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函数的图像
2.8
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
2.会画简单的函数图象.
3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题．
2.8 函数的图像..................................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：利用描点法作函数图象的方法步骤...................................2
考点2：利用图象变换法作函数的图象.......................................2
【常用结论总结】.........................................................3
二、分类题型................................................................4
题型一 作函数的图象......................................................4
题型二 函数图象的识别....................................................7
题型三 函数图象的应用....................................................9
命题点1 研究函数的性质..............................................9
命题点2 函数图象在不等式中的应用...................................11
命题点3 求参数的取值范围...........................................12
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................15一、主干知识
考点1：利用描点法作函数图象的方法步骤
考点2：利用图象变换法作函数的图象
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、凹凸性；④特
殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）.
2.图像的变换
(1)平移变换
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位）⇒y＝f（x）+b．
⇒
(2)伸缩变换
①y＝f(x)―――――――――――――――――――→y＝f(ax)．
②y＝f(x)―――――――――――――――――――→y＝af(x)．(3)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－f(x)．
②y＝f(x)―――――→y＝f(－x)．
③y＝f(x)――――――→y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0且a≠1)――――――→y＝log x(a>0且a≠1)．
a
(4)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝|f(x)|.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f(|x|)．
【常用结论总结】
1．函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．
2．函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称．二、分类题型
题型一 作函数的图象
【例题精析1】 已知函数 ，若方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范
围是________；
【解答】原题意等价于 与 有四个不同的交点，
作出 的图象，如图所示：
可得：当 时， 与 有且仅有一个交点；当 或 时， 与 有且仅有三个
交点；当 时， 与 有且仅四个交点；
当 时， 与 有且仅有两个交点；综上所述：若 与 有四个不同的交点，则实
数 的取值范围是 .故答案为： .
【例题精析2】 已知函数 ．(1)画出 的图像，并直接写出 的值域；
(2)若不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【解答】（1）当 时， ，
当 时， ，当 时， ，
所以 ，
的图象如图：
由图可知，函数 的值域是 .
（2）若不等式 恒成立，则 ，
则 ，即 ，解得 或 .
图象变换法作函数的图象
(1)熟练掌握几种基本初等函数的图象．
(2)若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象
变换作出，但要注意变换顺序．【对点精练1】 （多选）已知函数 且方程 的6个解分别为
，则（ ）
A． B． C． D．
【解答】 ，整理得到 ，
故 或 ，画出 的图象，如下：
显然 有三个根，分别为 ，
有三个根，分别为 ， ， ， ，
A选项，数形结合得到 ，A错误；B选项，由于 ， ，故 ，故B错误；C
选项，由 得 ，由 ，得到 ，故 ，C正确；D选项，因为
， ，故 ，D正确.故选：CD
【对点精练2】 已知函数 ，若函数 有3个零点，则a的取值范围是
________．【解答】根据题意 ，即 ，已知 ，画出其图象为
，
根据图象易知当 时，函数 与函数 存在3个交点，
即 有3个零点.因此得： ；故答案为：
题型二 函数图象的识别
【例题精析3】 函数 的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
【解答】 的定义域为R，且 ，
故 为偶函数，排除BC；又 ，故A正确，D错误.
故选：A
【例题精析4】 已知 ， 为 的导函数，则 的大致图象是（ ）A． B． C． D．
【解答】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 为奇函数，其图象关于原点对称，故BD不
正确；因为 ，故C不正确；故选：A
识别函数的图象的主要方法有：(1)利用函数的性质．如奇偶性、单调性、定义域等判断．(2)
利用函数的零点、极值点等判断．(3)利用特殊函数值判断．
【对点精练3】 （2023·甘肃·三模）函数 在 上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】因为函数 的定义域为 ,
且 ,所以函数 是偶函数,其函数图像关于 轴对称,排除CD.又,排除B.故选:A.
【对点精练4】 （2023·四川自贡·统考三模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】对于函数 ，有 ，解得 ，故函数 的定义域为 ，排除AB选项，
令 可得 ，解得 ，即函数 只有两个零点，排除C选项.故选：D.
【对点精练5】 （2022·海南·校联考模拟预测）函数 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由解析式可知 ，取 ，则 ，观察选项可排除A、C；再取
，则 ，观察选项可排除D，此外， 可看成是由向右平移1个单位得到，而 是偶函数，即 的图象关于 对称，故选B
项.故选：B
题型三 函数图象的应用
命题点1 研究函数的性质
【例题精析5】 （2023·全国·高三专题练习）利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2)
(3) ；(4) ；(5) .
【解答】（1）函数 的定义域为 ，
对于函数 ，当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，
对称轴为 ，当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，画
出函数 的图象，如图所示，函数图象关于原点对称，所以函数 为奇函数；（2）函数 的定义域为 ，对于函数 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为 ，
画出函数 的图象，如图所示，函数图象关于y轴对称，故 为偶函数；
（3）先作出 的图象，保留 图象中x≥0的部分，再作出 的图象中x>0部分关于y轴
的对称部分，即得 的图象，如图实线部分．
由图知 的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数 的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函
数 的图象，如图，由图知 的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，所
以该函数为非奇非偶函数；（5）函数 ，当 ，为二次函数，是一条抛物线，
开口向上，对称轴为 ，当 ，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为
，画出函数 的图象，如图，由图知 的图象关于y轴对称，所
以该函数为偶函数.
【例题精析6】 写出一个同时满足下列三个性质的函数： ___________.
① 为偶函数； ② 为奇函数； ③ 在 上的最大值为2.
【解答】从三角函数入手，由于 为偶函数，可考虑余弦型函数，故可设 ，由
为奇函数，且 是 向左平移 个单位长度得到，所以 是 的对称中心，则
，即 ，不妨令 ，则 ，由 在 上的最大值为2，可得 ，
所以 .故答案为： （答案不唯一）.
命题点2 函数图象在不等式中的应用
【例题精析7】 （2021秋·高一课时练习）方程 的解的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】在同一平面直角坐标系内作出 与 的图象，
两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解，故选：C.
命题点3 求参数的取值范围
【例题精析8】 （2023·山东滨州·统考二模）函数 的图象如图所示，则（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，【解答】由图象观察可得函数图象关于 轴对称，即函数为偶函数，
所以 得： ，故C错误；由图象可知 ，故D错误；因为
定义域不连续，所以 有两个根可得 ，即 异号， ，即B错误，A正确.
故选：A
【例题精析9】 已知函数 ，若方程 有4个不同的实数根，则实数 的取值范
围是________；
【解答】原题意等价于 与 有四个不同的交点，
作出 的图象，如图所示：
可得：当 时， 与 有且仅有一个交点；当 或 时， 与 有且仅有三个
交点；当 时， 与 有且仅四个交点；
当 时， 与 有且仅有两个交点；综上所述：若 与 有四个不同的交点，则实
数 的取值范围是 .故答案为： .
当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，
常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．【对点精练6】 （2021秋·高一课时练习）已知 则方程 的实根
个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】在同一平面直角坐标系内作出 的图像，如图所示：
两个函数的图像有两个交点，所以方程 有两个实根，故选:C.
【对点精练7】 设函数 ，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】由 可得 ，
根据函数图象平移变换可知 是由函数 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位
长度得到的，而 即为奇函数；
所以只需将 反向平移，即向右平移2个单位得到 ，再向上平移1个单位得到 ，即
为奇函数.故选：A三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•凉州区模拟）函数 的图象大致是
A． B．
C． D．【解答】解：函数 ，恒成立，排除选项 、 ；
当 ，并且 时， ，排除选项 ；
故选： ．
2．（2023•分宜县校级一模）函数 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数 的定义域为 ，
，即函数 是奇函数，排除 ；
当 时， ，
即当 时，函数 的图象在 轴的上方，显然 不满足， 满足．
故选： ．
3．（2023•白山四模）函数 的部分图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，其 的定义域为 ，
因为 ，所以 为偶函数，排除 ， ．
当 时， ， ，则有 ，排除 ．
故选： ．
4．（2023•安徽模拟）函数 的部分图象大致是
A． B．
C． D．
【解答】解：因为 ，所以 ，且定义域为 ，
所以 是奇函数，则 的图象关于原点对称，排除 、 ，
当 时， ，排除 ．
故选： ．
5．（2022秋•鄄城县期末）函数 的图像大致为A． B．
C． D．
【解答】解：函数 ， ，
所以函数 为偶函数，图像关于 轴对称，排除 选项；
当 时， ，排除 选项；
故选： ．
6．（2023•昆明一模）函数 在区间 ， 上的图象大致为
A．
B．
C．D．
【解答】解：对于函数 ，
，
故 为奇函数，图象关于原点对称， 、 错误；
又 ，且 ，
故 ， 错误；
故选： ．
7．（2023•宁波模拟）函数 的图象可能为
A．
B．
C．D．
【解答】解：函数 ，定义域为 ，
则 ，
所以 为奇函数，排除 ，
当 时， ， ，所以 ，排除 ．
故选： ．
8．（2023•上饶一模）函数 的部分图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，函数 ，其定义域为 ，有 ，
函数 为奇函数，排除 ，
在区间 上， ， ，
在区间 ， 上， ， ，排除 ，
故选： ．9．（2023•中卫一模）函数 的图像是
A． B．
C． D．
【解答】解：函数图像过点 ， ，排除 ；
当 时， ，排除 ．
故选： ．
10．（2023•河南模拟）函数 的大致图象是
A． B．
C． D．
【 解 答 】 解 ： 由 函 数 解 析 式 可 得 定 义 域 为 ， 关 于 原 点 对 称 ， 设 ， 则
，
所以函数为奇函数，
排除 ， ；取特殊值 ，则 ，所以 ，所以 ，
当 时相应的函数值小于0，即 正确；
故选： ．
11．（2023•浙江模拟）函数 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题知 ，
定义域为 ，解得 ， ， ，
所以 ，故 为奇函数，
排除 ， ；
令 ，
可得 ，即 ，
解得 ，
当 时， ， ， ，此时 ，
故选项 错误，选项 正确．
故选： ．
12．（2022秋•云浮期末）函数 的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数 ，可得 ，
故函数的定义域为 ， ， ， ，
又 ，所以 是偶函数，
其图象关于 轴对称，因此 ， 错误；
当 时， ，所以 错误．
故选： ．13．（2022•天津）函数 的图像为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数 的定义域为 ， ， ，
，
该函数为奇函数，故 错误；时， ， ； ， ； ， ，
故 错误， 正确．
故选： ．
14．（2022•甲卷）函数 在区间 ， 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解答】解： ，
可知 ，
函数是奇函数，排除 ；当 时， （1） ，排除 ．
故选： ．
15．（2022•乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 ， 的大致图像，则该函数是
A． B．
C． D．
【解答】解：首先根据图像判断函数为奇函数，
其次观察函数在 存在零点，
而对于 选项：令 ，即 ，解得 ，或 或 ，故排除 选项；
选项：当 时， ， ，因为 ， ，
故 ，且当 时， ，故 ，
而观察图像可知当 时， ，故 选项错误．
选项， 中，当 时， ，故排除 选项．
故选： ．
16．（2021•天津）函数 的图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意， ，其定义域为 ，
有 ，是偶函数，排除 ，
在区间 上， ，必有 ，排除 ，
故选： ．
17．（2021•浙江）已知函数 ， ，则图象为如图的函数可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由图可知，图象关于原点对称，则所求函数为奇函数，
因为 为偶函数， 为奇函数，函数 为非奇非偶函数，故选项 错误；
函数 为非奇非偶函数，故选项 错误；
函数 ，则 对 恒成立，
则函数 在 上单调递增，故选项 错误．
故选： ．
18．（2020•天津）函数 的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数 的定义域为实数集 ，关于原点对称，
函数 ，则 ，则函数 为奇函数，故排除 ， ，
当 时， ，故排除 ，
故选： ．19．（2020•浙江）函数 在区间 ， 上的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解： ，
则 ，
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除 ， ，
当 时， ，故排除 ，
故选： ．
20．（2019•新课标Ⅰ）函数 在 ， 的图象大致为
A．
B．C．
D．
【解答】解： ， ， ，
，
为 ， 上的奇函数，因此排除 ；
又 ，因此排除 ， ；
故选： ．
21．（2019•新课标Ⅲ）函数 在 ， 的图象大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：由 在 ， ，知，
是 ， 上的奇函数，因此排除
又 （4） ，因此排除 ， ．
故选： ．
22．（2019•浙江）在同一直角坐标系中，函数 ， 且 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数 ， ，
当 时，可得 是递减函数，图象恒过 点，
函数 ，是递增函数，图象恒过 ， ；
当 时，可得 是递增函数，图象恒过 点，
函数 ，是递减函数，图象恒过 ， ；
满足要求的图象为：
故选： ．
23．（2018•新课标Ⅱ）函数 的图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：函数 ，
则函数 为奇函数，图象关于原点对称，排除 ，
当 时， （1） ，排除 ．
当 时， ，排除 ，
故选： ．
24．（2018•新课标Ⅲ）下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是
A． B． C． D．
【解答】解：首先根据函数 的图象，
则：函数 的图象与 的图象关于 轴对称．
由于函数 的图象关于直线 对称．
则：把函数 的图象向右平移2个单位即可得到： ．即所求得解析式为： ．
故选： ．
25．（2018•浙江）函数 的图象可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：根据函数的解析式 ，得到：函数的图象为奇函数，
故排除 和 ．
当 时，函数的值也为0，
故排除 ．
故选： ．
1．（2016•浙江）函数 的图象是A． B．
C． D．
【解答】解： ，
函数 是偶函数，即函数的图象关于 轴对称，排除 ， ；
由 ，
则 ， ，
则 ， ，
当 时，零点为 在 附近，排除 ，
故选： ．
2．（2015•安徽）函数 的图象如图所示，则下列结论成立的是
A． ， ， B． ， ， C． ， ， D．， ，
【解答】解：函数在 处无意义，由图象看 在 轴右边，所以 ，得 ，
， ，
由 得 ，即 ，
即函数的零点 ，
，
综上 ， ， ，
故选： ．
3．（2011•山东）函数 的图象大致是
A．
B．
C．D．
【解答】解：当 时，
故函数图象过原点，
可排除
又
故函数的单调区间呈周期性变化
分析四个答案，只有 满足要求
故选： ．
4．（2022秋•银川期末）函数 的图像大致为
A． B．
C． D．
【解答】解：若函数 有意义，则 ，解得 ，所以函数 的定义域为
；因为 ，所以 为定义域上的偶函数，图像关于 轴对称，可排除选项 ，
；
当 时， ，可排除选项 ．
故选： ．
5．（2022秋•河西区校级期末）函数 的图象大致形状是
A． B．
C． D．
【解答】解：定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故 是奇函数，排除 ；
又当 时， ，故排除 ， 满足．
故选： ．
6．（2023•红桥区一模）函数 的大致图象是
A． B．C． D．
【解答】解： ，
函数 是偶函数，
故函数 的图象关于 轴对称，
故排除选项 ；
当 时， ，
故排除 ；
故选： ．
7．（2022秋•汉滨区期末）要得到函数 的图象，只需将函数 的图象
A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
【解答】解：函数 ，函数 ，
根据函数图象平移变换的特征，
因此两个函数的底相同，指数分别为： 和 ，因此，
将函数 的图象向左平移一个单位即可得到函数 的图象，
故选： ．
8．（2022秋•宁德期中）函数 的部分图象大致为
A． B． C． D．
【解答】解：由于 （1） ， ，显然 ， （1） ，
只有 满足．
故选： ．
9．（2022秋•无锡期中）已知函数 ， ，则图象为如图的函数可能是
A． B．
C． D．
【解答】解：显然 时， ， ，与图象不符， 错误；
对于 ，令 ， ，故 错误；
由图象可知，函数为偶函数，而 和 都是偶函数，
但 符合题图； 不符合题图，故排除 ，
综上可知， 符合题意．
故选： ．
10．（2022秋•朝阳区期末）已知下列五个函数： ， ， ， ， ，从中选出两
个函数分别记为 和 ，若 的图象如图所示，则 ．【解答】解：由图象可知，函数 的定义域为 ， ， ，可排除函数 ；
又因为 的图象不关于原点对称，所以不是奇函数，排除 ；
的图象满足 （1） ， ，
所以 ， ， ， ．
故答案为： ．
1．（2017•广西模拟）若函数 的图象如图所示，则函数 的图象大致为A． B．
C． D．
【解答】解：因为从函数 到函数 的平移变换规律是：先关于 轴对称得到 ，
再整体向右平移1个单位即可得到．
即图象变换规律是：① ②．
故选： ．
2．（2019秋•石河子校级期末）已知函数 ，当 ， 时， ，若在区间 ，
内， 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【解答】解：由题意得：
当 时， ，所以 ，
当 ， ，即 ， 时，，
所以 ，
所以 ，
故函数 的图象如下图所示：
若 有两个不同的零点，
则函数 的图象与 的图象有两个交点，
故 ， ，
故选： ．
3．（多选）（2021•雨花区校级模拟）已知函数 ， ，且 ，函数 ， 的图
象绕坐标原点顺时针旋转 所得新的函数图象与原函数图象重合，其中 可以取任意正整数，则 的
值不可能为
A．0 B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 若 ， 则 通 过 连 续 顺 时 针 旋 转 ， 依 次 可 得,
，此时 对应 ,不符合函数概念，所以 选项不可能对，
同理 选项也不可能对，而 有可能成立，故选： ．
