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专项08 空间向量与立体几何重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 空间几何体：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征、表面
积与体积计算；2. 空间点、线、面位置关系：平行、垂直的判定与性质，异面
直线所成角、线面角、二面角的定义；3. 空间向量基础：空间向量的线性运
算、坐标运算、数量积，向量的模、夹角、平行与垂直的充要条件；4. 空间向
量的应用：用向量证明线面平行、垂直，求异面直线所成角、线面角、二面角，
求点到面的距离；5. 综合应用：折叠问题、最值问题、与解析几何的简单结
合，三视图与直观图的转化。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第5-10题，考查空间几何体结构特
征、表面积/体积计算、三视图与直观图、空间位置关系判断，难度低-中档；2.
解答题：12分，固定为中档大题（多为第18或19题），命题模式固定：第一问
证明线面平行/垂直，第二问用空间向量求角（异面直线所成角、线面角、二面
角）或点到面的距离；3. 新高考特点：多选题增加空间位置关系辨析、几何体
性质判断，解答题强化空间向量的工具性，弱化纯几何推理，偶尔结合折叠、动
点问题考查综合应用。
命题特点 1. 基础题（送分）：空间几何体表面积/体积计算、三视图还原几何体、简单线
面位置关系判断，直接套用公式或性质即可得分；2. 中档题（核心得分）：线
面平行垂直的证明、空间向量坐标运算、异面直线所成角与线面角求解，侧重方
法应用和计算；3. 难题（低频）：二面角的复杂求解、折叠问题中的空间关系
与角的计算、动点问题中的最值、多面体与球的组合体问题，难度中等偏上，占
比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基础、重运算、重向量工具应用，减少纯几
何推理的复杂度，强调数形结合和转化与化归，三视图考查频率略有下降，折
叠、动点问题偶有出现。
重难点突破 1. 重点：① 空间几何体的结构特征、表面积与体积公式（熟练记忆、灵活套
用）；② 线面平行、垂直的判定定理与性质定理（证明核心）；③ 空间向量的
坐标运算、数量积应用（求角、证明的核心工具）；④ 异面直线所成角、线面
角、二面角的求解方法（高考解答题必考）；2. 难点：① 线面平行、垂直证明
中辅助线的构造（无固定套路，需多积累）；② 空间直角坐标系的建立（复杂
几何体中找点的坐标、处理动点坐标）；③ 二面角的求解（判断二面角是锐角
还是钝角，避免计算符号错误）；④ 折叠问题中“折叠前后不变量”的判断与
应用；⑤ 多面体与球的组合体（外接球、内切球）问题。
关联模块 1. 直接关联：平面向量（空间向量的基础）、立体几何基础（点线面位置关
系）、三角函数（求角时用到三角函数值）；2. 间接关联：解析几何（空间直
角坐标系与平面直角坐标系的衔接）、不等式（最值问题）、函数（动点问题中
坐标的函数表示）。
备考策略 1. 基础过关：熟记各类空间几何体的表面积、体积公式，掌握三视图与直观图
的转化方法；牢记线面平行、垂直的判定与性质定理，能快速识别简单空间位置
关系；2. 方法强化：专项练习空间直角坐标系的建立（优先选择两两垂直的面
作为坐标面），熟练掌握空间向量的坐标运算、数量积公式，牢记求角、求距离
的向量公式；3. 难点突破：总结辅助线构造的常见方法（如中点连线、平行
线、垂线）；针对性练习折叠问题、二面角求解，掌握二面角锐角/钝角的判断
方法；总结多面体与球组合体的常见模型（如长方体、正四面体的外接球）；4.实战训练：多练解答题，规范解题步骤（证明题分步写判定定理条件，向量题明
确坐标建立、向量表示、计算过程），避免计算失误；5. 易错规避：重点练习
向量夹角与空间角的区别（异面直线所成角、线面角范围限制），避免符号错误
和范围错误。
解题技巧 1. 几何体表面积/体积：优先判断几何体类型，拆分复杂几何体（如割补法），
套用对应公式，注意单位统一；2. 线面平行/垂直证明：证明平行优先找“线线
平行”或“面面平行”，证明垂直优先找“线线垂直”，辅助线构造优先考虑中
点、垂足；3. 空间向量应用：建立坐标系时，尽量让更多点落在坐标轴上，简
化坐标计算；求角时，先求向量夹角，再结合空间角的范围（异面直线所成角
0°<θ≤90°，线面角0°≤θ≤90°，二面角0°≤θ≤180°）转化；4. 折叠问题：牢记折叠
前后“长度不变、角度可能变化”的特点，重点分析折叠后的线面位置关系；5.
多面体与球：长方体的外接球直径等于体对角线，正四面体的外接球、内切球半
径有固定公式，可直接记忆套用。
易错点汇总 1. 空间几何体表面积计算，遗漏侧面（如棱台、圆台的侧面）或计算错误（如
球的表面积公式记错）；2. 线面平行垂直证明，遗漏判定定理的关键条件（如
线面平行需“直线与平面内一条直线平行且直线在平面外”）；3. 建立空间直
角坐标系时，坐标写错（如动点坐标表示错误），或向量坐标运算失误；4. 混
淆空间角与向量夹角（如将向量夹角的钝角直接作为二面角，未判断正负）；5.
求二面角时，未判断二面角是锐角还是钝角，导致结果符号错误；6. 折叠问题
中，忽略折叠前后的不变量，错误判断线面位置关系；7. 多面体与球的组合体
问题，记错外接球、内切球半径公式，或未找到球心位置。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）空间几何体基础
1. 常见空间几何体结构特征：
- 多面体：棱柱（有两个面平行，其余各面为平行四边形）、棱锥（有一个面为多边形，其余各面为三角形且
交于一点）、棱台（用平行于棱锥底面的平面截取棱锥得到）；
- 旋转体：圆柱（矩形绕一边旋转）、圆锥（直角三角形绕直角边旋转）、圆台（直角梯形绕垂直底边的腰旋
转）、球（半圆绕直径旋转）。
2. 表面积与体积计算（核心公式，必记）：
- 表面积：圆柱S=2πr²+2πrh；圆锥S=πr²+πrl；圆台S=πr²+πR²+π(R+r)l；球S=4πR²；
- 体积：棱柱/圆柱V=Sh（S为底面积，h为高）；棱锥/圆锥V=(1/3)Sh；圆台V=(1/3)πh(r²+R²+Rr)；球
V=(4/3)πR³。
3. 三视图与直观图：三视图（正视图、侧视图、俯视图）还原几何体，直观图用斜二测画法（横不变、纵减半、
角45°/135°），考法以客观题为主。
（二）空间点、线、面位置关系基础
1. 基本位置关系：点与线（在/不在）、点与面（在/不在）、线与线（平行、相交、异面）、线与面（平行、相交、线在面内）、面与面（平行、相交）。
2. 异面直线：定义（不同在任何一个平面内，无公共点），所成角范围（0°<θ≤90°），核心是转化为相交直线所
成角。
3. 考法：客观题判断位置关系正误、三视图还原、简单表面积/体积计算，难度偏低。
（三）空间向量基础
1. 空间向量定义与表示：既有大小又有方向的量，坐标表示为(x, y, z)（空间直角坐标系中）。
2. 核心运算：
- 线性运算：若a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，则a±b=(x1±x2, y1±y2, z1±z2)，λa=(λx1, λy1, λz1)（λ为实数）；
- 数量积：a·b=x1x2+y1y2+z1z2=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角）；
- 模与夹角：|a|=√(x1²+y1²+z1²)，cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
3. 平行与垂直的充要条件：a∥b ⇔ a=λb（λ为实数）⇔ x1/x2=y1/y2=z1/z2（分母不为0）；a⊥b ⇔ a·b=0 ⇔
x1x2+y1y2+z1z2=0。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）线面平行与垂直的判定与性质（解答题第一问必考）
1. 线面平行：
- 判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与平面平行（核心：线线平行→线面平
行）；
- 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过该直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行（核心：
线面平行→线线平行）。
2. 线面垂直：
- 判定定理：如果一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该直线与平面垂直（核心：线线垂直→线面垂
直）；
- 性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内所有直线垂直（核心：线面垂直→线线垂直）。
3. 面面平行与垂直：可通过线面平行/垂直推导，考法多为辅助线构造后证明。
（二）空间向量的核心应用（解答题第二问必考）
1. 空间直角坐标系的建立：优先选择两两垂直的面（如长方体、正方体的一个顶点）作为坐标面，让更多点落在
坐标轴上，简化坐标计算。
2. 求空间角（核心考点）：
- 异面直线所成角：设两直线方向向量为a、b，夹角为θ，则cosθ=|a·b|/(|a||b|)（θ∈(0°,90°]）；
- 线面角：设直线方向向量为a，平面法向量为n，夹角为θ，则sinθ=|a·n|/(|a||n|)（θ∈[0°,90°]）；
- 二面角：设两个平面法向量为n1、n2，夹角为φ，二面角为θ，则|cosθ|=|n1·n2|/(|n1||n2|)，θ与φ相等或互补（需判断锐角/钝角）。
3. 求点到面的距离：设平面法向量为n，点P到平面的距离d=|PA·n|/|n|（A为平面内任意一点）。
（三）基础综合应用
1. 简单折叠问题：折叠前后，长度不变的线段、角度不变的角为“不变量”，重点分析折叠后的线面位置关系。
2. 多面体与球的简单组合体：长方体外接球直径=体对角线；正四面体外接球半径R=(√6/4)a（a为棱长），内切球
半径r=(√6/12)a。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）复杂空间角与距离求解
1. 复杂二面角：无明显法向量时，通过几何法找二面角的平面角（如垂线法、投影法），结合向量计算。
2. 异面直线间的距离：转化为点到面的距离，利用向量公式求解（低频考查）。
（二）综合应用问题
1. 动点问题：设动点坐标（如(x,0,0)），结合条件建立方程，求最值、范围（结合不等式、函数）。
2. 折叠问题进阶：折叠后线面垂直、二面角的综合计算，重点把握“不变量”与“变量”的关系。
3. 多面体与球的复杂组合体：不规则多面体外接球，通过补形法（补成长方体、正方体）求解球心与半径。
四、高考考法总结与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查几何体结构、表面积/体积、三视图、位置关系判断，难度低-中档；
2. 解答题（12分）：固定模式，第一问证明线面平行/垂直，第二问用向量求角或距离，难度中档；
3. 新高考趋势：弱化纯几何推理，强化空间向量工具性，多选题增加位置关系辨析，折叠、动点问题偶有出现。
（二）易错提醒
1. 表面积计算遗漏侧面（如棱台、圆台的侧面），或记错球的表面积、体积公式；
2. 证明线面平行/垂直时，遗漏判定定理关键条件（如线面平行需“直线在平面外”）；
3. 建立坐标系时，坐标写错，或向量运算失误（加减、数量积计算错误）；
4. 求空间角时，混淆向量夹角与空间角的范围，或未判断二面角的锐角/钝角；
5. 折叠问题忽略“不变量”，错误判断线面位置关系；
6. 多面体与球的组合体，记错外接球、内切球半径公式，或找不到球心位置。一、单选题
1．（2026·天津河西·二模）今年为纪念红军长征胜利90周年，某市计划在广场中央建造一座“长征颂”主题纪念
碑.该纪念碑的基座设计为一个稳固的四面坡式石墩（如图所示），已知该几何体是从长方体上底面向下底面顶点
截去4个完全一样的三棱锥后得到的几何体，经实地测量，下底面长10米、宽6米，一个侧面为上底 长4米，
腰长5米的等腰梯形，则该纪念碑基座的体积为（ ）
A．168 B．192 C．216 D．240
2．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的一个底面与
圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．144 D．256
3．（2026·天津滨海新区·三模）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8，将一个球放在容器
口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，则球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·陕西西安·三模）2022年北京冬奥会的“雪如意”跳台滑雪中心的赛道可抽象为如下几何模型：底面是
边长为2的正三角形 的三棱锥 ，其中 平面 ．施工人员需要在 上取中点 ，在
上取中点 ，搭建辅助支撑钢架 ，则直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体 中，点 是线段 上的动点（含端点），则下
列说法中正确的是（ ）A．直线 与直线 始终异面
B．直线 与直线 始终垂直
C．存在点 使得直线 与平面 垂直
D．直线 与平面 始终平行
6．（25-26高一下·浙江宁波·期中）在三棱锥 中， ， ， ，点 在平面
上投影为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为（ ）
A．84π B．88π C．92π D．96π
7．（2026·安徽·模拟预测）“方斗”是中国古代盛米的一种重要容器，其形状是一个上大下小的正四棱台．如图，
在一个盛满米的“方斗”容器中， ， ，若从中取出18.2kg米后，米的高度下降一半，则剩余米的质
量为（ ）
A．6.1kg B．9.1kg C．12.2kg D．13.65kg
8．（25-26高二下·福建莆田·期中）如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，点 、 分别为 、
的中点，若 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．
9．（2026·天津滨海新区·三模）设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，以下说法正确的是：（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 则
10．（2026·河南·三模）一个高为 ，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略
不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
11．（2026·云南曲靖·二模）如图，已知正方体 的棱长为2， 分别为 的中点， 为正
方体表面上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点 在棱 上运动，则 与 一定为异面直线
B．若点 在棱 上运动，则存在点 ，使得 平面
C．若点 是底面 内一点（包括边界），且点 到直线 与到直线 的距离相等，则点 的轨迹
为抛物线的一部分
D．若点 为 中点，则三棱锥 体积为
12．（2026·河北沧州·二模）在正四棱锥 中， ，侧棱与底面所成的角为60°，则（ ）
A．该正四棱锥的高为B．该正四棱锥的侧面与底面所成角的余弦值为
C．该正四棱锥的外接球的半径为
D．该正四棱锥的相邻两侧面所成角为90°
13．（2026·四川内江·三模）在平行六面体 中， ，
，则（ ）
A．
B． 平面
C．
D．三棱锥 的外接球表面积为
三、填空题
14．（2026·云南曲靖·二模）已知圆锥 的高为 ，A，B为底面圆周上两点且满足 ， ，
则该圆锥的体积为_____________．
15．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，直三棱柱 的侧棱长为2， ， ， ，
分别为 的中点，则 到平面 的距离为___________．16．（2026·陕西咸阳·模拟预测）圆锥 的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为 的扇形，如图，过
的中点 作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱 ，则剩下几何体的体积为
______________．
17．（2026·陕西西安·三模）已知平面 平面 ，交线为 为 上的两点， ，且
，若 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________．
18．（2026·广东珠海·模拟预测）在三棱锥 中，底面 为正三角形， 平面 ，
若 四点都在球 的表面上，则球 的表面积为______．
19．（2026·上海浦东新·三模）已知圆锥 的半径为3，点 为底面圆周上任意一点，点 为圆锥侧面（不含边
界）上任意一点，则 的取值范围为___________．
20．（2026·山西临汾·二模）在棱长为1的正方体 中，点 到平面 的距离为______.
21．（25-26高三下·安徽·期中）在长方体 中， ，面对角线 与截面
所成的角为 ，则 ____.
四、解答题22．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图1，正方形 的边长为2．如图2，现将正方形 沿着对角线 翻
折，其中O为原正方形 的中心．
(1)证明： 平面 ；
(2)翻折至四面体 的体积最大时，求 与平面 所成的角的正弦值．
23．（2026·上海浦东新·三模）如图，平行六面体 ，点 在底面
上的投影 落在线段 上（不含端点）．
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若侧棱 与底面 所成的角为 ，求平面 与底面 所成二面角的大小．
24．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，PB是圆柱 的母线，四边形ABCD是底面内接正方形．点E，F是
棱BC，CD上的动点（E，F不与端点重合），且 ．
(1)证明： 平面PBF；
(2)已知圆柱 的体积为 ，点A到直线PF的距离是1．求CE的长度；
25．（2026·河南安阳·模拟预测）如图，平行六面体 的底面 是正方形， .(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
26．（2026·湖北黄石·模拟预测）如图，在直三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点，点 在侧
棱 上，且 ， .
(1)求证：直线 平面 ；
(2)若 ，且三棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
27．（2026·陕西西安·三模）如图，直四棱柱 的底面为菱形，
为棱 的中点．
(1)证明： 平面 ．
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．28．（2026·安徽·模拟预测）如图，正八面体的每个面都是正三角形，四边形 是边长为2的正方形， 是
的中点．
(1)求点 到平面 的距离；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
29．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知正四棱柱 的底面边长为1，点 分别在边 上，
且 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
30．（2026·湖南衡阳·模拟预测）如图，在等腰梯形ABCD中， ，且 ，E是CD的中点．
将 沿AE折起到 的位置．
(1)若 为棱 上动点， 是AE的中点，证明 ．
(2)若平面 平面ABCE，求二面角 的余弦值．
