培优专题03 空间向量与立体几何 7 大重难题型
💎题型 01 空间线面平行、垂直关系的证明
命题方向一 空间几何体的平行关系的证明
命题方向二 空间几何体的垂直关系的证明
💎题型 02 空间几何体中空间角问题
命题方向一 空间几何体的线线角
命题方向二 空间几何体的线面角
命题方向三 空间几何体的面面角
💎题型 03 空间几何体的距离、体积问题
命题方向一 空间几何体中点到线的距离
命题方向二 空间几何体中线到面的距离
命题方向三 空间几何体中的体积问题
💎题型 04 立体几何中的探索与最值问题
命题方向一 立体几何中的最值问题
命题方向二 立体几何中的存在、探索问题
💎题型 05 空间几何体的折叠与展开问题
💎题型 06 立体几何的截面问题
💎题型 07 与球相关的立体几何创新问题
题型01 空间线面平行、垂直关系的证明
抓关键·破难点
刷经典·通方法
🎯命题方向一 空间几何体的平行关系的证明
1. （2026·山东临沂一模）如图，多面体EF
ABCD
-
中，四边形
为正方形，四边形
为矩
形，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）当平面
平面
时，求直线
与平面
所成角的正弦值.
ABCD
BDEF
2
BF
AB
=
M
AE
/ /
DM
CEF
ABCD ^
BDEF
CM
CEF
关系类型
核心证明思路
关键步骤
常用辅助线 / 性质
线面平行
找平面内的平行
线 → 证平行 →
用判定定理
① 在平面内找 / 作与已知直线平行的直线
② 证明两直线平行
③ 由线面平行判定定理得结论
三角形中位线、平行四边
形、相似三角形（线段成
比例）
面面平行
证一个平面内两
条相交直线都平
行于另一平面
① 在一个平面内找两条相交直线
② 分别证明它们平行于另一平面
③ 由面面平行判定定理得结论
线面平行判定、平行公理
线线垂直
证夹角为90°或
利用线面垂直性
质
① 证两线夹角为 90°（勾股逆定理、等腰三线
合一等）
② 或证一线垂直于过另一线的平面
③ 由垂直定义或线面垂直性质得结论
勾股逆定理、等腰三角形
三线合一、菱形对角线、
直径所对圆周角
线面垂直
证直线垂直于平
面内两条相交直
线
① 在平面内找两条相交直线
② 证明已知直线分别与它们垂直
③ 由线面垂直判定定理得结论
线线垂直、面面垂直性质
面面垂直
证一个平面内的
直线垂直于另一
平面
① 在一个平面内找一条直线
② 证明它垂直于另一平面
③ 由面面垂直判定定理得结论
线面垂直判定
2．（2026·湖北孝感·二模）如图：正八面体E
ABCD
F
-
-
可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底
面粘接在一起的几何体．
（1）证明：平面
/ /
EAD
平面FCB ；
（2）若
2
AB =
，点P 为棱EB 上的动点，则直线AP 与平面FAD 所成的角的正弦值的范围．
🎯命题方向二 空间几何体的垂直关系的证明
3. （2026·福建名校联盟3 月·模拟）如图，在三棱锥P
ABC
-
中，PAB
V
与
PBC
△
均为等边三角形，
平面PAC ^ 平面ABC ，D 是PC 的中点，E 是PB上的动点．
（1）证明：AB
BC
^
；
（2）若直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为
5
10
，求平面ACE 与平面ABC 夹角的余弦值．
4.（2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟·一模） 如图，在四棱锥
中，
，
为
的中点，
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
的夹角的余弦值.
5. （2026·山东德州·一模）如图，边长为2 的正方形
所在的平面与平面
垂直，且
.
（1）证明：平面
平面
；
（2）当
时，求平面
与平面
所成角的正弦值.
S
ABCD
-
,
,
,
//
SD
AD SD
CD AD
CD CD AB
^
^
^
E
SA
DA
DC
=
1
2
DS
AB
=
=
DE ^
SAB
SAD
BDE
ABCD
CMD
DM
MC
^
AMD ^
BMC
MC
MD
=
MAB
MCD
题型02 空间几何体中空间角问题
抓关键·破难点
一、异面直线所成的夹角：
1.平移法：将异面直线a
b
，平移到同一平面内，放在同一三角形内解三角形．
2.向量法：设异面直线1l 和2l 所成角为，其方向向量分别为u
，v
；则异面直线所成角向量求法：
①cos
,
|
|| |
u v
u v
u v
=
②cos
| cos
,
|
u v
=
二、线面角：
定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的
锐角即为斜线与平面的线面角．
范围：[0
]
2
，
1.常规法：过平面外一点B 做
¢ ^
BB
平面，交平面于点
'
B ；连接
¢
AB ，则
¢
ÐBAB 即为直线AB 与平面
的夹角．接下来在
△
¢
Rt
ABB 中解三角形．即sin
斜线长
¢
¢
Ð
=
=
BB
h
BAB
AB
（其中h 即点B 到面的距离，可以
采用等体积法求h ，斜线长即为线段AB 的长度）；
2.向量法：设l 为平面的斜线，
a 为l 的方向向量，
n 为平面的法向量，为l 与所成角的大小，则
sin
cos
,
=
=
a n
a n
a n
．
三、求立体几何中的面面角的求法：
1.定义法
在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图
在二面角
l
- -
的棱上任取一点O ，以O 为垂足，分别在半平面和内作垂直
于棱的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂
线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）．
2.垂面法
由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交
线所成的角，就是二面角的平面角．
3.向量法
设
1
2
，
uuuu
n n 是二面角
- -
l
的两个半平面的法向量，
若二面角为锐二面角（取正），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
=
；
若二面角为钝二面角（取负），则
1
2
cos
| cos
,
|
n n
= -
；
（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是
钝二面角.）
4.三垂线法
在面或面内找一合适的点A ，作AO
^
于O ，过A 作AB
c
^
于B ，则BO 为斜线AB 在面内的射影，
ABO
Ð
为二面角
c
-
-
的平面角．如图1，具体步骤：
①找点做面的垂线；即过点A ，作AO
^
于O ；
②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A 作AB
c
^
于B ，连接BO ；
③计算：
ABO
Ð
为二面角
c
-
-
的平面角，在Rt
ABO
△
中解三角形．
图1
图2
图3
5.射影面积法
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
式（
'
'
'
cos
=
A B C
ABC
S
S
S
S
=
V
V
射
斜
，如图2）求出二面角的大小；
6.补棱法
当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补
棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题．当二平面没有明确的交线时，也可直接用射影面积法解题．
刷经典·通方法
🎯命题方向一 空间几何体的线线角
1．（2026·山东济宁模拟·预测）如图，直四棱柱
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的下底面ABCD 为菱形，M ，N 是上
底面
1
1
1
1
D
C
B
A
内两个不同的动点．
（1）若
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
为正方体，M 为上底面
1
1
1
1
D
C
B
A
的中心，求异面直线AM 与
1
BB 所成角的余弦值；
（2）若
AMC
Ð
恰好是二面角A
MN
C
-
-
的平面角．证明：在动点M 运动过程中，三棱锥
1
A
MCD
-
的体
积保持不变．
2．（2026·海南模拟预测）如图，在三棱台
1
1
1
ABC
A B C
-
中，
1
AA ^ 底面
1
1
1
A B C ，
ABC
V
与
1
1
1
A B C
△
都是
等腰直角三角形，
BAC
Ð
1
1
1
90 ,
2,
4
AB
AA
A B
=
°
=
=
=
，E 、F 分别为
1
AA 、
1
1
BC 的中点．
（1）证明：
/ /
EF
平面
1
ABC ；
（2）求异面直线EF 与
1
BB 夹角的余弦值．
🎯命题方向二 空间几何体的线面角
3. （2026·河北唐山·一模）如图，在三棱锥
中，
，
，D 是
的中点.
b
a
A
O
B
b
A
B
C
B'
C'
A'
P
ABC
-
2
BC
PB
PC
=
=
=
BC
AP
^
BC
（1）证明：平面
平面
；
（2）若
，三棱锥
的体积为
，求直线
与平面
所成角的正弦值.
4. （2026 浙江强基联盟·联考）如图，在三棱柱
中，
为等边三角形，四边形
是边长为2 的正方形，
为
中点，且
．
（1）求证：
平面
；
（2）已知
为线段
中点，求直线
与平面
所成角的正弦值．
5. （2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）如图，在四棱锥
中，
，
，
，
，
，平面
平面
．
（1）求证：
；
（2）若二面角
的大小为
，求直线
与平面
所成角的
正弦值．
6. （2026·齐齐哈尔·一模）如图，线段
为圆锥
底面
的直径，点
为线段
的中点，点
是以
为直径的圆上除
外的一个动点，
，且
.
（1）证明：平面
平面
；
ABC ^
APD
1
AD =
P
ABC
-
3
3
PC
PAB
1
1
1
ABC
A B C
-
ABC
V
1
1
BCC B
D
AB
1
5
A D =
CD ^
1
1
ABB A
P
1BC
AP
1ACD
P
ABCD
-
2
AB
BC
=
=
AB
BC
^
AC
CD
^
2
CD =
PB
PC
=
PBC ^
ABCD
AB
PC
^
P
AB C
-
-
60o
PD
PAB
AB
PO
O
e
C
AO
D
BC
,
B C
4
AO
OP
=
=
CD
CO
=
PAD ^
POD
（2）求
与平面
所成角的正弦值.
🎯命题方向三 空间几何体的面面角
7. （2026·浙江强基联盟·联考）如图，在三棱锥
中，
平面
，
，
，E 为
的中点．
（1）证明：
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值．
8. （2026·黑龙江哈尔滨第三中学·一模）如图，在四棱锥
中，四边形
为正方形，G，F
分别是线段
，
的中点.
（1）求证：
平面
；
（2）若平面
平面
，
，
，且平面
与平面
夹角余弦值为
，求
的长.
9. （2026·黑龙江实验中学高三联合·模拟）如图，在三棱锥
中，平面
平面
，
，
为
的中点．
（1）证明：
；
（2）若
是边长为2 的等边三角形，三棱锥
的体积为
PB
PAD
P
ABC
-
PA ^
ABC
2
PA
AC
=
=
2
AB
BC
=
=
AC
BE
PC
^
PBC
PAC
E
ABCD
-
ABCD
BD
EC
//
GF
ABE
ABE ^
ABCD
AE
BE
^
2
AB =
ADE
CDE
2 57
19
AE
A BCD
-
ABD ^
BCD
AB
AD
=
O
BD
OA
BC
^
OCD
V
A BCD
-
，点
在棱
上，
，求二面角
的大小．
10.（2026·江苏扬州市第一次·调研） 如图，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面的圆心，AB 为底面直径，
四边形POBC 是梯形，且
，
，
，D 为圆
O 上一点．
（1）若点M 在线段AD 上，且
，求证：
∥平面CDB；
（2）当直线PD 与平面PAB 所成的角为30°时，求二面角
的
正弦值．
11. （2026·陕西榆林·一模）如图，直四棱柱
内接于圆柱
，且底面为矩形，B 是
圆柱
底面圆O 的圆周上一动点，AC 是圆O 的直径，且
，E 是AB 的中点，Q 是
的中点．
（1）证明：
平面
；
（2）设
，求平面
与平面ABC 的夹角的正弦值.（用
表示）
题型03 空间几何体的距离、体积问题
抓关键·破难点
一、求立体几何中点到线的距离:
4 3
3
E
AD
2
DE
EA
=
E
BC
D
-
-
PC
OB
∥
1
1
2
PC
OB
=
=
2 2
OP =
3
AM
MD
=
PM
A
PD
B
-
-
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
1
OO
1
OO
1
AC
AA
=
1
BB
1
/ /
O E
1
1
ADD A
COB
Ð
=
1
AQC
已知直线l的单位方向向量为u
，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.设AP
a
=
uuu
，则向量AP
uuu
在直线l
上的投影向量
(
)
AQ
a u u
=
uuu
，在Rt APQ
中，
由勾股定理得：
2
2
2
2
|
|
|
|
(
)
PQ
AP
AQ
a
a u
=
-
=
-
uuu
uuu
二、求立体几何中线到面的距离：
如图，已知平面的法向量为n
，A是平面内的定点，P是平面外一点.过点P作平面的垂线l，交平
面于点Q，则n
是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是AP
uuu
在直线l上的投影向量QP
uuu
的长度.
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
n
AP n
AP n
PQ
AP
n
n
n
=
=
=
uuu
uuu
uuu
三、立体几何中常见的求体积的方法：
（1）公式法；（2）割补法；（3）等体积法.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 空间几何体中点到线的距离
1．（2026·江西吉安高三期末·检测）如图，已知正三棱柱
中，
，点
为
的中
点.
（1）证明：
平面
；
（2）求点
到平面
的距离.
2．（2026·宁夏银川市三校第一次·联考）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
且
，
，
，
，
，
为
的中点.
（1）求证：
平面
；
1
1
1
ABC
A B C
-
1
2
AB
AA
=
=
P
BC
1
/ /
A B
1
APC
1A
1
APC
P
ABCD
-
PA ^
ABCD
/ /
AB
CD
2
CD =
1
AB =
2 2
BC =
2
PA =
AB
BC
^
N
PD
/ /
AN
PBC
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）点
在线段
上，直线
与平面
所成角的正弦值为
，
求点
到平面
的距离.
🎯命题方向二 空间几何体中线到面的距离
3．（2026·福建泉州质量检测）如图，四棱台ABCD
EFGH
-
中，底面ABCD 是边长为4 的菱形，
2,
2 2
HD
HG
AE
=
=
=
，FA
FC
=
．
（1）证明：
/ /
HD
平面ACF ；
（2）证明：HD ^ 平面ABCD ；
（3）若该四棱台的体积等于28 3
3
，且FA
FB
，求直线BC 到平面
AFG 的距离．
🎯命题方向三 空间几何体中的体积问题
4．（2026·全国·模拟预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD为梯形，平面PAB ^ 平面ABCD，
/ /
AB
CD ，AB
AD
^
，
PAB
V
是等边三角形，O，M 分别为线段AB，PB 的中点，且
2
AD
DC
=
=
，
PAD
PCD
M
AP
CM
PAD
4 5
15
M
PCD
4
AB =
．
（1）求证：
/ /
CM
平面PAD ；
（2）求多面体OMCPAD 的体积．
5．（2026·福建福州模拟·预测）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，底面ABCD是边长为4 的菱形，
2π
3
BAD
Ð
=
，PA ^ 平面ABCD，点E 为PC 中点，点F ，G分别在棱PD ，AD 上，且
1
3
PF
FD
=
，
1
3
AG
GD
=
.
（1）证明：AD
EF
^
；
（2）记三棱锥F
PEG
-
与四棱锥P
ABCD
-
的体积分别为
1
V ，
2
V ，
求
1
2
V
V ；
（3）若
2
PA =
，求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.
6. （2026·湖北武汉3 月·调研）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
，
，点
，
分别是棱
，
上的点，且直线
平面
.
（1）求
的长；
（2）求三棱锥
的体积；
（3）求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型04 立体几何中的探索与最值问题
抓关键·破难点
一、立体几何中的最值问题
P
ABC
-
1
PA =
2 3
PB =
3
PC =
3
AB =
6
=
BC
7
AC =
M
N
PB
PC
PA ^
AMN
MN
P
ABC
-
BC
PAB
第①步：转化空间为平面
（1）求最短路径时，将几何体侧面展开成平面图形，利用两点之间线段最短求解；
（2）求点到线或点到面的距离时，利用垂线段最短结合线面垂直性质求解.
第②步：建立函数求最值
（1）建立空间直角坐标系，设动点坐标，把线段长、面积、体积等几何量表示为函数；
（2）利用二次函数或基本不等式等方法求函数最值.
第③步：验证几何合理性
确认最值对应的点、线、面位置在几何体内部，符合题意.
二、立体几何中的存在、探索问题
第①步：假设存在，设参数
假设满足条件的点、线或面存在，设出未知参数，如线段比例或坐标参数.
第②步：推理论证，列方程
利用平行或垂直的判定定理，或向量法，将条件转化为方程或方程组.
第③步：解方程，下结论
若方程有解且参数在合理范围，则存在；若无解或参数超出范围，则不存在.
刷经典·通方法
🎯命题方向一 立体几何中的最值问题
1．（2026·湖南邵阳·三模）如图，圆台
1
2
O O 的下底面的内接正方形ADBC 的边长为4，P 是上底面圆周上
的一点，且满足
4
PA
PC
=
=
，
4 2
PB =
．
（1）证明：
^
BC
平面PAC ；
（2）求三棱锥P
ABC
-
的外接球的表面积；
（3）N 是BC 的中点，M 是上底面圆周上的一点，求异面直线MN 与AD 所成角的余弦值的最大值．
2. （2026·江苏南京市中华中学模拟·预测）如图，点
是以
为直径的半圆上的动点，已知
，且
，平面
平面
（1）证明：
；
D
AB
3
AB
BC
=
=
AB
BC
^
BCD ^
ACD
BD
BC
^
（2）若线段
上存在一点
满足
，当三棱锥
的体积取得最大值时，求平面
与
平面
夹角的余弦值．
🎯命题方向二 立体几何中的存在、探索问题
3．（2026·广东茂名·一模）如图，在四棱锥P
ABCD
-
中，PD ^ 平面
,
ABCD AB ∥
,
,
2,
2 2,
2,
,
CD AB
AD AB
CD
PD
AD
E F
^
=
=
=
=
分别为
,
PA PC 的中点.
（1）证明：BF ∥平面PAD ；
（2）在线段EF 上是否存在点G，使得DG ^ 平面PBC ，若存在，求EG 的长；若不存在，请说明理由.
4．（2026·云南红河州模拟·预测）如图，在五面体ABCDEF 中，AB
CD
EF
∥
∥
，
90
DAB
Ð
=
° ，
1
2
2
AB
AD
EF
CD
=
=
=
=
，
ADE
V
为等边三角形，平面ADE ^ 平面ABCD ．
（1）证明：直线CD ^ 平面ADE ；
AC
E
2
CE
EA
=
uuu
uuu
C
ABD
-
BED
AEB
（2）求平面DFB 与平面FBC 夹角的余弦值；
（3）设点P 为线段EF 上一动点，请从以下两个条件中任选一个作答．
①
1
PA PC
= -
uuuuuu
；
②
4
PA
PC
+
=
uuu
uuu
；
是否存在满足所选条件的点P ，若存在，请求出点P 的位置；若不存在，请说明理由．注：若选择多个条
件分别解答，则按第一个解答计分．
5. （2026·宁夏青铜峡一模）如图，在四棱柱
中，侧棱
底面
，
.
（1）证明：
平面
；
（2）设点
为
的中点，点
在CE 上.
（i）判断三棱锥
的体积是否为定值？若是，求出此定值：若否，说明理由；
（ii）当
的面积最小时，求平面ADM 与平面ABCD 夹角的余弦值.
题型05 空间几何体的折叠与展开问题
抓关键·破难点
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
1
AA ^
,
,
ABCD AB
AD AD
BC
^
∥
1
1,
2,
3
AB
BC
AD
AA
=
=
=
=
CD ^
1
1
ACC A
E
1
1
A D
M
1
M
ABA
-
ADM
△
立体几何中的折叠与展开问题是高考的一个重要命题点，题目比较灵活，主要考查逻辑推理与直
观想象等核心素养，解决这类问题要重视转化思想，关键在于掌握以下两个解题策略。
确定翻折前后
的“变与不变”
量
画好翻折前后的平面图形与立体图形，分清翻折前后图形的位置和数量关系的 “变与
不变” 量.一般地，位于 “折痕” 同侧的点、线、面之间的位置和数量关系不变，而位
于 “折痕” 两侧的点、线、面之间的位置关系会发生变化。对于不变的关系应在平面
图形中处理，而对于变化的关系则要在立体图形中解决
刷经典·通方法
1．（2025·全国高考二卷）如图，在四边形ABCD 中，
/ /
,
90
AB
CD
DAB
Ð
=
°，F 为CD 的中点，点E 在AB
上，
/ /
EF
AD，
3
,
2
AB
AD CD
AD
=
=
.将四边形EFDA 沿EF 翻折至四边形EFD A
¢ ¢ ，使得面EFD A
¢ ¢ 与面EFCB
所成的二面角为60°．
（1）证明：
/ /
A B
¢
平面CD F
¢
；
（2）求面BCD¢与面EFD A
¢ ¢ 所成的二面角的正弦值．
2. （2026·江苏南京市六合区名校联盟第一次·调研）在矩形
中，
，
，
为
的
中点，将
沿
翻折至
，使得平面
平面
，得到如图所示的四棱锥
．
（1）证明：
；
（2）求直线
与平面
所成角的正弦值．
ABCD
2
AB =
4
=
AD
E
AD
ABE
V
BE
PBE
△
PBE ^
BCDE
-
P
BCDE
CE
PB
^
PB
PCD
3. （2026·甘肃省·一模）如图（1），正方形
的边长为
分别是边
的中点，将
，
分别沿
折起，使得
三点重合于点
得到图（2）.
（1）证明：
；
（2）三棱锥
的外接球的球心为
，求平面
与平面
所成角的余弦值.
4. （2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合·模拟）
在
中，
，
，
，
，
分别是
，
上的点，满足
，且
．将
沿
折起到
的位置，使
，存在动点
使
，
如图所示．
ABCD
4,
,
E F
,
AB BC
ADE
V
,
EBF
DCF
△
△
,
,
DE EF FD
, ,
A B C
O¢
O D
EF
¢
^
O
DEF
¢-
O
ODE
DEF
ABC
V
90
C
Ð
=
°
3
BC =
6
AC =
D
E
AC
AB
//
DE
BC
2
CD =
ADE
V
DE
1A DE
△
1AC
CD
^
M
1
1
(
0)
A M
A D
l
l
=
uuuu
uuuu
（1）求证：平面
平面
；
（2）当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值；
（3）设直线
与平面
所成角为
，当
取得最大值时，求三棱锥
的体积．
5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟）如图，在高为6 的直三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
-
中，底面ABC 的周长
为12,
,
M N 分别为棱
1
CC ，
1
AA 上的动点.
（1）若
3,
5
AB
AC
=
= ，证明：AB ^平面
1
1
BCC B .
（2）求
1
BM
MN
NB
+
+
的最小值.
（3）若
1
1
4,
(0
1),
3
AB
AC
AN
AA
CC
CM
l
l
=
=
=
=
，求平面BMN 与底面ABC 夹角的余弦值的最
大值.
题型06 立体几何的截面问题
抓关键·破难点
【核心思路】截面问题的本质是平面与几何体的交线问题，核心是通过上述方法确定所有交点，再连线成
图，最终将截面问题转化为平面几何的边长、面积等计算问题。
1.直接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线
的过程.
1ACB ^
BCDE
1
2
l =
CMB
MBE
BM
1A BE
sin
M
BCE
V
-
2.延长线法：同一个平面有两个点，可以连线并延长至与其他平面相交找到交点.
3.平行线法：过直线与直线外一点作截面，拖直线所在的面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的
平行线找到几何体的截面的交线.
刷经典·通方法
1.（2026·陕西西安·一模）如图，正方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
的棱长为2，点E 是棱CD上的动点.
（1）求三棱锥
1
1
1
D
A B E
-
的体积；
（2）当E 为CD中点时，求过点D且与
1A E 垂直的平面截正方体的截面面积.
2．（2025·湖南娄底·二模）如图，长方体
1
1
1
1
ABCD
A B C D
-
中，
4
AB =
，
2 2
BC =
，
1
2
CC =
，E，
F 分别为棱AB，
1
1
A D 的中点．
（1）过点C，E，F 的平面截该长方体所得的截面多边形记为S，求S 的周长；
（2）设T 为线段
1
1
D C 上一点，当平面CEF ^平面
1A DT 时，求平面TCF 与平面CEF 夹角的余
弦值．
3．（2026·河北沧州模拟·预测）如图，四棱锥A
BCED
-
中，平面ABC ^ 平面
,
,
,
BCED AB
AC AD
AE BC
DE
=
=
∥
，
1
,
2
4 3,
,
sin
2
BD
CE BC
DE
DAE
BAC AD
AB
DAE
=
=
=
Ð
=
Ð
=
Ð
．设
BC 中点为H ，过点H 的平面同时垂直于平面BAD 与平面CAE ．
（1）求sin
DAE
Ð
（2）求平面与平面BCED 夹角的正弦值；
（3）求平面截四棱锥A
BCED
-
所得多边形的周长．
题型07 与球相关的立体几何创新问题
抓关键·破难点
一、核心考点与方法：
（1）外接球与内切球的计算
解答题中常以棱柱、棱锥为载体，要求计算外接球 ，内切球的表面积、体积.
外接球：优先通过补形法（补成长方体或正方体）或确定球心位置（外心连线中点、垂面法），结合勾股
定理
2
2
2
R
d
r
=
+
（R 为球半径，d 为球心到截面距离，r 为截面圆半径）求解.
内切球：核心是等体积法
1
3
V
S
r
=
表
，通过已知几何体体积和表面积求内切球半径 r.
（2）球面距离与截面问题
球面距离：转化为球心角，利用弧长公式l
R
=
（θ为弧度制），结合余弦定理求弦长或球心角.
截面问题：球心与截面圆心连线垂直于截面，通过勾股定理建立截面圆半径、球半径、球心到截面距离的
关系，求解截面面积、最值等。
（3）空间角与位置关系综合
结合线面角、二面角考查，需先确定球心与截面位置，再利用线面垂直、面面垂直性质，将角度问题转化
为平面内的直角三角形求解。
创新设问：如球面上动点的轨迹、角度最值、距离最值，本质是球的几何性质与函数最值的结合，可通过
参数化或几何直观分析。
二、解答题答题逻辑：
定位球心：明确外接球、内切球的球心位置，说明依据（如补形、外心性质、等距性）。
建立关系：利用勾股定理、等体积法或球面几何公式，列出关于球半径 R 的方程。
计算求解：解方程得半径，进而计算表面积
2
4
S
R
=
、体积
3
4
3
V
R
=
或其他几何量。
综合分析：若涉及角度、最值，需结合立体几何位置关系或函数单调性，给出结论与范围。
刷经典·通方法
1．（2025·全国高考一卷）如图,在四棱锥P
ABCD
-
中，PA ^ 底面ABCD ，
,
//
AB
AD BC AD
^
．
（1）证明：平面PAB ^ 平面PAD ；
（2）设
2,
2,
1
3
PA
AB
BC
AD
=
=
=
= +
，且点P ，B ，C ，D 均在球O 的球面上．
（i）证明：点O 在平面ABCD 内；
（ⅱ）求直线AC 与PO 所成角的余弦值．
2. （2026·陕西渭南中学·一模）如图，在三棱锥
中，
是等腰直角三角形，且斜边
，E 在棱
上，
，
，
，
．
（1）求证：平面
平面
；
（2）若点P，A，B，C 均在球M 的表面上．
（i）求球M 的表面积；
（ii）求直线
与直线
所成角的余弦值．
P
ABC
-
ABC
V
4
AB =
AB
3
BE
AE
=
3
PE =
10
PA =
14
PC =
PAB ^
ABC
PC
AM
3 .（2026·内蒙古包头市·一模）如图，在棱长为
的正四面体
中，
为棱
的中点.
（1）证明：
平面
；
（2）记
为正四面体
内切球的球心.
（ⅰ）求内切球
的半径
；（写出推导过程
．．．．．．，．直接写结果不给分
．．．．．．．．）；
（ⅱ）设
是球
的球面上一点，且
平面
，当
最小时，求二面角
的正弦值.
4. （2026·江苏扬州适应性·调研测试）如图，圆柱
的轴截面
是边长为4 的正方形，点E，F
为下底面圆周上的点，且
是正三角形，点P 是上底面圆周上一动点，G 为直线
与
的交点.
（1）证明：
（i）
面
；
（ii）不论点P 在何位置，三棱锥
的外接球半径大小不变.
（2）求二面角
的余弦值的取值范围.
6 6
A BCD
-
E
BC
^
BC
AED
O
A BCD
-
O
r
P
O
OP ^
BCD
ADP
Ð
A
PD
B
-
-
1
OO
ABCD
BEF
△
AB
EF
^
EF
ABCD
P
BEF
-
P
EF
B
-
-
5. （2026·广东汕头3 月·调研）如图．四棱锥
的底面为正方形，平面
平面ABCD，
．设E 为CP 的中点．
（1）求平面PAB 与平面ABE 夹角的正切值；
（2）设F 为线段PB 上一点（含端点），求CF 与平面ABE 所成角的正弦值的范围；
（3）直接写出四棱锥
的外接球表面积与体积（无需证明）．
6. （2026·海南部分学校·联合调研）如图，在四棱锥
，平面
平面
，
，
，
（1）证明：
平面
.
（2）已知
，点
在同一个球的球面上，设该球的球心为
.
①在图中指出点O 的位置，并说明理由；
②若Q 为线段
上的一点，且直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
.
P
ABCD
-
PAB ^
2
PA
AB
PB
=
=
=
P
ABCD
-
P ABCD
-
PAB ^
ABCD
4
CD =
2
AB
AD
BC
=
=
=
π
2π
=
,
=
.
3
3
ADC
DAB
Ð
Ð
//
AB
PCD
=
= 2
PA PB
P A B C D
, ,
,
,
O
PB
OQ
PCD
6
8
PQ
7. （2026·广东深圳市第一次·调研）已知球
的半径为1，在球
的内接八面体
中，顶点
，
分别在平面
两侧，且四棱锥
与
都是正四棱锥.
（1）如图1，若点
在平面
上，求证：
平面
；
（2）如图2，若二面角
的正切值为
，求该内接八面体的体积.
O
O
PABCDQ
P
Q
ABCD
P
ABCD
-
Q
ABCD
-
O
ABCD
//
PA
QBC
P
AB
Q
-
-
3
-
