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考点 18 计数原理、排列组合、二项式定理（7 种题型 9 个易错
考点）
一、 真题多维细目表
二、命题规律与备考策略
考题 考点 考向
2022新高考 二项式定理 求展开式中特定项的系数
2022新高考 两个计数原理，排列与组合 排列问题
2020新高考 两个计数原理，排列与组合 分配问题
2020新高考 两个计数原理，排列与组合 分配问题
二项展开基本定理，还会涉及到三项展开，考查特定项、特定项的系数、二项式系数，同时会涉及到
赋值法的应用，排列组合 常以现实生活、社会热点为载体．多为小题．
三、 2023 真题抢先刷，考向提前知
一．选择题（共4小题）
1．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，
则不同的抽样结果共有
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种2．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相
同的选法共有
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．（2023•北京） 的展开式中， 的系数是
A． B．40 C． D．80
4．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，
则两天中恰有1人连续参加两天服务的选择种数为
A．120 B．60 C．40 D．30
二．填空题（共2小题）
5．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这 8门课中选修2
门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
6．（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 ．
四、考点清单
一．分类加法计数原理
1．定义：完成一件事有两类不同方案：在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类办法中有n种不同的
方法，那么完成这件事共有：N＝m+n种不同的方法．
2．推广：完成一件事有n类不同方案：在第1类办法中有m 种不同的方法，在第2类办法中有m 种不同
1 2
的方法，…，在第n类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m +m +…+m 种不同的方法．
n 1 2 n
3．特点：
（1）完成一件事的n类方案相互独立；
（2）同一类方案中的各种方法相对独立．
（3）用任何一类方案中的任何一种方法均可独立完成这件事；
4．注意：与分步乘法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都 每步依次完成才算完成这件能独立完成这件事 事情（每步中的每一种方法
不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n类方案，且每一类方案中的任何一种方法均能独立完成这件事，则可使用分类加法
计数原理．
实现步骤：
（1）分类；
（2）对每一类方法进行计数；
（3）用分类加法计数原理求和；
二．分步乘法计数原理
1．定义：完成一件事需要分成两个步骤：做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么
完成这件事共有：N＝m×n种不同的方法．
2．推广：完成一件事需要分成n个步骤：做第1步有m 种不同的方法，做第2步有m 种不同的方法，…，
1 2
做第n步有m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N＝m ×m ×…×m 种不同的方法．
n 1 2 n
3．特点：完成一件事的n个步骤相互依存，必须依次完成n个步骤才能完成这件事；
4．注意：与分类加法计数原理区别
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
相同点 计算“完成一件事”的方法种数
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
每类方案中的每一种方法都 每步依次完成才算完成这件
能独立完成这件事 事情（每步中的每一种方法
不能独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
如果完成一件事情有n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤才能完成这件事，则
可使用分步乘法计数原理．
实现步骤：
（1）分步；
（2）对每一步的方法进行计数；
（3）用分步乘法计数原理求积；
三．计数原理的应用
1．两个计数原理（1）分类加法计数原理：N＝m +m +…+m
1 2 n
（2）分步乘法计数原理：N＝m ×m ×…×m
1 2 n
2．两个计数原理的比较
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
共同点 都是计数原理，即统计完成某件事不同方法种数的原
理．
不同点 分类完成，类类相加 分步完成，步步相乘
n类方案相互独立，且每类 n个步骤相互依存，每步依
方案中的每种方法都能独立 次完成才算完成这件事情
完成这件事 （每步中的每一种方法不能
独立完成这件事）
注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，步骤完整
【解题方法点拨】
1．计数原理的应用
（1）如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类加法计数原
理；
（2）如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完
成这件事的方法数时，使用分步乘法计数原理．
2．解题步骤
（1）指明要完成一件什么事，并依事件特点确定是“分n类”还是“分n步”；
（2）求每“类”或每“步”中不同方法的种数；
（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法总数；
（4）作答．
【命题方向】
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思
想方法．
常见考题类型：
（1）映射问题
（2）涂色问题（①区域涂色②点的涂色③线段涂色④面的涂色）
（3）排数问题（①允许有重复数字②不允许有重复数字）
四．排列及排列数公式
1．定义
（1）排列：一般地，从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
（2）排列数：从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的排列数，用符号 表示．
2．相关定义：
（1）全排列：一般地，n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列．
（2）n的阶乘：正整数由1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示．（规定0!＝1）
3．排列数公式
（1）排列计算公式： ＝ ．m，n N ，且m≤n．
+
∈
（2）全排列公式： ＝n•（n﹣1）•（n﹣2）•…•3•2•1＝n!．
五．组合及组合数公式
1．定义
（1）组合：一般地，从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个元素中任取
m个元素的一个组合．
（2）组合数：从n个不同元素中，任意取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中，
任意取出m个元素的组合数，用符号 表示．
2．组合数公式： ＝ ．m，n N ，且m≤n．
+
3．组合数的性质： ∈
性质1
性质2 ．
六．排列、组合及简单计数问题
1、排列组合问题的一些解题技巧：
①特殊元素优先安排；
②合理分类与准确分步；
③排列、组合混合问题先选后排；
④相邻问题捆绑处理；⑤不相邻问题插空处理；
⑥定序问题除法处理；
⑦分排问题直排处理；
⑧“小集团”排列问题先整体后局部；
⑨构造模型；
⑩正难则反、等价转化．
对于无限制条件的排列组合问题应遵循两个原则：一是按元素的性质分类，二是按时间发生的过程进行分
步．对于有限制条件的排列组合问题，通常从以下三个途径考虑：
①以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
②以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
③先不考虑限制条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
2、排列、组合问题几大解题方法：
（1）直接法；
（2）排除法；
（3）捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们
“局部”的排列．它主要用于解决“元素相邻问题”；
（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决
“元素不相邻问题”；
（5）占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置
的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解
题原则；
（6）调序法：当某些元素次序一定时，可用此法；
（7）平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有 ；
（8）隔板法：常用于解正整数解组数的问题；
（9）定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内，并且都排在
某r个指定位置则有 ；
（10）指定元素排列组合问题：
①从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列（或组合），规定某r个元素都包含在内．先C后A策略，排列 ；组合 ；
②从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定某r个元素都不包含在内．先C后A
策略，排列 ；组合 ；
③从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列（或组合），规定每个排列（或组合）都只包含某 r个
元素中的s个元素．先C后A策略，排列 ；组合 ．
七．二项式定理
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n 的二项展开式．其中各项的系数
叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
① ；
② ；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项 叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展
开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面
有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 ；（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（ 1 ） 对 称 性 ： 与 首 末 两 端 “ 等 距 离 ” 的 两 个 二 项 式 系 数 相 等 ， 即
；
（2）增减性与最大值：当k＜ 时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小
的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项 的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项
， 相等，且同时取得最大值．
五、题型方法
一．分类加法计数原理（共3小题）
1．（2022•安徽模拟）某单位从甲、乙、丙、丁、戊五名职工中选取3人负责一个地区的扶贫攻坚工作，
其中甲、乙两人中至少要选取1人，甲、丙两人不能同时入选，则不同的选法总数为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2022•南通模拟）某学校每天安排四项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每
天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：
时间 周一 周二 周三 周四 周五
课后服务 音乐、阅读、体 口语、阅读、编 手工、阅读、科 口语、阅读、体 音乐、口语、美
育、编程 程、美术 技、体育 育、编程 术、科技
若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有
A．6种 B．7种 C．12种 D．14种
3 ． （ 2022• 延 边 州 一 模 ） 设 ， ， ， ， 是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的 一 个 排 列 ， 若对一切 ，2， 恒成立，就称该排列是“交替”的．“交替”的排列的数目是
A．8 B．16 C．24 D．32
二．分步乘法计数原理（共2小题）
4．（2022•武汉模拟）某旅游景区有如图所示 至 共8个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的
黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为
A．288 B．336 C．576 D．1680
5．（2022•萍乡二模）在 的方格中放入1个白球和完全相同的2个黑球，每一行、每一列各只有一个
球，每球占一格，则不同的放法种数为 ．（结果用数字作答）
三．计数原理的应用（共6小题）
6．（2023•涪城区校级模拟）从10人（含甲、乙）中选出4人参加某项公益活动，要求甲、乙二人中至少
有1人参加，则不同选法有
A．210 B．168 C．180 D．140
7．（2023•泸县校级模拟）7人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边，甲、乙相邻，乙、
丙不相邻，则不同排法的种数是
A．60 B．120 C．240 D．360
8．（2023•罗定市校级模拟）将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子
的放法有多少种？下列结论正确的有
A． B．
C． D．18
9．（2023•汕头二模）电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为 ．在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为
A． B．27 C． D．6
10．（2023•盐都区校级三模）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不
同的排法共有 种．
11．（2023•定远县校级模拟）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每
日坚果”袋．每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果．小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不
相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
四．排列及排列数公式（共3小题）
12．（2023•荔湾区校级模拟）设 ，且 ，则 等于
A． B． C． D．
13．（2023•安化县校级模拟）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若
7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
14．（2023•洪山区校级模拟）已知 ， ， 均为正整数，则满足 的一组解为 ， ，
．
五．组合及组合数公式（共6小题）
15．（2023•沙河口区校级一模） 的值是 ．
16．（2023•抚松县校级模拟）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式
系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究．则下列结论正确的是A．
B．第2022行的第1011个数最大
C．第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第8个数
D．第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为
17．（2023•绍兴二模） 的值为 ．
18．（2023•辽宁模拟）我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为1，
2，3， ， 的 个球的口袋中取出 个球 ， ， ，共有 种取法．在 种取
法中，不取1号球有 种取法；取1号球有 种取法．所以 ．试运用此方法，写出如下
等式的结果： ．
19．（2023•湖南模拟）已知 ，2， ， ，则数列 中整数项的个数为
A．13 B．14 C．15 D．16
20．（2023•常德二模）从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各
1台，则不同的取法共有 种．
六．排列、组合及简单计数问题（共3小题）
21．（2024•郑州一模）2023年12月6日上午，2023世界 大会在郑州国际会展中心拉开帷幕．世界
大会是全球 领域国际性盛会，也是首次在豫举办．本次大会以“ 变革共绘未来”为主题，以持续推动 不断演进创新为目标．现场邀请全球有影响力的科学家、企业家、国际组织负责人等参会，并进行
高层次、高水平交流研讨．为确保大会顺利进行，面向社会招聘优秀志愿者，参与大会各项服务保障工作．
现从包含甲、乙的6人中选派4人参与“签到组”、“服务组”、“物料组”、“机动组”四个不同的岗
位工作，每人去一个组，其中甲、乙至少有一人参加且甲不去“签到组”的选派方法共有 种．（用数
字作答）
22．（2024•河西区校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设
空间站要将 、 、 、 、 共5名航天员全部安排开展实验，其中天和核心舱要安排3人，问天实验
舱与梦天实验舱都各要安排1人，且 不在问天实验舱，则不同的安排方案共有 种．（用数字作
答）
23．（2024•东莞市校级模拟）将甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者分配到 、 、 三项不同的公益活动
中，每人只参加一项活动，每项活动都需要有人参加，其中甲必须参加 活动，则不同的分配方法有
种．（用数字作答）
七．二项式定理（共5小题）
24．（2024•东莞市校级一模）设 的小数部分为 ，则 ．
25．（2023•成都模拟）二项式 的展开式中 的系数为
A．1 B．3 C．5 D．15
26．（2023•湖北模拟）一组数据按照从小到大的顺序排列为1，2，3，5，6，8，记这组数据的上四分位
数为 ，则二项式 展开式的常数项为
A． B．60 C．120 D．240
27．（2023•大连二模）在二项式 的展开式中，则 项的系数是 ．28．（2023•广陵区校级模拟）若 ，则 被8整
除的余数为
A．4 B．5 C．6 D．7
六、易错分析
易错点一、混淆二项式系数与项的系数致错
1． 的展开式中 的系数为（ ）
A．10 B．20 C．90 D．80
2、 的展开式中,系数最大的项是第 项
易错点二、忽略二项展开式的通项是第r+1项不是第r项致错
3、二项式 的展开式的第二项是（ ）
A． B． C． D．
易错点三、混淆均匀分组与部分均匀分组致错
4、某校高二年级共有六个班,现从外地转入 名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排 名,则不同的
安排方案种数为（）
A． B． C． D．
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4
名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至
少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ）
A．72 B．108 C．216 D．432
易错点四、计数时混淆有序与定序
6、某学校举行校庆文艺晚会，已知节目单中共有七个节目，为了活跃现场气氛，主办方特地邀请了三位
老校友演唱经典歌曲，并要将这三个不同节目添入节目单，且不改变原来的节目顺序，则不同的安排方式
有________种．
7、身高互不相同的七名学生排成一排,从中间往两边越来越矮,不同的排法有（）A．5040种 B．720种 C．240种 D．20种
易错点五、混淆排列与组合导致计数错误
8．有甲、乙、丙三项任务，甲需 2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，
不同的选法种数是( )
A．1 260 B．2 025 C．2 520 D．5 040
易错点六、考虑问题不全面导致漏计出错
9、如图，洛书(古称龟书)是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，结构
是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个
阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为( )
A．10 B．40 C．44 D．70
10．某宾馆安排A，B，C，D，E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A，B不能住同一房间，则
共有________种不同的安排方法．(用数字作答)
11、若 ,则 可表示________个不同的实数。
易错点七、混淆二项式系数之和与所有项系数之和出错
12．已知 的展开式中各项的二项式系数的和为256，则这个展开式中 项的系数是_____．
易错点八、利用分步乘法原理计数,分步标准错误
13、把3个不同的小球投入到4个盒子,所有可能的投法共有( )
A．24种 B．4种 C．43种 D．34种
易错点九、混淆二项式展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项致错
14、若n展开式中前三项的系数和为163，则展开式中系数最大的项第________项．
