2026 年高考数学·教考衔接
教材命题点探源
-----------------------------供2026 高考备考二轮、三轮复习及考前使用-------------------------
教考衔接十三 计数原理与二项式定理
--------------■高考命题·解读■-----------------
核心考点
五年考情
考点1.排列组合问题
2023·新课标Ⅰ卷 2023·新课标Ⅱ卷 2023·全国甲卷
2023·全国乙卷 2022·新高考全国Ⅰ卷 2022·全国甲卷
2022·全国乙卷 2021·全国乙卷
考点2.二项式定理（项的系数最值问题）
2024·全国甲卷
🎯【命题解读】（考前必看）
计数原理作为高考的必考内容，高考中预计会以“一小(选择题或填空题)”的格局呈现.小题考查方向主要
体现在以下两方面：
（1）以分类加法计数原理和分步乘法计数原理为基础的排列组合问题，要理解分类和分步的思想；
（2）以二项式定理为主体的问题，主要考查二项展开式的通项公式，求特定项的系数、参数的值、系数和等.
🎯练教材-----必刷经典母题
【教材母题1】(人教A 版选择性必修第三册P12·T11、T12)
（1）在国庆长假期间，要从7 人中选若干人在7 天假期值班(每天只需1 人值班)，不出现同一人连续值班2 天，
有多少种可能的安排方法？
（2）2 160 有多少个不同的正因数？
【教材母题2】 (人教A 版选择性必修第三册P16·例2)
（1）一张餐桌上有5 盘不同的菜，甲、乙、丙3 名同学每人从中各取1 盘菜，共有多少种不同的取法？
（2）学校食堂的一个窗口共卖5 种菜，甲、乙、丙3 名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？
【教材母题3】 (人教A 版选择性必修第三册P19·例4)用0～9 这10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的
三位数？
【教材母题4】(人教A 版选择性必修第三册P27·T12)
（1）从0，2，4，6 中任取3 个数字，从1，3，5 中任取2 个数字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位数？
（2）由数字0，1，2，3，4，5，6 可以组成多少个没有重复数字，并且比5 000 000 大的正整数？
【🚀新题预测】
（2026·江西南昌1 月检测）“ 142857 ” 这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当
142857 与 1 至 6 中任意 1 个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7 这 6 个数字组成. 若从 1，4，
2，8，5，7 这 6 个数字中任选 4 个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中， 大于 5700
的偶数个数是（ ）
A．66
B．75
C．78
D．90
【教材母题5】 (人教A 版选择性必修第三册P5·例3)书架的第1 层放有4 本不同的计算机书,第2 层放有3 本
不同的文艺书,第3 层放有2 本不同的体育书.
（1）从书架上任取1 本书,有多少种不同取法?
（2）从书架的第1 层、第2 层、第3 层各取1 本书,有多少种不同取法?
【🚀衔接高考】
（1）（2025·上海高考）4 个家长和2 个儿童去爬山，6 个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，
则不同的排列个数有 种．
（2）(2024·新高考Ⅱ卷)在如图的4×4 的方格表中选4 个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有
种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格中的4 个数之和的最大值是 .
11
21
31
40
12
22
33
42
13
22
33
43
15
24
34
44
（3）(2024·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,
乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8.两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两人各自从自己持有的卡片中随机选一张,并
比较所选卡片上数字的大小,数字大的人得1 分,数字小的人得0 分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在
此后的轮次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2 的概率为 .
【教材母题6】 (人教A 版选择性必修第三册P25·例7)在100 件产品中,有98 件合格品,2 件次品.从这100 件
产品中任意抽出3 件.
（1）有多少种不同的抽法?
（2）抽出的3 件中恰好有1 件是次品的抽法有多少种?
（3）（一题多解）抽出的3 件中至少有1 件是次品的抽法有多少种?
【🚀衔接高考】
（1）(2023·新高考Ⅱ卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况,用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查,
拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生,已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生,则不同的抽样
结果共有( )
A.C 400
45 ·C200
15 种
B.C 400
20 ·C200
40 种
C.C400
30 ·C200
30 种
D.C400
40 ·C200
20 种
（2）(2023·全国乙卷)甲、乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种,则这两人选读的课外读物中恰有1 种相
同的选法共有( )
A.30 种
B.60 种
C.120 种
D.240 种
（3）(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课,学生需从这8 门课中选修2 门或
3 门课,并且每类选修课至少选修1 门,则不同的选课方案共有 种(用数字作答).
【🚀新题预测】
（2026·上海模拟）北斗七星是夜空中的七颗亮星，它们组成的图形象我国古代舀酒的斗，故命名为北斗七星.
北斗七星不仅是天上的星象，也是古人判断季节的依据之一.如图，用点
，
，
，
，
，
，
表示某季
节的北斗七星，其中
，
，
，
看作共线，其他任何三点均不共线.若过这七个点中任意三点作三角形，则
所作的不同三角形的个数为 .
【教材母题7】 (人教B 版选择性必修第二册P20·例5)要把9 本不同的课外书分给甲、乙、丙3 名同学:
（1）如果每个人都得3 本,则共有不同的分法多少种?
（2）如果要求一人得4 本,一人得3 本,一人得2 本,则共有不同的分法多少种?
【🚀衔接高考】
（1）(2021·全国乙卷)将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训,每
名志愿者只分配到1 个项目,每个项目至少分配1 名志愿者,则不同的分配方案共有( )
A.60 种
B.120 种
C.240 种
D.480 种
（2）(2020·新高考Ⅰ卷)6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1 个场馆,甲场馆安排1 名,乙
场馆安排2 名,丙场馆安排3 名,则不同的安排方法共有( )
A.120 种
B.90 种
C.60 种
D.30 种
（3）(2020·新高考Ⅱ卷)3 名大学生利用假期到2 个山村参加扶贫工作,每名大学生只去1 个村,每个村至少1 人,
则不同的分配方案共有( )
A.4 种
B.5 种
C.6 种
D.8 种
（4）(2020·全国Ⅱ卷)4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1 个小区,每个小区至少安排1
名同学,则不同的安排方法共有 种.
【教材母题8】 (人教A 版选择性必修第三册P38T8)某种产品的加工需要经过5 道工序.
(1)如果其中某道工序不能放在最后,那么有多少种加工顺序?
(2)如果其中某2 道工序既不能放在最前,也不能放在最后,那么有多少种加工顺序?
(3)如果其中某2 道工序必须相邻,那么有多少种加工顺序?
(4)如果其中某2 道工序不能相邻,那么有多少种加工顺序?
【🚀衔接高考】
（1）(2023·全国甲卷)现有5 名志愿者参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5 人中安排2
人参加公益活动,则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有( )
A.120 种
B.60 种
C.30 种
D.20 种
（2）(2022·新高考Ⅱ卷)甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻,则
不同的排列方式共有( )
A.12 种
B.24 种
C.36 种
D.48 种
（3）(2021·全国甲卷)将4 个1 和2 个0 随机排成一行,则2 个0 不相邻的概率为( )
A.1
3
B.2
5
C.2
3
D.4
5
【🚀新题预测】
（2026·湖北武汉模拟）子贡曰：“夫子温､良､恭､俭､让以得之”，“温､良､恭､俭､让”指五种品德：温和､善
良､恭敬､节俭､谦让.现有分别印有这5 个字的卡片（颜色均不同）各2 张，同学甲从中抽取4 张卡片分给另外4
位同学，每人一张卡片，恰有2 位同学分到的卡片是相同字的分配方案有（ ）
A．120 种
B．210 种
C．1440 种
D．2880 种
【教材母题9】 (人教A 版选择性必修第三册P38·T5)
（1）求(1－2x)5(1＋3x)4的展开式按x 的升幂排列的第3 项；
（2）求的展开式的常数项；
（3）求(1＋x＋x2)(1－x)10的展开式中x4的系数；
（4）求(x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数.
【🚀衔接高考】
（1）(2019·全国Ⅲ卷)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16
C.－10
D.10
（2）（2025·天津高考）在
的展开式中，
项的系数为 ．
（3）（2025·上海高考）在二项式
的展开式中，
的系数为 ．
【教材母题10】 (人教A 版选择性必修第三册P34 习题6.3·T2)在(x+y)(x-y)5的展开式中,x3y3的系数是
.
【🚀衔接高考】
（1）(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为( )
A.5
B.10
C.15
D.20
（2）(2022·新高考Ⅰ卷)(1- y
x)(x+y)8的展开式中x2y6的系数为 (用数字作答).
【教材母题11】 (人教A 版选择性必修第三册P38T5(2))求(9 x +
1
3 ❑√x)
18
的展开式的常数项.
【🚀衔接高考】
(2020·全国Ⅲ卷)(x
2+ 2
x)
6
的展开式中常数项是 (用数字作答).
【教材母题12】(人教A 版选择性必修第三册P38T1(7))(1+x)2n的展开式中,系数最大的项是第 项.
【🚀衔接高考】
(2024·全国甲卷)(
1
3 + x)
10
的展开式中,各项系数中的最大值为 .
🎯读教材-----玩味阅读材料
【阅读1】通过阅读《探究与发现——组合数的两个性质》(人教A 版选择性必修第三册P28),可从中提炼出如
下结论:
（1）Cn
m=Cn
n-m.
（2）Cn+1
m =Cn
m+Cn
m-1.
【🚀新题预测】
(2026·上海模拟)C3
3+C 4
3+C5
3+…+C 49
3 = .
【阅读2】通过阅读《数学探究——杨辉三角的性质与应用》(人教A 版选择性必修第三册P39),可从中提炼出
如下结论:
（1）在第r+1 条斜线上(从右上到左下)前n-r 个数字的和,等于第r+2 条斜线上的第n-r 个数,
（2）第n 行各数的平方和等于第2n 行中间的数,即(Cn
0)2+(Cn
1)2+…+(Cn
n)2=C2n
n .
【🚀新题预测】
(2026·广东湛江模拟)杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家,杨辉三角是杨辉的一项重要研究成
果.杨辉三角中蕴藏了许多优 美的规律,它的许多性质与组合数的性质有关,图1 为杨辉三角的部分内容,图2 为杨
辉三角的改写形式.
（1）求图2 中第10 行各数之和;
（2）从图2 第2 行开始,取每一行的第3 个数一直取到第15 行的第3 个数,求取出的所有数之和;
（3）在杨辉三角中是否存在某一行,使该行中三个相邻的数之比为3∶8∶14?若存在,试求出这三个数;若不存在,
请说明理由.
【阅读3】通过阅读《探究与发现——二项分布的性质》(人教A 版选择性必修第三册P81),可从中提炼出如下
结论:
X~B(n,p),记pk=p(X=k)=Cn
kpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.当k<(n+1)p 时,pk单调递增,当k>(n+1)p 时,pk单调递减,如果(n+1)p
为非整数,pk有唯一的最大值,如果(n+1)p 为正整数,pk有两个相同的最大值.
【🚀衔接高考】
(2026·湖北武汉模拟)某超市购进一批同种类水果,按照果径大小分为四类:不达标果、标准果、精品果、礼品
果.质检技术人员从该批水果中随机选取100 个,按果径大小分成5 组进行统计:[60,65),[65,70),[70,75),[75,80),
[80,85](单位:mm).统计后制成如下的频率分布直方图,并规定果径低于65 mm 为不达标果,在65 mm 到75 mm 之
间为标准果,在75 mm 到80 mm 之间为精品果,达到80 mm 及以上的为礼品果.
（1）现采用分层随机抽样的方法从选取的100 个水果中抽取10 个,再从这10 个水果中随机抽取2 个,记礼品果的
个数为X,求X 的分布列与数学期望;
（2）以频率估计概率,从这批水果中随机抽取n(n≥2)个,设其中恰有2 个精品果的概率为P(n).当P(n)最大时,求n
的值.
🎯研教材-----深度探究思考
【探究1】 (人教A 版选择性必修第三册P3)
（1）如果完成一件事有三类不同方案,在第1 类方案中有m1种不同的方法,在第2 类方案中有m2种不同的方法,
在第3 类方案中有m3种不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
（2）如果完成一件事情有n 类不同方案,在每一类中都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢?
（3）假设第1 类方案中有m1种不同方法,第2 类方案中有m2种不同方法,…,第n 类方案有mn种不同方法,则一共
有m1+m2+…+mn种不同方法.
【探究2】 (人教A 版选择性必修第三册P5)
（1）如果完成一件事需要三个步骤,做第1 步有m1种不同的方法,做第2 步有m2种不同的方法,做第3 步有m3种
不同的方法,那么完成这件事共有多少种不同的方法?
（2）如果完成一件事情需要n 个步骤,做每一步都有若干种不同的方法,那么应当如何计数呢?
【探究3】 (人教A 版选择性必修第三册P17)从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数An
m(m≤n)是多少?
【探究4】 (人教A 版选择性必修第三册P23)前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列
数An
m来求组合数Cn
m呢?
【探究5】 (人教A 版选择性必修第三册P29)我们知道,(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3.
（1）观察以上展开式,分析其运算过程,你能发现什么规律?
（2）根据你发现的规律,你能写出(a+b)4的展开式吗?
（3）进一步地,你能写出(a+b)n的展开式吗?
