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石景山区 2025 年高三统一练习
数 学
本试卷共7页，满分为150分，考试时间为120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷
上作答无效．考试结束后，将答题卡交回．
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
1. 已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用集合的补集运算求解.
【详解】因为全集 ，集合 ，
所以 ，
故选：B
2. 在复平面内，复数 对应的点坐标为 ，则实数 （ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简 ，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为 ，则复数 在复平面内对应的点为 ，
又复数 对应的点坐标为 ，所以 .故选：D
3. 在 的二项展开式中,x的系数为( )
A. 10 B. -10 C. 40 D. -40
【答案】D
【解析】
【详解】分析：先求出二项式 的展开式的通项公式，令 的指数等于 ，求出 的值，即可求
得展开式中 的项的系数.
详解：∵ ,
∴当 时, .
∴ ,故选D.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热
点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项
公式 ；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项
式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
4. 在 中，若 ，则 （ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理计算可得.
【详解】因为 ，即 ，由正弦定理 ，所以
，所以 ，又 ，所以 ，所以 .
故选：A
5. 已知x， ，且 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用反比例函数，指数函数，对数函数，余弦函数的性质判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，故A错误；
因为 ，所以 ，即 ，故B正确；
因为 ，而余弦函数 在 上不单调，
如 ，故C错误；
因为 ，由于当 时，恒有 ，故D错误；
故选：B.
6. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在 上，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求出抛物线的准线方程，根据抛物线的定义求出 的取值范围.
【详解】抛物线 的准线方程为 ，
又点 在 上且 ，则 ，所以 ，即 ，故A错误，C正确；
又 ，所以 ，所以 ，故B、D错误.
故选：C
7. 等比数列 中， ，设甲： ，乙： ，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列的通项公式求出 与 的关系，再根据充分条件和必要条件的定义判断甲是乙的
什么条件.
判断充分性时，看由甲能否推出乙；判断必要性时，看由乙能否推出甲.
【详解】已知等比数列 中 ，若 ，设公比为 .
根据等比数列通项公式 ，即 ，解得 .
再根据通项公式求 ，所以由 能推出 ，充分性成立.
若 ，同样根据等比数列通项公式 ，即 ，解得 ，则 .
又因为 ，所以由 能推出 ，必要性成立.
由于充分性和必要性都成立，所以甲是乙的充要条件.
故选：C.
8. 经研究表明，糖块的溶解过程可以用指数型函数 （a，k为常数）来描述，其中S（单位：克）
代表t分钟末未溶解糖块的质量．现将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，在第5分钟末测得未
溶解糖块的质量为3.5克，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】根据题设函数，代入数据计算即可.
【详解】由题意，当 时， ，
当 时， ，则 ，
则 ，即 .
故选：A.
9. 已知点M，N为圆 上两点，且 ，点P在直线 上，点Q
为线段 中点，则 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】将圆的方程化为标准方程，从而得到圆心坐标和半径，再根据弦长求出圆心到弦MN的距离，进
而确定点 的轨迹，最后根据点到直线的距离公式求出 的最小值.
【详解】已知圆的方程为 ，将其配方可得 .
的
可知该圆 圆心坐标为 ，半径 .
因为点 为线段MN的中点，根据垂径定理可知 .
已知 ，则 .
在 中，根据勾股定理 .
所以点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆.
已知点 在直线 上，可得圆心 到直线 的距离为：.
因为点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，所以 的最小值等于圆心 到直线的距离 减去
圆 的半径 ，即
故选：B.
10. 如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是
线段 上的动点（不包含端点），给出下列三个命题：
①对任意点Q，都有 ；
②存在点Q，使得 平面 ；
③过点Q且与 垂直的平面截正方体 所得截面面积的最大值为 ．
其中正确的命题个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量可判断①②；在平面 内作 ⊥ ，垂足为点，过点 作在平面 内作 ⊥ 交 于 ，得到平面 截正方体 截
面为平行四边形 ，当 与点 重合时，截面面积最大，进而判断③.
【详解】以 为原点，以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，
对于①， ，
则 ，
所以 ，即 ，故①正确；
对于②， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ，
要使 平面 ，则 ，
则 ，即 ，不符合题意，
所以不存在点Q，使得 平面 ，故②错误；
对于③，如下图，在平面 内作 ⊥ ，垂足为点 ，过点 作在平面 内作 ⊥ 交 于 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
且 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
平面 截正方体 截面为平行四边形 ，
当 与点 重合时， 为 中点，截面面积最大，
此时 ， ，截面面积为 ，故③对.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 若 ，则 ___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据分段函数解析式，求得所求表达式的值.
【详解】 ， ，
所以 .故答案为：
12. 如图，角 以 为始边，它的终边与单位圆 相交于点 ，且点 的横坐标为 ，则 的
值为______
【答案】 ##0.6
【解析】
【分析】先根据三角函数的定义可得 ，进而结合诱导公式求解即可.
【详解】由题意，点 的横坐标为 ，则 ，
则 .
故答案为： .
13. 设 ， ， ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出 ，由 可得 ，进而结合勾股定理求解即可.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
故答案为： .
14. 已知双曲线 ，若 ，则双曲线的渐近线方程为______；若双曲线上存在四个点A，
B，C，D使得四边形 为正方形，则m的一个取值为______．
【答案】 ①. ②. （答案不唯一）
【解析】
【分析】第一空，根据双曲线的渐近线方程求解即可；第二空，分析可得 ，进而解不等式求解即
可.
【详解】当 时，双曲线为 ，此时 ，
则双曲线的渐近线方程为 .
双曲线 ，即 ，
其渐近线方程为 ，
要使双曲线上存在四个点 满足四边形 是正方形，
根据正方形的对称性可得正方形的对称中心在原点，且在第一象限内的顶点横纵坐标相等，
则 ，解得 ，可取 .
故答案为： ； （答案不唯一）.
15. 高斯取整函数 的函数值表示不超过x的最大整数，例如， ， ．有如下
四个结论：①若 ，则 ；
②函数 与函数 无公共点；
③ ；
④所有满足 的点 组成区域的面积为 ．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据 的取值范围，分别求出 ， 的值，判断①；作出函数
与函数 的图像，即可判断②；对 的取值分类讨论，即可判断③；对 的取值分类讨论，
求出点 组成区域的面积，判断④．
【详解】对于①：若 ，则 ，则 ，
，
即 ，故①正确；
对于②：函数 与函数 的图象如图所示，由图可得函数 与函数 无公共点，故②正确；
对于③：当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
，故③错误；
对于④：当 时， ，此时 组成区域的面积为1，当 时， ，此时 组成区域的面积为1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为1，
当 时， ，此时 组成区域的面积为
，
综上点 组成区域的面积为 ，故④正确．
故答案为：①②④.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知函数 （其中 ， ， ）．从条件①、条件②、条件③这三
个条件中选出两个作为已知，使得函数 唯一确定．
（1）求函数 的解析式；
（2）求函数 在 上的最大值和最小值．
条件①： ；
条件②： 是 的对称中心；
条件③： 可以由函数 平移得到．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答．按第一个解答计分．
【答案】（1）
（2）最大值为2，最小值为【解析】
【分析】（1）分析易得要使函数 唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数
的性质求解即可；
（2）根据正弦函数的性质求解即可；
【小问1详解】
①，由 ，得 ；
②，由 是 的对称中心，得 ，
则 ， ；
③，由 ，
因为 可以由函数 平移得到，
则 ， .
由上述可知，要使函数 唯一确定，则必须要选③.
选①③，由上述可知， ， ， ，
则 ，即 ，
所以 或 ， ，
则 或 ， ，
又 ，则 ，即 .选②③，由上述可知， ， ， ， ，
则 ， ，即 ， ，
又 ，则 ，即 .
【小问2详解】
由 ，得 ，
则 ，则 ，
所以函数 在 上的最大值为2，最小值为 .
17. 某市在高中阶段举办“环保知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动．现从参赛学生中随机抽取了男、
女各30名学生，将他们 的成绩（单位：分）按 ， ， ， ， 五
个分数段进行分组，统计如下：
成绩
男生人数 3 6 11 8 2
女生人数 a b 12 4 2
（1）在抽取的60名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2
人分数段不同的概率；
（2）从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分
布列和数学期望；
（3）试确定a，b的值，使得抽取的女生成绩方差最小．（结论不要求证明）
【答案】（1）（2）分布列见解析，
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定成绩在80分及以上的男、女生人数，再利用组合数计算从这些学生中随机抽取2人，
恰好男、女生各1人且分数段不同的概率，用到古典概型的概率公式；
（2）先求出从男生中随机抽取1人成绩在80分及以上的概率，判断随机变量X服从二项分布，然后根据
二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望；
（3）根据方差的性质，数据越集中方差越小，确定a，b的值.
【小问1详解】
确定成绩在80分及以上的学生人数，男生中成绩在 的有8人，在 的有2人，共
人；女生中成绩在 的有4人，在 的有2人，共 人.所以成绩在80分及
以上的学生共有 人.
从这16人中随机抽取2人的总组合数为 种.
要满足恰好男、女生各1人且分数段不同，分两种情况：
男生从 选，女生从 选，有 种选法.
男生从 选，女生从 选，有 种选法.
所以满足条件的选法共有 种.
根据古典概型概率公式所求概率 .
【小问2详解】
从男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为 .
从该市参赛的男生中随机抽取4人，设成绩在80分及以上的人数为X，因为每次抽取是相互独立的，且概率相同，所以X服从参数为 ， 的二项分布，即 .
根据二项分布的概率公式，可得：
.
.
.
.
.
所以X的分布列为：
X 0 1 2 3 4
P
根据二项分布的数学期望公式 ，可得 .
【小问3详解】
因为抽取的女生共30人，所以 ，即 .
当数据越集中时方差越小，所以当 时，抽取的女生成绩方差最小.
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ，且 ， ， ，
， ，N为 的中点．（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值；
（3）点M在线段 上，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求点M到平面 的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设 的中点为 ，连接 ，
（2）记 的中点为 ，连结 ，易得 ， ，建立空间直角坐标系，利用空间向量求
解即可；
（3）设 ，利用空间向量结合直线 与平面 所成角的正弦值为 求出
的值，再利用空间向量求解即可.
【小问1详解】
设 的中点为 ，连接 ，
因为N为 的中点，所以 ，且 ，又 ，且 ，所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问2详解】
记 的中点为 ，连结 ，
因为 ， ， ，
所以四边形 是矩形，则 ， ，
为
以 原点，以 ， ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
所以 ，
由图可知，二面角 为锐角，
所以二面角 的余弦值为 .【小问3详解】
依题意，设 ，则 ，
又由（2）得平面 的一个法向量为 ，
记直线 与平面 所成角为 ，
所以 ，解得 （负值舍去），
所以 ，则 ，
而由（2）得平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离为 .
19. 已知椭圆 过点 ，短轴长为4．
（1）求椭圆 的方程；
（2）椭圆 与 轴的交点为 ， （点 位于点 的上方），直线 与椭圆 交于不同的两点
， ．设直线 与直线 相交于点 ．试问点 是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若
不是，说明理由．
【答案】（1）（2）在定直线 上，理由见详解.
【解析】
【分析】（1）依题意可得 ，即可求出 、 ，从而得解；
（2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线 与椭圆联立消 ，设直线 、 的方
程解出 纵坐标，结合韦达定理化简计算即可.
【小问1详解】
依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 ；
【小问2详解】
在定直线 上，理由如下：
设点 与直线 联立消去 整理得 ，
由 ，且 ，
所以 ，
易知 ， ，则 ， ，
两式作商得 ，解得 ，
故 在定直线 上.20. 已知函数 ．
（1）若 ，
（i）求曲线 在点 处的切线方程；
（ii）证明：函数 在区间 上有且只有一个零点．
（2）若实数 使得 对 恒成立，求 的取值范围．
【答案】（1）（i） ；（ii）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令
，利用导数说明函数的单调性，即可得到 的单调性，再结合零点存在
性定理证明即可；
（2）令 ， ，求出函数的导函数，对 分三种情况讨论，说明函数的单调
性，即可得解.
【小问1详解】
（i）当 时 ，则 ，又 ，则 ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ；
（ii）因为 ， ，令 ， ，则
，
当 时 ，所以 ，所以 即 在 上单调递减，
又 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
又 ，当 时 ， ，所以 ，
所以 在区间 上有且只有一个零点；
【小问2详解】
由 对 恒成立，
即 对 恒成立，
令 ， ，则 ，
所以 ，令 ，
则 ，
当 时，对任意 ，则 ，
所以 在 单调递减，所以 ，满足题意；
当 时， 在 上恒成立，所以 在 单调递减，又 ，，
①当 ，即 时， 恒成立，所以 在 单调递减，
所以 ，满足题意；
②当 且 时，即 时，由零点存在性定理知， ，使得
.
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，不满足题意；
③当 时，即 时，对任意 单调递增，所以
，不满足题意.
综上， 的取值范围为 .
21. 已知有穷数列 ： ， ，…， 经过一次M变换后得到数列 ： ，
，…， ， ．
其中， 表示a，b中的最小者．记数列A的所有项之和为 ．
（1）若 ：1，3，2，4，写出数列 并求 ；
（2）若 ： ， ，…， 是1，2，3，…，n的一个排列，例如，当 时，4，1，3，2可
以为1，2，3，4的一个排列．
（i）当 时，求 的最小值；
（ii）若 经过一次M变换后得到数列 ，求 的最小值．
【答案】（1） ：1，2，2，1； ；（2）（i）9；（ii）
【解析】
【分析】（1）根据变换的定义写出数列，再计算得 ；
（2）（i）分析得 的所有项中至多有两个1和两个2，则得到其最值；
（ii）分若 ， 和 讨论即可.
【小问1详解】
由题意， ，即1，2，2，1．
所以 ．
【小问2详解】
（i）由题意知， 中元素两两互异，故 中的任一元素，
如 ，在 中至多在 和 中出现两次（规定 ， ），
且若出现两次则这两个数处于邻位（ 和 也视为邻位）．
所以 的所有项中至多有两个1和两个2．所以 ．
当 为1，4，2，5，3时等号能取到，所以 的最小值为9．
（ii）同（i）可知， 中的任一元素若在 中仅出现一次，则在 中至多出现两次；
若在 中出现两次，由于这两个数处于邻位，故在 中至多出现三次．
①若 ，则 ，
当 满足 时等号能取到．②若 ，则 ．
当 满足 时等号能取到．
③若 ，则 ．
当 满足 时等号能取到．
综上， ．
