培优专题01三角函数与解三角形6大重难题型（大题专练）（全国通用）（学生版）_数学_一轮复习_2027年高考数学一轮更新中_62027年高考数学大题突破+限时集训（多地区使用）

培优专题 01 三角函数与解三角形 6 大重难题型💎题型01 三角函数化简及图象、性质问题
命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
命题方向二 三角函数的性质
命题方向三 三角函数的图象变换
💎题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
命题方向一 三角形的中线
命题方向二 三角形的角平分线
命题方向三 三角形的高线
💎题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
💎题型04 三角形中的最值、范围问题
命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
💎题型05 几何图形中的解三角形
💎题型06 解三角形融合交汇问题
命题方向一 三角函数与复数的创新融合
命题方向二 三角函数与数列的创新融合
命题方向三 解三角形与平面向量融合
命题方向四 解三角形与三角函数融合
题型01 三角函数化简及图象、性质问题抓关键 · 破难点
三角函数化简及图象、性质问题主要考查恒等变形和三角函数性质，解题时要熟练掌握三角恒等变换
公式，主要解题步骤：
第一步：通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：
（1）二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α (S )；cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α (C )
2α 2α
（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，
y  Asin(x)B
第二步：再通过辅助角公式“化一”，化为
第三步：辅助角公式：asin α＋bcos α ＝sin(α＋φ)，其中tan φ＝.
第四步：最后利用三角函数图象和性质，求解计算.
一般将 看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。与三角函数相关的方程根的问题
（零点问题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 三角函数概念及三角恒等变换
1 15
P , 
1 .（2026·浙江强基联盟·联考）设点  沿 的圆周按逆时针方向旋转角 后到点
 4 4  eO: x2  y2 1 
Qm,n
．
π

（1）当 4时，求mn的值；
π 5π
 ,
（2）若  4 4   ，求 m2 n2 n 的取值范围．
π 
f xsin2x 3cosxcos x
2．（2025·河北保定模拟）已知函数 2 ．
f x
（1）求函数 的对称中心及对称轴方程； 7π
x 0,
（2）当   12  时，求函数 f x 的最大值和最小值．
f x2cos2x 3sin2x1m
3．（2025·广东广州·一模）已知函数 ，其中xR．
f x
（1）求函数 的最小正周期和单调递增区间；
 π
x 0,
（2）若   2  时， f x 的最小值为4，求m的值．
🎯命题方向二 三角函数的性质
π
4. （2026·广东广州市天河区适应性训练·二模）已知函数
f
xsinx的周期为π,0,
2
，且
π 2π
f  f
   .
2  3 
y  f x
（1）求函数 的解析式；
11π 4π
f f
   
（2）比较  8  与  7  的大小. π  π 
f(x)sin2x 2 3cos2 x (0)
5．（2025·辽宁鞍山·模拟）已知函数  6  12 ．若函数 f(x) 的相邻
π
两条对称轴间的距离为 ．
2
 π
0,
(1)求的值，并求函数 f(x) 在   3  的值域；
 π
 0, 
(2)若函数 （其中常数  2）为奇函数，求的值．
🎯命题方向三 三角函数的图象变换
6.（2026·重庆第八中学3月适应性测试）已知函数 的最小正周期为 ．
（1）若 ， ，求 的值；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为 ，求
函数 在 上的值域． π 
7．（2026·安徽皖江阶段测试）已知函数 f xsinx 0, π的部分图象如图所示，图象与
 2 
 3
0, 
y 轴的交点为  2   ，且 f x在区间0,π上恰有一个极大值和一个极小值.
 
（1）求 的值及 的取值范围；
11π
（2）若  是整数，将 f x的图象向右平移 24 个单位长度得到gx的图象，求
 π 1 π
hxgx g x 的最大值.
 8 2 8
 π
8．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数 f x4sinx cosx 30 的最小正周期为 ．
 3 π

（1）求 的值；
π
（2）将函数 f x的图象先向左平移 个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y gx的图象，
6
gx 0,m
m
若 在区间 上有且仅有3个零点，求 的取值范围．题型02 三角形的中线、角平分线、垂线条件的应用
抓关键 · 破难点
一、中线问题
如图，△ABC中，AD为BC的中线，已知AB,AC,及∠A，求中线AD长.
** 错误的表达式 **倍 长中线：如图，构造全等三角形，再用余弦定理
即可；
② 向量法： ,平方即可；
③ 余弦定理：邻补角余弦值为相反数，即 ；
注：若或将条件“AD为BC的中线”换为“ ”则可以考虑方法②或方法③.
二、角平分线问题
A
△ABC中，AD平分∠BAC.
1 2
①角平分线定理：
3 4
B D C
证法1（等面积法） ，得注： 为A到BC的距离， 为D到AB,AC的距离.
证法2（正弦定理）
如图， ， ,而 ，整理得
②等面积法
三、垂线问题
A
①等面积法：
②
③
B D C
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 三角形的中线
1.（2026·江苏南通2月检测）阿波罗尼奥斯（Apollonius）是古希腊著名的数学家，他提出的阿波罗尼奥斯
定理是一个关于三角形边长与中线长度关系的定理，内容为：三角形两边平方的和，等于所夹中线及第三
边之半的平方和的两倍，即如果AD是 中BC边上的中线，则 .
（1）若在 中， ， ， ，求此三角形BC边上的中线长；
（2）请证明题干中的定理；
（3）如图 中，若 ，D 为 BC 中点， ， ，
，求 的值.2．（2026·山东济钢高级中学3月检测）在 中，角 的对边分别为 ，已知
.
（1）求 ；
（2）若 ， 为边 的中点， ，求 .
3．（2025·湖南长沙·二模）在VABC中，已知AB2，AC5，BAC60．
（1）求sinACB；
（2）设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求cosMPN ．
2π
A
4．（2025·河北张家口·一模）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
VABC 3
7sin2B 3bcosB
.
13
cosB
（1）若
14
，求c；
（2）当BC边上的中线最小时，求VABC的面积.🎯命题方向二 三角形的角平分线
5．（2026·四川宜宾普通高中第二次诊断性测试）已知 的内角A、B、C的对边分别为 ，满足
．
（1））求A；
（2）设点D为 上一点， 是 的角平分线，且 、 ，求 的长度．
VABC A,B,C a,b,c
6.（2026·宁夏青铜峡一模）在 中，内角 的对边分别是 ，且
sin2AcosBsinC sinBcosC ．
（1）求A的大小；
a2 5 AQ VABC AQ1 VABC
（2）若 ， 为 的角平分线，且 ，求 的面积．
7
7．（2025·湖北武汉·三模）记VABC的内角A，B，C的对边分别为a，b ，c，已知
cosB
9
，a4，
B AC D BD3 2
角 的角平分线交 于点 ，且 ．
（1）求CD的长；
（2）求VABC的面积．8．（2025·江西·三模）在VABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
bcccos2A2acosAcosC 0．
（1）求A；
1 1

（2）若∠BAC的角平分线AD与边BC交于点D，且bc4，求
BD DC
的最小值．
🎯命题方向三 三角形的高线
9. （2026·山东青岛一模调研）设 VABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a ， b， c ，且有
 π bc
2sinB  ．
 6 a
（1）求角A；
3
h a
（2）若BC边上的高 ，求 ．
4 cosBcosC
A,B,C a,b,c 3a2c,csinB3 7bcosC
VABC
10．（2025·广东模拟）记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
（1）求cosC；
（2）设c6，求AB边上的高.
VABC A,B,C a,b,c 3b2asinB
11．（2025·海南三亚·一模）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，且 .
（1）求A；
bc1,a 7
BC AD
（2）若 ，求边 上的高 的长.a,b,c
12．（2025·河南郑州·一模）记 的内角A，B，C的对边分别为 ，已知 ，
（1）求
（2）设 ，求 边上的高.
题型03 解三角形中的求边、求角、求面积问题
抓关键 · 破难点
一、利用正、余弦定理解三角形边与角
利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的互化，解题的思路是：
第一步：选定理
（1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；
（2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；
（3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；
（4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；
（5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；
第二步：巧转化
化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，
则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.
第三步：得结论
利用三角函数公式，结合三角形的有关性质（如大边对大角，三角形的内角取值范围等），并注意利
用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
二、常用三角形的面积公式
1
（1）S  ah；
21 1 1
（2）S  absinC  acsinB  bcsin A；
2 2 2
1
（3）S  r(abc)（ 为三角形内切圆半径）；
2 r
1
（4） ，即海伦公式，其中 p  (abc)为三角形的半周长。
S  p(pa)(pb)(pc) 2
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 利用正、余弦定理解三角形的边与角
VABC A,B,C a,b,c
1. （2026·河北邯郸模拟）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知
asinBbsinA2 3(cacosB)
.
（1）求A；
3 3
2
（2）若sinB  sinC ， 的面积为 ，求：
3 VABC 2
a cos(2BA)
①边长 的值；② 的值．
2.（2026·河北唐山一模） 记VABC 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
cos2Acos2B 2cos2C.
a2 b2 2c2
（1）证明： ；
b sin A

（2）若c 3 ，求A.
VABC A，B，C a，b，c b2 c2 a2 12
3. （2026·山东烟台诊断性测试）已知 的内角 的对边分别为 ， ，VABC 3 3
且 的面积为 ．
（1）求A；
VABC b2 3 ac
（2）若 为锐角三角形， ，求 的值．
4. （2026·江苏南京市栖霞区名校联盟·一模）已知VABC 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
1 
S  b2 c2 sinA
 
VABC 的面积为S， 2  .
b2c
（1）证明： ；
a  7c
（2）若 ，求内角A的大小.
🎯命题方向二 与三角形的面积相关解三角形问题
VABC A,B,C a,b,c C
5.（2026·海南部分学校联合调研）已知 的内角 的对边分别为 ，且 为锐角，
b 2csinB
.
（1）求C；
a  2,c 10
（2）若
，求VABC
的面积.
2 7 2
sinAB ,sinC 
6. （2026·山东德州一模）已知 为锐角三角形， .
VABC 10 10（1）求sinAcosB；
（2）求tanA；
（3）若VABC 外接圆的周长为5π，求VABC 的面积.
2ca
7. （2026·江西赣州摸底考试）在
VABC
中，角
A,B,C
的对边分别为a,b,c，且 3sinCcosC 
b
.
tanC 5 3
（1）若 ，求tanA的值.
ac33 3,△ABC
（2）若 的内切圆的面积为π，求VABC 的面积.
VABC A,B,C a,b,c a2bcosC 0
8. （2026·江苏扬州市第一次调研） 记 的内角 的对边分别为 ，已知 .
tan C3tan B
（1）求 的值；
c2
（2）若VABC 的面积为 6 ，求 B ；
（3）若b2，当角A最大时，求VABC 的面积
题型04 三角形中的最值、范围问题
抓关键 · 破难点
一、三角形面积和周长的最值、范围问题
（1）求周长：三角形周长等于三边和，但是有的时候需要转化
周长
（2）面积公式：（r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r. ）
（3）求周长的模型：
{ a 2 =b 2 +c 2 −2bccos A ¿ ¿¿¿
（4）基本不等式
a+b
ab≤( ) 2
① ② 2 (当且仅当a=b时取“=”号)
（5）利用三角恒等变换转化为内角A、B、C有关的三角函数
和差角公式：
① ，
asinα+bcosα= √a2 +b2sin(α+ϕ)
辅助角公式：
②
b a b
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
√a2 +b2 √a2 +b2 a
）．
（其中
二、解题思路步骤
b2 +c2 −a2 (b+c) 2 −2bc−a2
cosA= =
（1）利用基本不等式：
2bc 2bc
，再利用
b+c≥2√bc
及b+c>a，
b2 +c2 −a2 2bc−a2
cosA= ≥
2bc 2bc
求出b+c的取值范围或者利用
b+c=2RsinB+2RsinC=2RsinB+2Rsin(A+B)
（2）利用三角函数思想： ，结合辅助角公式及三
角函数求最值
刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 解三角形中涉及角度的最值（范围）
1. （2026·山东淄博模拟）已知锐角VABC 的三个内角A，B，C所对的边分别为 a ，b， c ，且满足
2
acosBbcosA csinC
3 .
（1）求角C；
（2）求sinAsinBsinC 的取值范围.π
a,b,c,C  ,a 3b
2. （2026·甘肃省一模）如图，VABC 中，角A,B,C 的对边分别为 3 .
（1）求tanB；
 
BC CD0
sinADCsinCAD
（2）若 ，求 的取值范围.
3. （2026·江苏省南京市栖霞区名校联盟一模）在VABC 中，角A，B，C所对的边分别为 a ，b，c．
1
ac b2
sinAsinC  psinBpR
已知 ，且 4 ．
5
p
（1）当 4，b1时，求a，c的值；
p
（2）若角B为锐角，求 的取值范围．
4．（2026·山东青岛·高三上期末测试）已知 内角 的对边分别为 ， ．
（1）证明： ；
（2）求 的最小值．
🎯命题方向二 解三角形中涉及边长、代数式的最值（范围）
5．（2026·河北邯郸·一模） 的内角 的对边分别为 ，已知 成等差数列，且 ．
（1）求 ；
（2）记 外接圆的面积为 ，若 ，求 的取值范围．6.（2026·东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学第一次联合模拟考试）在VABC 中，角A，
asinAcsinC (bc)sinB
B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
（1）求A的大小；
b
（2）若VABC 为锐角三角形，求c 的取值范围．
VABC 的A B C a b c
7. （2026·江苏南京市中华中学模拟预测） 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
a2 b2 c2
(c2b)cosA 0
2b .
（1）若a4，bc8，求VABC 的面积；
c
（2）若角C为钝角，求b 的取值范围.
VABC A,B,C a,b,c
8. （2026·黑龙江齐齐哈尔一模）在锐角 中，角 所对的边分别是 ，且
 π
ac 2bsin C
 
 6 .
（1）求B；
a2 2b2
（2）求 c2 的最大值.🎯命题方向三 解三角形中涉及周长的最值（范围）
9．（2026安徽合肥“校集团”·一模)在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，.已知
， .
（1）若 ，求 的面积；
（2）求 的周长的取值范围.
a,b,c A,B,C
VABC
10．（2025·湖北武汉模拟）已知 分别为锐角 三个内角 的对边，且
acosC 3asinCbc0
.
（1）求A；
（2）若a 3；求VABC周长的取值范围.
A,B,C a,b,c
VABC a1 bcosAcosB1
11．（2025·湖南益阳·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，且 ．
π
（1）若C ，求A；
4
（2）若VABC是锐角三角形，求VABC周长的取值范围．🎯命题方向四 解三角形中涉及面积的最值、范围
12．（2025·广西模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）求内角 的大小；
（2）若 ，求 面积 的最大值.
13．（2025·湖北黄冈·三模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为 ，若 ，且
.
（1）若 ，求 ；
（2）求△ABC面积的最大值.
14．（2026·安徽·模拟预测）在 中， 、 、 分别为内角 、 、 的对边，且
．
（1）求 ；
（2）若 ， ，求 面积的最大值．
C sinA
tan 
15 （2026·广东汕头3月调研）在VABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c． 2 2cosA
1  a2 b2 c2  2 3
a2b2     c2
且 4  2   4 ．
 
（1）若D为AB边上靠近点A的三等分点，CD2，求VABC 面积的最大值；a2 b2
（2）求 ab 的取值范围．
题型05 几何图形中的解三角形
抓关键 · 破难点
解三角形问题在高考中一般以三角形等平面多边形为载体，要求学生除了要熟练应用正弦定理、余弦
定理，还要对一些平面几何性质有一定的敏感度。对解平面图形中边角问题，若在同一个三角形，直接利
用正弦定理与余弦定理求解。若图形中条件与结论不在一个三角形内：
【解题路径1】要将不同的三角形中的边角关系利用中间量集中到一个三角形内列出在利用正余弦定理列
出方程求解.
【解题路径2】根据图形分析条件和结论所在的三角形，分析由条件可计算出的边角和由结论需要计算的
边角，逐步建立未知与已知的联系.
刷经典 · 通方法
1．（2026·浙江宁波3月联考）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，
．
（1）求 ；
（2）点 在边 上，连接 ，且 ，记 和 的内切圆半径分别为 ， ，求
的值．
VABC a,b,c A,B,C
2. （2026·甘肃陇南康县第一中学等三校·一模）已知 中， 是角 所对的边，AC
asin bsinA
2 .
（1）求角B的大小；
（2）已知ab1.
AB,BC
VABC D,E ADDE AD
（i）如图①，在 的边 上分别取 两点，若 ，求 长度的最小值；
D,E,F AB,BC,AC
（ii）如图②， 分别在边 上，
π
DE  EF,EDF 
6，求 DEF 面积的最小值.

AOD60
3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知 ，
AC3，BD6，且ADBC
（1）求BO的长；
 π
（2）若7sin2OCB 8 7cosODA15，求 的值．
 6 cosODA
4．（2026·辽宁盘锦高三上期末检测）在四边形ABCD中，BC1，ACCD，AC平分
AB2AC2BC2
BCD， 2AC 3BC．
AC
（1）求ACB；
BD
（2）当 取最大值时，求 ．
AB ACABCD AB2 BC2AC2ACBC 2AB 3BC AC3 3
5．（2025·山东·模拟预测）在四边形 中， ， ， ，
π
BACACDACBCAD ．
2
（1）求VABC的周长
（2）求四边形ABCD的面积．
6．（2026·河北秦皇岛模拟）如图，在四边形ABCD中，AD2，CD3，VABC是等边三角形．
（1）若ADC60，求VABC的面积；
（2）若BC2，求△BCD的面积；
（3）求△BCD的面积的最大值．
题型06 解三角形融合交汇问题
抓关键 · 破难点
一、解三角形与平面向量的综合题
（1）通常可将向量关系通过基底分解或坐标运算，转化为边与角的关系，再利用正弦、余
弦定理求解；或反过来，用三角形的边、角表示向量，通过向量的模、数量积等工具处理长
度、角度与垂直、平行等问题。
（2）解题时要根据已知条件选择合适的切入点，注意数形结合，理清向量与三角形元素之
间的对应关系，合理运用运算律和公式，逐步推导得出结论。
二、三角函数与解三角形的融合问题刷经典 · 通方法
🎯命题方向一 三角函数与复数的创新融合
1.(2026·山东菏泽一模)已知复数 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）设 ，记 （ 表示复数z的虚部）.将 图象上所有点的横坐标扩大为原来
的2倍（纵坐标不变）得到函数 的图象，求 的单调递增区间.
🎯命题方向二 三角函数与数列的创新融合
2．(2026·山西大学附属中学3月诊断)已知函数 ， ．
（1）若函数 是偶函数，求实数 的值．
（2）若 ，将方程 的所有正数解从小到大排列，构成数列 ，其前 项和为 ，求 的值．🎯命题方向三 解三角形与平面向量融合
VABC A,B,C a,b,c S
3. （2026·福建泉州毕业班质量检测一） 的内角 所对的边分别为 ，其面积为 . 已知
 
2S 3ABAC0
.
（1）求A；
 4 1 b2 c2
AD  AB AC
（2）点D满足 3 3 ，且CD2AD，求 a2 .
4．（2026·江西吉安·模拟）在ABC中， a ，b ， c 分别是角A，B，C的对边，已知向量
 
m(2cosC,b) n(1,acosCccosA) m //n
， ，且 .
（1）求角C的大小；
c 3 ABC
（2）若 ，求 的周长的取值范围.
5．（2026·江西丰城中学·一模）设向量 ， ， ．
（1）求 的单调递减区间；
（2）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，求
的面积.🎯命题方向四 解三角形与三角函数融合
π π
6．（2026·四川南充高三期末检测）已知函数 f x2sinx(0,  )的部分图象如图所示．
2 2
f x
（1）求函数 的解析式及对称中心；
A,B,C a,b,c f C 3,c4
（2）在锐角VABC中，角 的对边分别为 ，若 ，求VABC周长的取值范围．
π
7．（2026·陕西安康阶段检测）已知 的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且A ，
VABC 3
C B bc
bcos2 2 ccos2 2  2  3，设 B x ， VABC 的周长为 y .
π
（1）当x 4 时，求 y 的值；y f x
（2）求函数 的解析式及最大值.
π
f(x)2 3sinxcosx2cos2x,(0)
8．（2026·黑龙江哈尔滨模拟检测）已知函数 的最小正周期为 .

（1）求 的值；
 π
（2）在锐角 VABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.c为 f (x) 在  0, 2   上的最大值，再从条件①、
ab acosBbcosA2ccosC
条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求 的取值范围.条件①： ；
3
 a2b2c2
条件②： ；条件③： 的面积为S，且S  .注：如果选择
2asinAcosBbsin2A 3a VABC 4
多个条件分别解答，按第一个条件计分.