第 01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
内容导航
01 命题透视·考情前瞻 对标素养，研判高考命题趋势
02 思维建模·脉络梳理 搭建知识框架，构建系统思维
03 知识精讲·靶向突破 拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1空间几何体的结构特征 知识点2 空间几何体的表面积与侧面积
知识点3 空间几何体的体积公式 知识点 4 解三角形的综合应用
题型破译
题型 1 空间几何体的结构特征与直观图
【方法技巧】
【易错分析】
题型 2 几何体的表面积与侧面积计算
【方法技巧】
【易错分析】
题型 3 几何体的体积计算
【方法技巧】
【易错分析】
题型 4 球与多面体的切接问题
【方法技巧】
【易错分析】
题型 5 体积的最值与范围问题
【方法技巧】
【易错分析】
题型 6 截面、展开与实际应用问题
【方法技巧】
【易错分析】
04 真题溯源·考向感知 溯源真题逻辑，感知高考考向
05 课本典例·高考素材 立足课本典例，挖掘高考素材命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋势
核心考点 2026年 2025年 2024年
空间几何体的结构特
—— —— ——
征
几何体的表面积与侧
—— —— 全国Ⅰ卷T5（5分）
面积
全国Ⅰ卷T5（5分），
全国甲卷（文）T14
几何体的体积计算 全国二卷T5（5分） ——
（5分），全国甲卷
（理）T14（5分）
球与几何体的切接 全国二卷T14（5分） —— ——
体积最值与截面问题 —— 全国二卷T14（5分） ——
空间几何体是高中立体几何模块的基础内容，是高考必考考点，衔接空间点线面
位置关系与空间向量知识，突出直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养。
1. 题型分值：单选 / 多选第 3～12 题（5 分），填空题第 13～16 题（5
分），解答题常作为立体几何解答题第 1 问考查（5～6 分），总分值 5～12
分；整体难度中等偏下，以基础题与中档题为主，常与空间线面关系、空间向
量、函数最值等知识交汇。
2. 五大考查方向：
考情分析
a. 空间几何体的结构特征辨析，结合直观图、展开图考查概念理解；
b. 柱、锥、台、球的表面积与侧面积计算，含组合体表面积求解；
c. 空间几何体的体积计算，包含等体积法、割补法的应用；
d. 球与多面体的切接问题，求解外接球、内切球半径与相关最值；
e. 截面问题、展开问题与体积最值问题，结合函数、不等式综合考查。
3. 综合融合：常与空间线面垂直、平行关系结合，先判定位置关系再计算体积
表面积；也可与基本不等式、三角函数、函数单调性结合考查最值问题，突出空
间想象与运算能力。
1. 掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能辨析几何体类型与性质；
2. 掌握柱、锥、台、球的表面积与体积公式，能灵活计算简单组合体的表面积
与体积；
3. 掌握等体积法、割补法等常用体积计算技巧，能处理不规则几何体的体积问
复习目标
题；
4. 掌握几何体的外接球、内切球模型，能求解常见切接问题的半径与相关量；
5. 能处理截面、展开与体积最值问题，提升空间想象与综合运算能力。
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧知●识●解●构
知识点1 空间几何体的结构特征
一、多面体的结构特征
名称 棱柱 棱锥 棱台
图形
底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似
相交于一点，但不
侧棱 平行且相等 延长线交于一点
一定相等
侧面形状 平行四边形 三角形 梯形
二、旋转体的结构特征
名称 圆柱 圆锥 圆台 球
图形
互相平行且相
母线 相交于一点 延长线交于一点
等，垂直于底面
全等的等腰三角
轴截面 全等的矩形 全等的等腰梯形 圆
形
侧面展开图 矩形 扇形 扇环
注意：
1．正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫作直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫作正棱柱．反之，正棱柱的
底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．
2．正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫作正棱锥．特别地，各
棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边
形的中心．
三、直观图 —— 斜二测画法
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：
(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在
平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持
原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
自主检测（2026·山东·一模）水平放置的 ，用斜二测画法得到直观图 ，如图所示，若
，则 的面积等于______．
【答案】4
【详解】由题意知 ，
则 ，
为直角三角形， ，高 ，
．
知识点2空间几何体的表面积与侧面积
一、多面体的表面积
多面体的表面积是各个面的面积之和，即侧面积与底面积的和。
1. 直棱柱侧面积： 即 .
2. 正棱锥侧面积： 即 .
3. 正棱台侧面积： 即 .
二、旋转体的表面积
1. 圆柱
￮ 侧面积： （r为底面半径，l为母线长，数值上等于高h）
￮ 表面积：
2. 圆锥
￮ 侧面积： （r为底面半径，l为母线长）￮ 表面积：
3. 圆台
￮ 侧面积： （r、R为上下底半径，l为母线长）
￮ 表面积：
4. 球
￮ 表面积： （R为球半径）
注意：组合体表面积需注意重合的面不能重复计算，挖去部分需扣除重合面并新增内表面。
自主检测（2026·河南周口·三模）若圆锥的底面积为 ，高为4，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设圆锥的底面圆的半径为 ，则 ，解得 ，
又高为4，故圆锥的母线长为 ，
所以该圆锥的侧面积为 .
知识点3 空间几何体的体积公式
1. 柱体体积
（S为底面积，h为高）
圆柱体积：
2. 锥体体积
（S为底面积，h为高）
圆锥体积：
3. 台体体积
1
V= h(S +S +√S ⋅S )
3 上底面积 下底面积 上底面积 下底面积
圆台体积:
1
V= h(S +S +√S ⋅S )
3 上底面积 下底面积 上底面积 下底面积
4. 球的体积4
V = πR3
体积 3
五、常用体积技巧
1. 等体积法：三棱锥可任意更换底面与顶点，常用于求点到平面的距离；
2. 割补法：将不规则几何体分割或补形为规则几何体，简化计算；
3. 比例法：相似几何体的体积比等于相似比的立方。
自主检测（2026·江苏泰州·模拟预测）正六棱柱的底面边长为6，高为4.若挖去一个以正六棱柱上底面的
中心为顶点，正六棱柱下底面为底面的正六棱锥，则剩余部分几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】剩余几何体体积等于正六棱柱体积减去挖去的正六棱锥体积，分别计算体积相减即得.
【详解】因正六棱柱的底面正六边形是由6个边长为6的全等正三角形组成，
故其面积为 ，其体积为 ，
挖去的正六棱锥底面与棱柱下底面重合，高等于棱柱的高4，
故其体积为 ，
故剩余几何体的体积 .
知识点4 空间几何体的切接问题与常用结论
一、外接球问题核心：找球心，求半径
球心到各顶点距离相等，均为半径R。
1. 长方体（墙角）模型
￮ 长方体的外接球直径等于体对角线长：
￮ 适用场景：三条棱两两垂直的三棱锥（墙角型），可补形为长方体。
2. 直棱柱外接球
￮ 球心在上下底面中心连线的中点； （r为底面外接圆半径，h为棱柱高）
3. 正棱锥外接球
￮ 球心在高线上； （r为底面外接圆半径，h为棱锥的高）二、内切球问题核心：等体积法
内切球球心到各面距离相等，均为半径r。
• 通用公式： （适用于多面体内切球）
• 正方体内切球：直径等于棱长；
• 正四面体内切球半径 ，外接球半径 （ 为正四面体的高）
三、常用二级结论
1. 正四面体棱长为a，则高 ，外接球半径 ，内切球半径 ；
2. 球的截面性质：截面圆半径 （ 为球心到截面的距离）。
自主检测（2025·陕西榆林·一模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为 的扇形，在该圆锥
内有一个体积为 的球，则该球的体积 的最大值是___________．
【答案】
【分析】根据圆锥侧面展开图可得圆锥的半径和高，由三角形面积公式即可求解内切球半径，进而由球的
体积公式求出答案.
【详解】解：由题意得，扇形的弧长 ，
所以该圆锥的底面圆的半径 ，
所以该圆锥的高 ．
设该圆锥内的球的最大半径为 ，圆锥的轴截面如图所示：
则依题意得 ，所以 ，所以该球的体积 的最大值是 ．
故答案为：
题●型●破●译
题型1 空间几何体的结构特征与直观图
例1-1（2025·甘肃白银·三模）如图所示，在三棱锥 中，平面 平面
，若 为线段 上一动点，则 的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用勾股定理得 ，记 的中点为 ，得 ，根据面面垂直的性质定理
得出 、 为等边三角形，把 绕 翻折，使得平面 与平面 在同一平面上，则
的最小值为平面 内 的长度，再利用余弦定理可得答案.
【详解】
因为 ，
所以 ， ，
记 的中点为 ，连接 ，因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 为等边三角形，
把 绕 翻折，使得平面 与平面 在同一平面上，连接 交 于点 ，则 ，如图所示，
则 的最小值为平面 内 的长度，所以
，
所以 ，即 的最小值为 ．
故答案为：
例1-2（2026·重庆永川·模拟预测）用斜二测画法画一个边长为 的正方形，其直观图面积为 .则
展开式的常数项为 _____.
【答案】
【分析】先根据斜二测画法求出直观图的面积，进而求出 ，再根据二项式定理求出展开式的常数项.
【详解】正方形斜二测画法直观图面积为 ，可得 ，
展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
所以展开式的常数项为 .
方法技巧
1. 结构特征辨析：紧扣定义，注意关键词（如棱台 “侧棱延长线交于一点”、棱柱 “侧面都是平行四
边形且侧棱平行”）；
2. 斜二测画法：牢记 “横不变，纵减半，平行性不变”，面积比为原图:直观图= 。
易错分析
1. 旋转体判断忽略旋转轴的位置，如直角三角形绕斜边旋转不是圆锥；
2. 棱台、圆台判定忽略 “上下底面平行且相似，侧棱延长线共点” 的条件；
3. 斜二测画法中长度与面积的换算关系记反。
【变式训练1-1】（2026·重庆永川·模拟预测）用斜二测画法画一个边长为 的正方形，其直观图面积为
.则 展开式的常数项为 _____.
【答案】【分析】先根据斜二测画法求出直观图的面积，进而求出 ，再根据二项式定理求出展开式的常数项.
【详解】正方形斜二测画法直观图面积为 ，可得 ，
展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
所以展开式的常数项为 .
【变式训练1-2】（2025·陕西西安·二模）如图，四边形 的斜二测画法的直观图为等腰梯形 ，
已知 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形 的面积为 D．四边形 的周长为
【答案】BC
【分析】A选项，作出辅助线，得到各边长，结合 ，求出 ；B选项，由斜二测法可
知 ；C选项，作出原图形，求出各边，由梯形面积公式得到C正确；D选项，在C基础上，
求出各边长，得到周长．
【详解】对于A选项，过点 作 垂直于 轴于点 ，
因为等腰梯形 中 ， ，
所以 ，
又 ，所以 ，故A错误；
对于B选项，由斜二测法可知 ，故B正确；
对于C选项，作出原图形，可知 ， ， ， ，
故四边形 的面积为 ，故C正确；对于D选项，过点 作 于点 ，
则 ，
由勾股定理得 ，
四边形 的周长为 ，故D错误．
题型2 几何体的表面积与侧面积计算
例2-1（2026·安徽合肥·模拟预测）设圆锥的表面积为 ，体积为 ，球 的表面积为 ，体积为 .已知
圆锥的轴截面是等边三角形，且其体积之比 ，则圆锥与球 的表面积之比 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高，利用体积和表面积公式计算即可求解.
【详解】设圆锥底面半径为 ，球 的半径为 ，
由圆锥的轴截面是等边三角形可得圆锥的高为 ，
则 ，
所以圆锥与球 的表面积之比 ．
例2-2（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正三棱台 的高为 ， ，则该棱台的
侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】不妨设上、下底面中心为 ， ， ， 的中点分别为 ， ，易知 为斜高，由 ，得 ， ，
作 于 ，所以 ， ，
，
故所求棱台的侧面积为 ．
方法技巧
1. 规则几何体：直接代入公式，分清侧面积与全面积，注意底面个数；
2. 组合体：先分析组成结构，重合的面需扣除，挖去类注意新增内表面；
3. 三视图问题：先还原几何体形状，再对应棱长计算。
易错分析
1. 混淆侧面积与表面积，漏算底面积或多算重合面；
2. 圆锥、圆台中母线长与高混淆，公式代入错误；
3. 组合体表面积计算时，挖去部分只减不加，遗漏内侧面。
【变式训练2-1】（2026·安徽合肥·三模）如图，半球O的半径为 ，从中挖去一内接圆柱 ，圆柱一
个底面在半球面上，且轴截面为正方形，则剩余的几何体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合球和圆柱的表面积公式求解.
【详解】如图，作半球O的轴截面，记半球半径为R，圆柱半径为r
由题意，圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高为2r，则有 ，故所以剩余几何体的表面积为 .
【变式训练2-2】（多选题）（2026·广西南宁·模拟预测）如图，矩形ABCD是圆柱 的轴截面，
， ，E为 的中点，M为 的中点，则（ ）
A． 平面
B．圆柱 的侧面积为
C．三棱锥 的体积为
D．圆柱 的外接球的表面积为
【答案】AD
【分析】A选项，根据线面平行的判定定理在平面 中找到一条直线与 平行即可判断线面平行；B
选项，求侧面积利用侧面积公式 计算即可；C选项，利用换底的方式转化为已知底与已知高计算
体积即可；D选项，圆柱外接球的球心必然在圆柱上下圆心连线的中点上，通过构造直角三角形计算球半
径即可计算表面积．
【详解】
A选项，取 的中点 ，连接 ，因为M为 的中点，则 ，且 ；
又因为 且 ；
则 且 ，故 为平行四边形，
故 ，因为 平面 ， 平面 ，
故 平面 ，故A正确；
B选项，因为 ， ，
故 ，故B错误；
C选项，由 ，因为 ，
故 ，故C错误；
圆柱外接球的球心为 的中点 ，则球半径为 ,
在直角三角形 中， ， ，
则 ，
故球的表面积为 ，故D正确．
【变式训练2-3】（2026·北京·三模）如图，在棱台 中，底面ABCD和 为正方形，
， ，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为
________．【答案】
【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合
面积公式求解.
【详解】设棱台上下底面的中心分别为 ，
取 的中点 ， 的中点 ，
连接 . 由正棱台的性质可知，
平面 ， ， ，
且 四点共面. 过 作 于点 ，
则 平面 ，且 .
因为 ， ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 . 同理 .
所以 即为侧面 与底面 所成二面角的平面角，
由题意可知 . 因为 ，
所以 ， ， 又四边形 为矩形，
所以 . 所以 ，
在 中， ，
即侧面等腰梯形的高为 .
上底面面积为 ，下底面面积为 ，
侧面积为 ，
所以该棱台的表面积 .题型3 几何体的体积计算
例3-1（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正三棱台 的上、下底面的面积分别为 和 ，
侧棱与底面所成角的余弦值为 ， 则该正三棱台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设正三棱台 的上下底面的中心分别为 ，证得 平面 ，得到 为
直线 与底面 所成的角，求得正三棱台 的高 ，结合棱台的体积公式，即可
求解.
【详解】设正三棱台 的上下底面等边三角形的中心分别为 ,
分别连接 ，过 作 的垂线，垂足为 ，则 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
所以 为直线 与底面 所成的角，所以 ，
因为正三棱台 的上下底面的面积分别为 和 ，
即等边 的边长为 ，等边 的边长为 ，
可得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
即正三棱台 的高 ，
所以正三棱台 的体积为 .
例3-2（2026·海南三亚·一模）有一个3D打印的摆件可看成边长为6的正三角形挖去其内切圆，再以过该
圆心与一顶点的直线为轴旋转一周，最后沿平行于底面且过圆心的平面截取，保留截面与底面间部分（如图所示），则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等边三角形的几何性质分析球的半径以及圆台的结构特征，结合体积公式运算求解即可.
【详解】如图， 为 的中点， ，
则等边 的内切圆O的半径 ， ， ，
可知圆台的上、下底面半径分别为 ，高为 ，
所以该几何体的体积为 .
方法技巧
1. 公式法：规则几何体直接对应体积公式，找准底面积与对应高；
2. 割补法：不规则几何体分割为多个规则体，或补形为完整规则体（如补为长方体、棱柱）；
3. 等体积法：三棱锥换底换高，常用于求体积或点面距离。
易错分析
1
1. 锥体体积漏乘 ，是高频易错点；
3
2. 底面积与高不对应，高必须垂直于底面；
3. 割补后体积关系搞反，补形后需减去多余部分。
【变式训练3-1】（2026·重庆·三模）已知圆锥的轴截面是顶角为 的三角形，且该圆锥的顶点和底面的
圆周都在球 的球面上，则该圆锥与球 的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用圆锥性质，即可得外接球心即为轴截面外接圆圆心，再利用解三角形即可求体积之比.
【详解】设外接球 的半径为 ，则球的体积为 ，
由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的
大圆，
即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径，
已知轴截面顶角为 ，由正弦定理可得，底面直径 满足 ，
解得 ，因此圆锥底面半径 ，圆锥的高 ，
所以圆锥体积 ，
则该圆锥与球 的体积之比为： .
【变式训练3-2】（2026·河北唐山·模拟预测）四面体ABCD中，平面 平面 ， ，
， ， ，则该四面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】1.本题的核心是利用面面垂直的性质和外接球的球心判定来求解.
2.在直角三角形 中，斜边 即为外接圆的直径，由已知条件及勾股定理计算出斜边 的长.
3.结合 ,可推出 外接圆的直径也是 ，最终确定球心位置，求出球体半径 ，进一步求出
球体的体积.
【详解】如图，设 的外心为 ，过点 作 于点 ，连接 、 、 ，
取 的中点 ，连接 ，则 .
因为面 面 ，面 面 ， 平面 ，
所以， 面 ，
因为 平面 ，所以 .
在直角三角形 中， ， ， ,得 .
在 中，由正弦定理得， ，解得， .
在直角三角形 中， ，则 ，在直角三角形 中，由面积公式得， ，解得， ，
则 ， .
在直角三角形 中，则 ，
在直角三角形 中，则 ，
即 ，
所以，点 为该四面体外接球的球心，故其体积为 .
【变式训练3-3】（多选题）（2026·江苏南京·三模）正三棱柱 中，棱长均为3， 在棱
上，且 （ 在 上面），则（ ）
A．五面体 的体积是定值
B． 与 可能垂直
C．
D．当 时，称五面体 为刍甍，该刍甍体积为
【答案】ACD
【分析】根据割补法计算体积分析ACD，建立空间直角坐标系分析B.
【详解】对于AD， ,
正三棱柱 中，棱长均为3,所以 ,
设 ，则 ,
,
故 ,AD正确；
对于B，以 为原点，建立空间直角坐标系如图，
则 ， , ,
所以 , ,
当 时， ，此时 不在棱 上，故错误；
对于C，因为 平行于平面 ,
所以 到平面 的距离为 的高 ，
,
故 ,
,
故 正确.题型4 球与多面体的切接问题
例4-1（2026·云南·三模）将边长为2的正方形 沿对角线 翻折，得到三棱锥 ，当三棱锥
的体积最大时，则三棱锥 的内切球的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出三棱锥 体积的最大值，再建立关于体积与内切球半径的关系，解方程求解.
【详解】由题可知，将 沿直线 翻折到平面 平面 时，
三棱锥 的体积最大，取 的中点 ，连接 ,则 ，
且 平面 ， ，
所以三棱锥 的体积为： .
由 和 均为直角三角形， 和 均为正三角形，
， ，
所以三棱锥 的表面积 .
设三棱锥 内切球半径为 .
由 ，得 ，解得 .
例4-2（2026·山东聊城·三模）上海某会议中心是一个外形为圆锥体的建筑，其造型被赋予了“精益求精、
追求卓越”的象征意义．已知一个该建筑物模型的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥形模型
的内切球的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥内切球半径即为圆锥轴截面三角形的内切圆半径求解即可.
【详解】设圆锥的母线长为 ，则 ，则 ,
所以圆锥的高 ,
由于圆锥的轴截面为等腰三角形，其面积 ，周长 ,
所以轴截面等腰三角形内切圆的半径 ,
故该圆锥形模型的内切球的半径为
方法技巧
1. 外接球解题核心：确定球心位置，利用勾股定理列方程求半径:
- 有两两垂直棱→补长方体（墙角模型）；
- 直棱柱 / 圆柱→球心在中垂面， ;
- 正棱锥 / 圆锥→球心在高线上，列方程求解。
2. 内切球解题核心：等体积法， 。
3. 球的截面：利用 建立半径与距离关系。
易错分析
1. 求范围时忽略锐角三角形等约束条件，导致范围扩大；
2. 基本不等式使用时，忽略等号成立的条件是否满足三角形要求；
3. 角的范围推导错误，导致三角函数值域计算偏差。
【变式训练4-1】（2026·河南·模拟预测）在长方体 中，M为 的中点，N为 的中
点， ， ， ，则四面体 的外接球的半径为________.
【答案】 /
【分析】先证明 ，结合 可证得 平面 ，可得 ，取 的中点为 ，
推理得出点 到A，B，M，N四点的距离相等，即得点 为四面体 的外接球的球心，进而可求得
其半径.
【详解】在 与 中，可得 ， ，即 ，
因 ，所以 ，故 ，即 .又 平面 ， 平面 ，则 .
因 平面 ，所以 平面 ，而 平面 ，故 .
如图，取 的中点为 ，在 中， ，在 中， ，
所以 ，即点 到A，B，M，N四点的距离相等，所以点 为四面体 的外接球
的球心，
可得外接球的直径 ，
所以四面体 的外接球的半径为 .
【变式训练4-2】（2026·北京海淀·三模）鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫
卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全一样的正四棱柱体
分成三组，经 榫卯起来．若正四棱柱的高为8，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容
器内，则该球形容器（容器壁的厚度忽略不计）的体积的最小值为______．
【答案】
【分析】根据题意，可转化为求该几何体外接球的体积，即长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球的
体积.
【详解】由题意，该球形容器的体积最小时，该球形容器为长、宽、高分别为4,2,8的长方体的外接球，
其直径为 ，
半径为 ，体积为 .
即该球形容器的体积的最小值为 .题型5 体积的最值与范围问题
例5-1（2026·上海杨浦·模拟预测）圆锥的底面半径为12，高为12，现于圆锥内放置一个圆柱，使圆柱的
一个底面与圆锥的底面所在的平面重合，则该圆柱体积的最大值为（ ）
A．64 B．128 C．144 D．256
【答案】D
【详解】如图，依题意， ， ，设此时的圆柱的半径为 ，
则 ， ，所以 ，
所以该圆柱体积为 ， ，
，令 ，得 ，
当 ， ， 单调递增，当 ， ， 单调递减，
所以，当 ， 取得最大值，此时 .
例5-2（2026·山东聊城·模拟预测）已知三棱锥 的顶点均在球 的球面上，且球心 在棱 上，
若球 的表面积为 ，则三棱锥 的体积最大值为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】先由球的表面积求出半径，结合球心在 上可知 为直径、 为直角三角形，分别求出
的最大面积和点 到平面 的最大距离，代入三棱锥体积公式即可得最大值.
【详解】设球的半径为 ，
则有 ，解得 ，
又因为球心 在棱 上，
所以 为直径且 ，
所以 为直角三角形，且 ,
要使棱锥 的体积最大，
则 的面积最大，且点 到平面 的距离 也要最大，
当 平面 时， 最大，此时 ,又 ,
当且仅当 时，等号成立；
设三棱锥 的体积为 ，
所以 ，
所以 .
方法技巧
1. 函数法：设变量（如半径、高），将体积表示为单变量函数，结合函数单调性或导数求最值；
2. 基本不等式法：利用表面积、侧面积等定值条件，结合均值不等式求体积最值；
3. 几何临界法：分析运动过程中的临界位置，确定最值点。
易错分析
1. 变量范围考虑不全，忽略几何约束（如底面半径、高的取值限制）；
2. 基本不等式使用时忽略等号成立条件；
3. 多变量问题无法正确消元，导致无法求解。
【变式训练5-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知长方体的一条棱长为 ，体积为 ，则其外接球表面
积的最小值为________.
【答案】
【分析】由长方体的体积求出 ，再由基本不等式可求出 ，再由球的表面积公式计算得到答
案.
【详解】设长方体共顶点的三条棱的长分别为 ，
则长方体的体积 ，解得 ．
设长方体的外接球半径为 ，则 ，
即 ，即 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以其外接球表面积的最小值为 ．【变式训练5-2】（2026·四川·二模）已知正方体 ，O为 的中心，M为 的中点，
过O、M两点的平面将正方体分为两部分，记两部分的体积分别为 ， ，则 的取值范围为
_____________．
【答案】
【分析】先尝试作出截面，并找到截面与上底面的交线，通过对交线的情况讨论解决问题.
【详解】
设正方体棱长为 ，体积为 ，
如图1，过O、M两点的平面与 交于点 ，
过O、M两点的平面将正方体分为两部分，
记两部分的体积分别为 、 ，设 ，
如图2，当 时，两部分的体积分别为 和 ，此时 ，
当 时，如下图
的体积相对于 时
增加了一个斜三棱柱 的体积，
同时减少了多面体 的体积，
观察上图发现增加的体积多于减少的体积，且其体积是连续变化的，
当 ，如下图 的体积必然大于多面体 的体积，
计算多面体 的体积为 ，，
所以多面体 的体积为 ，
所以当 ，如下图 的体积必然大于 ，
如下图，当截面与上底面的交点 在 上时，
考虑特殊情况 为 上的中点时， ，此时 ，根据对称性， ，
且 从 运动到 上的中点过程中，同 时一样， 的体积必然大于 ， ，
再根据对称性，及体积变化的连续性知， 的取值范围是 .
【变式训练5-3·变载体】（2026·山东东营·模拟预测）在三棱锥 中，等边三角形 的边长为 ，
， ，点 为 的中点．
(1)证明： ；
(2)设点 在底面 上的投影为 ，求三棱锥 体积的最大值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设 的中点为 ，连接 、 ，证明出 平面 ，结合线面垂直的性质可证得结
论成立；
（2）过点 在平面 内作 的垂线，垂足为点 ，连接 、 ，证明出 面 ，可知
为点 在底面 上的投影，设 ，其中 ，求出三棱锥 体积
.
方法一：计算得出 ，然后利用四元基本不等式可求得 的最大值；
方法二：设 ，其中 ，利用导数法可求得 的最大值.
【详解】（1）设 的中点为 ，连接 、 ．
因为三角形 为等边三角形，所以 ，
因为 、 分别为 、 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ．
（2）过点 在平面 内作 的垂线，垂足为点 ，连接 、 ，证明如下：
由（1）得， 平面 ，且 平面 ，所以 ，
又因为 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，即 为点 在底面 上的投影．
因为 是边长为 的等边三角形， ，则 ，
因为 ， ， ，所以 ，
由（1）可知 ，设 ，其中 ，
则 ， ，
所以 ，
三角形 的面积，
则三棱锥 体积 ，
法一：四元均值不等式
，
即 ，当且仅当 ，即 时，即 时，等号成立．
法二：导数法
设 ， ，
则
，
令 ，即 ，解得 ，
由 ，即 ，解得 ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
即 ．
题型6 截面、展开与实际应用问题
例6-1（2026·山西晋城·一模）已知某圆台的上底面面积为 ，下底面面积为 ，轴截面的面积为
48，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】记圆台的上底面半径为 ，下底面半径为 ，高为 ，
则 ，可得 ，而 ，解得 ，
故圆台的体积 ．
例6-2（2025·河北·三模）已知底面半径为 的圆锥其轴截面面积为 ，过圆锥顶点的截面面积最大值为
，若 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆锥的轴截面面积结合三角形的面积公式及圆锥侧面积公式即可求解.
【详解】 轴截面不是最大面积， 轴截面顶角 为钝角，
设母线长为 ，
即 ，
所以该圆锥的侧面积 .
故选：A.
方法技巧
1. 截面问题：找平面与几何体棱的交点，顺次连接得截面形状，再计算面积周长；
2. 展开问题：将侧面展开为平面图形，化曲为直，用两点之间线段最短求最短路径；
3. 实际应用：抽象出几何体模型，对应表面积、体积公式求解。
易错分析
1. 截面交点找不全，导致截面形状判断错误；
2. 圆锥展开图中圆心角与底面半径、母线的关系记错；
3. 展开图中起点与终点的对应位置搞错。
【变式训练6-1】（2024·湖北武汉·二模）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会挂
起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围.如图1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部
分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球缺）.如图2，“球缺”是指一个球被平面
所截后剩下的部分，截得的圆面叫做球缺的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球缺的高.已知球缺的
体积公式为 ，其中 是球的半径， 是球缺的高.已知该灯笼的高为40cm，圆柱的高为4
cm，圆柱的底面圆直径为24 cm，则该灯笼的体积为（取 ）（ ）A． cm3 B．33664 cm3 C．33792 cm3 D．35456 cm3
【答案】B
【分析】由勾股定理求出 ，则可得 ，分别求出两个圆柱的体积、灯笼中间完整的球的体积与球缺的体
积即可得..
【详解】该灯笼去掉圆柱部分的高为 cm，则 cm，
由圆柱的底面圆直径为24 cm，则有 ，
即 ，可得 ，则 ，
.
故选：B.
【变式训练6-2】（多选题）（2025·广东揭阳·模拟预测）如图，已知圆台的轴截面为ABCD，其中
为圆弧 的中点， ，则（ ）
A．圆台的体积为
B．圆台母线所在直线与平面 所成角的最大值为
C．过任意两条母线作圆台的截面，截面面积的最大值为
D．过 三点的平面与圆台下底面的交线长为
【答案】AD
【分析】对于A选项，因为 ，得到圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为 ，
圆台的高 ，求出圆台的体积，故A正确；由 得 ，将圆台补成圆锥，顶点记为 ，底面圆的圆心记为 ，连接 ，求出 平面 ，得到平面
平面 ，母线所在直线 与平面 所成的角最大为 ，再由 ，
得 ，当两条母线所在直线夹角为 时面面积最大；在梯形 中，连接 并延长交
的延长线于点 ，连接 交底面圆于点 ，则 为截面与底面圆的交线，求出 .
【详解】对于A选项，因为 ，所以圆台上底面圆半径为 ，下底面圆半径为 ，
所以圆台的高 ，
所以圆台的体积 ，故A正确；
由 得 ，因为 ，所以 ，
如图，将圆台补成圆锥，顶点记为 ，底面圆的圆心记为 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，因为 平面 平面 ，
所以 ，因为 平面 ，
所以 平面 ，，
因为 平面 ，所以平面 平面 ，
此时母线所在直线 与平面 所成的角最大为 ， ，故B错误；
由 得 ，
所以 ，当两条母线所在直线夹角为 时面面积最大为 ，故C
错误；
如图，在梯形 中，连接 并延长交 的延长线于点 ，连接 交底面圆于点 ，则 为截面
与底面圆的交线，由 得 ，所以 ，
取 中点 ，则 ，
所以 ，故D正确．
故选：AD.
【变式训练6-3】（多选题）已知圆锥SO的底面半径为10cm，其母线SA长40cm，底面圆周上有一动点
B，下列说法正确的有（ ）
A．截面SAB的最大面积为
B．若 ，则直线SB与平面SOA夹角的正弦值为
C．当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积为
D．若 ，且 ，一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点，先上坡后下坡，当它爬行
的路程最短时，下坡路段长为18cm
【答案】ACD
【分析】对A，关键在于考虑∠ASB正弦的大小；对B，只需作出线面角即可；对C，当三棱锥O-SAB体
积最大值，三棱锥可以补成长方体；对D，可以将圆锥侧展开考虑.
【详解】对A，因为 ，所以∠ASB为锐角，
所以 ，A正确；
对B，如图，取OA中点H，则BH⊥OA，又BH⊥SO，所以BH⊥面SOA，
所以∠BSH为直线SB与平面SOA所成的角，
所以 ，B错误；对C，易知当三棱锥O-SAB体积最大时，OB⊥面SOA，
此时三棱锥可以补成以OA，OB，OS为三相邻边的长方体，
所以外接球直径 ，
外接球表面积为 ，C正确；
对D，将三棱锥侧面展开如下，扇形弧长为 ，所以 ；
过S作SD⊥ 于D，则所求路径即为CD的长：
由 ，SC=30cm，
所以 =50cm，且 ，D正确.
故选：ACD.
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
一、单选题
1．（2026·全国二卷·高考真题）已知棱台的上、下底面均是有一个内角为 的菱形，上、下底面的边长
分别为2，3，该棱台的高为 ，则其体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出棱台的上底面面积和下底面面积，再根据棱台的体积公式求得该棱台的体积.
【详解】由题意，得棱台的上底面面积为 ，下底面面积为 ，
所以该棱台的体积为 .
2．（2025·上海·高考真题）如图， 是正四棱台，则下列各组直线中属于异面直线的是
（ ）．
A． 和 ； B． 和 ； C． 和 ； D． 和 ．
【答案】D
【分析】根据棱台的性质及直线与直线的位置关系即可判断.
【详解】因为 是正四棱台，所以 ，故A错误，
侧棱延长交于一点，所以 与 相交，故B错误，
同理 与 也相交，所以 四点共面，所以 与 相交，故C错误，
与 是异面直线，故D正确.
故选：D
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知正三棱台 的体积为 ， ， ，则 与
平面ABC所成角的正切值为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高 ，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求
得 ，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台 补成正三棱锥
， 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，根据比例关系可得 ，进而可求正
三棱锥 的高，即可得结果.
【详解】解法一：分别取 的中点 ，则 ，
可知 ，
设正三棱台 的为 ，则 ，解得 ，
如图，分别过 作底面垂线，垂足为 ，设 ，
则 ， ，
可得 ，
结合等腰梯形 可得 ,
即 ，解得 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值为 ；
解法二：将正三棱台 补成正三棱锥 ，
则 与平面ABC所成角即为 与平面ABC所成角，
因为 ，则 ，
可知 ，则 ，
设正三棱锥 的高为 ，则 ，解得 ，
取底面ABC的中心为 ，则 底面ABC，且 ，
所以 与平面ABC所成角的正切值 .
故选：B.4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，
则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为 ，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径 的方程，求出解后可求圆锥的
体积.
【详解】设圆柱的底面半径为 ，则圆锥的母线长为 ，
而它们的侧面积相等，所以 即 ，
故 ，故圆锥的体积为 .
故选：B.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥 中， 是边长为2的等边三角形，
，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】证明 平面 ，分割三棱锥为共底面两个小三棱锥，其高之和为AB得解.
【详解】取 中点 ，连接 ，如图，
是边长为2的等边三角形， ，
，又 平面 ， ，
平面 ，
又 ， ，
故 ，即 ，
所以 ，
故选：A
二、填空题6．（2025·北京·高考真题）某科技兴趣小组用3D打印机制作的一个零件可以抽象为如图所示的多面体，
其中ABCDEF是一个平面多边形，平面 平面ABC，平面 平面ABC，
， .若 ，
则该多面体的体积为________．
【答案】
【分析】如图，将一半的几何体分割成直三棱柱 和四棱锥 后结合体积公式可求几何
体的体积.
【详解】先证明一个结论：如果平面 平面 ，平面 平面 ，平面 ，则 .
证明：设 ， ， 在平面 取一点 ， ，
在平面 内过 作直线 ，使得 ，作直线 ，使得 ，
因为平面 平面 ， ，故 ，而 ，故 ，
同理 ，而 ，故 .
下面回归问题.
连接 ，因为 且 ，故 ，同理 ， ，
而 ，故直角梯形 与直角梯形 全等，
故 ，
在直角梯形 中，过 作 ，垂足为 ，
则四边形 为矩形，且 为以 为直角的等腰直角三角形，
故 ，
平面 平面 ，平面 平面 ， ,
平面 ，故 平面 ，
取 的中点为 ， 的中点为 ， 的中点为 ，连接 ，
则 ，同理可证 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 ，同理平面 平面 ，
而平面 平面 ，故 平面 ，
故 ，故四边形 为平行四边形，故 .
在平面 中过 作 ，交 于 ，连接 .
则四边形 为平行四边形，且 ，故 ，
故四边形 为平行四边形，
而 平面 ，
故 平面 ，故平面 平面 ，
而 ，故 ，
故几何体 为直棱柱，
而 ，故 ,
因为 ，故 平面 ，
而 平面 ，故平面 平面 ，
在平面 中过 作 ，垂足为 ，同理可证 平面 ，
而 ，故 ，故 ，
由对称性可得几何体的体积为 ，
故答案为： .
7．（2025·上海·高考真题）如图，在正四棱柱 中， ，则该正四棱柱的
体积为_________．【答案】
【分析】求出侧棱长和底面边长后可求体积.
【详解】因为 且四边形 为正方形，故 ，
而 ，故 ，故 ，
故所求体积为 ，
故答案为： .
8．（2025·全国二卷·高考真题）一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不
计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为____________ ．
【答案】
【分析】根据圆柱与球的性质以及球的体积公式可求出球的半径；
【详解】
圆柱的底面半径为 ，设铁球的半径为r，且 ，
由圆柱与球的性质知 ，
即 ， ，
故答案为： .
9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为 ,下底面半径均为 ，圆台的母线长分
别为 , ，则圆台甲与乙的体积之比为______．
【答案】
【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可
得解.【详解】由题可得两个圆台的高分别为 ，
，
所以 .
故答案为： .
10．（2023·全国乙卷·高考真题）已知点 均在半径为2的球面上， 是边长为3的等边三角
形， 平面 ，则 ________．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥 转化为正三棱柱 ，
设 的外接圆圆心为 ，半径为 ，
则 ，可得 ，
设三棱锥 的外接球球心为 ，连接 ，则 ，
因为 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一
般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的
位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
11．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体 中， 为 的中点，若该正方体的棱
与球 的球面有公共点，则球 的半径的取值范围是________．
【答案】
【分析】当球是正方体的外接球时半径最大，当边长为 的正方形是球的大圆的内接正方形时半径达到最
小.
【详解】设球的半径为 .
当球是正方体的外接球时，恰好经过正方体的每个顶点，所求的球的半径最大，若半径变得更大，球会包
含正方体，导致球面和棱没有交点，
正方体的外接球直径 为体对角线长 ，即 ，故 ；
分别取侧棱 的中点 ，显然四边形 是边长为 的正方形，且 为正方形
的对角线交点，
连接 ，则 ，当球的一个大圆恰好是四边形 的外接圆，球的半径达到最小，即 的最
小值为 .
综上， .
故答案为：
三、解答题
12．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ，
， 的中点分别为 ，点 在 上， ．(1)求证： //平面 ；
(2)若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)
连接 ，设 ，则 ， ， ，
则 ，
解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点，
于是 ，即 ，
则四边形 为平行四边形，
，又 平面 平面 ，
所以 平面 .
(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）略
（2）过 作 垂直 的延长线交于点 ，
因为 是 中点，所以 ，
在 中， ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，又 ， 平面 ，所以 平面 ，
即三棱锥 的高为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
一、判断题
1．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.( )
【答案】×
【分析】根据长方体、直四棱柱、四棱柱的定义即可判断.
【详解】长方体是四棱柱，但直四棱柱不一定是长方体.
如图，直四棱柱 不是长方体，
所以长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体是错误的.
故答案为：×
二、填空题2．一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的矩形，则这
个几何体是__________.
【答案】直五棱柱
【分析】根据空间几何体的特征即可求解.
【详解】如图所示：
由题意一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，
故此几何体是五棱柱，又其他各面都是全等的矩形，
故五棱柱的上下底面边长相等且侧棱与底面垂直，
根据直棱柱的定义可知该几何体是直五棱柱.
故答案为：直五棱柱.
3．如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，
再将容器倾斜．随着倾斜度的不同，有下面五个命题：
（1）有水的部分始终呈棱柱形；
（2）没有水的部分始终呈棱柱形；
（3）水面EFGH所在四边形的面积为定值；
（4）棱 始终与水面所在平面平行；
（5）当容器倾斜如图（3）所示时， 是定值．
其中所有正确命题的序号是______，为什么？
【答案】（1）（2）（4）（5）
【分析】根据题意，结合棱柱的特征进行判断，观察即可得到答案.
【详解】根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相平
行，而这些面都是平行四边形，所以（1）和（2）正确；
因为水面 所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度变化而变化，所以水面四边形 的面积是变化的，（3）错误；
因为棱 始终与 平行， 与水面始终平行，所以（4）正确；
因为水的体积是不变的，高始终是 也不变，所以底面积也不会变 ，即 是定值，
所以（5）正确；综上知（1）（2）（4）（5）正确，
故答案为：（1）（2）（4）（5）.
三、解答题
4．某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的．如果被截正
方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少？
【答案】
【分析】计算出正方体的体积和8个四面体的体积，相减后得到答案.
【详解】如图所示，由题意知正方体的棱长为0.5m，
设正方体 的体积为 ，则有 ．
其中 ．
∴这个石凳的体积为 ．
5．求证：直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积.
【答案】见解析
【分析】将问题转化为证明三角形的两边之和大于第三边即可.
【详解】证明：如图，因为直三棱柱的侧面都是矩形，则侧面积为底乘高，而高相等，所以要证任意两个侧面的面积和大于第三个倒面的面积，只要证明三棱柱的底面上任意两边的和大于第三边即可，而这可由
三角形的两边之和大于第三边得到，从而得证.
6．已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径.
【答案】
【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即
可.
【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得 .
又圆锥的侧面展开图为半圆， ，即 .
将②式代入①式得 ， ，即 .
故圆锥的底面直径为 .
7．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？
【答案】
【解析】设球的半径为R时，根据体积公式和表面积公式列方程求解即可.
【详解】解：设球的半径为R时，其体积和表面积的数值相等.
则 ， .
即球的半径 时，其体积和表面积的数值相等.
8．一个长、宽、高分别是80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000 的水，现放入一个直径为50cm的
木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出？
【答案】不会
【解析】分别求出球的体积，水中球的体积，长方体的体积，利用它们之间的关系确定答案.
【详解】解：球的体积 ，
水中球的体积 ，
长方体的体积 ，
.
故水不会从水槽中溢出.
9．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积.
【答案】
【解析】先求出球的半径，然后利用球的体积公式求解即可.
【详解】解：由题意知，球内切于正方体， ， .所以球的体积 ，
即可制作的最大零件的体积为 .
10．若正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.
【答案】正六棱台的表面积为
【分析】在正六棱台的侧面上计算出斜高，然后计算侧面积，两个底面面积，相加可得表面积．
【详解】如图，正六棱台 中， ， ， ，∴侧面梯形
的斜高为 ∴
∴ .
又 ，
，
∴正六棱台的表面积 .
即正六棱台的表面积为 .
（1）共得到多少个棱长是1cm的小立方体？
（2）三面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（3）两面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（4）一面是红色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？
（5）六个面均没有颜色的小立方体有多少个？它们的表面积之和是多少？它们占有多少立方厘米的空间？
【答案】（1）64个；
（2）8个， 48 ；（3）24个， 144 ；
（4）24个， 144 ；
（5）8个， 48 ， 8
【解析】（1）棱长是4 的立方体体积64 ，棱长为1 的小正方体体积为1 ，由此能求出共得
到多少个棱长为1 的小正方体；
（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4 的立方体的顶点处的小正方体，由此能求出三面涂色的小正
方体有多少个，表面积之和为多少；
（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4 的立方体的各边上的正方体，由此能求出二面涂色的小正方
体有多少个，表面积之和为多少；
（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4 的立方体中心的正方体，由此能求出六个面均没有涂色的
小正方体有多少个，表面积之和为多少，它们占有多少立方厘米.
【详解】解：（1）棱长是4 的立方体体积为：4×4×4＝64（ ），
棱长为1 的小正方体体积为1 ，
∴共得到 个小正方体；
（2）三面涂色的小正方体是位于棱长是4 的立方体的顶点处的小正方体，
∵立方体共有8个顶点，
∴三面涂色的小正方体有8个，
每个小正方体的表面积为6 ，
则表面积之和为8×6＝48（ ）；
（3）二面涂色的小正方体是位于棱长是4 的立方体的各边上的正方体，
∵立方体共有12条边，每边有2个正方体，
∴二面涂色的小正方体有24个，
每个小正方体的表面积为6 ，
则表面积之和为24×6＝144（ ）；
（4）一面涂色的小正方体在棱长是4 的立方体的表面上既不是顶点又不是各边上的正方体，
∵立方体共有6个面，每个面有4个正方体，
∴一面涂色的小正方体有24个，
每个小正方体的表面积为6 ，
则表面积之和为24×6＝144（ ）；
（5）六个面均没涂色的小正方体为棱长是4 的立方体中心的正方体，
共有64−8−24−24＝8个，
每个小正方体的表面积为6 ，
则表面积之和为8×6＝48（ ），它们 占8×1＝8（ ）的空间.
