文档文本内容
专题 立体几何中压轴小题归纳
近三年：
立体几何压轴小题常考的类型如下
1.截面问题（绝对主流，年年压轴）
2.最值问题（函数建模，综合性强）
3.动点问题（常与截面、最值结合）
4.翻折问题（2023 热，2024 降温）
5.轨迹问题（抽象度高，低频考查）
核心特征：截面题载体：90%为正方体/正三棱柱；考查方向：静态→动态→最值演变；难度位置：多选压
轴/填空压轴
预测2026 年：
1.动态截面最值（面积/周长函数建模）
2.多动点约束问题（两点以上联动）
3.截面平分体积的条件探究
重在几何直观+代数工具结合，备考需熟模型、强运算、重转化。
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1
题型01 球的截面问题
解｜题｜策｜略
这类问题通常涉及球心到截面的距离、截面圆的半径和球的半径之间的关系。核心是构建一个直角三角
形模型，并利用空间几何关系进行计算。主要利用两个性质：①球的任何截面是圆面；②球心和截面
（不过球心）圆心的连线垂直于截面；
主要考察的类型包括角度问题、截面面积最值范围、周长等。
1．（2025·河南·模拟预测）已知球
是正三棱锥
的外接球，
，过点
作球
的截面，若截面面积为
，则直线
与该截面所成的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·云南昭通·模拟预测）已知球
的半径为3，正方体
所有顶点均在球面上，点
是棱
的中点，过点
作球
的截面，则所得截面面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2
3．（2025·江苏·模拟预测）已知正三棱锥
的侧棱长为
，
为线段
上一点，
，
．设三棱锥
外接球为球
，过
点作球
的截面
，则截面
面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
分别为
的中点，过直
线
的平面截该正方体的内切球
，所得截面圆的面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 正方体的截面
解｜题｜策｜略
1、正方体的截面有三角形（包括等边三角形），四边形（正方形、矩形、梯形、平行四边形、棱
形），五边形，六边形（正方体过各棱中点截得的六边形是面积最大的截面）
2、如果条件只给出截面的一部分，需要补全截面，根据两个原则，1、延长相交 2、做平行线
1．（2025·广东佛山·模拟预测）如图，在正方体
中，点
分别为棱
的
中点，过点
作正方体的截面，则截面的形状为（ ）
A．六边形
B．五边形
C．四边形
D．三角形
2．（2025·全国·模拟预测）正方体
的棱长为4，点M 在棱
上，平面ACM 把正方体
3
分成两个几何体，其中一个几何体的体积为14，则平面ACM 截正方体
所得的截面周长为（ ）
A．
B．
C．
D．15
3．（2025·浙江·三模）在棱长为
的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，过直
线
的平面
截该正方体所得截面
，则当平面
与平面
的所成角为最小时，截面
的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选）（2025·云南昆明·一模）在长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
，点
是
的中点，点
是
上的动点（含端点），则下列说法正确的是（ ）
A．异面直线
与
所成角的余弦值为
B．当
时，过点
、
、
的截面是梯形
C．当点
运动到某点时，过点
、
、
的截面是五边形
D．当
时，过点
、
、
的截面是矩形
5．（多选）（2025·贵州六盘水·模拟预测）在直四棱柱
中，
，
，点
，
在以线段
为直径的圆
上运动，且
，
，
三点共线，点
，
分别是线段
，
的中点，
则下列说法中正确的是（ ）
4
A．平面
平面
B．当四棱柱
的体积最大时，
C．当
时，过
的平面截该四棱柱的外接球所得截面面积的最小值为
D．当
时，过点
，
，
的平面截该四棱柱所得的截面周长为
题型03 动点中的平行与垂直
解｜题｜策｜略
1、利用“平行”条件的核心转化
常用转化方式：
转化为“确定平面”：若要证明或找到一点P使AP //
α
平面，一个有效思路是构造一个包含AP且
与α平行的平面β。那么P必须位于平面β与已知几何体（如棱、面）的交线上。
转化为“线线平行”链：利用公理4（平行传递性）或中位线定理。例如，要在线段上找点P使
AP //
α
平面，可尝试在平面内找一条与AP平行的固定直线，从而将线面平行转化为线线平行，P
的位置由这组平行线决定。
2、利用“垂直”条件的核心转化
常用转化方式：
转化为“线面垂直”：a ⊥ b 且 a ⊥ c，b ∩ c = O⇒a ⊥ 平面(b, c)。这是将分
散的线线垂直集中到一个平面（垂面）上的强大工具。要确定一点使某线垂直于一个平面，常需该线同
时垂直于平面内两条相交直线，这往往能给出两个约束条件。
转化为“三垂线定理及其逆定理”：这是处理斜线在平面上投影垂直问题的利器。如果问题涉及“斜
线”与“面内直线”垂直，立即考虑三垂线定理。这常常能将一个空间垂直问题，转化为平面内的垂直
问题。
转化为“平面垂直的判定”：若要证
α
平面 ⊥
β
平面，需在α内找一条线垂直于β。这有时能引导我
们去寻找或构造这条关键的垂线，而这条线的端点可能就是动点。
1．（多选）（2025·四川绵阳·模拟预测）正方体
棱长为2，
为
中点，
为平面
上的动点（在四边形
内部及其边界）且满足
平面
，则下列正确的是（ ）
5
A．动点F 的轨迹长度为
B．三棱锥
的体积范围为
C．三棱锥
的体积为定值
D．当三棱锥
的体积最小时，其外接球的表面积为
2．（多选）（2025·广东佛山·一模）在正三棱柱
中，
，
为
中点，点
是线段
上的动点，则（ ）
A．
B．有且仅有一个点
，使得
C．有且仅有一个点
，使得
D．有且仅有一个点
，使得平面
平面
3．（多选）（2025·全国·模拟预测）在棱长为1 的正方体
中，
为棱
的中点，
为正
方形
内一动点（含边界），
是线段
上的两个动点，且
，
是
的中点，则下列
说法中不正确的是（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
6
B．在线段
上存在一点
，使得
平面
C．存在
点，使得
平面
D．若
，那么
点的轨迹长度为
4．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·一模）在正方体
中，棱长为1，已知点
，
分别是
线段
上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（ ）
A．存在无数条直线
与直线
平行
B．
与
不可能垂直
C．二面角
不可能为定值
D．点
到任意直线
的距离都不可能小于
5．（多选）（2025·河北石家庄·模拟预测）如图，正方体
的棱长为
分别为棱
的中点，
为线段
上的动点，则（ ）
7
A．
平面
B．
C．
平面
D．
的最小值为
题型04 动点与向量关系
解｜题｜策｜略
若动点P满足条件⃗AP = λ⃗AC + μ⃗AE (λ , μ∈[0，1])，根据λ , μ来判断P点所在位置。这里将空间向量
同立体几何结合考察。
1．（2025·重庆·三模）已知长方体
中，
，
，E 为
的中点.若长
方体表面上的动点P 满足⃗AP = λ⃗AC + μ⃗AE (λ , μ∈R)，则动点P 的轨迹围成面积为（ ）
A．24
B．18
C．
D．12
2．（2025·上海松江·二模）在正三棱柱
中，
，动点
满足
，
，则下列几何体体积为定值的是（ ）
A．四棱锥
B．四棱锥
C．三棱锥
D．三棱锥
8
3．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，棱长为2 的正方体．
中，点P 是棱
的中点，动
点M 满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则直线
与直线
所成角的最小值为
C．若
且．
，则点
的轨迹长为
D．若动点M 在平面
上的投影为点
与平面
所成角与二面角
大小相等，
则直线
与点N 的轨迹相切
4．（多选）（2025·江西上饶·一模）在棱长为2 的正方体
中，点
满足
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
时，三棱锥
的体积为定值
C．当
时，
的最小值为
D．当
，
时，若点
为四边形
（含边界）内一动点，且
，则点
的轨迹长度为
9
5．（多选）（2025·云南红河·模拟预测）如图，棱长为2 的正方体
中，
分别是棱
，
棱
的中点，动点
满足
，其中
，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥
体积为
B．若
，则
C．若
，则直线
与直线
所成角的最小值为
D．若动点
在三棱锥
外接球的表面上，则点
的轨迹长度为
题型05 翻折问题
解｜题｜策｜略
在“不变的长度”基础上，找出“新的垂直关系”，然后用平面化计算或建系法求解。
1、明确“不变”的量（根本）
这是解题的基石，翻折前后绝对不变的有：
线段的长度：折叠涉及的所有棱、边的长度不变。
线的相对位置：比如跟折线垂直的线段，结果折叠后，垂直关系还在。
2、寻找和确定“新”的量（关键）
折叠后产生的新关系，是解题的突破口：
新的垂直关系：折叠常会产生原本不存在的线线垂直或线面垂直，这是建立空间直角坐标系或构造直角
三角形的关键。
新的点的位置：折叠会使某些点（折叠点）在空间中重合，或使某点运动到新的位置，弄清这些点的最
终位置是核心。
3、选择并应用核心方法
主要有两个最实用的方法，通常结合使用：
平面化方法（首选）：
将翻折后相关的点、线，展平到同一个平面（通常是原来的平面图形）上考虑。
在这个平面图形中，利用平面几何知识（如勾股定理、余弦定理、相似三角形）直接计算折叠后产生的
空间线段长度。 “空间距离，平面来算”。
10
空间直角坐标系法（通用）：
当翻折产生明显的两两垂直的线段时（这是常见情况），立即以这些垂足为原点建系。
分别标出翻折前后关键点的坐标（注意翻折后某些点的某个坐标会取相反数）。
用向量法计算角度、距离、证明垂直等。
1．（2025·湖北·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，对角线
交于点
，现将
沿对角线
翻折，得到三棱锥
.记线段
的中点分别为
，则下列结论错
误的是（ ）
A．
B．三棱锥
体积的最大值为
C．平面
截三棱锥
的截面图形可能是正方形
D．当折成的二面角
为
时，三棱锥
的外接球半径为
2．（2025·安徽滁州·二模）如图，四边形
为矩形，
，
．
是等边三角形，
是等腰直角三角形，
．将
和
分别沿虚线
和
翻折，且保持平面
平
面
．当
平面
时，平面
与平面
的距离等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（多选）（2025·江苏常州·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，且
，沿对角线
折起，
使点
不在平面
内，
为
的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面
平面
B．当
时，直线
与平面
所成角的余弦值为
C．当二面角
的大小为
时，点
在三棱锥
的表面上运动，且
，则
点运动轨
11
迹长度为
D．当二面角
的余弦值为
，则三棱锥
的外接球的表面积为
4．（多选）（2025·云南·模拟预测）如图，平面图形
是等腰直角
和直角
组成，
，
分别是
和
边的中点，现将
沿着
折起，则下列
结论中正确的是（ ）
A．
B．若平面
平面
，则
C．
D．当三棱锥
体积最大时，三棱锥
的外接球半径为
5．（多选）（2025·江苏镇江·模拟预测）已知边长为2 的菱形
，且
，沿对角线
折起，
使点
不在平面
内，
为
的中点，在翻折过程中，则（ ）
A．平面
平面
B．当平面
平面
时，异面直线
与
所成角的余弦值为
C．当二面角
为
时，点
到平面
的距离为
D．当
时，直线
与平面
所成角的余弦值为
题型06 轨迹问题
解｜题｜策｜略
将空间动态问题转化为确定约束下的静态模型，最终用几何语言描述轨迹形状（点、线、圆、球面、线
12
段等）。
1.找不变基准：确定一个固定点、固定直线或固定平面作为参照系。
2.翻译约束条件：把题目中“动点满足的几何条件”（如到定点距离为定值、到两定点距离相等、与定
直线/定平面成定角等）用几何语言或方程表达出来。
3.判断轨迹形状：
到定点距离为定值 → 球面。
到两定点距离相等 → 中垂面。
到定直线距离为定值 → 圆柱侧面。
到定平面距离为定值 → 一对平行平面。
与两定点连线成定角 → 一段圆弧（圆锥截面）。
与定点连线垂直于定直线 → 过定点且垂直于定直线的平面。
4.结合图形限制：轨迹常被限制在几何体（如多面体）的面、棱、内部，因此最终答案往往是完整轨迹
与几何体的交集（如球面的一部分、圆弧、线段等）。
分析动点满足的几何条件，联想基本轨迹模型，再与给定几何体取交，得出最终轨迹图形。
1．（2025·湖南·三模）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为6 的正方形，
平面
，
点
是平面
内的动点，且满足线段
的长度是点
到
的距离的2 倍，则点
的轨迹的长度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（2025·浙江嘉兴·一模）在三棱锥
中，
，点
在平面
上
的射影为点
，直线
与平面
所成的角分别为
，则（ ）
A．点
的轨迹长度为
B．
的取值范围是
C．三棱锥
的体积的最小值是
D．当
最大时，三棱锥
的外接球的表面积为
13
3．（多选）（2025·湖南·一模）如图，三棱台
中，
平面
，则（ ）
A．三棱台
的体积为
B．
平面
C．
D．若点
在侧面
上运动，且
与平面
所成角的正切值为4，则
点在侧面
上
的轨迹长度为
4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为
，点
平面
，且
，
则点
的轨迹的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（多选）（2025·江苏宿迁·模拟预测）已知正方体
的棱长为2，P 为平面ABCD 内一点，
点M，N，Q 分别是棱
的中点，下列说法正确的是（ ）
A．平面MNQ 与正方体各面的交线是正六边形
B．直线PM 与直线QN 是异面直线
C．三棱锥P-MNQ 体积的最大值为1
14
D．若P 到棱CD，
距离相等的点，则点P 的轨迹是双曲线
题型07 最值与范围问题
解｜题｜策｜略
将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最
值或范围。
1. 函数法
将变化的几何量（长度、角度、面积、体积）表示为某个变量的函数，然后通过代数或几何方法求其最
值或范围。
2. 几何直观法（利用几何性质直接判断）
两点之间线段最短、点到直线垂线段最短、点到平面垂线段最短。
直线与平面平行时，直线上各点到平面的距离相等。
球面上两点间的最短路径是过大圆的劣弧。
展开图法：将立体图形表面展开为平面，化曲为直求最短路径。
1．（多选）（2025·广东江门·模拟预测）在四面体
中，
为
四面体
外接球的球心，则（ ）
A．四面体
体积的最大值为
B．
长度的取值范围是
C．
D．当直线
与
所成角为
时，四面体
外接球的表面积为
2．（多选）（2025·河南·一模）已知正方体
的棱长为
，点
在底面
上（含边
界），且
，则下列说法正确的是（ ）
A．点
的轨迹的长度为
B．直线
与平面
所成角的正切值最大为
C．平面
截该正方体的内切球所得截面的面积为
D．若动点
在线段
上，
为
的中点，则
的最小值为
15
3．（多选）（2025·江西·三模）如图所示，在棱长为
的正方体
中，
、
分别为
、
的中点，
为
的中点，
、
分别是线段
、
上的动点（含端点），则下列说法正确的是
（ ）
A．存在
、
使
平面
B．存在
、
使
平面
C．
的最小值为
D．
的最小值为
4．（2025·全国·模拟预测）已知正方体
的棱长为3，点
在
上运动，点
在棱
上运动，
上有一点
满足
，且
，则动点
到平面
距离的最小值为 ．
5.（多选）（2025·浙江宁波·一模）在圆台
中，
，AB，CD 分别为上、下底面的直径，
，且
，动点P、Q 分别在线段AC 和
上运动（含端点），满足
，则
（ ）
A．圆台
的体积为
B．四面体
外接球的表面积为
C．射线PQ 交圆台
侧面于点M，则PM 的最小值为
D．射线QP 交圆台
侧面于点N，则PN 的最大值为
16
（建议用时：30 分钟）
1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知E，F，G，H 分别是正方体
的棱
的
中点，
，则（ ）
A．直线
与直线
异面
B．直线
交于同一点
C．过
三点的平面截正方体所得截面图形的周长为
D．动点K 在侧面
内（含边界），且
，则动点K 的轨迹长度为
2．（多选）（2025 高三·全国·专题练习）飘带函数
的图象如图所示，已知图象上两个点A，C
关于原点对称（点
的横坐标
），过点A，C 分别作两坐标轴的垂线得到矩形ABCD，矩形与坐标轴
的交点分别记为
．将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，此时
的最小
值记作
；将图象沿
轴折叠，得到一个
的二面角
，此时
的最小值记作
．则下列
结论正确的是（ ）
A．
B．若
，当图象沿
轴折叠时，
C．
D．若
，当图象沿
轴折叠时，
3．（多选）（2025·河北·三模）如图，在矩形
中，
，点
为线段
上的动点（含
17
点，不含
点），将
沿
折起，使点
翻折至
位置，且二面角
为
，点
为线
段
上的动点，在四棱锥
中，下列说法错误的是（ ）
A．存在点
使得
平面
B．存在点
使得对于任意点
都有直线
和直线
垂直
C．三棱锥
的体积为定值
D．二面角
的正切值的最小值为
4．（多选）（2025·湖南长沙·三模）已知正方体
的棱长为
，
为侧面
内（含边
界）的一个动点，
分别是线段
的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．不存在点
，使得
平面
B．若
平面
，则点
的轨迹长度为
C．若
为侧面
的中心，则四棱锥
的外接球的表面积为
D．当
时，三棱锥
的体积为定值
5．（多选）（2025·山东聊城·二模）如图，棱长为2 的正方体
中，点E，F 分别在棱
上，且
，
，其中
，点
是平面
内的一个动点（异于点
），
且
，则（ ）
18
A．
B．直线
与平面
所成的角的余弦值为
C．当
变化时，平面
截正方体所得的截面周长为定值
D．点
为
中点时，三棱锥
的外接球的表面积为
6．（多选）（2025·全国·模拟预测）在棱长为2 的正方体
中，
分别为
的中
点，则（ ）
A．
B．若过
的平面
与线段
（不含端点）相交于点
，则平面
截正方体所得截面是五边形
C．若已知过
的平面
平行于平面
，则平面
截正方体所得截面的周长为
D．若
为正方体
表面或内部一点，且
，则三棱锥
体积的最大值
为
7．（多选）（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
为线段
上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
19
A．
B．三棱锥
的体积是
C．
的最小值为
D．直线
与平面
夹角正弦值的最大值为
8．（多选）（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，在棱长为2 的正方体
中，
，
分别为
棱
，
的中点，
，
分别为线段
，
上的动点，则（ ）
A．异面直线
与
所成角的余弦值为
B．三棱锥
体积的最小值为2
C．当
平面
时，线段
的最小值为
D．存在点
，
，使得
9．（多选）（2025·湖南郴州·一模）在棱长为的正方体
中，点
在侧面
所在平
面内运动，
为
的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．当
在线段
上运动时，恒有
20
B．当
为正方形
的中心时，
与
所成角的正弦值为
C．若点
满足
，则平面
截正方体所得的截面面积为
D．直线
和
与平面
所成的角相等时，动点
的轨迹为圆
10．（多选）（2025·湖北襄阳·模拟预测）在棱长为2 正方体
中，
为
的中点，
是
侧面
内的一点（包含边界），则以下结论正确的是（ ）
A．若
，则点
的轨迹长度为
B．
与
所成角的最大值为
C．若三棱锥
的体积为
，则点
的轨迹长度为
D．若
在线段
上，则三棱锥
的外接球表面积的取值范围是
21
