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9-2 排列与组合
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
9-2 排列与组合..................................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：简单随机抽样.....................................................2
1．排列与组合的概念......................................................2
2.排列数与组合数.........................................................2
3．排列数、组合数的公式及性质............................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 排列问题..........................................................4
题型二 组合问题.........................................................19
题型三 排列与组合的综合应用.............................................41
命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题.............................41
命题点2 定序问题...................................................46
命题点3 分组分配问题...............................................50
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................55
1
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、
一
主干知识
考点1：简单随机抽样
1
排列与组合的
．
概念
名称
定义
排列
从n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
2.排列
与组合
数
数
(1)排列数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A 表示．
(2)组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C 表示．
3
排列
、组合
的公
及
．
数
数
式
性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C.
【
用
常
结论总结】
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
2
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、分
题
二
类
型
3
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题
型一排列问题
｛排列数计算｝
【例题精析1】
计算
．
【答案】156
【分析】根据排列数计算公式求解.
【解答】
.
【例题精析2】
计算：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)348；(2)64.
【分析】（1）（2）利用排列数公式直接计算作答.
【解答】（1）
.
（2）
.
｛用排列数公式证明｝
【例题精析3】
求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用排列数公式将
展开，即可证结论.
【解答】
，
，
，
综上，
.
4
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【例题精析4】
求证：
（
、
为大于1 的自然数）．
【答案】证明见解析
【分析】由排列数的计算公式证明即可
【解答】
｛排列数
与
式
方程
不等
｝
【例题精析5】
已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
【答案】A
【分析】根据排列数公式，化简计算，结合x 的范围，即可得答案.
【解答】由题意得
，
化简可得
，解得
或6，
因为
，所以
且
，故
.
故选：A.
【例题精析6】
解不等式：
【答案】
【分析】利用排列数的计算公式，列出方程，即可求解.
【解答】由题意可知，
且
，
因为
，
，
，
所以原不等式可化为
，
5
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整理得
，解得
，所以原不等式的解集为
.
｛
排列问题
全
｝
【例题精析7】
将4 名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4 个项目进行
培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1 个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不
同的分配方案共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．18 种
D．48 种
【答案】C
【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配
方案数.
【解答】由题意，4 名志愿者任意分配共有
种分法，若志愿者小王去文艺文化项目，其它3 名任意
分配有
种分法，所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有
种.故选：C
【例题精析8】
将6 本不同的书排成一排，有多少种不同的排法？
【答案】720
【分析】运用排列的定义进行求解即可.
【解答】将6 本不同的书排成一排，一共有
种不同的排法.
｛元素
位置
的排列问题
（
）有限制
｝
【例题精析9】
2023 年4 月26 日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5 人到球场的四
个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排
到同一区域的方法种数为（ ）
A．18
B．24
C．60
D．120
【答案】B
【分析】利用捆绑法求解即可.
【解答】将甲乙捆绑在一起与其他人一起进行全排列，共有
种排法，
所以将甲、乙两人被安排到同一区域的方法种数为24 种.故选：B.
【例题精析10】
用1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
6
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【答案】360
【分析】偶数的个位数只能是2、4、6，其他位置上任意排列，由分步乘法计数原理即得解；
【解答】偶数的个位数只能是2、4、6，有
种排法，其他位上有
种排法，
由分步乘法计数原理，知共有四位偶数
(个).
【例题精析11】
5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全排列的定义即可求解；
（2）先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可；
（3）根据特殊元素优先考虑甲的安排，再利用排列数计算其余四人，结合分步乘法原理即可求解.
【解答】（1）5 名队员排成一排，作全排列，共有
种排法，
所以5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排，共有
不同的排法.
（2）因为甲已经站在排头，所以其余4 人进行全排列，有
种排法，
所以甲必须站在排头，有
种不同的排法.
（3）因为甲不能站排头，也不能站排尾，所以甲在中间位置，有
种排法，
又其余4 人进行全排列，有
种排法，
则甲不能站排头，也不能站排尾，共有
种排法，
故甲不能站排头，也不能站排尾，有
种不同的排法.
｛相邻问题的排列问题｝
【例题精析12】
有6 张连号的电影票，分给3 名教师和3 名学生，要求师生相间而坐．求不同分法的种数．
【答案】
【分析】根据条件，讨论“教师坐起始位置”或“学生坐起始位置”两种情况，利用排列的定义求出每种
情况的对应分法，再由加法原理计算即可.
【解答】由题意得：①教师坐起始位置，学生插空，共有
种，②学生坐起始位置，教师插空，
7
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共有
种，所以电影票不同的分法共有
种.
【例题精析13】
将5 个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
【答案】48
【分析】先捆绑排甲乙，再全排列即可.
【解答】根据捆绑法，共有
种不同的排法.
【例题精析14】
某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3 个歌舞类和3 个语言类节目，所有
节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为 ．
【答案】
/ 0.6
【分析】采用插空法先计算两个语言类节目相邻的排法，再应用古典概型即可.
【解答】节目出场顺序总数为
，两个语言类节目相邻：
，
所以恰有两个语言类节目相邻的概率为
．故答案为:
．
｛
相邻排列问题
不
｝
【例题精析15】
毕业典礼上，某班有
六人站一排照相，要求
，
两人均不在排头，且
两人
不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．160
B．288
C．336
D．480
【答案】C
【分析】先排
两人不相邻，再减去
或
在排头的排法即可.
【解答】按插空法，，
不相邻的排法种数为
，而其中
或
在排头的排法种数为
,故不同的排法种数为
.
故选:C.
【例题精析16】
在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节
目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6 名教师表演的
节目的不同编排顺序共有（ ）种.
8
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A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【答案】B
【分析】对男教师的位置分4 类，计算出各类的安排种数，求解即可．
【解答】把6 个节目按照先后出场顺序依次记为编号1，2，3，4，5，6，
则3 名男教师只有
共4 种位置安排，
由于夫妻教师的节目又不能相邻，可得以上4 种安排的每种安排里，3 名女教师的安排均是1 种，
故该6 名教师的节目不同的编排顺序共有
．
故选：B．
【例题精析17】
甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2 个大人和2 个小孩，乙家庭有2 个大
人和3 个小孩，他们9 人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人
不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144
B．864
C．1728
D．2880
【答案】C
【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.
【解答】甲家庭的站法有
种，乙家庭的站法有
种，
最后将两个家庭的整体全排列，有
种站法，
则所有不同站法的种数为
．
故选：C
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一
般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多
的问题可以采用间接法．
【对点精练1】
计算：
(1)
；(2)
．
9
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【答案】(1)360(2)90
【分析】根据排列数的计算公式求得正确答案.
【解答】（1）
.（2）
.
【对点精练2】
（1）求证：
；（2）求证：
；
（3）求和：
．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
.
【分析】按照阶乘的定义即可求解.
【解答】（1）证明：
．
（2）证明：
．
（3）由（2）知
，
所以
；
综上，
.
【对点精练3】
求证：
．
【答案】证明见详解
【分析】利用排列数的计算公式即可证明.
【解答】左边
，
右边
，
10
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所以
，即证.
【对点精练4】
求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立；
（2）利用排列数公式化简可证得等式成立.
【解答】（1）证明：
.
（2）证明：
.
【对点精练5】
解关于正整数n 的方程：
．
【答案】
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【解答】由排列数的定义，有
由此解得
．
此外，原方程可化为
，
再化简，可得
，
即
，即
．舍去非整数的根
，
故
．
【对点精练6】
已知
，求x 的值．
【答案】
.
【分析】根据给定条件，利用排列数公式直接计算作答.
【解答】
，
化为：
，
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即
，解得
，
所以x 的值为
.
【对点精练7】
解下列方程或不等式．
(1)
=2
；
(2)
.
【答案】(1)n=5(2)x=8
【分析】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果；
（2）先利用排列数公式得到
，从而得到
，对根据排列数公式要求，求出
的范
围，进而求出结果.
【解答】（1）因为
=2
，由
，解得
，
由原式可得
，解得
或
．又因为
，所以
．
（2）因为
<6
，由
，解得
且
，
由原不等式可得
，化简可得
，解得
，
又
且
，所以
．
【对点精练8】
解不等式：
；
【答案】
【分析】根据排列数公式得到不等式，解得即可.
【解答】因为
，
，
，
所以不等式
可化为
，
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解得
，又
，
，
所以不等式的解集为
．
【对点精练9】
将4 位司机、4 位售票员分配到4 辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1 位司机和1 位
售票员，则共有 种不同的分配方案．
【答案】576
【分析】先分配4 位司机，再分配4 位售票员，相乘后得到答案.
【解答】这个问题可以分为两步：
第1 步，把4 位司机分配到4 辆不同班次的公共汽车上，即从4 个不同元素中取出4 个元素排成一列，有
种方法；
第2 步，把4 位售票员分配到4 辆不同班次的公共汽车上，也有
种方法．
由分步乘法计数原理知，分配方案共有
种．
故答案为：576
【对点精练10】
3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲乙两人中间必须有
､
3 人.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解；
（2）利用捆绑法即可得解；
（3）利用插空法即可得解；
（4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解.
【解答】（1）依题意，先排最左边，除去甲外，有
种，余下的6 个位置全排有
种，
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但应剔除其中乙在最右边的排法数
种，
则符合条件的排法共有
种.
（2）将男生看成一个整体，进行全排列，有
种排法，
再与其他元素进行全排列，有
种排法，
故共有
种.
（3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有
种.
（4）从除甲、乙以外的5 人中选3 人排在甲、乙中间的排法有
种，
将甲、乙看作一个整体，和其余2 人排成一排的排法有
种，
最后再把选出的3 人的排列插入到甲、乙之间即可，
共有
种.
【对点精练11】
7 名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙丙
､
2 名学生要站在一起.问：
有多少种不同的排法？
【答案】
【分析】先确定甲站在正中间，然后分乙、丙都在甲的左手边和乙、丙都在甲的右手边计数，最后利用分
类加法计数原理求排法总数.
【解答】由题知，当甲站在正中间，其左右各有3 个位置，
若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的左手边，则其余4 个位置的人站法可按全排列计算，
有
种，
若乙、丙两位同学站在一起且都在甲的右手边，则其余4 个位置的人站法可按全排列计算，
有
种，
由分类加法计数原理知，共有
种排法.
【对点精练12】
从6 人中选取4 人分别去A、B、C、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只
游览一个城市，且这6 人中，甲、乙两人都不去A 地游览．问：不同的选择方案共有多少种？
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【答案】240
【分析】根据排列和分步计数原理即可求解.
【解答】先安排A 城市的游览方法，从去掉甲乙的四个人中选一个人去A 城市，则有4 种，
再从剩下的5 个人中选取三人分别安排到B,C,D 城市，此时有
种，
根据分步计数原理，不同的选择方案有
种，
【对点精练13】
从7 名运动员中选4 名组成接力队参加4×100 米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的
排法有多少种？
【答案】400
【分析】第一步，安排中间2 个位置，第二步，安排首尾2 个位置，利用乘法原理可得结论．
【解答】第一步中间位置除了甲乙还有5 人，5 个选2 个全排列跑中间两棒，有
种；
第二步确定首尾的人选，还剩下5 个人，选2 个全排列，有
种．
两步相乘，共有
种．
【对点精练14】
3 名男生和4 名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
【答案】(1)288
(2)144
(3)1440
【分析】（1）利用捆绑法进行求解；
（2）先安排男生，再将女生进行插空；
（3）先安排女生，再将男生进行插空.
【解答】（1）将男生和女生分别进行捆绑，则分别有
和
种方案，
再将男生组和女生组进行全排列，故共有
种方案；
（2）先将男生进行排列，有
种方案，再将女生进行插空，刚好有
种方案，
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故男、女生间隔排列，共有
种方案；
（3）先将女生进行排列，有
种方案，再将男生进行插空，有
种选择，
故男生互不相邻，共有
种方案.
【对点精练15】
用
可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5 整除的五位数有多少个？
【答案】可以组成
个无重复数字的五位数；能被5 整除的五位数有
个.
【分析】根据排列数的计算公式以及题目的要求求得正确答案.
【解答】用
可以组成
个无重复数字的五位数.
若五位数的个位为，这样的五位数有
个.
若五位数的个位为，这样的五位数有
个.
所以其中能被5 整除的五位数有
个.
【对点精练16】
某电视台连续播放6 个广告，其中含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾
必须播放公益广告，则有多少种不同的播放方式？
【答案】
【分析】根据排列的概念和分步乘法计数原理求解.
【解答】先安排首尾有
种安排方法，
再安排中间4 个广告共有
种安排方法，
所以共有
种不同的播放方式.
【对点精练17】
4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
【答案】(1)288(2)576(3)1440(4)144(5)3600
【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，即可求出结果；
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（2）利用相邻问题捆绑法，再把男生当成一人，与女生全排即可求出结果；
（3）先排男生有
种，再利用不相邻问题插空法即可求出结果；
（4）先排男生有
种，再把女生插入3 个空格处即可求出结果；
（5）分两类：一类3 个女生全相邻，二类是恰有2 个女生相邻，分别求出两类的站法种数，再利用分类计
算原理即可求出结果.
【解答】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种
数为
种；
（2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为
种；
（3）因为女生均不相邻，先将男生任意排列，再将女生插空，所以共有站法种数为
种；
（4）因为男生与男生、女生与女生均不相邻，将男女生相间排列，所以共有站法种数为
种；
（5）当3 个女生全相邻，共有站法种数为
种，
恰有2 个女生相邻，共有站法种数为
种，
所以至少有两个女生相邻，共有站法种数为
种.
【对点精练18】
3 男3 女共6 位同学站成一排，则3 位女同学中有且仅有2 位女生相邻的不同排法有
种
【答案】432
【分析】把3 名女生按
分成两组，插入3 名男生排成一排形成的空隙，再把相邻的两名女生排列作答.
【解答】3 名女生按
分成两组有
种方法，把3 名男生排成一排有
种方法，
把两组女生插入男生排列形成的空隙中有
种方法，排相邻的两名女生有
种方法，
所以所求不同排法数有
.故答案为：432
【对点精练19】
老师和学生共10 人一起照相，其中1 名老师、4 名女生、5 名男生，排成一行，要求男生、
女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
【答案】
17
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【分析】首先将男生和女生分别捆绑一起，看成两个元素，再根据条件，写出排列种数.
【解答】要求男生、女生必须分性别站在一起，可以考虑采用捆绑法，
把男生和女生分别看成一个大元素进行处理．男生站在一起看成一个大元素，
女生站在一起看成一个大元素，老师不站在两端，共有
种排列．
但4 名女生、5 名男生本身还有排列顺序要求．所以共有
种站队方式．
故答案为：
【对点精练20】
已知来自甲、乙、丙三个学校的5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为
1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．40
B．36
C．56
D．48
【答案】D
【分析】根据题意可按照分类加法和分步乘法计数原理进行计算即可得出结果.
【解答】设这5 个人分别为：ABCDE，则要求B 与C 和D 与E 的演讲顺序都不能相邻.
第一类：A 在BC 中间，此时再把D 与E 插空到这3 人中间，
此时的不同的演讲顺序有
第二类：A 不在BC 中间，此时先考虑B 与C 和D 与E，分别将他们看成两个人的整体，再将他们的顺序
应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有
综上可得：总共有48 种不同的演讲顺序，
故选：D.
【对点精练21】
甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12
B．36
C．48
D．72
【答案】D
【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．
【解答】先排丙、丁、戊三人，共有
种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有
种排法，故排法种数为
．
故选：D
【对点精练22】
2 名男生和4 名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
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【答案】144
【分析】利用插空法求解即可.
【解答】利用插空法，先将4 名女生排成一列，
然后在中间产生的3 个有效空位中任选2 个空位安排男生，
共有
种安排方法.
题
型二组合问题
｛排列与组合的区别｝
【例题精析18】
下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5 本不同的书分给5 个学生，每人一本
B．从7 本不同的书中取出5 本给某个同学
19
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C．10 个人相互发一微信，共发几次微信
D．10 个人互相通一次电话，共通了几次电话
【答案】BD
【分析】利用组合的定义判断.
【解答】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题；
B.从7 本不同的书中取出5 本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题；
C. 10 个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题；
D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题；
故选：BD
【例题精析19】
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5 本不同的书分给5 个学生，每人一本；
(3)从7 本不同的书中取出5 本给某个学生．
【答案】(1)排列问题(2)排列问题(3)组合问题
【分析】（1）（2）（3）根据有顺序还是无顺序，即可求解.
【解答】（1）因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲→乙和乙→甲的车票是不同的，所以它是排
列问题．
（2）由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题．
（3）从7 本不同的书中，取出5 本给某个学生，在每种取法中取出的5 本并不考虑书的顺序，故它是组合
问题．
｛组合数计算｝
【例题精析20】
（ ）
A．35
B．56
C．70
D．84
【答案】A
【分析】根据组合数性质化简，再应用组合数公式计算即可.
【解答】
,
,
.故选：A.
20
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【例题精析21】
计算
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用组合数、排列数公式求值即可.
【解答】
.故选：B
【例题精析22】
计算
.
【答案】765
【分析】根据排列数、组合数公式运算求解.
【解答】由题意可得：
.
故答案为：765.
【例题精析23】
已知
(m>1)，则
的值为 .（结果用数字作答）
【答案】126
【分析】因为
，由组合数的计算性质可算出
，代入求解即可.
【解答】因为
，若m=2m-1，得m=1（舍），
所以，由组合数的计算性质得
，
所以
.
故答案为：126.
｛用组合数公式证明｝
【例题精析24】
已知m 是自然数，n 是正整数，且
．求证：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
21
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【分析】代入阶乘公式，化简证明.
【解答】（1）根据组合数公式，可以得到
．
（2）根据组合数公式，可以得到
．
【例题精析25】
m 是自然数，n 为正整数，且
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】利用组合数公式计算即可得到本题答案.
【解答】根据组合数公式，可以得到
．
｛组合数
与
式
方程
不等
｝
【例题精析26】
解关于正整数x 的方程：
(1)
；(2)
．
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解.
【解答】（1）x 为正整数，由
可得
或
，
故
或
，解得
或
或
或
（舍去），
又
均为整数，且
，
所以
或
符合要求，
不符合要求，故
或
（2）由组合数的性质可得
，
所以由
可得
，进而可得
22
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，
解得
或
（舍去），由于
，所以
，故只取
，
舍去，
【例题精析27】
（1）解不等式
．
（2）若
，求正整数n．
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）根据排列数及排列数公式，计算即可；（2）根据组合数及组合数公式，计算即可．
【解答】（1）由
，可得
，可得
.
可得
，
所以
，即
，
因为
，
，
，
，
，所以
；
（2）
，
故
，解得
.
｛组合数性质及
应用
其
｝
【例题精析28】
若
，则m 的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
23
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【答案】AB
【分析】利用组合数的性质即可求解.
【解答】∵
，∴
或
，∴m＝4 或3．故选：AB．
【例题精析29】
若
，则
的值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【答案】C
【分析】根据
即可求解.
【解答】若
，则
，所以
,解得
.故选:C.
【例题精析30】
若
,则
的值是 .（用数字作答）
【答案】
【分析】先根据
求出
的值,再利用
和
逐个相加求解即可.
【解答】因为
,且
,根据
,
得
,解得
,
又
,
,
则
.
故答案为:
.
｛
问题
的组合
数问题
实际
中
计
｝
【例题精析31】
将甲、乙等5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙
不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81 种
B．72 种
C．63 种
D．36 种
【答案】B
24
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【分析】根据题意，分2 步进行分析：①将5 名交警分为1、2、2 的三组，要求甲乙不在同一组，②将分
好的三组安排到三个路口，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】根据题意，分2 步进行分析：
①将5 名交警分为1、2、2 的三组，要求甲乙不在同一组，有
种分组方法，
②将分好的三组安排到三个路口，有
种安排方法，
则有
种分派方法，
故选：B．
【例题精析32】
从10 名大学毕业生中选3 人担任村主任助理，求甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不
同选法的种数．
【答案】49
【分析】利用“正难则反”，先求出丙没有入选的方法数，再求出甲、乙两人都没入选的方法数，进而可
求出结果.
【解答】由题知，丙没有入选相当于从9 人中选3 人，共有选法
种，
又当甲、乙两人都没入选相当于从7 人中选3 人，共有选法
种，
所以，满足条件的事件数是
，
所以甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为49 种．
【例题精析33】
盒子中有大小与质地相同的个白球、个黑球，若从中随机地摸出
个球，求它们颜色不同
的概率.
【答案】
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.
【解答】设事件
为
个球的颜色不相同，依题意基本事件总数为
，
事件
中包含的基本事件的个数
，
．
【例题精析34】
某小组共有10 名学生，其中女生3 名．现任选2 名代表，则至少有1 名女生当选的选法有多
少种？
25
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【答案】24
【分析】先计算全部的选法，排除其中“没有女生，即全部为男生”的选法，即可得到本题答案.
【解答】根据题意，从10 名学生中选2 名代表，有
种选法，
其中没有女生，即全部为男生的选法，有
种，
则至少有一名女生的选法有
种.
｛
数
的组合
数问题
代
中
计
｝
【例题精析35】
从1 到10 的连续10 个整数中随机抽取3 个，已知这3 个数之和为奇数，则这3 个数之积为偶
数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可知抽取的3 个数必为3 个奇数或2 个偶数1 个奇数，使这3 个数之积为偶数，则必为2 个
偶数1 个奇数，即可得答案.
【解答】解：由题意可知要使这3 个数之和为奇数，则这3 个数必为3 个奇数或2 个偶数1 个奇数，
所以总的抽取法共有
种，
要使这3 个数之积为偶数，则必为2 个偶数1 个奇数，共有
种，
所以所求概率为：
.
故选：B.
【例题精析36】
在，，
，，
，，这个数中任取
个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被
整除，且比
大的数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
【答案】C
【分析】由题意，可分千位数为
，百位数为；千位数为
，百位数为；千位数为
，百位数为；千
位数为；千位数为五种情况分析，结合排列数与组合数的公式，即可求解．
【解答】若这个数的千位数为
，百位数为，则这个数可以是
，
，共
个，
若这个数的千位数为
，百位数为，则这个数的个位只能是，
满足条件的数共有
个，
26
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若这个数的千位数为
，百位数为，则满足条件的数共有
个，
若这个数的千位数为，这个数的个位只能是，则满足条件的数共有
个，
若这个数的千位数为，则满足条件的数共有
个，
根据分类计数原理，可得满足条件的数共有
个．
故选：C．
【例题精析37】
“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字
0，两个数字2 的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2 的四位数的个数之和为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
【答案】B
【分析】先求含有两个数字0，两个数字2 的四位数，再求两个数字1，两个数字2 的四位数，可得答案．
【解答】第一类，含有两个数字0，两个数字2 的四位数的个数为
；
第二类，含有两个数字1，两个数字2 的四位数的个数为
，由分类加法计数原理得，满足题意的四位
数的个数为
．故选B．
｛
的组合
数问题
几何中
计
｝
【例题精析38】
如图，在
的两边
、
上分别有5 个点和6 个点（都不同于点O），这连同点O
在内的12 个点可以确定多少个不同的三角形？
【答案】
【分析】根据有没有取到点
的两种情况分别计算，而没取到点
又分两种情况计算，最后根据分类相加
即可求解.
【解答】当取到点
时，在
、
上各取一点（与点
不同），有
种；
当不取到点
时，
27
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一是从
上取两点（与点
不同），在
上取一个点（与点
不同），有
种；
二是从
上取两点（与点
不同），在
上取一个点（与点
不同），有
种.
所以这连同点O 在内的12 个点可以确定的不同的三角形共有
种.
【例题精析39】
已知正方形ABCD 的中心为点O，以A、B、C、D、O 中三个点为顶点的三角形共有
个.
【答案】8
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“从5 个点中任取3 个取法”，排除其中“不能构成三角形”
的取法，分析可得答案．
【解答】根据题意，如图：
在A、B、C、D、O 中，任取3 个点，有
种取法，
其中不能构成三角形的有AOC 和BOD 两种取法，
则以A、B、C、D、O 中三个点为顶点的三角形共有
个．
故答案为：8．
｛x+y+z=的
数
数问题
整
解个
｝
【例题精析40】
方程
的正整数解的个数为（ ）
A．56
B．35
C．70
D．66
【答案】B
【分析】将问题转化为将8 个相同的小球装入4 个不同的盒子中，每个盒子中至少有1 个小球，采用隔板
法求解即可．
【解答】原问题相当于将8 个相同的小球装入4 个不同的盒子中，每个盒子中至少有1 个小球，
采用隔板法，将8 个小球排成一排，在其中的7 个空位上插入3 个隔板即可，
故共有
种．
28
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故选：B.
【例题精析41】
已知
，
，
，则关于
，
，的方程
共有（ ）组不
同的解.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】问题转化为10 个相同小球放入三个不同盒子中，每个盒子都有小球，利用隔板法求解.
【解答】问题可转化为，10 个相同的小球放到三个不同的盒子里，每个盒子不能空着，每个盒子中小球的
数目就是方程
的一组解，
由隔板法可知，共有
种不同的分法，
即方程共有
组不同的解.
故选：A
组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，
考虑逆向思维，用间接法处理．
【对点精练23】
下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10 支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10 支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10 名员工中选出3 名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10 名员工中选出3 名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【答案】AC
29
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【分析】区分一个具体问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无顺序.有顺序就是排列问题；无顺序
就是组合问题,.
【解答】A 是组合问题，因为每两个队进行一次比赛，并没有谁先谁后，没有顺序的区别.；
B 是排列问题，因为甲队获得冠军、乙队获得亚军和甲队获得亚军、乙队获得冠军是不一样的，存在顺序
区别；
C 是组合问题，因为3 名员工参加相同的活动，没有顺序区别；
D 是排列问题，因为选的3 名员工参加的活动不相同，存在顺序区别，
.故选：AC.
【对点精练24】
给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4 构成的含有2 个元素的集合个数
B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3 组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3 组成的无重复数字的两位数的个数
【答案】AB
【分析】要判断是不是组合问题，关键是注意区分组合问题与排列问题，只选不排为组合，既选又排为排
列，即看问题中需不需要考虑顺序，而对于一些没有明显的表明排序的字词时，我们可以改变所选元素的
顺序，如果得到的新组合与旧组合在问题中是两个不同的组合，则是排列问题，反之，如果新组合与旧组
合在问题中是一样的组合，则为组合问题.
【解答】A 选项中集合的元素可以是无序的，即：集合
与集合
是相同的集合，故A 选项为组合
问题；
B 选项中五个队单循环比赛，即每个队伍只与不同的队比赛一次，
例如：1 队2 队，1 队3 队，1 队4 队，1 队5 队，2 队3 队，2 队4 队，2 队5 队，3 队4 队，3 队5 队，4 队
5 队，故B 选项为组合问题；
C 选项中如选1，2 两个数字，则有两位数12，或者两位数21，很明显21 和12 是满足要求的两个不同的
组合，为排列问题；
如选重复数字组成的两位数，11、22、33，则不需要考虑顺序，为组合问题，故C 选项中既有排列也有组
合；
D 选项与C 选项类似，故D 选项为排列问题.
故选：AB.
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【对点精练25】
（ ）
A．84
B．120
C．126
D．210
【答案】D
【分析】根据组合数的性质即可求解.
【解答】因为
，
所以
．
故选：D
【对点精练26】
计算：
(1)
(2)
【答案】(1)10(2)
【分析】（1）由排列数公式计算即可；（2）由组合数公式计算即可.
【解答】（1）
；
（2）
.
【对点精练27】
计算
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据组合数的性质计算可得；（2）根据排列数公式计算可得.
【解答】（1）
.
（2）
.
【对点精练28】
（1）计算：①
＝ ；②
＝ ．
【答案】 0 466
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【分析】利用组合数和排列数的公式可得答案；根据组合数的特征求出
，再利用组合数公式可得答案.
【解答】①
②由
得
，因为
为整数，所以
.
所以原式
.
【对点精练29】
计算
.
【答案】18
【分析】根据给定条件，利用排列数、组合数公式计算作答.
【解答】
.
故答案为：18
【对点精练30】
证明：
【答案】证明见解析
【分析】根据组合数公式证明即可.
【解答】证明：
.
【对点精练31】
证明下列各等式．
(1)
＝
；(2)
.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）直接利用组合数的阶乘公式对右边化简即可得到证明；
（2）利用组合数的性质公式
和
，对右边化简即可得到证明.
【解答】（1）由
，知右边
所以，左边
右边，故原式成立．
（2）由组合数的性质
，知左边
32
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所以，左边
右边，故原式成立．
【对点精练32】
求证：
(1)
，(2)
．
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.
【分析】（1）利用组合数计算公式变形，计算推理作答；
（2）利用组合数计算公式变形，计算推理作答.
【解答】（1）因为
，
所以
成立；
（2）因为
，
，
所以
成立.
【对点精练33】
证明：
．
【答案】证明见解析
【分析】直接利用组合数公式计算即可得证.
【解答】证明：因为
，
，
所以
．
【对点精练34】
若
，求m.
33
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【答案】或
【分析】根据题意，利用组合数的计算公式，求得
，进而求得实数
的值.
【解答】依题意，得
且
，所以
，
由
，可得
，即
，解得
，
又因为
，所以
或
.
【对点精练35】
（1）解方程：
（2）解不等式
；
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）利用组合数的性质及计算公式解方程作答.
（2）利用排列数公式化简不等式，再求解不等式作答.
【解答】（1）由组合数性质及
，得
，
而
，则
，
因此
，即
，解得
，
所以原方程的解为
.
（2）由
，得
且
，解得
，
又
，化简得
，解得
，因此
，
所以不等式
的解为
.
【对点精练36】
（1）已知：
，求
；
（2）解不等式：
，其中
.
【答案】（1）
（2）
34
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【分析】（1）根据组合数公式得到方程，解得即可；
（2）根据排列数公式得到不等式，解得，需注意
且
.
【解答】（1）因为
，解得
或
（舍去）；
（2）不等式
，
即
，
即
，即
，解得
，
又
，即
且
，所以
或
，故不等式的解集为
.
【对点精练37】
不等式
的解为 ．
【答案】
【分析】根据组合数的计算公式化简已知不等式，从而求得不等式的解.
【解答】依题意
，所以
且
，
由
得
，
，
所以不等式的解为
.
故答案为：
【对点精练38】
.
【答案】220
【分析】先化
，再根据
逐步求解.
35
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【解答】∵
，
∴
．
故答案为：
【对点精练39】
若
（
），则
.
【答案】4
【分析】根据组合数的性质得到方程，求出答案.
【解答】由题意可知
，解得
，
或
，解得
，舍去，
综上：
.
故答案为：4
【对点精练40】
利用组合数的性质化简：
．
【答案】
【分析】根据组合数性质
，可逐步抵消得出
，计算即可.
【解答】利用组合数与杨辉三角之间的关系可知组合数性质为
；
又易知
，
36
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所以
所以可得
【对点精练41】
从6 名男生和5 名女生中选出4 人去参加某项大赛．
(1)如果要求4 人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？
(2)如果男生甲和女生乙最多只能选1 人，那么有多少种选法（用数字作答）？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）从对立面入手，让总的情况减去只选男生和只选女生的情况即可；
（2）分选了男生甲没选女生乙、选了女生乙没选男生甲和男生甲和女生乙都没选三种情况考虑即可.
【解答】（1）若只选男生，则有
种选法；
若只选女生，则有
种选法．
故如果要求4 人中男生和女生都要有，那么有
种选法．
（2）若选了男生甲没选女生乙，则有
种选法，
若选了女生乙没选男生甲，则有
种选法，
若男生甲和女生乙都没选，则有
种选法，
故男生甲和女生乙最多只能选1 人共有
种选法.
【对点精练42】
甲、乙、丙3 名同学选修兴趣课程，从5 门课程中，甲选修2 门，乙选修4 门，丙选修3 门，
则不同的选修方案共有 种．
【答案】500
37
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【分析】先分别求解甲、乙、丙3 名同学选修方案的种数，然后根据分步乘法计数原理得出结果.
【解答】解：甲选修2 门的方法种数为：
，
乙选修4 门的方法种数为：
，
丙选修3 门的方法种数为：
，
根据分步乘法计数原理，不同的选修方案共有：
（种）.
故答案为：500.
【对点精练43】
一个口袋里装有7 个白球和1 个红球，从口袋中任取5 个球，其中恰有一个红球的取法有
种．
【答案】35
【分析】根据组合数的应用计数即可.
【解答】从口袋中的个球，任取5 个球，恰有一个红球的取法有
.
故答案为：
.
【对点精练44】
由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
【答案】B
【分析】先求出由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数一共有多少个，然后再求出没有重复数字的四位数
有多少个，两个数相减即可．
【解答】由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数一共有
个，
由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数，没有重复数字的四位数有
个，
因此由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有
个．
故选B．
【对点精练45】
从
中任取个数字，至少有个数字是偶数的情况有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】C
【分析】首先求得任取个数字和取得的个数字均为奇数的情况，作差即可得到结果.
【解答】从
中任取个数字，共有
种情况；其中取得的个数字均为奇数的情况有
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种，
至少有个数字是偶数的情况有
种.故选：C.
【对点精练46】
（每小问均须用数字作答）在
中选出4 个数字组成一个四位数
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)若5 和6 至多出现1 个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分选到0 和没有选到0 两种情况，利用排列组合公式，即可求解；
（2）对个位进行分类，利用排列数公式，即可求解；
（3）利用间接法，结合排列组合公式，即可求解.
【解答】（1）若选到0，则0 不能排在首位，有
种方法，
若没有选到0，则有
种方法，综上可知，共有
种方法；
（2）个位是偶数的数是偶数，
若个位是0，则有
种方法，若个位不是0，则个位是2，4，6 中的一个数字，有3 种方法，千位有
5 种方法，中间两位有
种方法，则有
种方法，综上可知，共有
种方法；
（3）
中选出4 个数字组成一个四位数，共有
个数字，其中四位数有5 且有6 的
数字，有
个四位数，则
个四位数，
综上可知，若5 和6 至多出现1 个，可以组成
个没有重复数字的四位数.
【对点精练47】
从0，2，4，6 中任取3 个数字，从1，3，5 中任取2 个数字，一共可以组成个没有重复数字
的五位数 ．
【答案】1224
【分析】分含0 与不含0 两类情况进行讨论，由分步乘法计数原理求各类情况下组成没有重复数字的五位
数的方法，然后利用分类加法计数原理求和得到答案.
【解答】第一类：从0，2，4，6 中任取3 个数字不含0，
第一步：把2，4，6 都取出，有1 种方法；
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第二步：从1，3，5 中任取2 个数字，有
种方法；
第三步：把取出的5 个数字任意排成一排组成五位数，有
种方法；
根据分步乘法计数原理共有：
种方法；
第二类：从0，2，4，6 中任取3 个数字含0，
第一步：把0 取出，再从2，4，6 中任取2 个数字，有
种方法；
第二步：从1，3，5 中任取2 个数字，有
种方法；
第三步：先把0 不放在首位，然后其余4 个数字在其它4 个位置上任意排列，有
种方法；
根据分步乘法计数原理共有：
种方法；综上所述，共有
种方法，即
一共可以组成1224 个没有重复数字的五位数.故答案为：1224.
【对点精练48】
在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3 个，使它们和点P 在同
一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
【答案】56
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理、组合应用问题列式计算作答.
【解答】求不同的取法种数可分为三类：
第一类，从四棱锥的每个侧面上除点P 外的5 点中任取3 点，有4
种取法；
第二类，从每个对角面上除点P 外的4 点中任取3 点，有2
种取法；
第三类，过点P 的侧棱中，每一条上的三点和与这条棱成异面直线的底面棱的中点也共面，有4
种取法，
所以满足题意的不同取法共有4
+2
+4
=56 种.故答案为：56
【对点精练49】
从正六边形的6 个顶点中任取3 个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ．
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【答案】
/0.6
【分析】利用组合数及古典概型的概率公式求解．
【解答】从正六边形的6 个顶点中任取3 个，有
个三角形，
其中直角三角形如图每边对应2 个，例如Rt△BDE 和Rt△ADE，共有2×6＝12 个，
所以所求概率为
．故答案为：
．
【对点精练50】
在如图所示的三角形边上的9 个点中任取3 个，可构成三角形的个数是 .
【答案】69
【分析】先求出从9 个点中任取3 个的全部组合数为
，然后减去三角形三个边上三点共线的组合数，即
可得出答案.
【解答】从9 个点中任取3 个的全部组合数为
，
三角形三个边上三点共线的组合数为
，
所以能构成三角形的个数为
.故答案为：
.
【对点精练51】
方程
的非负整数解的组数为 ．
【答案】14365
【分析】根据3x+4y+12z＝2020，x，y，z 均为整数，结合题干中的3×4＝12 进行分析入手即可．
【解答】∵3x+4y+12z＝2020，∴
，∵x，y，z 均为整数，∴
也是整数，∴设x＝
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4k，则3k+y+3z＝505，∴3（k+z）+y＝505，易知505÷3＝168…1，则k+z 可取的值为0～168，当k+z＝0
时，k＝z＝0；当k+z＝1 时，
或
；当k+z＝n 时，k 的取值集合为{0，1，2，…，n}，对应z＝n
﹣k；故当k+z 取遍0～168 时，z 的所有可能取值数为
种，故所有的非负整数解为
14365 种．
【对点精练52】
方程
的非负整数解的个数为 .
【答案】81
【解答】设
，
，
，由此
，又
，
，可得：
，
，则可判断
可能的解有：（2，0，5），（1，6，0），（4，3，0），
（7，0，0），
①当
，可求得：
，而
，看成2 个相同白球，用隔板法隔
成3 区域（可有空区），有
个解；
②当
，可求得：
，
，而
，有
个解，
因此该情况共有
个解；
③当
，可求得
，
，而
，有
种情况，
因此该情况共有
个解；
④当
，可求得：
，而
，有
个解．
综上，方程非负整数解个数为：81．
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题
型三排列与组合的综合应用
题
命
点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
【例题精析42】
4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
【答案】(1)288(2)576(3)1440(4)144(5)3600
【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，即可求出结果；
（2）利用相邻问题捆绑法，再把男生当成一人，与女生全排即可求出结果；
（3）先排男生有
种，再利用不相邻问题插空法即可求出结果；
（4）先排男生有
种，再把女生插入3 个空格处即可求出结果；
（5）分两类：一类3 个女生全相邻，二类是恰有2 个女生相邻，分别求出两类的站法种数，再利用分类计
算原理即可求出结果.
【解答】（1）因为男生和女生均相邻，将男生和女生分别看成一个整体，再进行全排，所以共有站法种
数为
种；
（2）因为男生均相邻，将男生看成一个整体，再和其余女生进行全排，所以共有站法种数为
种；
（3）因为女生均不相邻，先将男生任意排列，再将女生插空，所以共有站法种数为
种；
（4）因为男生与男生、女生与女生均不相邻，将男女生相间排列，所以共有站法种数为
种；
（5）当3 个女生全相邻，共有站法种数为
种，
恰有2 个女生相邻，共有站法种数为
种，
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所以至少有两个女生相邻，共有站法种数为
种.
【例题精析43】
（1）6 名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）一台晚会有6 个节目，其中有2 个小品，如果2 个小品不连续演出，共有多少种不同的演出顺序？
【答案】（1）
种；（2）
种
【分析】（1）根据捆绑法求得正确答案.（2）根据插空法求得正确答案.
【解答】（1）将甲、乙两人捆绑，则甲、乙两人必须相邻的站法有
种
（2）先安排非小品的节目，然后将
个小品节目插空安排，则演出顺序共有
种.
【例题精析44】
从7 名男生和5 名女生中选取3 人依次进行面试．
(1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
(2)若参加面试的人中，恰好有1 名女生，则有多少种不同的面试方法？
【答案】(1)60(2)630
【分析】（1）直接由排列的意义以及排列数即可解决；
（2）先组合，再排列，即利用到分步乘法计数原理，结合组合数、排列数即可解决.
【解答】（1）由题意从5 名女生中选取3 人依次进行面试，结合排列数的意义可知相当于从5 名女生中选
取3 人依次进行排列，
此时对应有
种不同的面试方法.
（2）安排满足题意的面试顺序一共需要分以下两大步：
一方面：由题意先抽取符合题意的组合，这里可以分为两小步：
第一步从5 名女生中选取1 名女生；第二步从7 名男生中选取
名男生；
由分步乘法计数原理可得符合题意的组合有
种.
另一方面：注意到3 名面试者是依次进行面试的，即再对刚刚组合好的3 名面试者进行一次排列，
有
种排列方法.结合以上两方面且由分步乘法计数原理可知满足题意的不同的面试方法有
种.
【例题精析45】
5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
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【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全排列的定义即可求解；
（2）先安排甲在排头，再利用全排列数计算其余四人即可；
（3）根据特殊元素优先考虑甲的安排，再利用排列数计算其余四人，结合分步乘法原理即可求解.
【解答】（1）5 名队员排成一排，作全排列，共有
种排法，
所以5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排，共有
不同的排法.
（2）因为甲已经站在排头，所以其余4 人进行全排列，有
种排法，
所以甲必须站在排头，有
种不同的排法.
（3）因为甲不能站排头，也不能站排尾，所以甲在中间位置，有
种排法，
又其余4 人进行全排列，有
种排法，
则甲不能站排头，也不能站排尾，共有
种排法，
故甲不能站排头，也不能站排尾，有
种不同的排法.
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排
列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空
当中．
【对点精练53】
3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲乙两人中间必须有
､
3 人.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）利用位置分析法，结合排列的知识即可得解；（2）利用捆绑法即可得解；
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（3）利用插空法即可得解；（4）利用分步乘法计数原理，结合排列的知识即可得解.
【解答】（1）依题意，先排最左边，除去甲外，有
种，余下的6 个位置全排有
种，
但应剔除其中乙在最右边的排法数
种，
则符合条件的排法共有
种.
（2）将男生看成一个整体，进行全排列，有
种排法，
再与其他元素进行全排列，有
种排法，
故共有
种.
（3）先排好男生，然后将女生插入男生所形成的四个空位，共有
种.
（4）从除甲、乙以外的5 人中选3 人排在甲、乙中间的排法有
种，
将甲、乙看作一个整体，和其余2 人排成一排的排法有
种，
最后再把选出的3 人的排列插入到甲、乙之间即可，
共有
种.
【对点精练54】
3 名男生和4 名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
【答案】(1)288(2)144(3)1440
【分析】（1）利用捆绑法进行求解；
（2）先安排男生，再将女生进行插空；
（3）先安排女生，再将男生进行插空.
【解答】（1）将男生和女生分别进行捆绑，则分别有
和
种方案，
再将男生组和女生组进行全排列，故共有
种方案；
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（2）先将男生进行排列，有
种方案，再将女生进行插空，刚好有
种方案，
故男、女生间隔排列，共有
种方案；
（3）先将女生进行排列，有
种方案，再将男生进行插空，有
种选择，
故男生互不相邻，共有
种方案.
【对点精练55】
用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的自然数，问：
(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于
的正整数？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对个位数进行分类讨论，若个数为零，其它四个数字全排列；若个位数为2,4，其首位数字
不能为0，再从剩余4 个数字中任选3 个数排在中间即可；
（2）组成小于
的正整数，可以是一位数、两位数、三位数、四位数，再分类计算，即可得出结论.
【解答】（1）依题意，当0 在个位时，组成五位偶数个数为
；
当2,4 在个位时，组成五位偶数，首位不为0，则个数为
，
共计组成的五位偶数个数为
；
（2）小于
的正整数有：
一位数有5 个；
两位数有
个；
三位数有
个；
四位数1 为千位时有
四位数2 为千位时有
，3 个；
小于
的正整数共有
个.
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题
命
点2 定序问题
【例题精析46】
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6 节课.
(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6 节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3 节课，若将这3 节课插入原课表中且原来的
6 节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【答案】(1)480
(2)504
(3)504
【分析】（1）利用插空法可求答案；
（2）分两种情况求解，结合分类计数原理可得答案；
（3）利用定序缩倍法求解，先求总排法除去有要求的特定顺序可得答案.
【解答】（1）先排其它四科，共有
种方法，再把数学和物理插入空中，有
种方法，共有
种.
（2）第一节安排数学，则其余科目没有要求，共有
种方法；
第一节不安排数学，先排第一节有
种方法，再排第四节有
种方法，最后安排其它节有
种方法，
所以共有
种方法.
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（3）九科随机排列共有
种排法，六科在其中的排法有
种，所以共有
种.
【例题精析47】
5 个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1)甲在乙前；
(2)甲在乙前，并且乙在丙前．
【答案】(1)60
(2)20
【分析】（1）根据题意，由整体法求解，即可得到结果；
（2）根据题意，由整体法求解，即可得到结果；
【解答】（1）∵5 个人站成一排有
种不同的排列，而甲和乙有
种不同的排列，
∴在
个排列中，每
个排列里有1 个排列，甲和乙是依照这样的顺序的．
∴由倍数映射知甲排在乙前共有
种排法．
（2）∵甲、乙、丙有
种不同的排列，
∴在
个排列中，每
个排列里有1 个排列，甲、乙、丙是依照这样的顺序的．
∴由倍数映射知甲在乙前且乙在丙前的排法有
种．
【例题精析48】
某班级甲组有5 名男生，3 名女生；乙组有6 名男生，2 名女生．
(1)若从两队中选2 人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
(2)若从甲、乙两队各选2 人参加值日，则选出的4 人中恰有1 名男生的不同选法共有多少种？（结果用数
字表示）
(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果
用数字表示）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）对选出的2 人进行讨论，再由分类加法计数原理得出答案；
（2）以男生的选法进行分类，再由分类加法计数原理得出答案；
（3）由除序法求解即可.
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【解答】（1）从甲组中选2 人，共有
种；
从乙组中选2 人，共有
种；
从甲组和乙组中各选1 人，共有
种；
则由分类加法计数原理可知，有
种不同的选法.
（2）当这名男生选自甲组，共有
种；
当这名男生选自乙组，共有
种；
则由分类加法计数原理可知，有
种不同的选法
（3）因为女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，所以有
种不同排法.
定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n 个，新插入的元素
为m 个，则排列数为.
【对点精练56】
有7 名学生，其中3 名男生，4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．
(1)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(2)男生顺序已定，女生顺序不定；
(3)站成三排，前排2 名同学，中间排3 名同学，后排2 名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(4)7 名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻．
【答案】(1)3600
(2)840
(3)720
(4)960
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【分析】（1）特殊元素或特殊位置优先排列的方法可求解；
（2）利用排列消序即可求解；
（3）特殊元素优先排列结合剩余人全排列即可；
（4）插空法结合捆绑法即可求解.
【解答】（1）(方法1)先排甲，有5 种排法，其余6 人全排列，有
种排法，故不同的排法种数为
．
(方法2)左右两边位置可安排除甲外其余6 人中的2 人，有
种排法，其他位置有
种排法，故不同的排
法种数为
．
（2）7 名学生站成一排，有
种排法，其中3 名男生的排法有
种，由于男生顺序已定，女生顺序不定，
故不同的排法种数为
．
（3）首先把甲放在中间排的中间位置，则剩余6 人进行全排列，故不同的排法种数为
．
（4）先排出甲、乙、丙3 人外的4 人，有
种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙看作一个整体进行
排列，有
种排法；最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4 人产生的5 个空隙中，有
种排法，故不同的排法种数为
．
【对点精练57】
7 人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
【答案】(1)2520
(2)840
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【分析】（1）7 人站成一排
，甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半可得.
（2）7 人站成一排
，甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻）占全排列种数的
，可得.
【解答】（1）甲在乙前面的排法种数占全体排列种数的一半，故有
（种）不同的排法．
（2）甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全排列种数的
，
故有
（种）不同的排法．
【对点精练58】
有4 名男生、3 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间；
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
【答案】(1)240
(2)144
(3)840
【分析】（1）先排甲、乙，再排其余5 人，根据分步计数原理即可求得答案；
（2）先排4 名男，再利用插空法排女生，根据分步乘法计数原理即可得出答案；
（3）法一：首先求出7 人排成一列的全排列，其中甲，乙，丙三人的排列顺序有
，其中按照甲、乙、
丙顺序的排法占全排列种数的
，从而得出答案；法二：先排剩下的4 人，从7 个位置选出4 个位置有
种，再排甲、乙、丙即可．
【解答】（1）先排甲、乙，再排其余5 人，
根据分步计数原理，共有
种排法．
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（2）先排4 名男生有
种方法，
再将3 名女生插在男生形成的3 个空上有
种方法，
根据分步计数原理，共有
种排法．
（3）法一：7 人共有
种排法，其中甲、乙、丙三人有
种排法，
因而在
种排法中每
种对应一种符合条件的排法，故共有
种排法．
法二：先排剩下的4 人，从7 个位置选出4 个位置就有
，再排甲、乙、丙有1 种，则共有
种排
法．
题
命
点3 分组分配问题
【例题精析49】
习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准
扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出8 名农业技术专
家（6 男2 女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多6 人，
则不同的选派方案共有（ ）种
A．480
B．252
C．306
D．236
【答案】D
【分析】根据组中人数有
、
、
分组形式，再应用分步计数求不同的选派方案的种数.
【解答】由题意，两组人数可分为
、
、
两种，
1、当
形式，选派方案有
种；
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2、当
形式，选派方案有
种；
3、当
形式，选派方案有
种；
∴不同的选派方案共有
种.
故选：D.
【例题精析50】
有6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1 本，一个人得2 本，一个人得3 本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6 本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
【答案】(1)90
(2)360
(3)15
【分析】（1）根据平均分配的方法直接求解；
（2）根据不平均分配的方法直接求解；
（3）根据平均分组的方法直接求解.
【解答】（1）有6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果每人得两本，即每人依次拿两本，则共有
种方案
（2）有6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果一个人得1 本，一个人得2 本，一个人得3 本，则共有
种方案
（3）有6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人，
如果把这6 本书分成三堆，每堆两本，则共有
种方案
【例题精析51】
现有4 本书和3 位同学，将4 本书全部分给这3 位同学.（用数字作答）
(1)若4 本书都不相同，每位同学至少分一本书，共有多少种不同的分法？
(2)若4 本书仅有两本相同，按一人2 本，另两人各1 本分配，共有多少种分法？
【答案】(1)36
(2)21
54
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【分析】（1）先将书分成三组，再将学生排列好，将每组的书分别发放给学生；
（2）记这4 本书分别为A、A、B、C，分
分别在一组讨论即可.
【解答】（1）根据题意，每位同学至少分一本书，
则分成1、1、2 三组，再进行全排列有
种分组方法.
（2）记这4 本书分别为A、A、B、C，
两个A 在一组时，共有
种分法，
两个A 不在一组时，若
或
共有
种分法，
在同一组时，共3 种分法，
则总共有
种分法.
解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【对点精练59】
中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10 月31 日我国将
“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按
照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入
运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安
排方法有（ ）
A．450 种
B．360 种
C．90 种
D．70 种
【答案】A
【分析】利用分组和分配的求法求得名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得.
【解答】由题知，6 名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
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可分两种情况考虑：
第一种：分人数为
的三组，共有
种；
第二种：分人数为
的三组，共有
种；
所以不同的安排方法共有
种.
故选：A.
【对点精练60】
6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2 本；
(2)分为三份，每份2 本；
(3)分为三份，一份1 本，一份2 本，一份3 本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人2 本，一人3 本.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据定向分配的原理和分步乘法原理计算；
（2）根据均匀分组的原理计算；
（3）根据不均匀分组的原理计算；
（4）在上一问的基础上的结果乘以全排列即可
【解答】（1）先从本书中选
本给甲，有
种选法，再从其余
本中选
本给乙，有
种选法，
最后从余下的
本书中选
本给丙，有
种选法.所以分给甲、乙、丙三人，每人
本，
根据分步乘法原理，共有
(种)方法.
（2）可以分两步完成：
第步，将本书分为三份，每份
本，设有
种方法；
第
步，将上面三份分给甲、乙、丙三名同学有
种方法.
56
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根据（1）的结论和分步乘法计数原理得到
，所以
.
因此分为三份，每份
本，一共有
种方法.
（3）对于“不均匀分组”问题，类似按照（1）的方法得到一共有
(种)方法；
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
(种)方法.
【对点精练61】
甲､乙､丙､丁四名同学去某社区做志愿者工作，现将他们随机安排到A，B，C 三个岗位中，
每个岗位至少安排一人.
(1)求共有多少种安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一岗位的概率.
【答案】(1)36
(2)
【分析】（1）根据题意，先分组再分配，然后代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【解答】（1）由题意一个岗位安排了2 名志愿者，另外两个岗位各安排了1 名志愿者，所以共有
种安排方法
（2）第一步安排甲乙，有
种，第二步安排丙丁两人有
种，
则共有
种，
则甲乙被安排在同一岗位的概率
.
57
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相
同的选法共有
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
【分析】根据排列组合数公式，即可求解．
【解答】解：根据题意可得满足题意的选法种数为：
．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合问题，属基础题．
2．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，
则两天中恰有1 人连续参加两天服务的选择种数为
A．120
B．60
C．40
D．30
【分析】先选连续参加两天服务的人，再分别给星期六，星期日选人，然后根据分步乘法计数原理计算即
可．
【解答】解：先从5 人中选1 人连续两天参加服务，共有
种选法，
然后从剩下4 人中选1 人参加星期六服务，剩下3 人中选取1 人参加星期日服务，共有
种选法，
根据分步乘法计数原理可得共有
种选法．
故选：
．
【点评】本题考查了排列组合简单计数问题，属于基础题．
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
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则不同的抽样结果共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【分析】根据分层抽样先进行计算，然后利用组合公式进行求解即可．
【解答】解：
初中部和高中部分别有400 和200 名学生，
人数比例为
，
则需要从初中部抽取40 人，高中部取20 人即可，
则有
种．
故选：
．
【点评】本题主要考查分层抽样以及简单的计数问题，利用组合公式进行计算是解决本题的关键，是基础
题．
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．
【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4 个人任意排列，有
种情况，
甲站在两端的情况有
种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有
种，
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，本题运用排除法，可以避免讨论，简化计算，属于基础题．
5．（2021•乙卷）将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，
每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有
A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
【分析】5 名志愿者先选2 人一组，然后4 组全排列即可．
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【解答】解：5 名志愿者选2 个1 组，有
种方法，然后4 组进行全排列，有
种，
共有
种，
故选：
．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，利用先分组后排列的方法是解决本题的关键，是基础题．
6．（2020•山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，
乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
【分析】让场馆去挑人，甲场馆从6 人中挑一人有：
种结果；乙场馆从余下的5 人中挑2 人有：
种结果；余下的3 人去丙场馆；相乘即可求解结论．
【解答】解：因为每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，
甲场馆从6 人中挑一人有：
种结果；
乙场馆从余下的5 人中挑2 人有：
种结果；
余下的3 人去丙场馆；
故共有：
种安排方法；
故选：
．
【点评】本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2020•海南）要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2 种
B．3 种
C．6 种
D．8 种
【分析】先把三名学生分成2 组，再把2 组学生分到两个村，利用排列组合知识直接求解．
【解答】解：要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，
每个村里至少有一名志愿者，
则不同的安排方法共有：
．
60
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故选：
．
【点评】本题考查不同的安排方法种数的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8．（2023•邯郸三模）某医院安排3 名男医生和2 名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一
到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有
A．18 种
B．30 种
C．54 种
D．66 种
【分析】根据题意分配方案为122，212，221，再根据甲医院要求至少有一名女医生分别求解，然后求和．
【解答】解：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为122，212，221，
因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有
种，
第二种方案分两种情况，分别是：甲有两名女医生、甲有一名女医生，共有
种，
同理，第三种方案有21 种，
所以共有54 种，
故选：
．
【点评】本题主要考查了排列组合知识在实际问题中的应用，属于基础题．
9．（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假
设空间站要安排甲、乙等5 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱
的种数有
A．60
B．66
C．72
D．80
【分析】根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解．
【解答】解：5 名航天员安排三舱，每个舱至少一人至多二人，共有
种安排方法，
若甲乙在同一实验舱的种数有
种，
故甲乙不在同一实验舱的种数有
种．
故选：
．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
10．（2023•周至县一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率
的范围是：
，
为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数
学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6 位数字3，1，4，1，5，9 进行某种排列得到密码．
61
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如果排列时要求两个1 不相邻，那么小明可以设置的不同密码有 个
A．240
B．360
C．600
D．720
【分析】直接利用插空法计算得到答案．
【解答】解：利用插空法共有
种．
故选：
．
【点评】本题主要考查了简单的排列组合的应用，属于基础题．
11．（2023•泉州模拟）某停车场行两排空车位，每排4 个，现有甲、乙、丙、丁4 辆车需要泊车，若每排
都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有
A．288 种
B．336 种
C．384 种
D．672 种
【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙
停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得．
【解答】解：甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，
种方案，
丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，
种方案，
所以共有
种方案．
故选：
．
【点评】本题主要考查了排列组合在实际问题中的应用，属于基础题．
12．（2023•抚顺二模）第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，甲、乙等4 名杭州
亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名
志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
【分析】本题只需考虑游泳场有2 名志愿者和1 名志愿者两种情况即可．
【解答】解：①游泳场地安排2 人，则不同的安排方法有
种，
②游泳场地只安排1 人，则不同的安排方法有
种，
所以不同的安排方法有
种．
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故选：
．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
13．（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6 场线上讲座，其
中讲座
只能安排在第一或最后一场，讲座
和
必须相邻，问不同的安排方法共有
A．34 种
B．56 种
C．96 种
D．144 种
【分析】先求出讲座
只能安排在第一或最后一场的方法总数，再求出讲座
和
必须相邻方法总数，最
后由分步乘法计算原理即可得出答案．
【解答】解：
由题意知讲座
只能安排在第一或最后一场，
有
种结果，
讲座
和
必须相邻，
共有
种结果，
根据分步计数原理知共有
种结果．
故选：
．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，考查了分步计数原理的应用，属于基础题．
14．（2023•济宁二模）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，
凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6 名学生中选
4 名学生代表班级参加学校
米接力赛，其中甲只能跑第1 棒或第2 棒，乙只能跑第2 棒或第4 棒，
那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为
A．48
B．36
C．24
D．12
【分析】特殊位置优先排，分类求解可得．
【解答】解：当甲排第1 棒时，乙可排第2 棒或第4 棒，共有
种；
当甲排第2 棒时，乙只能排第4 棒，共有
．
故甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为
种．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
15．（2023•香坊区校级三模）算盘起源于中国，迄今已有2600 多年的历史，是中国古代的一项伟大的发
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明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具．下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右
向左分别表示个位、十位、百位、千位
，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称
下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小．例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，
十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17．现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位分别随机拨动一粒
珠子至梁上，则表示的五位数至多含3 个5 的情况有
A．10 种
B．25 种
C．26 种
D．27 种
【分析】分类情况讨论，结合组合数的计算，求解即可．
【解答】解：至多含3 个5，有以下四种情况：
不含5，有
种，
含1 个5，有
种，
含2 个5，有
种，
含3 个5，有
种，
故所有的可能情况共有
种．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
16．（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5 个不同的猫笼，金渐层猫
3 只（猫妈妈和2 只小猫崽）、银渐层猫4 只、布偶猫1 只．该猫舍计划将3 只金渐层猫放在同一个猫笼里，
4 只银渐层猫每2 只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有
A．8 种
B．30 种
C．360 种
D．1440 种
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【分析】根据分组原理先确定4 只银渐层猫分两组的分组方法，再根据排列数计算即可得安排方法总数．
【解答】解：根据题意，将3 只金渐层猫放在同一个猫笼里，则把3 只金渐层猫看成是1 个整体，
4 只银渐层猫每2 只放在一个猫笼里，则分组方法有
（种，
一共有4 个整体进行排列放在5 个不同的猫笼，
则一共可以安排的方法有：
（种．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于中档题．
17．（2023•茂名一模）将4 个6 和2 个8 随机排成一行，则2 个8 不相邻的情况有
A．480 种
B．240 种
C．15 种
D．10 种
【分析】将2 个8 插空放入不相邻的5 个空位，即可得解．
【解答】解：将2 个8 插空放入不相邻的5 个空位
个6 之间有5 个空位）中有
方法，
故2 个8 不相邻的情况有10 种．
故选：
．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
18．（2023•四川模拟）某班在一次班团活动中，安排2 名男生和4 名女生讲演，为安排这六名学生讲
演的顺序，要求两名男生之间不超过1 人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排
方法总数为
A．168
B．192
C．240
D．336
【分析】第一步先安排第一位和最后一位出现的女生，利用排除法计算中间4 人的站法即可得到结论．
【解答】解：
第一位和最后一位出场讲演的是女生，
此时有
种，
中间4 人，为2 男2 女，任意排列有
种，
若中间2 名女生，则有
种，则满足条件的有
种，
则共有
种不同的安排方法．
故选：
．
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【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分步计数原理进行计算是解决本题的关键，是中档题．
19．（2023•朝阳区校级模拟）某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，
其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
【分析】将两个1 捆绑在一起，可以设置的不同数字密码有
种，计算即可．
【解答】解：将两个1 捆绑在一起，则可以设置的不同数字密码有
种．
故选：
．
【点评】本题考查排列相关知识，属于基础题．
20．（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成
，
，
，
四块灯带区域，现有3 种不同的
颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总
数为
A．18
B．24
C．30
D．42
【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数．
【解答】解：若用3 种不同的颜色灯带都使用，故有两块区域涂色相同，要么
，
，要么
，
相同，
有2 种方案，则不同的信号数为
；
若只用2 种不同的颜色灯带，则
，
颜色相同，
，
颜色相同，只有1 种方案，则不同的信号数为
；
则不同的信号总数为
．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
21．（2023•贺兰县校级四模）从2 名教师和5 名学生中，选出3 人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求
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入选的3 人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是
A．20
B．25
C．30
D．55
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算从2 名教师和5 名学生中选出3 人的选法，再计算其中“入选
的3 人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，从2 名教师和5 名学生中，选出3 人，有
种选法，
若入选的3 人没有教师，即全部为学生的选法有
种，
则有
种不同的选取方案，
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，可以使用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题．
22．（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前
两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．54 种
【分析】根据题意，分3 步依次分析节目甲、乙和其他4 个节目的编排方法，由分步计数原理计算可得答
案．
【解答】解：根据题意，分3 步进行分析：
①节目甲必须排在前两位，则节目甲有2 种排法，
②节目乙必须排在最后一位，节目乙有1 种排法，
③剩下的4 个节目安排到其他4 个位置，有
种排法，
则有
种编排方案；
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
23．（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3 本，相同的数学参考书4 本，从中取出4 本赠
送给4 为学生，每位学生1 本，则不同的赠送方法共有
A．15 种
B．20 种
C．48 种
D．60 种
【分析】根据题意，安取出数学参考书的数目分4 种情况讨论：①、若取出的4 本书全部是数学参考书，
②、若取出的4 本书有1 本语文参考书，3 本数学参考书，③、若取出的4 本书有2 本语文参考书，2 本
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数学参考书，④、若取出的4 本书有3 本语文参考书，1 本数学参考书，分别求出每一种情况的赠送方
法数目，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，按取出4 本书的情况不同分4 种情况讨论：
①、若取出的4 本书全部是数学参考书，将其赠送给4 位学生，有1 种情况，
②、若取出的4 本书有1 本语文参考书，3 本数学参考书，需要在4 个学生中选取1 人，接受语文参考书，
剩下的3 人接受数学参考书，
有
种赠送方法，
③、若取出的4 本书有2 本语文参考书，2 本数学参考书，需要在4 个学生中选取2 人，接受语文参考书，
剩下的2 人接受数学参考书，
有
种赠送方法，
④、若取出的4 本书有3 本语文参考书，1 本数学参考书，需要在4 个学生中选取3 人，接受语文参考书，
剩下的1 人接受数学参考书，
有
种赠送方法，
则一共有
种赠送方法，
故选：
．
【点评】本题考查分类计数原理的应用，特别注意语文参考书和数学参考书都是相同的．不能直接用排列
数公式计算．
24．（2023•商丘三模）某小学从2 位语文教师，4 位数学教师中安排3 人到西部三个省支教，每个省各1
人，且至少有1 位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16
B．20
C．96
D．120
【分析】分只有1 为语文教师入选和2 为语文教师均入选，讨论即可．
【解答】解：当只有1 为语文教师入选时，则有
种安排方法，
当2 为语文教师均入选时，则有
种安排方法，
故共有72+24＝96 种安排方法．
故选：C．
【点评】本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
25．（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生
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物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人
中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．86 种
【分析】利用分类讨论思想，选出担任数学课代表的人选，然后求解安排方式即可．
【解答】解：若乙担任数学课代表，则不同的安排方式共有
种，
若丙担任数学课代表，则甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，不同的安排方式
共有
种，
所以不同的安排方式共有
种．
故选：
．
【点评】本题考查计数原理以及排列组合的简单应用，是中档题．
26．（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的
人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的
校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1 个项目．则甲、
乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
A．360 种
B．480 种
C．720 种
D．1080 种
【分析】分为恰有2 名学生所选的课相同，以及4 名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，
相加即可得出答案．
【解答】解：①恰有2 名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2 名学生选出，有
种可能；
第二步，从5 个项目中选出3 个排序，有
，
根据分步计数原理可得，方法有
种；
②4 名学生所选的课全不相同的方法有
种，
根据分类加法计数原理可得，
甲、乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
种．
故选：
．
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【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
27．（2023•江西模拟）中国空间站
的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实
验舱
年10 月31 日
分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，
“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“
”字形架构，我国成功将中国空间站建
设完毕．2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员开展实验，三
舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有
A．450 种
B．72 种
C．90 种
D．360 种
【分析】利用分组和分配的求法求得6 名航天员的安排方案，再利用分类加法计数原理即可求得．
【解答】解：由题知，6 名航天员安排三舱，
三舱中每个舱至少一人至多三人，
可分两种情况考虑：
第一种，分人数为
的三组，共有
种；
第二种，分人数为
的三组，共有
种；
所以不同的安排方法共有
种．
故选：
．
【点评】本题主要考查排列、组合及简单计数问题，属于基础题．
28．（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人
文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承
系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、乙、
丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
A．135 种
B．720 种
C．1080 种
D．1800 种
【分析】分为恰有2 名学生所选的课相同，以及4 名学生所选的课全不相同两种情况，分别计算求解得出，
相加即可得出答案．
【解答】解：恰有2 名学生选课相同，
第一步，先将选课相同的2 名学生选出，有
种可能；
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第二步，从6 个项目中选出3 个排好，有
种排法，
根据分步计数原理可得，方法有
种；
4 名学生所选的课全不相同的方法有
种．
根据分类加法计数原理可得，甲、乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
种．
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，属于基础题．
29．（2023•秦淮区一模）某学校有6 个数学兴趣小组，每个小组都配备1 位指导老师，现根据工作需要，
学校准备将其中4 位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2 位指导老师仍在原来
的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1 位指导老师，则不同的调整方案为
A．135 种
B．360 种
C．90 种
D．270 种
【分析】根据题意，依次分析不做调整的两个小组和作了调整的4 个小组的情况数目，由分步计数原理计
算可得答案．
【解答】解：根据题意，6 个数学兴趣小组有一位指导老师仍在原来的兴趣小组，则不做调整的两个小组
有
种情况，
其余的4 个小组的指导老师由原来的小组均相应地调整到其他数学兴趣小组，
假设4 个小组为1、2、3、4，对应的4 位指导老师依次为
、
、
、
，
不能在第1 小组，有3 种情况，假设
分到第2 小组，则
有3 种情况，剩下的两人有1 种情况，
则其余的4 个小组有
种调整方案，
故有
种调整方案，
故选：
．
【点评】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于中档题．
30．（2023•安徽二模）积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人
的5 位同学分成2 个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名
同学不分在同一小组的安排方法的总数为
A．12
B．14
C．15
D．16
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【分析】将5 位同学分成
，
两种情况，结合排列与组合求得结果．
【解答】解：若按
分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有
种；
若按
分组，甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有
种，
故甲、乙两名同学不分在同一小组的安排方法有
种．
故选：
．
【点评】本题考查了排列组合的混合问题，先选后排是最基本的指导思想，属于中档题．
二．填空题（共5 小题）
31．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2
门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有
64
种（用数字作答）．
【分析】利用分类计数原理进行计算即可．
【解答】解：若选2 门，则只能各选1 门，有
种，
如选3 门，则分体育类选修课选2，艺术类选修课选1，或体育类选修课选1，艺术类选修课选2，
则有
，
综上共有
种不同的方案．
故答案为：64．
【点评】本题主要考查简单的计数问题，利用分类计数原理进行计算是解决本题的关键，是基础题．
32．（2022•上海）用数字1、2、3、4 组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134 大的数字个数
为
17
（用数字作答）
【分析】根据题意，按四位数的千位数字分2 种情况讨论，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，用数字1、2、3、4 组成没有重复数字的四位数，
当其千位数字为3 或4 时，有
种情况，即有12 个符合题意的四位数，
当其千位数字为2 时，有6 种情况，其中最小的为2134，则有
个比2134 大的四位数，
故有
个比2134 大的四位数，
故答案为：17．
【点评】本题考查排列组合的应用，注意分类计数原理的应用，属于基础题．
33．（2020•新课标Ⅱ）4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至
少安排1 名同学，则不同的安排方法共有
36
种．
72
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【分析】先从4 人中选出2 人作为一组有
种方法，再与另外2 人一起进行排列有
种方法，相乘即可．
【解答】解：方法一：因为有一小区有两人，则不同的安排方式共有
种．
方法二：三个小区必有1 个小区安排2 人，剩下的2 人安排其它2 个小区，故有
故答案为：36．
【点评】本题考查排列组合及分步计数原理的运用，属于基础题．
34．（2020•上海）从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人，
第三天安排2 个人，则共有
180
种安排情况．
【分析】根据题意，由组合公式得共有
排法，计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意，可得排法共有
种．
故答案为：180．
【点评】本题考查组合数公式，解题关键是正确理解题意并熟悉组合数公式，属于基础题．
35．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有
24
种（结果用数值表示）
【分析】根据分步计数原理即可求出．
【解答】解：在五天里，连续的2 天，一共有4 种，剩下的3 人排列，故有
种，
故答案为：24．
【点评】本题考查了简单的分步计数原理，属于基础题．
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