第七章立体几何与空间向量
§7.6 空间向量的概念与运算
【考情分析·探规律】
考点
3 年考情（2021-2024）
命题趋势
空间向量的
概念与运算
2024·北京、2024·全国甲卷
2024·天津、2024·新课标Ⅱ卷
2023·北京、2023·全国乙卷
2023·新课标Ⅰ卷、2022·天津
2022·浙江、2022·新高考全国Ⅱ卷
2022·全国甲卷、2022·全国乙卷
2022·北京
掌握空间向量的线性运算及其
坐标表示，掌握空间向量的数量积
及其坐标表示，能用向量的数量积
判断向量的共线和垂直；理解直线
的方向向量及平面的法向量，能用
向量方法证明立体几何中有关线面
位置关系的一些简单定理。
【知识梳理】
1.空间向量的有关概念
名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相
等
的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向
量
共面向量
平行于同一个平面的向量
2.空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，
使得a ＝
λ b .
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b 不共线，那么向量p 与向量a，b 共面的充要条
件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a ＋
y b .
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c 不共面，那么对任意一个空间向量p，存
在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a ＋
y b ＋
z c ，其中，{a，b，c}叫做空间的一个
基底.
3.空间向量的数量积
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA＝a，OB＝b，
则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝，则
称a 与b 互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b 的数量积，
记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(3)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
4.空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
向量表示
坐标表示
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cos〈a，b〉＝
5.直线的方向向量和平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则
称此向量a 为直线l 的方向向量.
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l 的方向向量a，则向量a 叫做平面α 的法向量.
6.空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别
为u1，u2
l1∥l2
u1∥u2⇔u1＝λu2
l1⊥l2
u1⊥u2⇔u1·u2＝0
直线l 的方向向量为u，平
面α 的法向量为n
l∥α
u⊥n⇔u·n＝0
l⊥α
u∥n⇔u＝λn
平面α，β 的法向量分别为
n1，n2
α∥β
n1∥n2⇔n1＝λn2
α⊥β
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
【名师点拨】
1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.
2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.
3.实数0 和任意向量相乘都为零向量.
4.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算.
5.在利用MN＝xAB＋yAC证明MN∥平面ABC 时，必须说明M 点或N 点不在平面ABC
内.
【随堂训练】
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )
(2)若直线a 的方向向量和平面α 的法向量平行，则a∥α.( )
(3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c 中至多有一个零向量.( )
(4)若a·b<0，则〈a，b〉是钝角.( )
(5)若两平面的法向量平行，则不重合的两平面平行.( )
【答案】(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
【解析】(1)直线的方向向量不是唯一的，有无数多个.(2)a⊥α.(3)若a，b，c 中有一个
是0，则a，b，c 共面，不能构成空间一个基底.(4)若〈a，b〉＝π，则a·b<0，故(4)不
正确.
2.如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC 与BD 的交点为点M，设⃗AB=a，⃗AD
=b，⃗A A1=c，则下列向量中与⃗C1 M相等的向量是( )
A.-1
2a+1
2b+c
B.1
2a+1
2b+c
C.-1
2a-1
2b-c
D.-1
2a-1
2b+c
【答案】C
【解析】⃗C1 M=⃗C1C +⃗CM=⃗C1C + 1
2 (⃗CB+⃗CD)=⃗A1 A + 1
2⃗DA + 1
2⃗BA=-1
2a-1
2b-c.
3.若平面α 外的直线l 的方向向量为a=(1，0，-2)，平面α 的法向量为m=(8，-1，4)，
则( )
A.l⊥α
B.l∥α
C.a∥m
D.l 与α 斜交
【答案】B
【解析】根据题意，直线l 的方向向量为a=(1，0，-2)，
平面α 的法向量为m=(8，-1，4)，易得a·m=1×8-2×4=0，
又直线l 在平面α 外，则有l∥α.
4.已知空间向量a=(λ，1，2)，b=(2，λ+1，λ)，若a∥b，则实数λ= .
【答案】-2
【解析】由a∥b，可设b=μa(μ∈R)，
则(2，λ+1，λ)=(μλ，μ，2μ)，
所以{
2= μλ ,
λ+1= μ,
λ =2 μ
⇒{
μ=−1,
λ =−2.
【名师点拨】
1.牢记空间中三点共线、四点共面的充要条件
(1)在平面中A，B，C 三点共线的充要条件是：⃗OA=x⃗OB+y⃗OC(其中x+y=1)，O 为平面
内任意一点.
(2)在空间中P，A，B，C 四点共面的充要条件是：⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC(其中
x+y+z=1)，O 为空间任意一点.
2.解题时防范以下几个易误点
(1)向量的数量积满足交换律、分配律，即a·b=b·a，a·(b+c)=a·b+a·c 成立，但不满足结
合律，即(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立.
(2)由于0 与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，故0 不能作为基向量.
(3)直线的方向向量和平面的法向量均不为零向量且不唯一.
【必练核心题型】
题型一 空间向量的线性运算
【典例】1.已知向量⃗AB=(1，a，-2)，⃗AC=(-3，6，b)，若A，B，C 三点共线，则a-
b 等于( )
A.-8
B.-2
C.2
D.8
【答案】A
【解析】因为A，B，C 三点共线，所以⃗AB与⃗AC共线，又向量⃗AB=(1，a，-2)，⃗AC
=(-3，6，b)，
所以−3
1 =6
a= b
−2，
所以a=-2，b=6，所以a-b=-8.
【典例】2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，E 是BC 的中点，⃗AG=2⃗GE，则⃗GC1等于( )
A.1
3⃗AB-2
3⃗AC +⃗A A1
B.1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
C.-1
3⃗AB+ 2
3⃗AC +⃗A A1
D.-1
3⃗AB+ 2
3⃗AC-⃗A A1
【答案】C
【解析】因为⃗AG=2⃗GE，所以⃗GE=1
3⃗AE，
所以⃗GC1=⃗GE+⃗EC +⃗C C1=1
3⃗AE+ 1
2⃗BC +⃗A A1
=1
3×1
2 (⃗AB+⃗AC)+1
2 (⃗AC-⃗AB)+⃗A A1
=2
3⃗AC-1
3⃗AB+⃗A A1.
【解题技巧】
用已知向量表示某一向量的三个关键点
(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.
(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.
【变式训练】
变式1.在正四面体ABCD 中，F 是AC 的中点，E 是DF 的中点，若⃗DA=a，⃗DB=b，⃗
DC=c，则⃗BE等于( )
A.1
4 a-b+1
4 c
B.1
2a-b+1
2c
C.1
4 a+b+1
4 c
D.1
2a-b+c
【答案】A
【解析】根据题意可得⃗DF=1
2 (⃗DA +⃗DC)=1
2(a+c)，⃗DE=1
2⃗DF=1
4 (a+c)，
所以⃗BE=⃗BD +⃗DE=-⃗DB+⃗DE=-b+1
4 (a+c)=1
4 a-b+1
4 c.
题型二 空间向量基本定理及其应用
【典例】1.(多选)下列说法正确的是( )
A.若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线
B.若G 是四面体OABC 的底面△ABC 的重心，则⃗OG=1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC)
C.若⃗OG=2
5⃗OA-3
5⃗OB+ 4
5⃗OC，则A，B，C，G 四点共面
D.若向量p=mx+ny+kz(其中x，y，z 是三个不共面的向量，m，n，k∈R)，则称p 在
基底{x，y，z}下的坐标为(m，n，k).若p 在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，
2，3)，则p 在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(−1
2 ，3
2 ，3)
【答案】BD
【解析】对于A，若b=0，则满足a 与b 共线，b 与c 共线，但是a 与c 不一定共线，
故A 错误；
对于B，由于G 为四面体OABC 的底面△ABC 的重心，设D 为BC 的中点，故⃗AG=2⃗
GD，
整理得⃗OG-⃗OA=2⃗OD-2⃗OG，故3⃗OG=⃗OB+⃗OC +⃗OA，
故⃗OG=1
3 (⃗OA +⃗OB+⃗OC)，故B 正确；
对于C，由于2
5-3
5 + 4
5 ≠1，对于⃗OG=2
5⃗OA-3
5⃗OB+ 4
5⃗OC，
故A，B，C，G 四点不共面，故C 错误；
对于D，p 在单位正交基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，即p=a+2b+3c，设p 在基
底{a-b，a+b，c}下的坐标为(x，y，z)，则满足p=x(a-b)+y(a+b)+zc=(x+y)a+(y-
x)b+zc=a+2b+3c，
故{
x + y =1,
y −x =2,
z =3,
解得{
x =−1
2 ,
y = 3
2 ,
z =3,
则p 在基底{a-b，a+b，c}下的坐标为(−1
2 ，3
2 ，3)，故D 正确.
【解题技巧】
应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较
三点(P，A，B)共线
空间四点(M，P，A，B)共面⃗
PA=λ⃗PB⃗
MP=x⃗MA+y⃗MB
对空间任一点O，⃗OP=⃗OA+t⃗AB
对空间任一点O，⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
对空间任一点O，⃗OP=x⃗OA+(1-x)⃗OB
对空间任一点O，⃗OP=x⃗OM+y⃗OA+(1-x-y)⃗OB
【变式训练】
变式1.O 为空间任意一点，若⃗AP=-1
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC，若A，B，C，P 四点共面，
则实数t 等于( )
A.1
B.9
8
C.1
8
D.1
4
【答案】C
【解析】因为⃗AP=⃗OP-⃗OA，
所以⃗AP=-1
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC可化简为⃗
OP-⃗OA=-1
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC，
即⃗OP=3
4⃗OA + 1
8⃗OB+t⃗OC，
由于A，B，C，P 四点共面，则3
4 + 1
8+t=1，
解得t=1
8.
题型三 空间向量数量积及其应用
【典例】1.(多选)已知空间中A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)三点，则( )
A.⃗AB与⃗AC是共线向量
B.与向量⃗AB方向相同的单位向量是(
2❑√5
5
，−
❑√5
5 ，0)
C.⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是-
❑√55
11
D.平面ABC 的一个法向量是(1，-2，5)
【答案】CD
【解析】因为A(0，1，0)，B(2，2，0)，C(-1，3，1)，
所以⃗AB=(2，1，0)，⃗AC=(-1，2，1)，
因为不存在实数λ，使得⃗AB=λ⃗AC，
所以⃗AB与⃗AC不共线，故A 错误；
因为|⃗AB|=❑√2
2+1
2=❑√5，
所以与向量⃗AB方向相同的单位向量是⃗AB
|⃗AB|
=(
2❑√5
5
，
❑√5
5 ，0)，故B 错误；
又⃗BC=(-3，1，1)，所以⃗AB与⃗BC夹角的余弦值是⃗
AB·⃗BC
|⃗AB||⃗BC |
=
−5
❑√5×❑√11=-
❑√55
11 ，故
C 正确；
不妨令n=(1，-2，5)，则⃗AB·n=1×2+(-2)×1+5×0=0，⃗
AC·n=1×(-1)+(-2)×2+5×1=0，
即⃗AB⊥n 且⃗AC⊥n，
所以n=(1，-2，5)是平面ABC 的法向量，故D 正确.
【典例】2.已知圆锥SO 的底面半径为2，点P 为底面圆周上任意一点，点Q 为侧面
(异于顶点和底面圆周)上任意一点，则⃗OP·⃗OQ的取值范围为( )
A.(-4，4)
B.[-4，4]
C.(-2，2)
D.[-2，2]
【答案】A
【解析】如图所示，延长SQ 交底面圆周于点B，过点Q 作QG⊥底面圆于点G，
显然⃗OP·⃗OQ=⃗OP·(⃗OG+⃗GQ)=⃗OP·⃗OG=2cos〈⃗OP，⃗OG〉·|⃗OG|，
由题意可知cos〈⃗OP，⃗OG〉∈[-1，1]，0<|⃗OG|<2，
所以⃗OP·⃗OQ的取值范围为(-4，4).
【解题技巧】
空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；
二是利用坐标运算.
【变式训练】
1.已知空间向量a=(-2，-1，1)，b=(3，4，5)，则下列结论正确的是( )
A.(a+b)∥a
B.a 与b 夹角的余弦值为
❑√3
6
C.2a⊥(5a+6b)
D.4|a|=❑√3|b|
【答案】C
【解析】对于A，a+b=(1，3，6)，因为−2
1 ≠−1
3 ≠1
6，所以a+b 与a 不平行，故A 错
误；
对于B，a 与b 夹角的余弦值为
a·b
|a||b| =−6−4+5
❑√6×❑√50 =-
❑√3
6 ，故B 错误；
对于C，2a=(-4，-2，2)，5a+6b=(8，19，35)，则2a·(5a+6b)=-32-38+70=0，即
2a⊥(5a+6b)，故C 正确；
对于D，4|a|=4❑√6，❑√3|b|=❑√3×❑√50=5❑√6，故D 错误.
题型四 向量法证明平行、垂直
【典例】1.如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面
PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=
❑√2
2 AD，设E，F 分别为PC，BD 的中点.求证：
(1)EF∥平面PAD；
(2)平面PAB⊥平面PDC.
【证明】
(1)如图，取AD 的中点O，连接OP，OF.
因为PA=PD，
所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO⊂平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
又O，F 分别为AD，BD 的中点，所以OF∥AB.
又四边形ABCD 是正方形，所以OF⊥AD.
因为PA=PD=
❑√2
2 AD，
所以PA⊥PD，OP=OA=a
2.
如图，以O 为坐标原点，OA，OF，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角
坐标系，
则A(
a
2 ，0，0)，F(0，a
2 ，0)，D(−a
2 ，0，0)，P(0，0，a
2)，C
(−a
2 ，a，0).
因为E 为PC 的中点，所以E(−a
4 ，a
2 ，a
4).
易知平面PAD 的一个法向量为⃗OF=(0，a
2 ，0)，
因为⃗EF=(
a
4 ，0，−a
4)，⃗
OF·⃗EF=(0，a
2 ，0)·(
a
4 ，0，−a
4)=0.
且EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
(2)因为⃗PA=(
a
2 ，0，−a
2)，⃗
CD=(0，-a，0)，
所以⃗PA·⃗CD=(
a
2 ，0，−a
2)·(0，-a，0)=0，
所以⃗PA⊥⃗CD，
所以PA⊥CD.
又PA⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD⊂平面PDC，
所以PA⊥平面PDC.
又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PDC.
【解题技巧】
(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，
准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).
(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何
的有关定理.
【变式训练】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2❑√5，AA1=
❑√7，BB1=2❑√7，点E 和F 分别为BC 和A1C 的中点.求证：
(1)EF∥平面A1B1BA；
(2)平面AEA1⊥平面BCB1.
【证明】因为AB=AC，E 为BC 的中点，
所以AE⊥BC.
因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，
所以过E 作平行于BB1的垂线为z 轴，EC，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
因为AB=3，BE=❑√5，
所以AE=2，
所以E(0，0，0)，C(❑√5，0，0)，
A(0，2，0)，B(-❑√5，0，0)，A1(0，2，❑√7)，则F(
❑√5
2 ，1，
❑√7
2 ).
(1)⃗EF=(
❑√5
2 ，1，
❑√7
2 )，⃗AB=(-❑√5，-2，0)，⃗
A A1=(0，0，❑√7).
设平面A1B1BA 的一个法向量为n=(x，y，z)，
则{
n·⃗AB =0,
n·⃗A A1=0,
所以{
−❑√5 x−2 y =0,
❑√7 z =0,
取{
x =−2,
y = ❑√5,
z =0,
所以n=(-2，❑√5，0).
因为⃗EF·n=
❑√5
2 ×(-2)+1×
❑√5+
❑√7
2 ×0=0，
所以⃗EF⊥n.
又EF⊄平面A1B1BA，
所以EF∥平面A1B1BA.
(2)易证EC⊥平面AEA1，
所以⃗EC=(❑√5，0，0)为平面AEA1的一个法向量.
同理易证EA⊥平面BCB1，
所以⃗EA=(0，2，0)为平面BCB1的一个法向量.
因为⃗EC·⃗EA=0，所以⃗EC⊥⃗EA，
故平面AEA1⊥平面BCB1.
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共30 分)
1.在空间四边形ABCD 中，E，F 分别为BC，CD 的中点，则⃗AF-1
2 (⃗AB+⃗AC)等于(
)
A.-⃗EF
B.⃗BD
C.⃗EF
D.-⃗BD
【答案】C
【解析】在空间四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，则⃗AB+⃗AC=2⃗AE，
所以⃗AF-1
2 (⃗AB+⃗AC)=⃗AF-⃗AE=⃗EF.
2.已知a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，且a∥b，则m+n 等于( )
A.4
B.6
C.8
D.10
【答案】C
【解析】因为a∥b，
所以存在实数t，使得a=tb，
又a=(1，m，3)，b=(2，4，n)，
所以(1，m，3)=t(2，4，n)=(2t，4t，nt)，
所以{
1=2t ,
m= 4t ,
3=nt ,
解得{
t = 1
2 ,
m=2,
n=6,
所以m+n=2+6=8.
3.设m 为实数，若直线l 垂直于平面α，且l 的方向向量为(m，2，4)，平面α 的法向量
为(2，4，8)，则m 的值为( )
A.1
B.2
C.-20
D.-10
【答案】A
【解析】因为直线l 垂直于平面α，
所以直线l 的方向向量(m，2，4)与平面α 的法向量(2，4，8)平行，
即m
2 =2
4 =4
8 ，解得m=1.
4.已知a=(1，0，2)，b=(3，-2，1)，c=(-1，m，3)，若a，b，c 三个向量共面，则实数
m 等于( )
A.-1
B.2
C.3
D.5
【答案】B
【解析】∵a，b，c 三个向量共面，
∴存在唯一有序实数对(λ，μ)，使c=λa+μb，
即(-1，m，3)=λ(1，0，2)+μ(3，-2，1)，
即{
λ+3 μ=−1,
−2 μ=m,
2 λ+ μ=3
⇒{
λ =2,
μ=−1,
m=2.
5.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，BD=3，⃗A D1·⃗DC-⃗A B1·⃗BC=4，则cos
〈⃗A A1，⃗BD〉等于( )
A.2
3
B.-2
3
C.3
4
D.-3
4
【答案】B
【解析】因为⃗A D1·⃗DC-⃗A B1·⃗BC=(⃗AD +⃗A A1)·⃗AB-(⃗AB+⃗A A1)·⃗AD
=⃗AD·⃗AB+⃗A A1·⃗AB-⃗AB·⃗AD-⃗A A1·⃗AD=⃗A A1·(⃗AB-⃗AD)=⃗AA1·⃗DB=4，
所以⃗A A1·⃗BD=-4，
cos〈⃗A A1，⃗BD〉=⃗
A A1·⃗BD
|⃗A A1||⃗BD|
= −4
2×3=-2
3.
6.(2025·日照模拟)已知棱长为1 的正方体ABCD-A1B1C1D1，以正方体中心为球心的球O
与正方体的各条棱相切，若点P 在球O 的正方体外部(含正方体表面)运动，则⃗PA·⃗PB
的最大值为( )
A.2
B.7
4
C.3
4
D.1
4
【答案】B
【解析】取AB 的中点E，
可知E 在球面上，可得⃗EB=-⃗EA=-1
2⃗BA，
所以⃗PA·⃗PB=(⃗PE +⃗EA)·(⃗PE +⃗EB)=⃗PE
2-⃗EA
2=⃗PE
2-1
4 ，
点P 在球O 的正方体外部(含正方体表面)运动，当PE 为直径时，|⃗PE|max=❑√2，
所以⃗PA·⃗PB的最大值为7
4 .
二、多项选择题(每小题6 分，共12 分)
7.下列命题正确的是( )
A.平面α，β 的法向量分别为n1=(0，1，3)，n2=(1，2，6)，则α∥β
B.直线l 的方向向量为a=(1，-1，2)，直线m 的方向向量为b=(2，1，−1
2)，则l 与
m 垂直
C.直线l 的方向向量为a=(0，1，-1)，平面α 的法向量为n=(1，-1，-1)，则l∥α
D.平面α 经过A(1，0，-1)，B(0，1，0)，C(-1，2，0)三点，向量n=(1，u，t)是平面α
的一个法向量，则u+t=1
【答案】BD
【解析】对于A，向量n1=(0，1，3)与n2=(1，2，6)不共线，平面α 与β 不平行，A 错
误；
对于B，由a=(1，-1，2)，b=(2，1，−1
2)，得a·b=1×2-1×1+2×(−1
2)=0，l 与m
垂直，B 正确；
对于C，a·n=1×(-1)+(-1)×(-1)=0，a⊥n，则l⊂α 或l∥α，C 错误；
对于D，⃗BA=(1，-1，-1)，⃗BC=(-1，1，0)，
由n=(1，u，t)是平面α 的一个法向量，得{⃗
BA ·n=1−u−t =0,⃗
BC ·n=−1+u=0, 解得u+t=1，D 正确.
8.下列说法正确的是( )
A.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(3，-4，5)关于Oxy 平面对称的点为(3，-4，-5)
B.对空间任意一点O 与不共线的A，B，C 三点，若⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+z⃗OC，其中x，y，
z∈R 且x+y+z=1，则P，A，B，C 四点共面
C.已知a=(0，1，1)，b=(0，0，-1)，则a 在b 上的投影向量为(0，0，-1)
D.向量p 在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，则向量p 在基底{a+b，a-b，c}下的坐
标为(3，1，3)
【答案】ABD
【解析】对于A，点(3，-4，5)关于Oxy 平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标
变为相反数，即为(3，-4，-5)，故A 正确；
对于B，因为x+y+z=1，则z=1-x-y，所以⃗OP=x⃗OA+y⃗OB+(1-x-y)⃗OC，即⃗OP-⃗OC=x⃗OA-
x⃗OC+y⃗OB-y⃗OC，所以⃗CP=x⃗CA+y⃗CB，所以P，A，B，C 四点共面，故B 正确；
对于C，由投影向量定义可得a 在b 上的投影向量为a·b
|b|
2 b=−1
1 b=-b=(0，0，1)，故C
错误；
对于D，设向量p 在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(x，y，z)，
则p=x(a+b)+y(a-b)+zc，
又向量p 在基底{a，b，c}下的坐标为(4，2，3)，
则p=4a+2b+3c，
所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc
=(x+y)a+(x-y)b+zc，
所以{
x + y = 4 ,
x−y =2,
z =3,
解得{
x =3,
y =1,
z =3,
所以向量p 在基底{a+b，a-b，c}下的坐标为(3，1，3)，故D 正确.
三、填空题(每小题5 分，共10 分)
9.在空间直角坐标系中，已知A(1，1，0)，B(-1，0，2)，点C 满足⃗AC=3⃗AB，则点C
的坐标为 .
【答案】(-5，-2，6)
【解析】设C(x，y，z)，
则⃗AB=(-2，-1，2)，⃗AC=(x-1，y-1，z)
=3⃗AB=(-6，-3，6)，
故{
x−1=−6,
y −1=−3,
z =6,
解得{
x =−5,
y =−2,
z =6.
故点C 的坐标为(-5，-2，6).
10.已知三棱锥P-ABC 的体积为6，M 是空间中一点，⃗PM=- 1
15⃗PA + 2
15⃗PB+ 4
15⃗PC，
则三棱锥A-MBC 的体积是 .
【答案】4
【解析】⃗PM=- 1
15⃗PA + 2
15⃗PB+ 4
15⃗PC，故3⃗PM=-1
5⃗PA + 2
5⃗PB+ 4
5⃗PC，
不妨令⃗PH=3⃗PM，
则⃗PH=-1
5⃗PA + 2
5⃗PB+ 4
5⃗PC，
又-1
5 + 2
5 + 4
5 =1，故H，A，B，C 四点共面，
故V 三棱锥M-ABC=2
3V 三棱锥P-ABC=2
3×6=4.
四、解答题(共27 分)
11.(13 分)如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且
PA=AD=2，E，F，H 分别是线段PA，PD，AB 的中点.求证：
(1)PB∥平面EFH；(5 分)
(2)PD⊥平面AHF.(8 分)
【证明】
(1)∵E，H 分别是线段PA，AB 的中点，
∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，
∴PB∥平面EFH.
(2)因为PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 为正方形，
则AB，AD，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系.
则A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，H(1，0，0).⃗
PD=(0，2，-2)，⃗AH=(1，0，0)，⃗AF=(0，1，1)，
∴⃗PD·⃗AF=0×0+2×1+(-2)×1=0，⃗
PD·⃗AH=0×1+2×0+(-2)×0=0.
∴⃗PD⊥⃗AF ，⃗PD⊥⃗AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF=A，且AH，AF⊂平面AHF，
∴PD⊥平面AHF.
12.(14 分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=CC1，⃗CA=a，⃗CB=b，⃗C C1
=c，〈a，b〉=〈a，c〉=2π
3 ，〈b，c〉=π
2 ，N 是AB 的中点.
(1)用a，b，c 表示向量⃗A1 N；(5 分)
(2)在线段C1B1上是否存在点M，使AM⊥A1N？若存在，求出M 的位置，若不存在，
请说明理由.(9 分)
【解析】
(1)⃗A1 N=⃗A1 A +⃗AN=⃗C1C + 1
2⃗AB=-⃗C C1+ 1
2 (⃗CB-⃗CA)=-1
2a+1
2b-c.
(2)假设存在点M，使AM⊥A1N，
设⃗C1 M=λ⃗C1B1=λb(λ∈[0，1])，
显然⃗AM=⃗A A1+⃗A1C1+⃗C1 M=c-a+λb.
因为AM⊥A1N，所以⃗AM·⃗A1 N=0，
即(c-a+λb)·(−1
2 a+ 1
2 b−c)=0，
所以-1
2c·a+1
2c·b-c2+1
2a2-1
2a·b+c·a-1
2λa·b+1
2λb2-λb·c
=1
2c·a+(
1
2 −λ)c·b-c2+1
2a2-(
1
2 + 1
2 λ)a·b+1
2λb2=0.
设CA=CB=CC1=1，
又〈a，b〉=〈a，c〉=2π
3 ，〈b，c〉=π
2 ，
所以1
2c·a-c2+1
2a2-(
1
2 + 1
2 λ)a·b+1
2λb2=0，
即1
2×1×1×(−1
2)-12+1
2×12-(
1
2 + 1
2 λ)×1×1×(−1
2)+ 1
2λ×12=0，
解得λ=2
3，
所以当C1M=2
3C1B1时，AM⊥A1N.
【尖子拔高训练】13 题5 分，14 题6 分，共11 分
13.1941 年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤
其是通过开展大生产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结构简
图中线段AB 与CD 所在直线异面垂直，E，F 分别为AB，CD 的中点，且EF⊥AB，
EF⊥CD，线拐子使用时将丝线从点A 出发，依次经过D，B，C 又回到点A，这样一
直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中AB=EF=CD=30 cm，则丝线
缠一圈的长度为( )
A.90❑√2 cm
B.90❑√3 cm
C.60❑√6 cm
D.80❑√3 cm
【答案】C
【解析】依题意⃗BE⊥⃗EF ，⃗FD⊥⃗EF ，⃗BE⊥⃗FD，
所以⃗BE·⃗EF=0，⃗FD·⃗EF=0，⃗BE·⃗FD=0，
又⃗BD=⃗BE +⃗EF +⃗FD，
所以⃗BD
2=(⃗BE +⃗EF +⃗FD)
2
=⃗BE
2+⃗EF
2+⃗FD
2+2⃗BE·⃗EF+2⃗BE·⃗FD+2⃗EF·⃗FD
=152+302+152=152×6，
所以|⃗BD|=15❑√6，
同理可得|⃗AD|=|⃗AC|=|⃗BC|=15❑√6，
所以丝线缠一圈的长度为4×15❑√6=60❑√6(cm).
14.(多选)(2025·齐齐哈尔模拟)设Ox，Oy，Oz 是空间中两两夹角均为θ(θ∈(0，π
2])
的三条数轴，e1，e2，e3分别是与x，y，z 轴正方向同向的单位向量，若⃗OP
=xe1+ye2+ze3(x，y，z∈R)，则把有序数对(x，y，z)θ叫做⃗OP在坐标系Oxyz 中的坐标，
则下列结论正确的是( )
A.若a=(-1，3，-7)θ，b=(3，-2，4)θ，则a+b=(2，1，3)θ
B.若a=(2，6，−3)π
2，b=(3，−1，0)π
2，则a·b=0
C.若a=(x，y，0)θ，b=(1，2，0)θ，则当且仅当x∶y=1∶2 时，θ=π
6
D.若⃗OA=(1，0，0)π
3
，⃗OB=(0，1，0)π
3
，⃗OC=(0，0，1)π
3，则二面角O-AB-C
的余弦值为1
3
【答案】BD
【解析】对于A，因为a=(-1，3，-7)θ=-e1+3e2-7e3，b=(3，-2，4)θ=3e1-2e2+4e3，
则a+b=2e1+e2-3e3=(2，1，-3)θ，故A 错误；
对于B，因为a=(2，6，−3)π
2，b=(3，−1，0)π
2，
此时a，b 在空间直角坐标系中，则a·b=2×3+6×(-1)=0，故B 正确；
对于C，因为a=(x，y，0)θ=xe1+ye2，b=(1，2，0)θ=e1+2e2，
当x∶y=1∶2 时，y=2x，则a=(x，y，0)θ=xe1+2xe2=x(e1+2e2)=xb，
此时a∥b，θ 不一定为π
6 ，故C 错误；
对于D，因为⃗OA=(1，0，0)π
3
，⃗OB=(0，1，0)π
3
，⃗OC=(0，0，1)π
3，
则三棱锥O-ABC 是棱长为1 的正四面体，如图所示，取AB 的中点H，连接OH，
HC，
在等边△OAB，△ABC 中，易知OH⊥AB，HC⊥AB，OH=HC=
❑√3
2 ，则∠OHC 即为二
面角O-AB-C 的平面角，
在△OHC 中，由余弦定理得，cos∠OHC=O H
2+ H C
2−OC
2
2OH·HC
=
3
4 + 3
4 −1
2× 3
4
=1
3，
所以二面角O-AB-C 的余弦值为1
3，故D 正确.
