面体
内有一个内切球
为
中点，N 为
中
点，连接
交球O 于
两点，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别求出正四面体
的体积和表面积，由等体积法可得内切球半径，根据相似三角形计算出
球心
到
的距离，进而可得
.
【详解】如左图，设
的中心为
，则
平面
.
因为正四面体
的棱长为1，
所以
，
，
，
故正四面体
的体积
，
正四面体
的表面积
，
设正四面体
的内切球半径为，则由
得
.
因为
是
的中点，所以
，
.
考察正四面体
过
三点的截面图（如右图），
则
，
过点
向
作垂线
，垂足为
，则△
△
，
所以
，因此
，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：（1）根据等体积法求得内切球半径；（2）根据相似三角形计算出球心
到
的距离.
考向02 内切球2：柱体内切球
柱体，无论直棱柱还是圆柱，内切球首先是上下底面圆（都变形）的内切圆，一般情况下，柱体的高则
是球的直径。
5．（24-25 高三·湖北武汉·模拟练习）已知P 为棱长为1 的正方体
的内切球表面一动点，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】如图建立坐标系，可将
转化为
在
方向上的投影向量长度的
倍，结合图形可得
答案
【详解】如图以A 为原点，
分别为x，y，z 轴建系，
则
，
则
，又
，
则
.
表示
在
方向上的投影向量的长度.
如图当P 在G 或F 时，即当A，O，P 共线时，
取最值.
因
，内切球半径为
.则
,
则
，则
.
故选：B
6．（25-26 高三·湖南长沙·模拟练习）已知球O 为正方体
的内切球，平面
截球O 的
面积为
，则正方体
的棱长为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】D
【分析】平面
截球O 得到的面为
的内切圆，设出棱长后，由
平面
表示出内切圆
半径，即可解出棱长.
【详解】
设正方体的棱长为
，则
，内切球的半径为
，设内切球的球心
在平面
上的投影为
，由
为等边三角形
知
为等边三角形
的重心，则
，又
，所以球心
到平面
的
距离为
，
又
平面
，所以截面圆的半径为：
，截面圆的面积为
，
解得
.
故选：D.
7．（22-23 高三上·山东·月考）已知三棱柱
中，
，
，平面
平面
，
，若该三棱柱存在体积为
的内切球，则三棱锥
体积为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【分析】由已知条件可证得三棱锥为底面是直角三角形的直三棱柱，根据三棱柱内切球的体积可计算得三
棱柱的高，设底面直角三角形的边长，则可列关系式
，
即可找到直角三角形的两边
长，用体积转换的方法求得体积.
【详解】如图所示，
因为
，
，
，所以
平面
，又因为平面
平面
，平面
平面
，过点
作
，则
平面
，则
，又因为
，所以
平面
，
平面
，所以
.设
则
，又因为三棱锥内切球的体积为
，则
，则
，
，即
，则
，解得
，棱柱的高等于内切球直径
，所以
，故
三棱锥
的体积为
.
故选：D
8．（22-23 高二下·四川成都·期中）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，
圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的
发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的
体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，设出球半径，求出圆柱及内切球的体积即可计算作答.
【详解】设圆柱的内切球半径为
，则圆柱底面圆半径为
，高为
，
所以圆柱的体积与球的体积之比为
.
故选：D
考向03 内切球3：圆锥内切球
圆锥内切球，一般情况下，要从圆锥的轴截面进行分析求解，内切球大圆，是圆锥轴截面三角形的内切
圆。
9．（24-25 高三全国专题练习）已知圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为
，该圆锥的内切球也是棱长
为a 的正四面体的外接球，则此正四面体的棱长a 为（ ）
.
A．
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】先利用四面体内接于圆锥的内切球，由圆锥的轴截面进行分析，求出正四面体的外接球的半径
，再利用正四面体可以从正方体中截得，确定正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，列式求解
即可．
【详解】由题意可知，该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为
，球的半径为，圆锥的底面半径为
R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图所示，
由已知可得
， 所以△SAB 为等边三角形，故点P 是△SA B 的中心，
连接BP，则BP 平分∠SBA，所以∠PBO= 30°，故
，
解得
，故正四面体的外接球的半径
.
又正四面体可以从正方体中截得，如图所示，
从图中可以得到，当正四面体的棱长为
时，截得它的正方体的棱长为
，而正四面体的四个顶点都在
正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，
所以
，解得
,
故选：A
10．（21-22 高三上·全国·月考）某圆锥的侧面展开图是一个半径为
的半圆，正方体
内接
于这个圆锥的内切球，则该圆锥的体积与正方体
的体积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由侧面展开图的半径，求圆锥底面半径及内切球半径，利用圆锥的体积公式求体积，再由正方体
的外接球为圆锥的内切球，求正方体棱长，进而求体积，即可知它们的体积比.
【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为，则
，得
，
∴圆锥的轴截面是边长为
的等边三角形，其内切圆半径为
，
设正方体的棱长为
，则
，得
，
∴正方体的体积为
，又圆锥的高为
，则体积为
，
∴圆锥的体积与正方体
的体积的比值为
．
故选：B
11．（2025·安徽芜湖·二模）已知轴截面为等边三角形的圆锥与其内切球表面的交线为
（除圆锥底面圆
心外），
所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出圆锥的轴截面
，得到
内切圆均切于各边的中点，从而得到交线为
（除圆锥底面
圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，求出上部分圆锥与圆锥
的体积之比，即可得解.
【详解】如图，作出圆锥的轴截面
，设
的内切圆的圆心为
，
切
、
、
于
、
、
，
因为
为等边三角形，所以
、
、
分别为
、
、
的中点，
设
与
交于点
，
的边长为
，则
，
，
，
则圆锥与其内切球表面的交线为
（除圆锥底面圆心外）为圆锥的母线的中点所在的圆，
所在的平面将圆锥分成上下两部分，此时上部分圆锥的底面半径为
，高为
，
又圆锥
的底面半径为
，高为
，
所以上部分圆锥的体积与圆锥
的体积之比为
，
所以
所在的平面将圆锥分成上下两部分，则上下两部分几何体的体积之比为
.
故选：B
12．（23-24 高二下·广西南宁·月考）已知圆锥PO 的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC 两两垂直.且母线
长为6.则圆锥PO 的内切球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知可得△ABC 为圆锥底面圆的内接正三角形，由正弦定理可得
，可得圆锥轴截面三角
形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，利用面积法求解即可.
【详解】因为PA，PB，PC 两两互相垂直且长度均为6，
所以△ABC 为圆锥底面圆的内接正三角形，且边长
，
由正弦定理得底面圆的半径
，
所以圆锥的高
.
如图，圆锥轴截面三角形的内切圆半径即为圆锥内切球半径r，
轴截面三角形面积为
，所以内切球的半径
.
内切球的表面积为
.
故选：C.
考向04 内切球4：内切球难点
棱台与圆台是内切球的难点。
1. 圆台内切球求解，与圆锥一样，从圆台轴截面入手，轴截面是等腰梯形，则内切球大圆
圆面是等腰梯形的内切圆。
2. 正棱台内切球，与正棱台上下底面正多边形中心相切，还与棱台每个侧面相切。所以从
棱台对面斜高截面入手，寻找直角梯形与内切球大圆的半圆相切的关系。
13．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面
均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为
，则球O 与该正四棱台的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱
台体积，即可得解.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，
设圆O 与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点
，
，
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为
，
，
则
，
，
，
故在直角梯形
中，过点C 作
，垂足为E，所以
，
在
中，
，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为
，所以球的体积为
，
棱台体积为
，
故球与棱台的体积比为
.
故选：C.
14．（24-25 高三下·重庆北碚·月考）正六棱台的上、下底面的边长分别是2 和6，且正六棱台存在内切球
（与正六棱台的各个面都相切），则它的侧棱长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设所求为
，用
表示出正六棱台的体积、表面积，设内切球半径为，可用等体积法表示出，
另外一方面等于正六棱台的高，由此可构建方程求解
.
【详解】如图所示，设所求为
，
是正六棱台的底面的中心，
因为正六边形的每一个内角为
，
所以
，又因为
，
所以三角形
是等边三角形，所以
，同理
，
所以
，
所以正六棱台的体积为
，
由
，
表面积为
，
设内切球半径为，则由等体积法可得，
，
所以
，又
，所以
，即
，
所以
，即
，解得
.
故选：C.
15．（2025 高三·全国·专题练习）如图，已知球O 内切于圆台
（即球与该圆台的上、下底面以及侧面
均相切），且圆台的上、下底面半径
，
，则球O 与圆台
侧面的切痕所在平面分圆台上下两
部分的体积比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据相切可得母线
，进而得到圆台的高即为内切球直径，利用边的关系得到
，
再得到
，根据球的截面问题得到截面半径，利用台体体积公式分别得到两圆台的体积即可得到
比值.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，
设圆O 与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底分别切于点
，
，又圆台上、下底面的半径为
，
，
则
，
，
，故在直角梯形
中，过点C 作
，垂足
为E，所以
，在
中，因为
，所以
，则
，
，则
，因为球O 内切于圆台
，所以
，设QP 与
交于点
，则
，
，
．故圆台
体积为
，圆台
体积为
，
故切痕所在平面分圆台上、下两部分的体积比为
．
故选：B.
16．（24-25 高一下·山东济宁·期中）已知圆台甲、乙有相同的内切球（与圆台的上、下底面及侧面都相切
的球叫圆台的内切球），两圆台的高为，圆台的母线长分别为
、
，则圆台甲与乙的体积之比为
________.
【答案】
【分析】设甲圆台的上底面半径为
，下底面圆的半径为
，得到
，可得乙圆台的上底面半
径为
，下底面圆的半径为
，得到
，结合圆台的体积公式，即可求解.
【详解】设甲圆台的上底面半径为
，下底面圆的半径为
，可得
，
又由
，即
，联立方程组
，可得
，
所以甲圆台的体积以为
，设乙圆台的上底面半径为
，下底面圆的半径为
，可得
，又由
，即
，
联立方程组
，可得
，所以甲圆台的体积以为
，所以甲乙圆台的体积比为
.故答案为：
.
考向05 外接球1：长方体模型
1.正方体的棱长为a，球的半径为R，则：
①若球为正方体的外接球，则2R＝a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③球与正方体的各棱相切，则2R＝a.
长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则外接球直径＝长方体对角线，即：2R＝.
2.对棱相等模型是三棱锥的三组对棱长分别相等模型，用构造法(构造长方体)解决．外接球的直径等于
长方体的体对角线长，即
(长方体的长、宽、高分别为a、b、c)．秒杀公式：R2＝(三
棱锥的三组对棱长分别为x、y、z)．可求出球的半径从而解决问题．
1．（2024·高三福建·模拟预测）如图所示的长方体
，
． 动点
在该
长方体外接球上，且
，则点
的轨迹长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出长方体外接球的半径，在平面ABCD 上确定满足条件的一点
，根据题意可得
点的轨迹是
过弦
且垂直于平面ABCD 的平面与长方体外接球所截得的圆，作出图形，数形结合求出此圆的周长即
为轨迹长度.
【详解】由题意知长方体外接球的半径为
，
因为
是长方体外接球表面上一点，且
，如图，
点
是其中满足条件的一点，且
，
可知
点的轨迹是过弦
且垂直于平面
的平面与长方体外接球所截得的圆，
设该圆圆心为
，外接球球心为O，平面ABCD 所在圆圆心为
，
如图，只需求圆
的周长，设半径
，
∵
，
，
，∴
，
∵
，
∴
，又
,
∴
，在
中，
是中位线，则
，
而
，∴
，
∴
点的轨迹长度是
．
故选D．
【点睛】本题考查多面体的外接球问题，考查学生空间想象能力、逻辑推理能力，属于较难题.
2．（24-25 高三全国专题练习）已知三棱锥
中，
，且
、
、
两两垂直，
是三棱锥
外接球面上一动点，则
到平面
的距离的最大值是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
是棱长为1 的正方体
上具有公共顶点的三条棱,以
为原点,
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系,三棱锥
外接球就是正方体
的外接球，由正方体及球的几何性质可得点
与
重合时，点
到平面
的距离最大，
求出平面
的法向量，由点到直线的距离公式即可得结果.
【详解】
三棱锥
，满足
两两垂直，且
，
如图
是棱长为1 的正方体
上具有公共顶点的三条棱,
以
为原点,
分别为
轴，
轴，
轴，建立空间直角坐标系,
则
，
，
设平面
的法向量
，
则
，取
，得
，
三棱锥
外接球就是棱长为1 的正方体
的外接球，
是三棱锥
外接球上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点
点与
重合时，
点
到平面
的距离最大，
点
到平面
的距离的最大值为
.故选C.
【点睛】求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程
组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
3．（2024·江苏南通·二模）在棱长为2 的正方体
中，
，
，
分别为棱
，
，
的中点，平面
截正方体
外接球所得的截面面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据正方体的几何性质确定外接球半径
，设球心为
，求解
到截面
的距离
，从而可
得截面圆的面积.
【详解】取正方体的中心为
，连接
，
由于正方体的棱长为2，所以正方体的面对角线长为
，体对角线长为
，
正方体外接球球心为点
，半径
，
又易得
，且
，
所以三棱锥
为正四面体，如图所示，取底面正三角形
的中心为
，
即点
到平面
的距离为
，又正三角形
的外接圆半径为
，
由正弦定理可得
，即
，所以
，
即正方体
外接球的球心
到截面
的距离为
，
所以截面
被球
所截圆的半径
，
则截面圆的面积为
.
故选：A.
4．（2022·全国·模拟预测）已知三棱锥
中，
平面ABC，
，
，点
，
分别是线段AB，BC 的中点，直线AF，CE 相交于点
，则过点
的平面
与截三棱锥
的外
接球
所得截面面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】可用补形法求球的半径，当截面垂直OG 时，截面面积最小，截面过球心时面积最大可得.
【详解】解：因为
，故
，将三棱锥
补形成长方体，易知三棱锥
的外接球
的半径
；取AC 的中点
，连接BD 必过点
，因为
，故
，因为
，故
，则过点
的平面截球
所得截面圆的最小
半径
，故截面面积的最小值为
，最大值为
，
故选：B．
考向06 外接球2：线面、面面垂直模型
线面垂直型：
存在一条棱垂直一个底面（底面是任意多边形，实际是三角形或者四边形（少），它的外接圆半径是
r，满足正弦定理）
1.模板图形原理
图1
图2
2.
计算公式
面面垂直型基本图形
一般情况下，俩面是特殊三角形。垂面型，隐藏很深的线面垂直型，
5．（24-25 高三全国专题练习）如图，已知正方形
的边长为4，若将
沿
翻折到
的位
置，使得平面
平面
，
分别为
和
的中点，则直线
被四面体
的外接球
所截得的线段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先取
的中点
，连接
，
，根据题意得到
为四面体
外接球的球心，且半
径
，再计算
的长度得到
，从而得到
到
的距离为1，再计算直线
被四面体
的外接球所截得的线段长即可.
【详解】取
的中点
，连接
，
，如图所示：
因为
，
，
所以
为四面体
外接球的球心，且半径
.
因为
，且
为
中点，所以
.
平面
平面
，所以
平面
.
过
作
，过
作
，连接
，
如图所示：
在
中，
，
，所以
，
同理
，所以
.
在
中，
，
所以在
中，
.
又因为
，
所以
到
的距离
，
所以直线
被球
截得的线段长
.
故选：D
6．（2023·全国·模拟预测）已知三棱锥
的底面ABC 是等边三角形，平面SAC⊥平面ABC，
，M 为SB 上一点，且
．设三棱锥
外接球球心为O，则（ ）
A．直线OM⊥平面SAC，OA⊥SB
B．直线
平面SAC，OA⊥SB
C．直线OM⊥平面SAC，平面OAM⊥平面SBC D．直线
平面SAC，平面OAM⊥平面SBC
【答案】D
【分析】画出几何图形，根据题意先找出
和
的外心，通过两个外心与平面的位置关系确定出
球心位置，再根据线面垂直判断OA 与SB 的位置关系，继而可判断平面OAM 与平面SBC 的位置关系，最
后根据线线平行判断出直线OM 与平面SAC 的位置关系.
【详解】第1 步：判断OA 与SB 的位置关系,
如图，取AC 的中点E，BC 的中点F，
连接AF，BE，设AF 与BE 的交点为O，连接OM，
则O 为
外心，E 为
外心，
因为平面SAC⊥平面ABC，
所以O 为三棱锥S-ABC 外接球球心，
因为SE⊥AC，BE⊥AC，
，
所以AC⊥平面SBE，
又
平面SBE，所以AC⊥SB，
假设OA⊥SB，因为
，所以SB⊥平面ABC，
如图显然SB 不垂直于平面ABC，所以OA 不垂直于SB，故A、B 错误；
第2 步：判断平面OAM 与平面SBC 的位置关系,
因为AM⊥BC，AF⊥BC，
，
所以BC⊥平面AMF，
又
平面SBC，
所以平面OAM⊥平面SBC；
第3 步：判断直线OM 与平面SAC 的位置关系,
因为AC⊥平面SBE，所以AC⊥OM，
因为BC⊥平面AMF，所以BC⊥OM，
又
，所以OM⊥平面ABC，
又SE⊥平面ABC，所以
，
所以直线
平面SAC，故C 错误， D 正确.
故选：D.
【点睛】方法点睛：
解几何体外接球（表面积/体积）的一般方法和步骤为：
1、寻找一个或两个面的外接圆圆心
2、分别过两个面的外心作该面的垂线，两条垂线的交点即为外接圆圆心；
3、构造直角三角形求解球半径，进而求出外接球表面积或体积.
7．（2023·四川巴中·模拟预测）在三棱锥
中，
，平面
平面ABC，
，点Q 为三棱锥
外接球O 上一动点，且点Q 到平面PAC 的距离的最大值为
，
则球O 的体积为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
取AC 的中点M，证明BM⊥平面PAC，从而可得BM⊥平面PAC，可得BM⊥PA，再证PA⊥平面ABC；设BC
＝a，在△ABC 中，利用余弦定理求出cos∠ABC 及∠ABC 的大小.设
外接圆的圆心为
，半径为r，
球O 的半径为R，求出
长度；连接
，OA，求出
长度；在△PAO 中，利用勾股定理求出R．易
知
，从而得
∥平面PAC，从而得点O 到平面PAC 的距离等于点
到平面PAC 的距离.根据点
Q 到平面PAC 距离的最大值为
可得a 的值，从而求得R，再根据球的体积公式即可求解．
【详解】
取AC 的中点M，∵
，∴
，∵平面
平面ABC，平面
平面
，
∴
平面PAC，∵
平面PAC，∴
，∵
，
，
∴
平面ABC，设
，则
，
∴
，设
外接圆的圆心为
，半径为r，球O 的半径为R，
如图所示，显然B，M，
三点共线，且
平面PAC．
由
，
，得
，
，∴
；
连接
，OA ，则
，由
平面ABC ，且
外接圆的圆心为
，可得
．∵
平面ABC，∴
，
∥平面PAC，
∴点O 到平面PAC 的距离等于点
到平面PAC 的距离，∵点Q 到平面PAC 距离的最大值为
，
∴
，得
，∴
，∴球O 的体积为
．
故选：C．
【点睛】
关键点睛：空间里面的线面、面面位置关系.需要灵活运用面面垂直的性质定理、线面垂直的判断定理.解
题过程中找出三棱锥的外接球球心，构造直角三角形，结合平面几何及空间几何关系求出各种边（棱）长
是解题的关键.
8．（2023·贵州贵阳·模拟预测）如图，在三棱锥
中， 平面
平面
，
是边长为
的等边三角形，
，则该几何体外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
外心为
，
外心为
，DB 中点为E，过外心分别作平面
，平面
垂
线，则垂线交点O 为外接球球心.后利用正弦定理可得
，
外接圆半径
，又注意到四边形
为矩形，则外接球半径
.
【详解】设
外心为
，
外心为
，DB 中点为E.
因
，
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，则
平面
，又
平面
，
则
.过
，
分别作平面
，平面
垂线，则垂线交点O 为外接球球心，
则四边形
为矩形.
外接圆半径
.
又因
，
，则
.故
外接圆半径
.
又
. 又
平面
，
平面
，则
.
故外接球半径
，故外接球表面积为
.故选：A
【点睛】结论点睛：本题涉及底面与侧面垂直的三棱锥的外接球.设底面与侧面外接圆半径为
，底面
与侧面公共棱长度为，则外接球半径
.
考向07 外接球3：两线交心法模型
表面有等边三角形或者直角三角形：双线交点定心法（特殊三角形圆心
垂线交点确定球心法）
1、包含了面面垂直（俩面必然是特殊三角形）
2、等边或者直角：（1）等边三角形中心（外心）做面垂线，必过球心；
9．（23-24 河南南阳·期末）如图，在直角梯形
中，已知
，
，
，
，现将
沿
折起到
的位置，使二面角
的大小为45°，则此时三棱锥
的外接球表面积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别确定
和
的外心，再过外心作所在平面的垂线，两线的交点就是三棱锥外接球
的球心，确定球心位置，即可求外接球半径，进而求解.
【详解】如图：
取
中点
，
中点
，连接
，
，由题意可知：
，
，所以
为二面角
的平面角，
.
由题意可得
为等腰直角三角形，所以
为
的外心，
过
作直线
平面
，则三棱锥
外接球的球心
必在直线上.
因为
平面
，
平面
，所以
，所以在平面
中.
又
为
的外心，连接
，则
平面
.
所以
.
由于
，
，则
，
为等腰直角三角形，故
，
在
中，
，
，
，所以
.
所以三棱锥
外接球的半径：
，
所以三棱锥
外接球的表面积为：
.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题确定外接球球心位置的方法是：作三棱锥两个平面的外心，过外心作所在平面的
垂线，两垂线的交点就是三棱锥的外接球的球心.
10．（22-23 高三上·山西太原·月考）已知菱形
的各边长为
．如图所示，将
沿
折起，使得点
到达点的位置，连接
，得到三棱锥
，此时
．
是线段
的中点，点
在三棱锥
的外接球上运动，且始终保持
，则点
的轨迹的周长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】找到三棱锥
外接球的球心，设点
轨迹所在平面为
，易知
到平面
的距离，故平面
截外接球所得截面圆的半径能求，截面圆的周长就能求.
【详解】取
中点
，则
，
∴
平面
，
，又
，∴
，作
，设点
轨迹
所在平面为
，则平面
经过点
且
，设三棱锥
外接球的球心为
的中心分
别为
，易知
平面
平面
，且
四点共面，由题可得
，
，解Rt
，得
，又
，则三棱锥
外接球半径
，易知
到平面
的距离
，
故平面
截外接球所得截面圆的半径为
，
∴截面圆的周长为
，即点
轨迹的周长为
．
故选：C
11．（2023·四川·三模）如图，在梯形ABCD 中，
，
，
，将△ACD 沿
AC 边折起，使得点D 翻折到点P，若三棱锥P-ABC 的外接球表面积为
，则
（ ）
A．8
B．4
C．
D．2
【答案】C
【分析】先找出两个三角形外接圆的圆心及外接球的球心，通过证明
，
可得四边形
为平行四边形，进而证得BC⊥面APC，通过勾股定理可求得PB 的值.
【详解】如图所示，
由题意知，
，所以
，
，
所以AB 的中点即为△ABC 外接圆的圆心，记为
，又因为
，
所以
，
，所以在
中，取AC 的中点M，连接PM，则△APC 的外心必在PM 的
延长线上，记为
，所以在
中，因为
，
，所以
为等边三角形，
所以
，（或由正弦定理得：
）所以
，
在
中，
，
，
，
设外接球半径为R，则
，解得：
，设O 为三棱锥P-ABC 的外接球球心，则
面ABC，
面APC．所以在
中，
，又因为在
，
，
所以
，
，所以四边形
为平行四边形，
所以
，又因为
，所以
，又因为
面APC，
所以BC⊥面APC，所以
，所以
，即：
.
故选：C.
12．（2020·四川泸州·二模）正
的边长为2，将它沿
边上的高
翻折，使点
与点
间的距离为
，此时四面体
的外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图所示，设
的中点为
，
的外接圆的圆心为
，四面体
的外接球的球心为
，连接
，利用正弦定理可得
，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形
为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设
的中点为
，
外接圆的圆心为
，四面体
的外接球的球心为
，连接
，则
平面
，
.
因为
，故
，
因为
，故
.
由正弦定理可得
，故
，又因为
，故
.
因为
，故
平面
，所以
，
因为
平面
，
平面
，故
，故
，
所以四边形
为平行四边形，所以
，
所以
，故外接球的半径为
，外接球的表面积为
.
故选：D.
【点睛】本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问
题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的
直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
考向08 外接球4：二面角模型
二面角型，多采用 两个外心垂线交线定球心法
图6
H1
E
A
C
O
B
D
A'
H2
(1) 选定一个面，定外接圆的圆心O1
(2) 选定另一个面，定外接圆的圆心O2；
(3) 分别过O1作该底面的垂线，过O2作该面的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O.
13．（21-22 高三·黑龙江哈尔滨·月考）如图，在三棱锥
，
是以AC 为斜边的等腰直角三角
形，且
，
，二面角
的大小为
，则三棱锥
的外接球表面积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题作出图形，易得
外接圆圆心在
中点，结合正弦定理可求
外接圆半径，结合
图形知，
，再结合二面角大小求出
，进而得解.
【详解】根据题意，作出图形，如图所示，因为
是以AC 为斜边的等腰直角三角形，所以
的外
心在
中点，设为
，设
的外心为
，
中点为
，
，因为
，所以
必
在
连线上，则
，即
，因为两平面交线为
，
为平面
所在圆面中心，所
以
，
，
又因为二面角
的大小为
，
，所以
，所以
，锥体
外接球半径
，则三棱锥
的
外接球表面积为
，
故选：B
14．（2023·浙江绍兴·二模）如图，
为直角梯形，
.连
，将
沿
翻折成三棱锥
，当三棱锥
外接球表面积的最小值时，二面角
的余弦值为（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】B
【分析】由题可得
为等边三角形，设
的中心为
，
的中点为
，三棱锥
外接球
的球心为
，根据球的性质可得
与
重合时适合题意，进而即得.
【详解】因为
为直角梯形，
，
所以
，
为等边三角形，
为直角三角形，
设
的中心为
，
的中点为
，三棱锥
外接球的球心为
，
则
平面
，
平面
，
因为
，所以三棱锥
外接球表面积的最小, 即外接球的半径最小时，
即
与
重
合，
此时
平面
即
平面
，
平面
，
故平面
平面
，即二面角
的平面角为
，余弦值为0.
故选：B.
【点睛】方法定睛：多面体与球切、接问题的求解方法
(1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把
空间问题转化为平面问题求解．
(2)若球面上四点P、A、B、C 构成的三条线段PA、PB、PC 两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把
有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．
(3)正方体的内切球的直径为正方体的棱长．
(4)球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长．
(5)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位
置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
15．（25-26 高三全国专题练习）在菱形
中，
，将
沿
折起到
的位
置，若二面角
的大小为
，三棱锥
的外接球球心为
，
的中点为
，则
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【详解】因为在菱形
中，
的中点为
,所以
,则
,所以
为二
面角
的平面角,
,由于
,所以
为等边三角形,若
外接圆的圆心
为
,则
平面
,在等边
中,
,可以证明
,所以
,又
,所以
,在
中,
,选B.
点睛: 本题主要考查了四棱锥的外接球问题, 属于中档题. 本题思路: 由二面角的定义求出
,确
定
外接圆的圆心位置,由球的截面圆的性质得到
平面
,利用
,求出
的长度.
16．（24-25 高三全国专题练习）在边长为
的菱形ABCD 中，
，沿对角边
折成二面角
为
的四面体
，则四面体
外接球表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】正确作出图形，利用勾股定理建立方程，求出四面体的外接球的半径，即可求出四面体的外接球
的表面积．
【详解】解：如图所示，
，
，
，
，
设
，则
，
，
由勾股定理可得
，
，
四面体的外接球的表面积为
，
故选：
．
【点睛】本题考查四面体的外接球的表面积，考查学生的计算能力，正确求出四面体的外接球的半径是关
键．
考向09 组合体1：棱切球
棱切球是指与多面体的所有棱都相切的球，其核心解题逻辑围绕存在条件、球心位置、半
径计算展开，且不同规则多面体（正方体、正四面体、正棱锥等）的棱切球具有专属结
论，同时可通过 “补形法”“几何转化法” 将不规则多面体的棱切球问题转化为规则模
型求解。
球心位置：棱切球球心必在多面体的几何中心（重心 / 中心对称点），且球心到多面体所
有棱的距离相等，该距离即为棱切球半径R。
存在前提：多面体需满足中心对称（如正方体、正四面体、正六棱柱等），或各棱到某一
公共点的距离相等，非中心对称多面体一般无棱切球。
1．（25-26 高三上·山东·期末）已知正四面体
的棱长为a，其棱切球与PA、PC 分别相切于M、
N．则异面直线MN 和PB 之间的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将正四面体放置于正方体，根据正方体的性质求得异面直线MN 和PB 之间的距离.
【详解】将正四面体
放置于正方体
，如图所示，
正四面体的棱长为
，则正方体的棱长为
，
正四面体的棱切球，也即是正方体的内切球.
设
分别是
的中点，
则平面
平面
，
平面
，
平面
，
设
分别是
的中点，连接
交
于
，
连接
，交
于，连接
，
根据正方体的性质可知
，
所以异面直线MN 和PB 之间的距离为
.
故选：B
2．（2024·云南·模拟预测）如图，球面被平面截得的一部分叫做球冠，截得的圆面是底，圆的半径记为
，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高，记为
，则球冠的曲面面积
.球
是棱长为1
的正方体
的棱切球，则球
在正方体
外面部分曲面的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设正方体
的棱切球半径为，利用几何关系可求出球冠的高
，再求出
，代入
球冠的曲面面积
，即可得出答案.
【详解】如图，正方体与正方体的棱切球形成六个球冠，
正方体
的棱切球半径为，则
，
所以
，又球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半
，
则
，又
，所以
，
所以所求曲面的面积为：
，
故选：D.
3．（2023·广东肇庆·二模）与正三棱锥6 条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球.若正三棱锥的底面边长为
，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意构造直角三角形，列出关于高及
得方程组，即可求解出正三棱锥的棱切球半径.
【详解】如图三棱柱
为正三棱锥，且底面边长
，侧棱
设正三棱锥的棱切球球心为
，半径为
，则顶点在底面的投影为
也为
的中心，取
的中
点，连接
，过
点作
垂足为
，则
，设
，
在
中
，
因为
为
的中心，则
，
，
在
中
即
；
在
中，
，即
，
在
中，
，则
；
在
中，
，则
，
在
中，
，则
，
又因为
，则
，化简得
，
由
得
解得
.
故选：C.
4．（23-24·浙江温州·期末）与多面体的每条棱都相切的球称为该多面体的棱切球．已知四面体ABCD 满足
，
，且四面体ABCD 有棱切球，则AC 的长为________．
【答案】4
【分析】设球心，和相应的切点，根据题意结合切线长性质可知相应的长度关系，结合题中棱长关系分析
运算即可.
【详解】设棱切球的球心为
，与棱
分别切于点
，
可知
，
由题意可得：
，解得
，
所以
.
故答案为：4.
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是切线长相等，结合棱长列式求解即可.
考向10 组合体2：不规则几何体组合
5．（2025 高三·全国·专题练习）如图，曲面直三棱柱中，
，
，且直线AB，AC 分别
与圆弧BC 相切于点B，C，若该曲面直三棱柱存在内切球，则该曲面直三棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC 切于点O，半径为r，弧BC 所在圆的圆心为
，曲面直三
棱柱的高为h，根据已知得出内切球的半径，求出棱柱的高，再利用
，进而利用体积公式求解即可.
【详解】如图，设该曲面直三棱柱内切球与底面ABC 切于点O，半径为r，
弧BC 所在圆的圆心为
，曲面直三棱柱的高为h，
因为
，
，则
，
，
因为
，所以
，
设内切球与圆弧BC 所在曲面相切于点N，
则
，则
，
，
，
所以
，
所以
．
故选：C
6．（2025 高三·全国·专题练习）图是棱长为2 的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球
是该正
八面体的内切球，则球
的表面积为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】如图，根据正八面体的结构特征可得
平面
于球心
，进而求出OE、SE、SO，由三角
形
的面积求出OF，利用球的表面积公式计算即可.
【详解】
如图所示，设已知的正八面体为
，
可知
平面
于球心
，且点
为正方形
的中心，
设球
与正四棱锥
的侧面
相切于点
，连接
并延长交
于点
，
可知
为
的中点，连接
，则
，
，
由
，得
，
即正八面体内切球的半径为
，
所以内切球的表面积为
，
故选A.
7．（24-25 高一下·重庆北碚·期中）如图为一个正方体
与一个半球
构成的组合体，半球
的底面圆与正方体的上底面
的四边相切，球心
与正方形
的中心重合，将此组合体重
新置于一个球
中（球
未画出），使正方体的下底面
的顶点均落在球
的表面上，半球
与球
内切，设切点为P，若球
的体积为
，则四棱锥
的内切球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用球的体积公式求出球
半径，再结合几何体的结构特征求出正方体棱长，利
用等积法求出内切球半径即可得解.
【详解】令球
的半径为
，由球
的体积为
，得
，解得
，
记
对角线交点为
，由对称性得
位于一条直线上，设正方体棱长为
，
在
中，
，
，
在
中，
，则
，解得
，
在
中，
，解得
，
四棱锥
是一个底面边长为6，高为9，侧棱长为
的正四棱锥，斜高
，
四棱锥
的表面积
，
设四棱锥
的内切球半径为，则
，
即
，解得
，则
，
所以四棱锥
的内切球的表面积为
.
故选：B
8．（22-23 高一下·福建福州·期末）九章算术中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何
体为“牟合方盖”（如图）．现提供一种计算“牟合方盖”体积的方法．显然，正方体的内切球同时也是
“牟合方盖”的内切球．因此，用任意平行于水平面的平面去截“牟合方盖”，截面均为正方形，该平面
截内切球得到的是上述正方形截面的内切圆．结合祖暅原理，两个同高的立方体，如在等高处的截面积相
等，则体积相等．若正方体的棱长为6，则“牟合方盖”的体积为（ ）
A．144
B．
C．72
D．
【答案】A
【分析】先求得正方体的内切球的体积
，再由已知得出牟合方盖的体积
，可求得答案.
【详解】正方体的棱长
，则其内切球的半径
，内切球的体积
．
由于截面正方形与其内切圆的面积之比为
，
设牟合方盖的体积为
，则
，
从而牟合方盖的体积
．
故选：A
考向11 组合体3：“堆叠”球
堆叠球是立体几何内接外切球的高频难点，核心是多球依次相切且均与同一几何体的面相切（如正四面
体 、正四棱锥内的内切球 + 多层相切小球、正方体内相外切且均内切于正方体的双球等），
解题关键是将空间问题平面化（轴截面 、 截面转化）+ 利用相似三角形 或 几何比例求半径 + 结合
球的表面积 或者体积公式计算，以下结合真题总结通用规律和典型题型解法。
9．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双
双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某
重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体
的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相
切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体
棱长为
，则模型中九个球的表面
积和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的
半径，得到答案.
【详解】如图，取
的中点
，连接
，
，则
，
，
过点
作
⊥底面
，垂足在
上，且
，
所以
，故
，
点
为最大球的球心，连接
并延长，交
于点
，则
⊥
，
设最大球的半径为
，则
，
因为
∽
，所以
，即
，解得
，
即
，则
，故
设最小球的球心为
，中间球的球心为
，则两球均与直线
相切，设切点分别为
，
连接
，则
分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为
，
则
，则
，
又
，所以
，解得
，
又
，故
，解得
，
所以
，
模型中九个球的表面积和为
.
故选：B
【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球
心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解
题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的
半径
10．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知正四棱锥P-ABCD 中，各棱长均相等，球
是该四棱锥的内切球，
球
与球
相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切；球
与球
相切，且与该四棱锥的四个侧面也相
切，球
的半径大于球
的半径，则球
与球
的表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相
切问题求解作答.
【详解】
在正四棱锥
中，令各棱长为2，O 为正方形ABCD 的中心，M，Q 分别为边AB，CD 的中点，
过点P，M，Q 的平面截正四棱锥
得等腰
，截球O1，球O2，球O3，得对应球的截面大
圆，如图：
显然
，
，
令N 为圆
与PM 相切的切点，则
，设球
的半径为
，即
，
因为
，则
，显然，
，
设球
与球
相切于点T，则
，
设球
的半径为
，同理可得
，即
，
设球
与球
相切于点S，则
，
设球
的半径为
，同理可得
，即
，
，
所以
，
故选：B
11．（24-25 高一下·福建福州·期末）已知正四棱锥
中，各棱长均相等，球
是该四棱锥的内切
球，球
与球
相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球
与球
的表面积之比为（ ）
A．
B．9
C．
D．
【答案】A
【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相
切问题求解作答.
【详解】
在正四棱锥
中，令各棱长为2，O 为正方形ABCD 的中心，M，Q 分别为边AB，CD 的中点，
过点P，M，Q 的平面截正四棱锥
得等腰
，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如
图：
依题意，
，
，
令N 为圆
与PM 相切的切点，则
，设球
的半径为
，即
，
由
，得
，
，
设球
与球
相切于点T，则
，
设球
的半径为
，同理可得
，则
，
所以球
与球
的表面积之比
.
故选：A
12．（24-25 黑龙江大庆·模拟）如图，在棱长为
的正方体内有两个球
、
相外切，两球又分别与
正方体内切，则两球体积之和的最小值为_____.（参考公式：
.）
【答案】
【分析】设两球半径分别为
，球心
在正方体体对角线
上，过
分别作
的垂线，垂
足分别为
，结合
求得
，再结合球的体积公式即可求解．
【详解】如图，设两球半径分别为
，球心
在正方体体对角线
上，
过
分别作
的垂线，垂足分别为
，
由图可得
，
即
，
整理得
，所以
，
故两球体积之和为
，
由二次函数性质可知：当且仅当
时，
有最小值
，
即两球体积之和的最小值为
．
故答案为：
．
考向12 球最值1：动点最值
球的动点最值是立体几何内接外切球的高频难点，核心围绕球面上动点到定点 、 定线、
定面的距离最值、动点构成线段 、角 、 面积与 体积等等的最值展开，解题关键是确定
球心与半径，结合空间几何性质（垂线段最短、直径最长）、截面转化、函数最值求解，
从以下方面入手：
1.距离最值思维核心：球面上一点P 到定点A 的距离，满足∣OA R∣≤PA≤OA+R
−
（O 为球
心，R 为球半径），即连线段过球心时取最值简称为“近日点、远日点”（“近日”点：
OA R
−，“远日”点：OA+R）
2、线面距离转化：球面上动点到定线 或者定面的距离最值，转化为球心到定线或者定面
的距离d 与球半径R 的组合：
3、到定面：最小值=∣d R∣
−
，最大值=d+R；
到定线：要先求球心到定线的距离d，再由勾股定理得动点到定线的距离最值为d2±R2
（这个地方需结合截面验证）。
4、截面化归思想：所有空间动点最值，过球心和动点 、 定点、 定线作截面，将空间问
题转化为圆的动点最值（平面几何），利用圆的性质（如弦长、切线、圆心距）求解。
5、 轨迹定位法：若动点满足额外约束（如PM=k、∠MPN=θ），先确定动点在球面上的轨
迹是小圆（截面圆），再在小圆上求最值。
1．（2024·吉林·三模）点M、N 为正四面体
的内切球球面上的两个动点，T 为棱
上的一动点，则
当
取最大值时，
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据正四面体体积的等积性求得内切球半径，由球的性质可知：当
，
与圆相切时，
最大，结合圆的切线性质，结合锐角三角函数定义、正切二倍角公式、正弦函数的单调性进行求解
即可.
【详解】设正四面体
的棱长为
，正四面体的内切球的球心为
，顶点
在底面的射影为
，
显然
在线段
上，该正四面体内切球的半径为
，
如图，
为正三角形
的中心，则
，
，由三棱锥的等体积得
，即
，解得
，
，
由球的性质可知：当
，
与圆相切时，
最大，如图所示：
，
由圆的切线长定理可知：
，
在
中，
，
最大时，
最小，因为
，
所以此时
为
的中点，即有
，正四面体的内切球的球心为
，显然
也是该正四面体的外接
球的球心，所以
，因此，
，
，所以
.故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用球的几何性质即当
，
与圆相切时，
最大，结合圆
的切线性质求解.
2．（25-26 高二上·江西上饶·期末）两根相同的正三棱柱钢管均被一个经过底面一个顶点且与底面的另一
条边平行的平面所截，截得的几何体以截面完全重合的方式拼接在一起构成一个“V”型管道，若这两个正
三棱柱钢管长为10cm，底面边长为2cm，且截面与底面所成角均为
，则能顺利地从管道的一端通过到管
道另一端（管壁的厚度忽略不计）的球最大半径为（ ）cm．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题干大致画出“V”型管道的几何图，核心在于中间对称拼接的两个小锥体，根据题干条件并
结合几何知识求出两个小锥体共6 个表面的面积，由题中可知该球的最大球半径即为这两个小锥体拼接而
成的几何体的内切球，再根据体积法即可求出内切球的半径，该半径即为最大半径．
【详解】如图所示，“V”型管道为
，其中DEF 为两个正三棱柱的截面，
也为“V”型管道两小段被截三棱柱的拼接面，其余均为辅助线，
依题意有
，分别取
，
，
中点J，O，M，
连接
并延长交
于中点T，根据对称性可知JT 可与
交于N，
同理依据对称性可知，连接
并延长可交
于P，
根据对称性可知四边形
为菱形，且
，
在
中，
，
故
，
，
在菱形
中，
，
故
，
所以
，且
，
依条件，若能顺利地从管道的一端通过到管道的另一端，则球应为多面体
的内切球，
设多面体
的内切球半径为
，
则由
，其中
，所以
，
根据对称性，N 到平面DEF 的高为
中N 到DM 的距离，
所以
，又
，
所以
，由此可得
，解得
．
故选：D．
3．（23-24 高一下·河北沧州·期末）在
中，
，
，
，M，N 分别为AC，AB 上的
动点（不包括端点），将
沿MN 折起，使点A 到达点
的位置，且平面
平面BCMN．若点
均在球O 的球面上，则球O 表面积的最小值为________．
【答案】
【分析】先证
，
，接着证得
平面
，
平面
，作出外接球的球
心
，证得
平面
，
平面
，推理得到
,设
，分别表示出
，利
用
，建立外接球半径
的方程，利用二次函数的性质即可求得球O 表面积的最小值.
【详解】
显然M 不与A 重合，由点
均在球O 的球面上，得B，C，M，N 四点共圆，则有
．
又
为直角三角形，AB 为斜边，则有
，如图将
翻折后，
，
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面BCMN，
于是
平面
，
平面
.
显然
的中点D 为
的外接圆圆心，BM 的中点E 是四边形
的外接圆圆心，
则
平面
，
平面
．因此
，
．
取NM 的中点F．连接DF，EF，则有
，
．
所以四边形
为平行四边形．
作
于点
，则
,
,
，则
，
，
．
设球O 的半径R．则在
中，
，
当
时，
，此时球O 表面积的最小值为
．
故答案为：
.
【点睛】思路点睛：本题主要考查空间几何体的翻折和多面体的外接球，属于难题.
解题思路在于由多面体的底面多边形的外接圆圆心找到外接球球心，再建立关于外接球半径的方程，即可
求得.
4.（2025 高三全国模拟测试 ）点
是棱长为
的正方体
的棱切球上的一点，点
是
的外接圆上的一点，则线段
的取值范围是（_____）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别求得正方体的棱切球与外接球半径，
点在棱切球上，
点在外接球上某个小圆上动，从
而线段
的最大值与最小值为两个球半径和与差．
【详解】因为棱长为2 的正方体的体对角线为其外接球直径，而面对角线为其棱切球的直径，且正方体的
棱切球与外接球球心重合，
所以正方体外接球和棱切球的半径分别为
和
，
因为
的外接圆是正方体外接球的一个小圆，
点在棱切球上运动，
点在外接球上某个小圆上
动，
所以
，即
.
故选：D.
考向13 球最值2：体积最值
立体几何中与球相关的体积最值问题，核心围绕多面体（棱锥、棱柱、四面体等）内接于
球或球与多面体相切展开，本质是通过确定球的核心参数（球心、半径），结合空间几何
性质将体积最值转化为高或者 底面积 与距离的最值，再利用基本不等式、函数单调性、
几何边界条件求解，
最值转化，容易出问题的地方是这几方面
1. 混淆 “球心到平面的距离”：求点到平面的最大距离时，需先判断球心在平面内侧 、
外侧，若平面过球心，则d=0，最大距离为R；
2、 忽略底面积的最值约束：若底面为动面，不可直接将高取最值，需先利用基本不等式
求底面积的最大值，再结合高的最值求体积；
3、误将 “截面圆半径” 当作球半径：多面体的底面外接圆是球的截面圆，其半径
r≤R，需用R2=d2+r2 换算，不可直接用r 代替R；
4、基本不等式使用条件：利用a+b≥2ab时，需保证、均为正数且和为定值，否则需用函
数单调性求解（如立方和函数y=x3+(k x)3
−
在x=0 或x=k 时取边界值）。
5．（25-26 高三上·江苏南通·月考）已知四面体ABCD 的顶点都在表面积为
的球面上，若
，则四面体ABCD 的体积的最大值为____________.
【答案】
【分析】先求球心到底面
的距离为定值，再求底面
面积的最大值和三棱锥
的高，即可
求四面体
体积的最大值.
【详解】如图：
设
外接圆半径为，则
.
在
中，由余弦定理，
，
所以
（当且仅当
时取等号）.
所以
.
设
所在截面的圆心为
，球心为
，四面体
外接球半径为
，
由
.
则
.
所以点
到平面
的最大距离为
.
所以
.
故答案为：
6．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知球
是三棱锥
的外接球，
，
，若三
棱锥
体积的最大值为
，则球
的表面积为________.
【答案】
【分析】利用余弦定理求出
的长度，从而得到
，则
的外接圆的圆心是斜边
的中点
，得到过
且垂直于平面
的直线一定过球心
，连接
并延长与球相交的点就是使得三棱锥
体积的最大值的点
，利用三棱锥的体积公式得到
的长度， 设球的半径为
，由
得到
，由
建立
的等式，求出
，利用球的表面积公式
求解即可.
【详解】
，
，
，
，
，
，
的外接圆的圆心是斜边
的中点
，
过
且垂直于平面
的直线一定过球心
，
连接
并延长与球相交的点就是使得三棱锥
体积取得最大值的点
，
，
，
，
三棱锥
体积的最大值为
，
，
，
， 设球的半径为
，
，
，
，
，
，
球的表面积为
.
故答案为：
.
7．（2024 高三·江苏·专题练习）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，点M 在该三棱锥的外接球O 的球面上运动，且满足
，则三棱锥
的体
积最大值为__________
【答案】
【分析】通过已知条件可分析出球心为
中点，再由
确定点
在半径为1 的圆上，从而确定
点
到平面
的距离为定值
，求出
的面积最大值，即可确定三棱锥
的体积最大
值.
【详解】
该三棱锥的外接球O 为
的中点，下证：
因为
平面
，
平面
，所以
，所以
，
又
，即
，所以
，
即三棱锥的外接球球心为
的中点，球半径
.
点M 在该三棱锥的外接球O 的球面上运动，且满足
，
在△
中，由正弦定理可得△
的外接圆的半径为
，
球心
到平面
的距离为
，因为
为
的中点，所以
到平面
的距离为
，
，要使三棱锥
的体积最大，只需△
的面积最大即
可.
在△
中由余弦定理可得：
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
，所以
，
当且仅当
时, 三棱锥
的体积取到最大值
.故答案为：
.
【点睛】本题两个关键点：一是通过空间中线线垂直确定球心位置，二是利用正弦定理确定点
的轨迹，
才能求得三棱锥
体积最大值.
8．（2026·湖南长沙·三模）已知点
均在半径为
的球
的球面上，
，
，则四面体
的体积的最大值为___________．
【答案】
【分析】利用直角三角形条件及基本不等式确定底面三角形面积的最大值；然后通过球面几何与余弦定理
分析定点距离约束下动点的轨迹特征，再结合对称性确定点到底面距离取最大的几何位置；最终将面积与
距离的最值结合，求出四面体的最大体积.
【详解】如图所示，由题意可知，点
在以
为直径的截面圆
上运动，
则
，可得
，当且仅当
时取等号．
连接
，在
中，
，由余弦定理可得
，
则点
的轨迹是以直线
为中心轴的圆锥与该球面的截面圆
，
其半径
，且
．
当
时，
，此时过点
，作
平面
于点
．
根据对称性，垂足
必在
上，易知
，则
．
当点
到平面
的距离最大时，
，
故四面体
的体积的最大值为：
故答案为：
考向14 球最值3：内切、外接球动点最值
9．（2024 年高三全国模拟测试）如图两个同心球，球心均为点
，其中大球与小球的表面积之比为3:1，
线段
与
是夹在两个球体之间的内弦，其中
两点在小球上，
两点在大球上，两内弦均不穿
过小球内部.当四面体
的体积达到最大值时，此时异面直线
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为
，内切球和外接球的表面积之比为
，符合
题意中的小球和大球的比例.判断当四面体
体积最大时，
的位置关系，作出异面直线
所成的角
，解直角三角形求得
.
【详解】设正方体的边长为
，则其内切球半径为，外接球的半径为
，所以内切球和
外接球的表面积之比为
，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意
最长为
，
最长为小球的直径
.由于三角形的面积
，若
为定值，则
时面积取得最大值.画
出图像如下图所示，其中
分别是所在正方形的中心，
是正方体内切球与外接球的球心.
.由于
，故此时四面体
的
体积最大.
由于
，所以四边形
为平行四边形，所以
，所以
是异面直线
和
所成的角.所以
由于
，设
是
的中点，则
，所以
，所以
.
故选：A
【点睛】本小题主要考查几何体与球的外切和内接的问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档
题.
10．（2022·吉林·模拟预测）已知三棱锥
三条侧棱
，
，
两两互相垂直，且
，
､
分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段
的长度的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：
两点间距离
的最小值为
，易求外接圆半径
，结合等体积法可求出内切圆半径和
，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为
，外接球球心为
，内切球与平面
的切点为
，
易知：
三点均在
上，且
平面
，
设内切球的半径为，外接球的半径为
，则
.
由等体积法：
，得
，
由等体积法：
，得
，
将几何体沿截面
切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，
∴
两点间距离的最小值为
.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内
切圆半径及
，即可得
的长度的最小值.
11．（2024 浙江模拟测试中）已知在棱长为12 的正四面体
的内切球球面上有一动点
，则
的最
小值为______，
的最小值为______．
【答案】
【解析】求出正四面体的高，进一步得到内切球的半径，由高减去内切球的直径得
的最小值；利用阿
波罗尼斯球的定义，借助内切球的比例关系求得
，转化后求最小值即可.
【详解】
设正四面体
的高为，每一个面的面积为，其内切球的半径为，
则由等积法可得，
，即
．
设内切球球心为
，连结
并延长交平面
于
，交内切球上方的点设为
，过
作
，交
于
，连结
，
，如图，
则在正三角形中
，
，
正四面体内切球的半径
，直径为
.
则
的最小值为
．同理可知
的最小值为
.
根据阿波罗尼斯球知,内切球是线段
上以
，
为定点，空间中满足
的点
的集合，
设
，因为
，
，
，
，解得
，
，
，
，
，在
中，
，
，
，
．
的最小值为
．故答案为：
；
．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点在于，根据阿波罗尼斯球定义利用比例关系求得
,可将
转化为
，利用平面几何性质知
最小值为
，由余弦定理求解即可，属于难题.
12．（2025·新疆乌鲁木齐·三模）已知正三棱锥
，底面边长为，二面角
的正切值为
，则正三棱锥
的外接球半径为_____，
分别为正三棱锥
内切球，外接球球面上
的动点，则线段
长度的最大值为_____．
【答案】
【分析】过
作
面
，利用正三棱锥的性质，知
是
的中心，再利用几何关系和条件，可
得
，由正三棱锥的性质知外接球球心在
上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利
用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解.
【详解】如图，过
作
面
，因为
是正三棱锥，则
是
的中心，
连接
并延长交
于
，则
是
的中点，连接
，
因为
，
，所以
为二面角
的平面角，
又
，
是中心，则
，
，
在
中，由
，得到
，
因为
是正三棱锥，则
的外接球球心在
上，设球心为
，半径为
，连接
，
如图，由
，得到
，解得
.
因为
，所以
，
则
，又
，
，
设正三棱锥
内切球的圆心为
，半径为，易知
在
上，
由
，得到
，所以
，
又
，
，
则线段
长度的最大值为
，
故答案为：
，.
冲刺练
（建议用时：60 分钟）
一、单选题
1．（24-25·黑龙江哈尔滨·模拟测试）已知正四面体
的棱长为4，球
为其内切球，球
与球
及
正四面体
的三个侧面都相切，则球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据正四面体的结构特征求出内切球半径，然后根据相似关系求出球
的半径，最后求出球的
表面积.
【详解】因为正四面体的棱长为
，所以底面正三角形的高为
，
底面中心到底面顶点的距离为
.
根据勾股定理可得正四面体的高为
.
则正四面体的体积为
.
设内切球半径为
，则
，解得
.
设
的半径为
，根据相似关系可知
，
即
，解得
.
所以球
的表面积为
.
故选：A.
2．（23-24 高三下·陕西安康·月考）如图，棱长为
的正方体
的内切球为球
，
，
分
别是棱
，
的中点，
在棱
上移动，则（ ）
A．对于任意点
，
平面
B．直线
被球
截得的弦长为
C．过直线
的平面截球
所得的所有截面圆中，半径最小的圆的面积为
D．当
为
的中点时，过
，
，
的平面截该正方体所得截面的面积为
【答案】C
【分析】令
与
重合，利用特殊位置举反例证明A 错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求得
、
两直线所成角，从而求得点
到直线
的距离
，即可求得直线
被球
截得的弦长，判断B
选项；确定过直线
的平面截球
所得的所有截面圆中，半径最小的圆为以直线
被球O 截得的弦长
为为直径的圆，从而求得圆的面积，判断C 选项；确定当
为
的中点时，过
，
，
的平面截该
正方体所得截面为边长为
的正六边形，利用正弦定理面积公式求六边形面积即可判断D 选项.
【详解】
对于A，根据已知条件圆
为以
为圆心，半径
的圆；
在棱
上移动，
当
与点
重合时，平面
即为平面
，因为
在直线
上，
所以
平面
，所以
与平面
相交，A 错误；
对于B，以
点为坐标原点，
、
、
所在直线分别为
、
、
轴建立如图所示的空间直角坐标
系，
则
、
、
、
，
则
，
，
，
设直线
与直线
夹角为
，则
，
由此可知
，连结
，过
作直线
的垂线，垂足为
，
则在
中，有
，解得
，
设直线
被球O 截得的弦长为，则
，B 错误；
对于C，过直线
的平面截球O 所得的所有截面圆半径最小时，有
垂直于过
的平面，
此时圆的半径为
，圆的面积为
，C 正确；
对于D，根据题意当
为
的中点时，
过
，
，
的平面截该正方体所得截面为正六边形
，
，
在
中，
，所以边长
，
所以截面面积为
，D 错误.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查几何体与球的组合问题，垂直关系的转化，平面截球的问题，平面截正方
体问题，关键是：⑴利用球的弦长公式计算弦长；⑵确定平面截正方体所得截面的形状.
3．（22-23 高二下·四川成都·期中）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，
圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的
发现，即：圆柱的体积与其内切球的体积比为定值. 现在让我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的
体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，设出球半径，求出圆柱及内切球的体积即可计算作答.
【详解】设圆柱的内切球半径为
，则圆柱底面圆半径为
，高为
，
所以圆柱的体积与球的体积之比为
.
故选：D
4．（2025 高三上·湖南衡阳·专题练习）如图是一个圆台的侧面展开图是一个半圆扇环（
为扇形所在圆的
圆心，圆心角为
），若该圆台存在内切球，记该圆台的内切球表面积为
，该圆台的表面积为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为
，母线长为，内切球半径为
，高为，根据圆台的
侧面展开图，求得
，
，从而进行求解.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为
，母线长为，内切球半径为
，高为，
则
，
而
，
得
，
又因为
，
得
，
得
，
则
，
得该圆台的内切球表面积为
，
该圆台的表面积为
，
则
故选：B
5．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知球O 内切于正四棱台（即球与该正四棱台的上、下底面以及侧面
均相切），且该正四棱台的上、下底面棱长之比为
，则球O 与该正四棱台的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设出正四棱台上、下底面的棱长，则可借助正四棱台性质及体积公式表示出内切球体积及正四棱
台体积，即可得解.
【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆O 是等腰梯形ABCD 的内切圆，
设圆O 与梯形的腰相切于点P，Q，与上、下底面分别切于点
，
，
不妨设正四棱台上、下底面的棱长为
，
，
则
，
，
，
故在直角梯形
中，过点C 作
，垂足为E，所以
，
在
中，
，为棱台的高，也是球的直径，
所以半径为
，所以球的体积为
，
棱台体积为
，
故球与棱台的体积比为
.
故选：C.
6．（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2 倍，那么该圆锥的表面积与圆锥
的内切球表面积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据圆锥和它的内切球的性质，做出轴截面，求出内切球半径和底面半径之比，求出圆锥的表面
积与圆锥的内切球表面积之比.
【详解】
如图所示，作圆锥轴截面
及其内切圆
，与三角形切于
两点，
设圆锥底面半径为
，内切球半径为，则
，由勾股定理易知
，
所以在
中，
，
由三角形内切圆可得
，可得
，即
，化简得
，
圆锥表面积为
，内切球表面积
，
则圆锥的表面积与圆锥的内切球表面积之比
，
故选：B.
7．（2024 全国模拟测试）如图，一块边长为10cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下
去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正
四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意可得正四棱锥的斜高为5，底面正方形的边长为6，从而可得正四棱锥的高，设这个正四
棱锥的内切球的半径为，高线与斜高的夹角为
，则易得
，
，从而可得，再代
入球的体积公式，即可求解．
【详解】作出四棱锥
如图：
根据题意可得正四棱锥的斜高为
，底面正方形
的边长为6，
正四棱锥的高为
，
设这个正四棱锥的内切球的球心为
，半径为，与侧面相切于
，
则高线与斜高的夹角为
，则
，
则
,
，
，
这个正四棱锥的内切球的体积为
．
故选：B．
8．（25-26 高三上·浙江杭州·期末）球面几何学是非欧几何的例子，是在球表面上的几何学．对于半径为
的球
，过球面上一点
作两条大圆的弧
，它们构成的图形叫做球面角，记作
（或
），其值为二面角
的大小，其中点
称为球面角的顶点，大圆弧
称为球面角的边．不在
同一大圆上的三点
，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧
，这三条劣弧组成的
图形称为球面
，这三条劣弧称为球面
的边，
三点称为球面
的顶点；三个球面角
称为球面
的三个内角．已知球心为
的单位球面上有不同在一个大圆上的三点
．
类比二面角，我们称从点
出发的三条射线
组成的图形为三面角，记为
．其中点
称为三面角的顶点，
称为它的棱，
称为它的面角．以下说法，正确的是
（ ）
A．任意球面三角形的内角和为
B．若三面角
的三个面角的余弦值分别为
，球面
的三个内角的余弦值有一个
是
C．若三面角
的三个面角的余弦值分别为
，球面
的面积为
D．若三面角
的三个面角的余弦值分别为
，球面
的面积为
【答案】D
【分析】对于B，使用空间解析几何方法求出球面
的三个球面角；对于ACD，证明球面
的面
积，即可得到逐一判断.
【详解】先证明一个引理.
引理：若在单位球面上的球面
的三个球面角
，
设该球面
的面积为
，则
，
引理的证明：
记球
的表面积为，则
，设
的对径点分别为
，
则
所在的大圆和
所在的大圆将球面分成了四个部分，
其中面积较小的两个部分的面积之和
等于球的表面积的
倍，
即
，类似可定义
，且同理有
，
而根据球面被这三个大圆的划分情况，又有
，
所以
，
故
，
引理得证，
对于A，因为
，所以
，
所以
，不是一个固定值，所以A 错误；
对于B，由已知条件，可设
，
如图，以
为原点，构建空间直角坐标系，则
，
不妨设
，设
，
则由
可知
；
；
又
，故
，
不妨设
，则
，所以有
，
设平面
的法向量分别为
，并设
，
则
，即
，
也即
，故可取
，
所以我们有
，
，
，
故球面三角形的三个内角的余弦值分别为
，故B 错误；
对于CD，由B 选项可知：
，
再由引理可知球面
的面积
，故C 错误，D 正确.
故选：D
二、多选题
9．（25-26 高三上·山东济宁·期末）已知圆锥
的底面圆
半径为
，母线长为
，
为圆锥底面上
任意一点，
为圆锥
外接球的球心，为球面上一点，且
，则下列说法正确的
是（ ）
A．圆锥
的侧面积为
B．球
的体积为
C．点的轨迹长度为
D．
的最大值为6
【答案】ABD
【分析】选项A，利用圆锥
的侧面积公式
求解；选项B，求出圆锥的高
，设球
的半径为
，在
中，利用勾股定理得到
，解出
，利用球
的体积公式
求解；
选项C，将
整理得到
，设
，
则有
①，在
中，利用余弦定理得到
，整理得
到
②，②代入①后解得
，即
，则有的轨迹是以
为球心，
为半径的球面与球
的交线，且此交线为圆
，设圆
的半径为
，两个球心
与
的距离为
，球
的半径为，
在
中，由勾股定理得到
③，在
中，由勾股定理得到
④，③代入④后解得
⑤，⑤代入③后解得
， 利用圆的周长公式
求出点的轨迹长度；选项D，
为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为
，则
的最大值为
.
【详解】选项A，
圆锥
的底面圆
半径为
，母线长为
，
圆锥
的侧面积为
，故选项A 正确；
选项B，圆锥的高
，设球
的半径为
，
由图可知，
，
，
在
中，
，
，
，
球
的体积为
，故选项B 正确；
选项C，
，
，
，
，
，
，
设
，
则有
①，
在
中，
，
，
，
，
②，
②代入①，得
，解得
，
，
，
的轨迹是以
为球心，
为半径的球面与球
的交线，且此交线为圆
，
设圆
的半径为
，两个球心
与
的距离为
，球
的半径为，
在
中，
，
，
③，
在
中，
，
，
，
④，
③代入④，得
，解得
⑤，
⑤代入③，得
，解得
，
点的轨迹长度为
，故选项C 错误；
选项D，
为圆锥底面上任意一点，底面圆的圆心为
，
要使
最大，则
，又
，
，
的最大值为
，故选项D 正确.
故选：ABD.
10．（25-26 高二上·四川成都·期中）已知球O 是棱长为2 的正方体
的内切球，M 是
的
中点，N 是
的中点，P 是球O 的球面上任意一点，正方体表面上动点Q 满足
，则下列说法
正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积的最大值为
B．Q 的轨迹长度为
C．若
，则动点P 的轨迹长度为
D．若
，则
为定角
【答案】BCD
【分析】以
为原点建立空间直角坐标系，利用点面距离的向量求法可求得球心
到平面
的距离，
结合三棱锥体积公式可知体积最大值为
，知A 错误；设
，求出D 的轨迹为球与正
方体平面的交线，再利用几何性质求出弧长即可判断B；分别取
中点
，易知平面
平面
，可知所求轨迹为平面
与内切球
的交线，根据截面圆半径可求得C 正确；
根据椭圆定义可知点
在以
为焦点，长轴长为的椭球面上，结合椭圆与圆的对称性可知D 正确.
【详解】对于A，以
为原点，
正方向为
轴正方向可建立如图空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，令
，解得
，
，
；
球心
到平面
的距离
，
平面
，
平面
，
，
又
，
所以三棱锥
体积最大值为
，A 错误；
对于B，由正方体表面上动点Q 满足
，所以设
，
则点
的轨迹满足
，
又正方体的棱长为2，取
，则
，
由图可知，在
面内对应的弧长为
，
由对称性可知在
面、
面、
面内总长度为
，B 正确；
对于C，由正方体性质得
面
，且内切球半径
，
分别取
中点
，如图所示，
，
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，又
，
平面
，
所以平面
平面
，
平面
，
则点
轨迹为平面
与内切球
的交线，即为截面圆的周长，
易知球心
平面
，
则
到平面
的距离为平面
与平面
的距离
，
截面圆半径
，所以点
轨迹长度为
，C 正确；
对于D，由题意知：
，
又
，所以点
在以
为焦点，长轴长为3 的椭球面上，
因为点
在以
为球心，1 为半径的球面上，所以点
在椭球面与球面的交线处，
则平面
截球
与椭球的截面图如图所示，
由椭圆与圆的对称性可知：点
位于
时，
为定值，D 正确.
故选：BCD.
11．（2025·山东济宁·二模）已知正方体
的棱长为1，点
在正方体的内切球表面上运
动，且满足
平面
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．点
的轨迹长度为
C．线段
长度的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据平面
平面
，可得点
的轨迹是平面
与正方体内切球的交线，建立空间直
角坐标，利用数量积公式计算，依次判断可选项可求得结果.
【详解】以
为原点，分别以
所在直线为
轴，建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
正方体的内切球的球心为正方体的中心
，半径
，
平面
的法向量
：
，
，设
，
由
，即
，令
，则
，
，所以
.
对于选项A，
，因为
平面
，所以
，而
，
所以
，即
，A 正确.
对于选项B，因为
平面
，平面
平面
，
所以点
的轨迹是平面
与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为
.
设平面
与正方体的中心
的距离
，设平面
的法向量为
，
，
，
设
，由
，可得
，
令
，则
.
，
∴点
到平面
的距离为
，
∴圆
的半径为
，
∴圆的周长
，即点
的轨迹长度为
，B 错误.
对于选项C，
，点
在球面上，
线段
长度的最小值为
，C 选项正确.
对于选项D，设
与
夹角为
，
，
.
在平面直角坐标系中，
，
，
，
，
，
，
所以
，令
，
，
，
所以
的最小值为
，D 选项正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点
的轨迹为平面
与正方体内切球的交线，此交线为
圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系求解计算.
三、填空题
12．（23-24 湖南衡阳·期中）已知三棱锥
三条侧棱
，
，
两两互相垂直，且
，
，
分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段
的长度的最小值为
______．
【答案】
【分析】采用补形法得正方体，作出图形，找出内切球，外接球球心，由几何关系知：
两点间距离
的最小值为
，易求外接圆半径
，结合等体积法可求出内切圆半径和
，进而得解.
【详解】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为
，外接球球心为
，内切球与平面
的切点为
，
易知：
三点均在
上，且
平面
，
设内切球的半径为，外接球的半径为
，则
.
又
，
，
所以
，
由等体积法：
，
即
，解得
，
由等体积法：
，
即
，解得
，
将几何体沿截面
切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，
∴
两点间距离的最小值为
.
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：根据题设将三棱锥补成正方体，进而确定内切球，外接球球心，结合等体积法求内
切圆半径及
，即可得
的长度的最小值.
13．（2023·广西南宁·二模）蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圈”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，鞠最早系外
包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球，现已知某
“鞠”的表面上有四个点
满足
，
，则该“鞠”
的表面积为_______
.
【答案】
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，利用余弦定理和勾股定理求出球的半径，得到表面积.
【详解】取
的中点
，连接
，
因为
，所以
且
，
故
，
因为
，所以
，
故
，
在
上取点
，使得
，则点
为等边
的中心，则
，
设点
为三棱锥
的外接球球心，则
平面
，
连接
，设外接球半径为
，则
，
过点
作
⊥
，交
延长线于点
，则
，
由于
在平面
中，故
，故
平面
，
过点
作
⊥
于点
，则
，
，
，
，
故
，设
，则
，
由勾股定理得
，
，
故
，解得
，
故
，
故该“鞠”的表面积为
.
故答案为：
14．（24-25 全国模拟测试）如图所示，底面半径为3，高为8 的圆柱内放有一个半径为3 的球，球与圆柱
下底面相切，作不与圆柱底面平行的平面
与球相切于点F，若平面
与圆柱侧面相交所得曲线为封闭曲
线C，且C 是以F 为一个焦点的椭圆，则C 的离心率的最大值为______．
【答案】
【分析】根据题意，找到椭圆离心率最大的位置点是关键，要保证该椭圆是以切点
为焦点，则需要新加
一个相同大小的球从圆柱上方放入，使得平面
也与该球相切，最后通过建立平面直角坐标系，求得椭圆
的离心率
【详解】
根据题意，可再新增一个半径为3 的球从圆柱上方放入，设平面
分别交两个球于点
和点
，则可得：
点
和点
是椭圆的两个焦点
当且仅当
在圆柱上平面上时，此时椭圆的离心率取得最大值
如上图所示，
为圆柱的高，
为球的半径，则
为
，
为
，然后建立以
为坐标原点，
以
为
轴，以
为
轴的平面直角坐标系，
易知：
，
圆
的方程为：
设直线
的斜率为
，则该直线的方程为：
根据相切可知：点
到直线
的距离为
则有：
解得：
故直线
的方程为：
则有：
则
因
，则直线
的方程为：
联立直线
和直线
的方程：
可解得：
则
解得：
故椭圆的最大离心率为：
故答案为：
【点睛】立体几何与圆锥曲线相结合的题目，难度较大，可先将立体几何转化为平面几何进行分析，进而
简化问题，然后运用平面几何的知识求解问题.
结束
