文档文本内容
第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
内容导航
01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势
02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维
03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1空间几何体的结构特征 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积
知识点3 空间几何体的体积公式 知识点 4 解三角形的综合应用
题型破译
题型 1 空间几何体的结构特征与直观图
【方法技巧】
【易错分析】
题型 2 几何体的表面积与侧面积计算
【方法技巧】
【易错分析】
题型 3 几何体的体积计算
【方法技巧】
【易错分析】
题型 4 球与多面体的切接问题
【方法技巧】
【易错分析】
题型 5 体积的最值与范围问题
【方法技巧】
【易错分析】
题型 6 截面、展开与实际应用问题
【方法技巧】
【易错分析】
04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向
05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
空间几何体的结构特
—— —— ——
征
几何体的表面积与侧
—— —— 全国Ⅰ卷T5（5分）
面积
全国Ⅰ卷T5（5分），
全国甲卷（文）T14
几何体的体积计算 全国二卷T5（5分） ——
（5分），全国甲卷
（理）T14（5分）
球与几何体的切接 全国二卷T14（5分） —— ——
体积最值与截面问题 —— 全国二卷T14（5分） ——
空间几何体是高中立体几何模块的基础内容，是高考必考考点，衔接空间点线面
位置关系与空间向量知识，突出直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养。
1. 题型分值：单选 / 多选第 3～12 题（5 分），填空题第 13～16 题（5
分），解答题常作为立体几何解答题第 1 问考查（5～6 分），总分值 5～12
分；整体难度中等偏下，以基础题与中档题为主，常与空间线面关系、空间向
量、函数最值等知识交汇。
2. 五大考查方向：
考情分析
a. 空间几何体的结构特征辨析，结合直观图、展开图考查概念理解；
b. 柱、锥、台、球的表面积与侧面积计算，含组合体表面积求解；
c. 空间几何体的体积计算，包含等体积法、割补法的应用；
d. 球与多面体的切接问题，求解外接球、内切球半径与相关最值；
e. 截面问题、展开问题与体积最值问题，结合函数、不等式综合考查。
3. 综合融合：常与空间线面垂直、平行关系结合，先判定位置关系再计算体积
表面积；也可与基本不等式、三角函数、函数单调性结合考查最值问题，突出空
间想象与运算能力。
1. 掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能辨析几何体类型与性质；
2. 掌握柱、锥、台、球的表面积与体积公式，能灵活计算简单组合体的表面积
与体积；
3. 掌握等体积法、割补法等常用体积计算技巧，能处理不规则几何体的体积问
复习目标
题；
4. 掌握几何体的外接球、内切球模型，能求解常见切接问题的半径与相关量；
5. 能处理截面、展开与体积最值问题，提升空间想象与综合运算能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧知●识●解●构
知识点1 空间几何体的结构特征
一、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
二、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱， 叫作正棱柱．反之，正棱柱的底面是正
多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．
特别地， 叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的
射影是底面正多边形的中心．
三、直观图 —— 斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在
平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持
原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
自主检测（2026·山东·一模）水平放置的 ，用斜二测画法得到直观图 ，如图所示，若
，则 的面积等于______．
知识点2空间几何体的表面积与侧面积
一、多面体的表面积
多面体的表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积的和。
1. 直棱柱侧面积： 即 .
2. 正棱锥侧面积： 即 .
3. 正棱台侧面积： 即 .
二、旋转体的表面积
1. 圆柱
￮ 侧面积： （r为底面半径，l为母线长，数值上等于高h）
￮ 表面积：
2. 圆锥
￮ 侧面积： （r为底面半径，l为母线长）
￮ 表面积：
3. 圆台
￮ 侧面积： （r、R为上下底半径，l为母线长）
￮ 表面积：
4. 球￮ 表面积： （R为球半径）
注意：组合体表面积需注意重合的面不能重复计算，挖去部分需扣除重合面并新增内表面。
自主检测（2026·河南周口·三模）若圆锥的底面积为 ，高为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
知识点3 空间几何体的体积公式
1. 柱体体积
（S为底面积，h为高）
圆柱体积：
2. 锥体体积
（S为底面积，h为高）
圆锥体积：
3. 台体体积
1
V= h(S +S +√S ⋅S )
3 上底面积 下底面积 上底面积 下底面积
圆台体积:
4. 球的体积
4
V = πR3
体积 3
五、常用体积技巧
1. 等体积法：三棱锥可任意更换底面与顶点，常用于求点到平面的距离；
2. 割补法：将不规则几何体分割或补形为规则几何体，简化计算；
3. 比例法：相似几何体的体积比等于相似比的立方。
自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的
中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论
一、外接球问题核心：找球心，求半径球心到各顶点距离相等，均为半径R。
1. 长方体（墙角）模型
￮ 长方体的外接球直径等于体对角线长：
￮ 适用场景：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角型），可补形为长方体。
2. 直棱柱外接球
￮ 球心在上下底面中心连线的中点； （r为底面外接圆半径，h为棱柱高）
3. 正棱锥外接球
￮ 球心在高线上； （r为底面外接圆半径，h为棱锥的高）
二、内切球问题核心：等体积法
内切球球心到各面距离相等，均为半径r。
• 通用公式： （适用于多面体内切球）
• 正方体内切球：直径等于棱长；
• 正四面体内切球半径 ，外接球半径 （ 为正四面体的高）
三、常用二级结论
1. 正四面体棱长为a，则高 ，外接球半径 ，内切球半径 ；
2. 球的截面性质：截面圆半径 （ 为球心到截面的距离）。
自主检测（2025·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 的扇形，在该圆锥
内有一个体积为 的球，则该球的体积 的最大值是___________．
题●型●破●译
题型1 空间几何体的结构特征与直观图
例1-1（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在三棱锥 中，平面 平面
，若 为线段 上一动点，则 的最小值为__________．例1-2（2026·重庆永川·模拟预测）用斜二测画法画一个边长为 的正方形，其直观图面积为 .则
展开式的常数项为 _____.
方法技巧
1. 结构特征辨析：紧扣定义，注意关键词（如棱台 “侧棱延长线交于一点”、棱柱 “侧面都是平行四
边形且侧棱平行”）；
2. 斜二测画法：牢记 “横不变，纵减半，平行性不变”，面积比为原图:直观图= 。
易错分析
1. 旋转体判断忽略旋转轴的位置，如直角三角形绕斜边旋转不是圆锥；
2. 棱台、圆台判定忽略 “上下底面平行且相似，侧棱延长线共点” 的条件；
3. 斜二测画法中长度与面积的换算关系记反。
【变式训练1-1】（2026·重庆永川·模拟预测）用斜二测画法画一个边长为 的正方形，其直观图面积为
.则 展开式的常数项为 _____.
【变式训练1-2】（2025·陕西西安·二模）如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，
已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形 的面积为 D．四边形 的周长为
题型2 几何体的表面积与侧面积计算
例2-1（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为 ，体积为 ，球 的表面积为 ，体积为 .已知
圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比 ，则圆锥与球 的表面积之比 （ ）A． B． C． D．
例2-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台 的高为 ， ，则该棱台的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1. 规则几何体：直接代入公式，分清侧面积与全面积，注意底面个数；
2. 组合体：先分析组成结构，重合的面需扣除，挖去类注意新增内表面；
3. 三视图问题：先还原几何体形状，再对应棱长计算。
易错分析
1. 混淆侧面积与表面积，漏算底面积或多算重合面；
2. 圆锥、圆台中母线长与高混淆，公式代入错误；
3. 组合体表面积计算时，挖去部分只减不加，遗漏内侧面。
【变式训练2-1】（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为 ，从中挖去一内接圆柱 ，圆柱一
个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-2】（多选题）（2026·广西南宁·模拟预测）如图，矩形ABCD是圆柱 的轴截面，
， ，E为 的中点，M为 的中点，则（ ）
A． 平面
B．圆柱 的侧面积为C．三棱锥 的体积为
D．圆柱 的外接球的表面积为
【变式训练2-3】（2026·北京·三模）如图，在棱台 中，底面ABCD和 为正方形，
， ，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为
________．
题型3 几何体的体积计算
例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面的面积分别为 和 ，
侧棱与底面所成角的余弦值为 ， 则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
例3-2（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该
圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如
图所示），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1. 公式法：规则几何体直接对应体积公式，找准底面积与对应高；
2. 割补法：不规则几何体分割为多个规则体，或补形为完整规则体（如补为长方体、棱柱）；
3. 等体积法：三棱锥换底换高，常用于求体积或点面距离。
易错分析
1
1. 锥体体积漏乘 ，是高频易错点；
3
2. 底面积与高不对应，高必须垂直于底面；3. 割补后体积关系搞反，补形后需减去多余部分。
【变式训练3-1】（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为 的三角形，且该圆锥的顶点和底面的
圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-2】（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面 平面 ， ，
， ， ，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3-3】（多选题）（2026·江苏南京·三模）正三棱柱 中，棱长均为3， 在棱
上，且 （ 在 上面），则（ ）
A．五面体 的体积是定值
B． 与 可能垂直
C．
D．当 时，称五面体 为刍甍，该刍甍体积为
题型4 球与多面体的切接问题
例4-1（2026·云南·三模）将边长为2的正方形 沿对角线 翻折，得到三棱锥 ，当三棱锥
的体积最大时，则三棱锥 的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
例4-2（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、
追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥形模型
的内切球的半径为（ ）A． B． C． D．
方法技巧
1. 外接球解题核心：确定球心位置，利用勾股定理列方程求半径:
- 有两两垂直棱→补长方体（墙角模型）；
- 直棱柱 / 圆柱→球心在中垂面， ;
- 正棱锥 / 圆锥→球心在高线上，列方程求解。
2. 内切球解题核心：等体积法， 。
3. 球的截面：利用 建立半径与距离关系。
易错分析
1. 求范围时忽略锐角三角形等约束条件，导致范围扩大；
2. 基本不等式使用时，忽略等号成立的条件是否满足三角形要求；
3. 角的范围推导错误，导致三角函数值域计算偏差。
【变式训练4-1】（2026·河南·模拟预测）在长方体 中，M为 的中点，N为 的中
点， ， ， ，则四面体 的外接球的半径为________.
【变式训练4-2】（2026·北京海淀·三模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫
卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体
分成三组，经 榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容
器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为______．题型5 体积的最值与范围问题
例5-1（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的
一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．144 D．256
例5-2（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥 的顶点均在球 的球面上，且球心 在棱 上，
若球 的表面积为 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
方法技巧
1. 函数法：设变量（如半径、高），将体积表示为单变量函数，结合函数单调性或导数求最值；
2. 基本不等式法：利用表面积、侧面积等定值条件，结合均值不等式求体积最值；
3. 几何临界法：分析运动过程中的临界位置，确定最值点。
易错分析
1. 变量范围考虑不全，忽略几何约束（如底面半径、高的取值限制）；
2. 基本不等式使用时忽略等号成立条件；
3. 多变量问题无法正确消元，导致无法求解。
【变式训练5-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知长方体的一条棱长为 ，体积为 ，则其外接球表面
积的最小值为________.
【变式训练5-2】（2026·四川·二模）已知正方体 ，O为 的中心，M为 的中点，
过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为 ， ，则 的取值范围为
_____________．
【变式训练5-3·变载体】（2026·山东东营·模拟预测）在三棱锥 中，等边三角形 的边长为 ，
， ，点 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)设点 在底面 上的投影为 ，求三棱锥 体积的最大值．题型6 截面、展开与实际应用问题
例6-1（2026·山西晋城·一模）已知某圆台的上底面面积为 ，下底面面积为 ，轴截面的面积为
48，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
例6-2（2025·河北·三模）已知底面半径为 的圆锥其轴截面面积为 ，过圆锥顶点的截面面积最大值为
，若 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
方法技巧
1. 截面问题：找平面与几何体棱的交点，顺次连接得截面形状，再计算面积周长；
2. 展开问题：将侧面展开为平面图形，化曲为直，用两点之间线段最短求最短路径；
3. 实际应用：抽象出几何体模型，对应表面积、体积公式求解。
易错分析
1. 截面交点找不全，导致截面形状判断错误；
2. 圆锥展开图中圆心角与底面半径、母线的关系记错；
3. 展开图中起点与终点的对应位置搞错。
【变式训练6-1】（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂
起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部
分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面
所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的
体积公式为 ，其中 是球的半径， 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4
cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 ）（ ）A． cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3
【变式训练6-2】（多选题）（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知圆台的轴截面为ABCD，其中
为圆弧 的中点， ，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面 所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过 三点的平面与圆台下底面的交线长为
【变式训练6-3】（多选题）已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点
B，下列说法正确的有（ ）
A．截面SAB的最大面积为
B．若 ，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为
C．当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
D．若 ，且 ，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行
的路程最短时，下坡路段长为18cm
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为 的菱形，上、下底面的边长
分别为2，3，该棱台的高为 ，则其体积为（ ）A． B． C． D．
2．（2025·上海·高考真题）如图， 是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A． 和 ； B． 和 ； C． 和 ； D． 和 ．
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与
平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，
则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
二、填空题
6．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 平面ABC，平面 平面ABC，
， .若 ，
则该多面体的体积为________．
7．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的
体积为_________．8．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________ ．
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分
别为 , ，则圆台甲与乙的体积之比为______．
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角
形， 平面 ，则 ________．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是________．
三、解答题
12．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．
(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、判断题
1．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.( )
二、填空题
2．一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这
个几何体是__________.
3．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，
再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱 始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时， 是定值．
其中所有正确命题的序号是______，为什么？
三、解答题
4．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正
方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
5．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.6．已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
7．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
8．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000 的水，现放入一个直径为50cm的
木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
9．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.
10．若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？
（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
