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二项式定理
9-3
能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的
简单问题．
9-3 二项式定理........................................................................................................................................................1
一、主干知识.....................................................................................................................................................1
考点1：二项式定理................................................................................................................................2
考点2：二项式系数的性质...................................................................................................................2
【常用结论总结】....................................................................................................................................2
二、分类题型.....................................................................................................................................................3
题型一 通项公式的应用........................................................................................................................3
命题点1 求二项展开式及其特定项........................................................................................3
命题点2 求二项展开式的第k项.............................................................................................4
题型二 二项式系数与项的系数的问题............................................................................................5
命题点1 二项式系数和与系数和.............................................................................................5
命题点2 系数与二项式系数的最值问题...............................................................................6
题型三 二项式定理的综合应用..........................................................................................................7
三、分层训练：课堂知识巩固.....................................................................................................................9一、主干知识
考点1：二项式定理
二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)
二项展开式的通项 T ＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项
k＋1
二项式系数 C(k＝0,1，…，n)
考点2：二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与
相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
【常用结论总结】
1．两个常用公式
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.二、分类题型题型一 通项公式的应用
命题点1 求二项展开式及其特定项
【例题精析1】 已知 的展开式中 的系数为10，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．2
【例题精析2】 的展开式中常数项为 .
【例题精析3】 的展开式中常数项为 ．
【对点精练1】 二项式 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
【对点精练2】 在 展开式中，常数项为 .（用数值表示）
【对点精练3】 在 展开式中常数项是 ．(用数值回答)
【对点精练4】 的二项展开式中 项的系数为 .
【对点精练5】 展开式中的常数项为 .命题点2 求二项展开式的第k项
【例题精析4】 的展开式共（ ）
A．10项 B．15项 C．20项 D．21项
【例题精析5】 在 的二项展开式中，第四项为 ．
【例题精析6】 已知 展开式中第5项为常数项，则n＝ .
【例题精析7】 的展开式中常数项为 .
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数
为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合
思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
【对点精练6】 将 展开后按 的升幂排列，则第3项为 .
【对点精练7】 若在 的展开式中，第4项是常数项，则 ．
【对点精练8】 展开式的常数项为 .题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
【例题精析8】 已知 的展开式中第4项与第5项的二项式系数相等，则展开式中的 项的系数为
（ ）
A．―4 B．84 C．―280 D．560
【例题精析9】 已知 的二项展开式中第3项与第10项的二项式系数相等，则展开式中含 的系数为
.
【例题精析10】 在 的展开式中， 的系数是 .
【例题精析11】 若 ，则 .
【例题精析12】 已知 的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为
．
【例题精析13】 在 的展开式中，二项式系数和是16，则展开式中各项系数的和为 ．
【对点精练9】 若 的展开式的奇数项的二项式系数和为16，则展开式中 的系数为 .
【对点精练10】 设二项式 的展开式中常数项为A，则 ．
【对点精练11】 的展开式中 的系数为 ．【对点精练12】 在二项式 的展开式中， 项的二项式系数为 ．
【对点精练13】 的展开式中， 项的系数为 ．（用数字作答）
【对点精练14】 的展开式中 项的系数为 .
【对点精练15】 在 的展开式中， 的系数为 .
【对点精练16】 已知 的二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为 .（用数字作答）
【对点精练17】 已知 的展开式中各项系数的和为4，则实数 的值为 .
【对点精练18】 已知 的展开式中，各项系数之和为 ，则二项式系数之和为 .
【对点精练19】 二项式 的展开式中 的系数为 .
【对点精练20】 若 ，则 .
【对点精练21】 已知多项式 ，则 .
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
【例题精析14】 展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【例题精析15】 在 的展开式中，二项式系数最大的项的系数为（ ）
A．20 B．160 C．180 D．240
【例题精析16】 的展开式中各项系数的最大值为（ ）．A．112 B．448 C．896 D．1792
赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a ＋a x＋a x2＋…＋a xn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开
0 1 2 n
式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的
展开式中偶数项的系数和为[g(1)－g(－1)]．
【对点精练22】 已知 的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是 .
【对点精练23】 展开式中二项式系数最大的项的系数为 ．
【对点精练24】 在 的展开式中，系数最大的项为 .
【对点精练25】 的二项式展开中，系数最大的项为 ．
题型三 二项式定理的综合应用
【例题精析17】 若 ，则 被8整除的余数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【例题精析18】 设 ，则 （ ）
A．21 B．64 C．78 D．156二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有
除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
【对点精练26】 若 ，则 被5除的余数是 ．
【对点精练27】 设 ，则 除以9所得的余数为 ．三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•北京） 的展开式中， 的系数是
A． B．40 C． D．80
2．（2022•北京）若 ，则
A．40 B．41 C． D．
3．（2020•北京）在 的展开式中， 的系数为
A． B．5 C． D．10
4．（2020•新课标Ⅰ） 的展开式中 的系数为
A．5 B．10 C．15 D．20
5．（2019•新课标Ⅲ） 的展开式中 的系数为
A．12 B．16 C．20 D．24
6．（2019•全国） 的展开式中 的系数是
A．120 B．60 C．30 D．15
7．（2018•新课标Ⅲ） 的展开式中 的系数为
A．10 B．20 C．40 D．80
8．（2023•天津）在 的展开式中， 项的系数为 ．9．（2023•上海）已知 ，若存在 ，
1，2， ， 使得 ，则 的最大值为 ．
10．（2023•上海）设 ，则 ．
11．（2022•新高考Ⅰ） 的展开式中 的系数为 （用数字作答）．
12．（2022•上海）在 的展开式中，则含 项的系数为 ．
13．（2022•天津） 的展开式中的常数项为 ．
14 ． （ 2022• 浙 江 ） 已 知 多 项 式 ， 则 ，
．
15．（2022•上海）二项式 的展开式中， 项的系数是常数项的5倍，则 ．
16．（2021•天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
17．（2021•上海）已知二项式 展开式中， 的系数为80，则 ．
18．（2021•上海）已知 的展开式中，唯有 的系数最大，则 的系数和为 ．
19．（2021•浙江）已知多项式 ，则 ；
．
20．（2021•北京）在 的展开式中，常数项是 ．（用数字作答）
21．（2020•天津）在 的展开式中， 的系数是 ．
22．（2020•新课标Ⅲ） 的展开式中常数项是 （用数字作答）．
23．（2020•全国）若多项式 能被 整除，则 ．24．（2020•全国） 的展开式中 的系数为 ．（用数字作答）
25．（2020•上海）已知二项式 ，则展开式中 的系数为 ．
26．（2020•浙江）二项展开式 ，则 ，
．
27．（2019•天津） 的展开式中的常数项为 ．
28．（2019•上海）在 的展开式中，常数项等于 ．
29．（2019•浙江）在二项式 展开式中，常数项是 ，系数为有理数的项的个数是 ．
30．（2019•上海）已知二项式 ，则展开式中含 项的系数为 ．
31．（2018•天津）在 的展开式中， 的系数为 ．
32．（2018•上海）在 的二项展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示）．
33．（2018•上海）设 ，若 的二项展开式中的常数项相等，则
34．（2018•浙江）二项式 的展开式的常数项是 ．
35．（2018•全国）多项式 中 的系数为 ．（用数字填写答案）
36．（2019•江苏）设 ， ， ．已知 ．
（1）求 的值；
（2）设 ，其中 ， ，求 的值．
