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第十章计数原理、概率、随机变量及其分布
学科网（北京）股份有限公司
第三节 二项式定理
知识点115 二项式定理及其应用
回归教材
二项式定理：对于任意正整数 n, 都有
(a+b)
n=Cn
0a
n+Cn
1a
n−1b+⋯+Cn
r a
n−r b
r+⋯+Cn
nb
n, 其中二项式的通项公式为
T r +1=Cn
r a
n−r b
r, 二项式系数为 Cn
r(r =0,1,2,⋯,n).
各二项式系数的和：Cn
0+Cn
1+Cn
2+⋯+Cn
n=2
n; Cn
0+Cn
2+Cn
4+⋯=Cn
1+Cn
3+Cn
5+⋯=2
n−1.
教材素材变式
1. [人A 选必三P30 例2(2)变式] 在(2−y
x )( x + y)
3的展开式中，含x y
4项的系数为
（ ）
A. −2 B. −1 C. 0 D. 2
2.
2.[人B 选必二P39 复习题B 组第10 题变式](
3√x−2
x )
8展开式中的常数项为
（ ）
A. 112 B. 16 C. −16 D. −112
3.[人A 选必三P38 复习参考题6 第5(5)题变式]二项式(2 x −3 y )
5的展开式中含
x
3 y
2项的系数为______．
4. [人A 选必三 P34 习题 6.3 第 2 题变式] (−x
2+ y)
5的展开式中x
6 y
2的系数为
_________．
5.[入A 选必三P38 复习参考题6 第3(5)题变式]已知
( x +2)
n=a0+a1( x +1)+⋯+an( x +1)
n，若a2=21，则（ ）
A. n=7 B. a0=128 C. ∑
i=0
n
ai=3
7 D. ∑
i=1
n
iai= 448
6.[人A 选必三P34 习题6.3 第1(1)题变式]已知f ( x)=(1+ x)
5+(1+2 x)
n(n∈N
∗)的
展开式中x 的系数为11,则f ( x)的展开式中x 的偶次幂项的系数之和为
A. 29 B. 30 C. 58 D. 60
7.[多选][人B 选必二P39 复习题B 组第8 题变式]已知
( x +2)
7=a0+a1( x +1)+a2( x +1)
2+a3( x +1)
3+⋯+a6( x +1)
6+a7( x +1)
7,则A.a2=21
B.
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a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=128
a0+a2+a4+a6=64
D. a0,a1,a2,⋯,a7 这 8 个数中最大值为 35
8.[人B 选必二P35 习题3-3A 第3 题变式]若(3 x
2−1
x )
n的二项展开式中，当且仅当
第5项是二项式系数最大的项，则其展开式中含1
x
5项的系数（ ）
A. −24 B. 252 C. 7 D. 8
9.[多选][人B 选必二P35 习题3-3B 第2 题变式]已知( x + 2
❑√x )
n的展开式中第3 项和
第4 项的二项式系数最大,则（）
A. n=6
B. 展开式的各项系数和为 243
C. 展开式中奇数项的二项式系数和为 16
D. 展开式中有理项一共有3 项
10.[沪教选必二P73 例6 变式]( 1
3 + x)
10的展开式中,各项系数中的最大值为________.
11.[入A 选必三P35 习题6.3 第9 题变式]已知a=1+C20
1 2+C20
2 2
2+C20
3 2
3+⋯+C20
202
20,
则a 被10 除所得的余数为（）
A.9 B.3 C.1 D.0
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1.答案：B
解析：展开式中含x y
4项由两部分组成：
2×( x + y )
3中x y
4项：( x + y )
3最高次为x
3 y
0，无x y
4项；
−y
x ×( x + y)
3中x y
4项：即( x + y )
3中x
2 y
3项，系数为−1
x ×C3
3=−1。
2.答案：A
解析：通项T r +1=C8
r(
3√x)
8−r(−2
x)
r
=C8
r(−2)
r x
8−4 r
3 。令8−4 r
3
=0，得r =2，常数项为
C8
2(−2)
2=28×4 =112。
3.答案：720
解析：通项T r +1=C5
r(2 x)
5−r(−3 y)
r，令5−r =3，r =2，系数为
C5
2×2
3×(−3)
2=10×8×9=720。
4.答案：-10
解析：通项T r +1=C5
r(−x
2)
5−r y
r =(−1)
5−r C5
r x
10−2r y
r。令10−2r =6，r =2，系数为
(−1)
3C5
2=−10。
5.答案：ABD
解析：令x +1=t，则(t +1)
n=a0+a1t +⋯+ant
n，a2=Cn
2=21，得n=7，A 正确；
a0=(0+2)
7=128，B 正确；
令x =0，∑ai=2
7=128≠3
7，C 错误；
对( x +2)
7求导得7( x +2)
6=∑
i=1
7
iai( x +1)
i−1，令x =0，∑iai=7×2
6= 448，D 正确。
6.答案：A
解析：x的系数为C5
1+2Cn
1=5+2n=11，得n=3。令f ( x)=(1+ x)
5+(1+2 x)
3，设偶次
幂系数和为A，奇次幂和为B，则f (1)=32+27=59= A + B，
f (−1)=0+(−1)
3=−1= A −B，解得A =29。
7.答案：ACD
解析：令x +1=t，则(t +1)
7=∑ait
i，a2=C7
2=21，A 正确；
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令x =0，∑ai=2
7=128，a0=1，故a1+⋯+a7=127，B 错误；
令x =−2，0=a0−a1+a2−⋯−a7，与f (0)=128联立，得a0+a2+a4+a6=64，C 正
确；
二项式系数最大为C7
3=35，D 正确。
8.答案：A
解析：第5 项二项式系数最大，故n=8。通项
T r +1=C8
r(3 x
2)
8−r(−1
x)
r
=(−1)
r3
8−r C8
r x
16−3r。令16−3r =−5，r =7，系数为
(−1)
7×3
1×C8
7=−24。
9.答案：BCD
解析：第3、4 项二项式系数最大，故n=5，A 错误；
展开式各项系数和为(1+2)
5=243，B 正确；
奇数项二项式系数和为2
5−1=16，C 正确；
通项T r +1=C5
r x
5−3r
2 ，当r =0,2,4时为有理项，共3 项，D 正确。
10 答案：9720
解析：设第k +1项系数最大，T k +1=C10
k (
1
3)
10−k
x
k，系数为C10
k 3
k −10。由
C10
k 3
k −10
C10
k −13
k −11 ≥1，
得k ≤11
4 ，即k =2，系数为C10
2 3
−8= 45
6561，但实际最大值为
C10
7 (
1
3)
3
×3
7=C10
7 3
4=120×81=9720，答案应为9720。
11.答案：C
解析：a=(1+2)
20=3
20=(3
4)
5=81
5，81除以10 余1，故81
5除以10 余1。
