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高三数学考前练习试题（含答案）
一、单选题
1. 已知集合 ， ，则集合 的元素个数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据集合交集的运算可得答案．
【详解】解集合B得
根据集合交集运算可得 ，即由2个元素
所以选B
【点睛】本题考查了集合交集的基本运算，属于基础题．
2. 如果实数 ， ， 满足： ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用赋值法和不等式的基本性质的应用求出结果．
【详解】对于选项A，当c=0时，ac2=bc2，故选项A错误；
对于选项B，当 时，a2＞b2＞c2错误；
对于选项C，当a=1，b=0， 时，a+c＞2b错误；
对于选项D，直接利用不等式的基本性质的应用求出 ，故选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式的性质，属于基础题.
3. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 ，则复数 的虚部是（ ）
A. 1 B. C. D. i
【答案】B
【解析】【分析】由对应点坐标写出复数，结合复数除法运算化简复数即得虚部.
【详解】由题意可得： ，则 ，
所以复数 的虚部是 .
故选：B.
4. 二项式 的展开式中第3项的二项式系数为（ ）
A. B. 56 C. D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】二项式展开式的第k+1项的二项式系数为 ，进而得到答案.
【详解】二项式展开式第三项的二项式系数为 .
故选：D.
5. 已知抛物线 ： 的焦点为 , 是C上一点， ，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】解方程 即得解.
【详解】解：由题得抛物线的准线方程为 ，则有 ，即有 ，解得 ．
故选：A
6. 将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的图象恰好关于直线 对称，则 的
最小值是（ ）
A. B. C. D.【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的相位变换可得变换后的图象对应的解析式，再根据正弦函数的对称轴可得 以及
的最小值.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为
，
因为其图象关于直线 对称，所以 ，
解得 ，则正数 的最小值为 ，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角函数的图象的相位变换，考查了正弦函数的对称轴．属于基础题.
7. 已知动点 在直线 上，过点 作圆 的一条切线，切点为 ，则 的最小
值为（ ）
A. 1 B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由题意求出切线长 的表达式，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题可知圆的圆心为 ，半径为 ，
设 ，则 ，有 ，
得 ，
当 时， .
故选：C.
8. 在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入到一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，
同时小明发现可以用指数型函数 （ ， 为常数）来描述以上糖块的溶解过程，其中 （单位：
克）代表分钟末未溶解糖块的质量，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用题干数据代入，待定系数求解即可
【详解】由题意，当 时， ；当 时，
故选：C
9. 设 均为非零向量，则“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算法则和公式 进行化简，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由 ，则 ，即 ，
当 时，可得 ，此时 恒成立，
即充分性成立；
当 对于任意的实数 恒成立时，
可得 ，又 ，
所以 ，即必要性成立，
综上可得，“ ”是“对于任意的实数 ，都有 ”的充分必要条件.故选：C.
10. 已知函数 ，若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由条件转化为 有解，求出 与 的切点，数形结合求解即可.
【详解】由题意 ， ，
即 有解，
先求 与 相切时，
过定点 ， 的导数 ，
设切点为 ，则由导数可知 ，
所以 ，解得 ，
即切点为 ，此时切线斜率 ，
作出函数图象，如图，
由图象可知，当 时，存在存在 ，使得 成立.
故选：B二、填空题
11. 函数 的定义域为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次根式被开方数非负和分式分母不为零，列不等式组可求得答案
【详解】由题意得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 ，
故答案为：
12. 设等差数列 的前 项和为 .若 ， ，则 __________； __________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】设公差为 ，根据等差数列求和公式求出 ，即可求出通项公式及前 项和公式.
【详解】设公差为 ，由 ， ，所以 ，即 ，解得
，所以 ，
则 ，
故答案为： ；
13. 已知双曲线 的焦点为 ， ，实轴长为2，则双曲线 的离心率是______；若点
是双曲线 的渐近线上一点，且 ，则 的面积为______．
【答案】 ①. ②.【解析】
【分析】易得 ， ，再结合 ，可知 ，然后由 求出离心率；可求出经过
一、三象限的渐近线方程为 ，设点 ，分别求出 和 ，根据 列出
方程，求出x的值，然后可得点 到y轴的距离， ，最后计算 的面积.
【详解】易知 ， ，所以 ，
又 ， ，所以 ；
所以双曲线的方程为： ，其中经过一、三象限的渐近线方程为 ，
故可设点 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
解之得： ，所以点 到y轴的距离为 ，又 ，所以：
.
故答案为： ； .
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，考查向量垂直的应用，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查
转化思想，属于常考题.
14. 设函数 .
①若 存在最大值，则实数 的一个取值为___________.②若 无最大值，则实数 的取值范围是___________.
【答案】 ①. （答案不唯一，满足 即可） ②.
【解析】
【分析】利用导数可求得 的单调性和极值，由此可得 与 的图象，结合图象
分析即可得到结果.
【详解】令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减，
极大值为 ，极小值为 ；
令 ，即 ，解得： 或 ；
由此可作出 与 图象如下图所示，
对于①，结合图象可知：若 存在最大值，则 ， 的一个取值为 ；
对于②，若 无最大值，只需 ，解得： ，即 ；
故答案为： （答案不唯一，满足 即可）； .15. 如图，在正方体 ，中， ， 分别为线段 ， 上的动点.给出下列四个结论:
①存在点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
②任意点 ，存在点 ，满足 ∥平面 ；
③任意点 ，存在点 ，满足 ；
④任意点 ，存在点 ，满足 .
的
其中所有正确结论 序号是__________.
【答案】①③
【解析】
【分析】对①②，举例判断说明即可；对③④，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，则
，其中 ，根据 满足 分析即可.
【详解】对①，当 ， 分别为 ， 的中点时，取 中点 ，连接 ，则根据中位线的
性质可得 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，同理 平面 ，又
， 平面 ，故平面 平面 .
又 平面 ，故 平面 .故①正确.对②，当 在 时， ∥平面 不成立，故②错误；
对③④，以 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体 棱长为1，
则 ， .
设 ， ，则 ，其中 ，故 ，
则当 时 ，即 .
故对任意的 ，存在 满足条件，即任意点 ，存在点 ，满足 .故③
正确；
当 ，即 在 点时，若 ，则 ，不满足 ，即 不在 上，故④错误.
为
故答案 ：①③
三、解答题
16. 在 中， ， ．
（1）求 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使 存在且唯一确定，求的面积．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： 的周长为 ．
【答案】（1）
（2）选择条件②, ; 选择条件③ .
【解析】
【分析】(1)利用余弦定理求解即可；
(2)根据条件①②③逐一计算，满足三角形只有一个解即可，再求面积.
【小问1详解】
由余弦定理知， ，
因为 ，所以 ．
【小问2详解】
选择条件①：
把 ， 代入 中，化简得 ，解得 ，
所以存在两个 ，不符合题意；
选择条件②：
因为 ， ，所以 ，
由正弦定理知， ，所以 ，因为 ，
所以 的面积 ．
选择条件③：
因为 的周长为 ，且 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 的面积 .
17. 人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论.
为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中1200字作为样本语料库 ，其中
“一”出现了30次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下：
“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数
“一个” 6
“一些” 4
“一穷” 2
“一条” 2
其他
假设用频率估计概率.
（1）求 的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率；
（2）在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为 ，求 的分布列和期望；
（3）另外随机选取甲类题材“新闻稿”中800字作为样本语料库 进行统计，“一”出现了24次，“一格”出现
了2次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不
要求证明）
【答案】（1）16；
（2）分布列见解析；（3）“一个”在前更合适
【解析】
【分析】（1）根据表中数据即可求得a的值；根据古典概型的概率公示可求得甲类题材中“一”出现的概率；
（2）确定 ，根据二项分布的概率计算即可求得答案；
（3）计算样本语料库A， 中“一个”和“一格”出现的概率，比较大小，可得结论.
【小问1详解】
由题意可得 ；
故甲类题材中“一”出现的概率为 ；
【小问2详解】
由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取2个“一”，搭配“一个”出现的概率为 ，
则 ，则 , ,
,
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
则 .
【小问3详解】
由题意知样本语料库 中“一格”出现的概率为 ，
甲类题材中“一个”出现的概率为 ，由于 ，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适.
18. 如图，在四棱柱 中，底面 是正方形，平面 平面 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ．
（ⅰ）求直线 与直线 所成角的余弦值；
的
（ⅱ）求点 到平面 距离；
（ⅲ）设点 为线段 上任意一点（不包含端点），证明：直线 与平面 相交.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ） ；（ⅲ）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由面面垂直的性质定理证明即可；
（2）建立空间直角坐标系用坐标法计算即可.
【小问1详解】
因为底面 是正方形，所以 ，
又因为平面 平面 ，且平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ．
为
因 平面 ，所以 ．
【小问2详解】
（ⅰ）如图建立空间直角坐标系 ，
则
所以 ，
设直线 与直线 所成角为 ，则
（ⅱ）
设平面 的法向量为 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
于是 ．
所以点 到平面 的距离（ⅲ）设 是线段 上一点，设 ．
则
因为 ，
所以直线 与平面 相交.
19. 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的长轴长为 ，焦距为 ，直线 与椭圆 交于 、 两点.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若以线段 为直径的圆经过点 .
（i）求证：直线 过定点 ，并求出 的坐标；
（ii）求三角形 面积的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析， ；（ii）
【解析】
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，然后通过求出 、 的值，可得出 的值，由
此可得出椭圆 的方程；
（2）（i）设直线 的方程为 ，设点 、 ，将直线 的方程与椭圆的方程
联立，列出韦达定理，通过 可得出 、 所满足的关系式，即可求得直线 所过定点的坐
标；
（ii）求出 以及点 到直线 的距离，利用三角形的面积公式结合基本不等式可求得 面积的
最大值.【小问1详解】
解：设椭圆 的方程为 ，
因为椭圆 的长轴长为 ，焦距为 ，则 ，可得 ， ，则 ，
因此，椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
证明：（i）因为椭圆 过点 ，设点 、 ，
若 轴，则 且 ， ， ，
此时， ，不合乎题意；
设直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
，
由韦达定理可得 ， ，
， ，
所以，，
因为直线 不过点 ，则 ，整理可得 ，解得 ，
所以，直线 的方程为 ，所以，直线 过定点 ；
（ii）直线 的方程为 ，
所以，点 到直线 的方程为 ，
，
所以，
，
令 ，则 ，
因为 时，故当 时， 取最大值 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函
数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
20. 已知函数 .
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）求 的极大值与极小值；
（3）证明：存在实数 ，当 时，函数 有三个零点.
【答案】（1）
（2）见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；
（2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可；
（3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明.
【小问1详解】
当 时， ， ，
所以 ，
又 ，
所以切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
，
当 时， ，解得 ，
故 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增，
故 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
当 时，令 ，解得 ， ，
故当 或 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
故 的极大值为 ，极小值为 ；
综上，当 时， 的极小值为 ，无极大值；当 时， 的极大值为 ，
极小值为 .
【小问3详解】
当 时，由（2）知， 在 和 上单调递增，
在 上单调递减，且 时， 恒成立，
时， ，又 的极大值为 ，极小值为 ，
所以存在实数 时，函数 有三个零点.
21. 已知A为有限个实数构成的非空集合，设 ， ，
记集合 和 其元素个数分别为 ， .设 .例如当 时，
， ， ，所以 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且 ， ；，证明： 为定
值；
（3）若 是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意 ，设 ，
.已知 ， ，且对任意 ， ，求数列 的通项公式.
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题中的定义，列举出 ， 即可；
（2）先列举 ， ， ， 中可能元素，根据集合的互异性判断元素个数差即可；
（3）类比（1）（2）当数列由 到 ，为保证 成立，则必有
其成等差数列，故猜想 ，可用数学归纳法给予证明.
【小问1详解】
当 时， ， ，，所以 ；
【小问2详解】
设 ，其中 ，
则 ，
，
因 ，
，
因 ，
所以 ， ， ， ，
又 ，
， ，
所以 ，
因 ， ， ，
，
，
因 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
所以所以 为定值；
【小问3详解】
，
若 ，
则 ，
,
故 ，
，
此时 ，不符合题意，
故 ，
猜想 ，下面给予证明，
当 时，显然成立，
假设当 ， 时，都有 成立，即 ，
此时 ， ，
故 ， ，
，符合题意，
，
则 ，
，若 ，
的元素个数小于
的元素个数，
则有 ，
不符合题意，故 ，
综上，对于任意的 ，都有 ，
故数列 的通项公式 .
【点睛】关键点点睛：本题的核心是利用集合的新定义，列举集合中元素，注意集合的互异性，进而得到
集合的元素个数.
