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微信：cs5311742016 主营各地名校期中期末真题卷及小初高全套教材教案讲义知识点总结
北京市东直门中学 2023~2024 学年度第二学期
初三数学一模前学情调研
考试时间：120分钟 总分：100分
班级________ 姓名________ 学号________
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1. 下列图形中，是轴对称图形不是中心对称图形的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可.
【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项A不符合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项B不符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项C符合题意；
D．不 是轴对称图形，是中心对称图形，故选项D不符合题意．
故选：C．
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【点睛】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两
旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋
转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对
称中心．
2. 中国立足本国国情、粮情，实施新时期国家粮食安全战略，走出了一条中国特色粮食安全之路．2022年
我国全年粮食产量68653万吨，比上年增加368万吨，增产 ．将686530000用科学记数法表示应为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 ，其中 ，n为整数，且n比原来的
整数位数少1，据此判断即可．
【详解】解：686530000用科学记数法表示应为 ．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 ，其中 ，确定a与n
的值是解题的关键．
3. 一个凸多边形的内角和等于540°，则这个多边形的边数是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】n边形的内角和公式为（n-2）180°，由此列方程求边数n．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
则（n-2）180°=540°，
解得n=5，
故选A.
【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变
形和数据处理．
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4. 若 ，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了不等式的性质，应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除
以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向．
【详解】解：A. ，不等式的两边加1，不等号的方向不变， 恒成立，故A不符
合题意；
B. ，不等式的两边乘2，不等号的方向不变， 恒成立，故B不符合题意；
C． ，不等式的两边同乘 ，不等号的方向改变，然后两边加2， 恒成立，故C
不符合题意；
Ｄ． 当 时，则 ，成立；当 ， ，且 ，则 ， 若 ，
不一定成立，故D符合题意；
故选：D．
5. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项．
【详解】解：由题意得：
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∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是 ；
故选C．
【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
6. 将边长分别为2和4的长方形如图剪开，拼成一个正方形，则该正方形的边长最接近整数（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】易得正方形的面积，求得正方形面积的算术平方根即为所求的边长，利用四数的平方与正方形面
积作差的绝对值进行比较即可解答．
【详解】解：正方形的面积与原长方形的面积相等，S = ，
长方形
∴S =8，
正方形
设正方形的边长为x
则x2=8
解得：x=
则正方形的边长为 = ，
∵12=1,22=4,32=9,42=16
∴8-1=7，8-4=4，9-8=1，16-8=8；
∵8>7>4>1
∴正方形的边长 最接近整数3
故选：C．
【点睛】本题考查有关正方形面积的计算；根据正方形的面积求边长是解决此类问题的基本思路．也考查
了算术平方根，利用平方法比较大小是解题关键．
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7. 关于 的一元二次方程 根的情况是（ ）
A. 无实根 B. 有实根
C. 有两个不相等实根 D. 有两个相等实根
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ，再根据结果判断即可．
【详解】根据题意，得
，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握 与一元二次方程根之间的关系是解题的
关键．即当 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根；当
时，一元二次方程 有两个相等的实数根；当 时，一元二
次方程 没有实数根．
8. 在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是
一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球
拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，
则被“盖帽”的可能性越大．收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图
所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个
点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”P的可能性最大的线路是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意即可得出结论．
【详解】解：B、D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平
距离长；A、B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过.A点的篮球运行到与B点
横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：
P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．
故选：B．
【点睛】本题主要考查学生的细心程度，认真分析是解决本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9. 若代数式 有意义，则实数 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分母不为零，可得到结果，掌握分式有意义的条件是解题的
关键．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
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10. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】先提公因式，再用公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，在进行因式分解时，有公因式一定要先提公因式．
11. 不等式 的负整数解为________．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式及一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解一元一次
不等式的步骤，注意不等式两边同乘负数，不等号要改变方向．
【详解】解：
，
．
不等式 的负整数解为： ， ．
12. 在平面直角坐标系 中，若函数 的图象经过点 和 ，则m的值为
______．
【答案】3
【解析】
【分析】先把点A坐标代入求出反比例函数解析式，再把点B代入即可求出m的值．
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【详解】解：∵函数 的图象经过点 和
∴把点 代入得 ，
∴反比例函数解析式为 ，
把点 代入得： ，
解得： ，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数
图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键．
13. 如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC是⊙O的直径．若∠BAC =20°，则∠D的度数为________．
【答案】70°
【解析】
【分析】根据圆周角定理的推论求出∠ABC，根据三角形内角和定理求出∠C，再根据圆周角定理的推论
即可求出∠D．
【详解】解：∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°．
∵∠BAC=20°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=70°．
∵∠D和∠C都是 所对的圆周角，
∴∠D=∠C=70°．
故答案为：70°．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题关键．
14. 某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：
3
鞋号 35 36 37 38 40 41 42 43
9
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1
销售量/双 2 4 5 5 6 3 2 1
2
根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双．
【答案】120
【解析】
【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．
【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，
∴该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为 双．
故答案为：120
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的
关键．
15. 如图，在矩形 中， ， ，E点为 边延长线一点，且 ．连接 交边
于点F，过点D作 于点H，则 _________．
【答案】
【解析】
【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段 的长，进而求得 的长，利再用勾股定理求出
的长，最后根据三角形的面积公式，即可求出 的长．
【详解】解： 四边形 为矩形，
， ， ， ，
，
，
，
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，
，
，
，
在 中， ，
，
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握相似三角形
的判定和性质是解题关键．
16. 甲、乙两人分别在A，B两条生产线上加工零件，在A生产线，甲、乙均是每天最少可以加工2个A零
件．当连续生产时，甲第一天能加工10个A零件，每连续加工一天，加工 零的件数比前一天少2个；乙第
一天能加工8个A零件，每连续加工一天，加工的零件数比前一天少1个．在B生产线，甲每天加工7个
B零件，乙每天加工8个B零件．在同一天内，甲和乙不能在同一条生产线上工作，且在一条生产线连续
工作不少于3天时可改变生产线，改变生产线后加工时间重新计算．根据题意，得：
（1）甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件______个；
（2）若一个A零件、一个B零件组成一套产品，则14天最多能加工______套产品．
【答案】 ①. 24 ②. 106
【解析】
【分析】（1）直接根据题意列式计算即可；
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（2）由于A、B零件要配套，则A、B零件的数量都要多；然后发现甲在A生产线连续工作3天最多能加
工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；乙在A生产线连续工作3天最多能加
工A零件 个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B零件 个；则每3天甲、乙
轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件符合题意，最后确定最
大数量即可．
【详解】解：（1）由题意可得：甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件的个数为：
（个）
故答案为24．
（2）∵一个A零件、一个B零件组成一套产品，
∴ 14天A、B两种零件同时产出数量最多
∵甲在A生产线连续工作3天最多能加工A零件24个，甲在B生产线连续工作3天最能加工B零件21个；
乙在A生产线连续工作3天最多能加工A零件 个，乙在B生产线连续工作3天最多能加工B
零件 个
∴每3天甲、乙轮流生产可使A、B零件的数量，最后两天甲产A零件18件，乙生产B零件16件
∴14天最多能加工24+21+24+21+16=106．
故答案为106．
【点睛】本题主要考查了列式计算、统筹解决问题等知识点，理解题意、发现生产规律是解答本题的关键．
三、解答题（本题共68分，17-20题、22-23题每题5分，21、24-26题每题6分，27、28题
每题7分）
17. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．依次计算开平方、特殊角的三角
函数值、负整数指数幂和绝对值，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
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18. 解方程： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再进行移项合并同类项，最后验根，即可
作答．
【详解】解：∵
∴
则
解得
经检验： 是原分式方程的解
∴ 的解为
19. 已知 ，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键．先将括号里
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面进行通分，将除法改写为乘法，各个分子分母因式分解，再化简，根据 得出 ，
将其代入进行计算即可．
【详解】解：
，
，
，
原式 ．
20. 如图，在菱形 中，对角线 与 相交于点O，过点D作 交 的延长线于点
E．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由菱形的性质及同位角相等两直线平行，即可证明 ， ，根据平行四边
形的判定即可得到结论；
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（2）由直角三角形斜边中线等于斜边一半及等边对等角的性质可得 ，再由等角的三角函数
值相等进行求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是菱形
∴ ， ．
∵
∴
∴
∴
∴四边形 是平行四边形．
【小问2详解】
解：∵四边形 是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵ ， ，
∴
∴
∴
【点睛】本题考查菱形的性质、平行四边形的判定和性质、平行线的判定、直角三角形的性质、锐角三角
函数等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定，学会用转化的思想思考问题．
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21. 小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为 ，宽 ，正中央是一个与整个画轴长、宽
比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的 ，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，
求左、右边衬的宽．
【答案】 ．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，解答时根据矩形的面积公式建立方程是关键．由条
件知道中间矩形的长宽比，设中间的矩形的长为 ，宽为 ，根据面积关系建立方程求出其解即可．
【详解】解： 画轴长为 ，宽 ，
画轴的长宽比为 ，
设中间的矩形的长为 ，宽为 ，由题意得：
，
即 ，
解得： ， （不符合题意，舍去）
中间的矩形的长为160 ，宽为80 ，
左、右边衬的宽为： ．
答：左、右边衬的宽为 ．
22. 在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，且经
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过点 ．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当 时，对于 的每一个值，函数 的值大于一次函数 的值，直接写
出 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．
（1）先根据直线平移时 的值不变得出 ，再将点 代入，求出 的值，即可得到一次函数的解
析式；
（2）由于函数 恒过点 ，临界值为当 时，两条直线都过点 ，根据点
结合图象即可求得 的取值范围．
【小问1详解】
解： 一次函数 的图象由函数 的图象平移得到，
，
将点 代入 ，
得 ，解得 ，
一次函数的解析式为 ．
【小问2详解】
解：
，即 ，
图象恒过点 ，
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临界值为当 ，两条直线都过点 ，
把点 代入 ，解得 ，即 ，
结合图象可知，
当 ， 时， 的值大于一次函数 ，即图象在 上方．
的取值范围为 ．
23. 为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，从中随
机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分析．下面
给出了部分信息．
a．这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b．这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：
参与奖 优秀奖 卓越奖
第一次竞赛 人数 10 10 10
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平均分 82 87 95
人数 2 12 16
第二次竞赛
平均分 84 87 93
（规定：分数 ，获卓越奖； 分数 ，获优秀奖；分数 ，获参与奖）
c．第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d．两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均 中位 众
数 数 数
第一次竞
m 87.5 88
赛
第二次竞
90 n 91
赛
根据以上信息，回答下列问题：
（1）小段同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“ ”圈出代表小段同学的点；
（2） ________， ________
（3）以第二次竞赛成绩为依据，若该校初三年级共有学生840人，请你估计该校初三年级学生交通安全知
识竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数．
【答案】（1）图见解析；
（2）88，90 （3）448人
【解析】
【分析】本题考查了统计图分析，平均数，中位数，以及由样本所占百分比估计总体数量，掌握统计图分
析方法，平均数，中位数的概念，和由样本所占百分比估计总体数量的方法是解题的关键．
（1）根据30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图可得，横坐标为89，纵坐标为91，
即可获得答案；
（2）根据平均数和中位数的定义求解即可；
（3）要求当参加考试总人数840人时，竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数，只需要总人数840乘以
参加的学生中成绩超过90分的比例即可．
【小问1详解】
解： 小段同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，所以图中代表的点如图所示，
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小问2详解】
【
解： ，
第二次竞赛获得参与奖2人，优秀奖12人；获卓越奖的学生有16人，成绩从小到大排列为：90 90
91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98，
30名学生成绩的中位数是第15和第16个数的平均数，
，
， ．
【小问3详解】
解：根据第二次竞赛成绩，参加学生为30人，竞赛成绩在90分以上（含90分），即获得卓越奖的人数为
16人，
若参加人数840，估计竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数为： ．
答: 该年级学生都参加测试，估计竞赛成绩在90分以上（含90分）的人数为 人．
24. 如图， 是 的半径， 与 相切于点A，点C在 上且 ，D为 的中点，连
接 ，连接 交 于点E，交 于点F．
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（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由等腰三角形的性质及切线的性质得出 ，得出 ，则可得
出结论；
（2）设 ，则 ，求出 ，由锐角三角函数的定义可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵ ，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 与⊙相切于点A，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
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∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵
∴
设 ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ ，
∴ ,
解得
∴
∴
【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数等知识点．熟练掌握相关结论是解题关键．
25. 通常把脏衣服用洗衣液清洗后会进行拧干，但由于不可能拧净衣服上的全部污水，所以还需要用清水
进行多次漂洗，不断降低衣服中污水的含量．某小组研究了如何用清水漂洗衣服效果更好，部分内容如下，
请补充完整：实验研究：先准备几件相同的洗过一次并拧干（存留一些污水）的衣服，把每件衣服分别用
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一定量的清水浸泡，经过充分搓洗，使清水与衣服上存留的污水混合均匀，然后拧干，视为一次漂洗，称
重、记录每次漂洗后衣服上存留的污水重量和比例，如：把一件存留1斤污水的衣服用10斤清水漂洗后，
拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，在多次实验后，通过对收集的数据进
行分析，该小组决定使用20斤清水，采用三种不同的方案，对每件衣服分别进行漂洗，并假设每次拧干后
的衣服上都存留约1斤的污水．
数据计算：对三种漂洗方案进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的________；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣
服中存有的污物是原来的________；
方案三：采用两次漂洗的方式，且两次用水量相同，每次用10斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的
________．
实验结论：对比可知，在这三种方案中，方案________的漂洗效果最好（填“一”“二”或“三”）．
推广证明：将脏衣服用洗衣液清洗后，再用清水进行漂洗，假设每次拧干后还存留 （ ）斤污水，
现用 （ ）斤清水漂洗（方案二中第一次用水量为 斤），请比较并证明方案二与方案三的漂洗效
果．
【答案】方案一： ；方案二： ；方案三： ；实验结论：三；推广证明：见解析
【解析】
【分析】本题考查分式的实际应用，根据题意列式等．
数据计算∶分别计算出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来的污物关系即可解答；
实验结论∶比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明∶ 先用字母表示出三种方案漂洗后衣服中存有的污物与原来污物间的关系，再利用求差法比较即
可解决问题．
【详解】解：根据题意可知：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
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方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ．
∵ ，
∴方案三的漂洗效果最好，
故答案为： ； ； ；三；
推广证明理由如下：
方案一：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案三：漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ，
∵ ，
∴方案三比方案一漂洗效果好；
∵ ，
当 时， ，
∴方案三比方案二效果好，
综上所述：方案三漂洗效果最好．
26. 已知抛物线 ，
（1）若抛物线过点 ，求抛物线的对称轴；
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（2）已知点 在抛物线上，其中 ，若存在 使 ，
试比较 的大小关系．
【答案】（1） ；
（2） ．
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与 轴的交点问题，掌握二次函数的图象与性质是解
题的关键．
（1）抛物线过点 ，可知 关于对称轴对称，即可求解；
（2）设抛物线 的对称轴为 ，先求出 的取值范围，再根据函数的增减性即可
求解．
【小问1详解】
解：∵抛物线过点 ，
∴ 关于对称轴对称，
∴抛物线的对称轴是 ．
【小问2详解】
解：设抛物线 的对称轴为 ，
由题知， 在 的右侧， 在 的左侧，
∵ ，存在 ，
∴点 到 大于 点 到 的距离，
∴ 到 的距离为： ，点 到 的距离为： ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 都在函数的左侧，
∴ ，
∴抛物线 开口向上，在对称轴左侧函数随着 的增大而减小，
∵ ，
∴ ．
27. 已知：在 中， ， ， 是 边上 动的点，将线段 绕点 顺时针旋
转 得到线段 ．
（1）如图1，当点 在线段 上时，求证： 是 的中点；
（2）如图2，连接 ，取线段 的中点 ，连接 ，直接写出 的大小并证明；
（3）若 是 的中点， ，直接写出 的最小值为______．
【答案】（1）证明见解析
（2） ，证明见解析
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（3）
【解析】
【分析】（1）证明 是等边三角形，得到 ，进而证明 ，
由三线合一定理即可证明结论；
（2）如图所示，延长 到G，使得 ，连接 ，同（1）可证明 是等边三角形，
则 ， ，证明 ，得到 ，再证明 为
的中位线，得到 ，则 ，即可得到
；
（3）如图所示，连接 ，由三线合一定理得到 ，进而求出
，证明 是等边三角形，推出 ，则点E在直线
上运动；设直线 交 于T，过点F作 垂直于直线 于H，则 ，
，求出 即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可得 ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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又∵ ，
∴ 是 的中点；
【小问2详解】
解： ，证明如下：
如图所示，延长 到G，使得 ，连接 ，
同（1）可证明 是等边三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：如图所示，连接 ，
∵点F是 的中点，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴点E在直线 上运动，
设直线 交 于T，过点F作 垂直于直线 于H，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由垂线段最短可知，当点E运动到点H，即 时， 有最小值，最小值为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股
定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理等等，证明点E的运动轨迹是直线是解题的关键．
28. 对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，
点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．
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（1）如图， ， ， ，
①点P关于点B的定向对称点的坐标是 ；
②在点 ， ， 中，______是点P关于线段AB的定向对称点．
（2）直线 分别与x轴，y轴交于点G，H，⊙M是以点 为圆心， 为半径
的圆．
①当 时，若⊙M上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求 的取值范围；
②对于 ，当 时，若线段GH上存在点J，使得它关于⊙M的定向对称点在⊙M上，直接写出b的
取值范围．
【 答 案 】 （ 1 ） ① ； ② 点 C ， D ； （ 2 ） ① 或 ； ②
．
【解析】
【分析】（1）①求出点P关于直线OB的对称点G即可．
②求出OP，OC，OD，OE的长即可判断．
（2）①求出两种特殊位置b的值即可．如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与
⊙M′在第一象限相切时，设切点为P，连接PM′．如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线
GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题．
②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．求出两种特殊位置b的值即可判断．
【详解】解：（1）①如图1中，
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∵P（0，2），B（1，1），
∴点P关于OB的对称点G（2，0），
故答案为：（2，0）．
②∵点C（0，﹣2），D（1，﹣ ），E（2，﹣1），
∴OP＝2，OD＝2，OC＝2，OE＝ ，
∴OP＝OD＝OC，
∴点C，D是点P关于线段AB的定向对称点．
故答案为：点C，D．
（2）①如图2中，作⊙M关于y轴的对称图形⊙M′，当直线GH与⊙M′在第一象限相切时，设切点为
P，连接PM′，
当b＞0时，
由题意得：tan∠HGO＝ ，
∴∠PGM＝30°，
∵PM′＝1，∠MPG＝90°，
∴MG＝2MP＝2，
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∴OG＝GM+OM＝4，
∴OH＝OG•tan30°＝ ，
当直线经过（-1，0）时， .
∴
若b＜0时，
当当直线经过（1，0）时， .
如图3中，以O为圆心，3为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第四象限点相切于点P时，连接OP，
同法可得OH＝2 ，∴
观察图象可知满足条件的b的值：﹣2 ≤b≤ ．
综上所述，b的取值范围是 或 .
②如图4中，设⊙M交x轴于K，T，则K（﹣1，0），T（5，0）．
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以O为圆心，5为半径作⊙O，当直线GH与⊙O在第二象限相切于点J时，
可得OH＝ ，
此时直线GH的解析式为y＝ x+ ，
当直线GH经过点K（﹣1，0）时，0＝﹣ +b，
可得b＝ ，
此时直线GH的解析式为y＝ x+ ，
观察图象可知满足条件的b的值为： ≤b≤ ．
【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了定向对称点 的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知
识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
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