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专题20 排列组合原理与二项式定理经典常考小题
目录
01 考情透视·目标导航...................................................................................................2
02 知识导图·思维引航...................................................................................................3
03 知识梳理·方法技巧.................................................................................................4
04 真题研析·精准预测.................................................................................................6
05 核心精讲·题型突破.................................................................................................8
题型一：二项式定理之特定项、三项式问题
8
题型二：二项式定理之系数和问题
8
题型三：二项式定理之系数最值问题
9
题型四：特殊优先与正难则反策略
10
题型五：相邻问题与不相邻问题
11
题型六：定序问题
11
题型七：多面手问题
13
题型八：错位排列问题
13
题型九：涂色问题
14
题型十：分组与分配问题
16
题型十一：隔板法
16
题型十二：环排与多排问题
17
题型十三：电路图模型
18
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型
19
1
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排列组合与二项式定理构成了高考数学中的一个重要考查领域，预计未来的考试形式仍将侧重于选择
题或填空题。这些题目将主要测试学生对基本概念和基本方法的掌握程度，难度水平预计会保持在中等偏
下，与教材内容保持一致。值得注意的是，这部分内容与日常生活紧密相连，考生可以关注一些常见的排
列组合实例，例如体育比赛的赛程安排、彩票中奖规则等，以此来培养运用数学知识解决实际问题的意识
和能力。
考点要求
目标要求
考题统计
考情分析
二项式定理
掌握定理应用，
提升解题技能。
2024 年天津卷第11 题，5 分
2024 年甲卷第13 题，5 分
2023 年北京卷第5 题，4 分
2023 年天津卷第11 题，5 分
2022 年I 卷第13 题，5 分
2021 年浙江卷第13 题，6 分
预计2025 年高考数
学将呈现以下新趋势：一
方面，小题形式将更为多
样，可能涵盖选择题或填
空题，着重考查学生的数
学抽象思维、数学建模能
力、逻辑推理能力以及数
学运算技巧，这些构成了
数学四大核心素养。另一
方面，考试的热点内容可
能会聚焦于应用二项式定
理求解系数相关问题，以
及运用排列组合理论来解
决实际生活中的数学问
题，体现数学与生活的紧
密联系。
排列组合
理解概念公式，
培养解题能力。
2024 年II 卷第14 题，5 分
2023 年乙卷第7 题，5 分
2023 年II 卷第3 题，5 分
2023 年I 卷第13 题，5 分
2022 年II 卷第5 题，5 分
2021 年乙卷第6 题，5 分
2
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3
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1、如图，在圆中，将圆分
等份得到
个区域
，
，
，
，
，现取
种颜色
对这
个区域涂色，要求每相邻的两个区域涂不同的两种颜色，则涂色的方案有
种．
...
...
Mn
...
Mn-1
M1
M2
M3
2、错位排列公式
3、数字排列问题的解题原则、常用方法及注意事项
（1）解题原则：排列问题的本质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主
要表现在某元素不排在某个位子上，或某个位子不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优
先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位子，若一个位子安排的元素影响到另一个位子的元素个数
时，应分类讨论．
4、定位、定元的排列问题，一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，
被限制的位置称为特殊位置．这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元
素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位
置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
5、解决相邻问题的方法是“捆绑法”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在相邻
位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素同其
他元素一起排列，共有
种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有
种排法．
4
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根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
种．
6、解决不相邻问题的方法为“插空法”，其模型为将
个不同元素排成一排，其中某
个元素互不相
邻（
），求不同排法种数的方法是：先将（
）个元素排成一排，共有
种排法；然后
把
个元素插入
个空隙中，共有
种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
·
种．
7、解决排列、组合综合问题时需注意“四先四后”：
（1）先分类，后分步：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类加法计数原理解决或
分成若干步，再由分步乘法计数原理解决．常常既要分类，又要分步，其原则是先分类，再分步．
（2）先特殊，后一般：解排列、组合问题时，常先考虑特殊情形（特殊元素，特殊位置等），再考
虑其他情形．
（3）先分组，后分配：对不同元素且较为复杂的平均分组问题，常常“先分组，再分配”．
（4）先组合，后排列：对于既要选又要排的排列组合综合问题，常常考虑先选再排．
8、求二项展开式中的特定项的方法
求二项展开式中的特定项问题，实质是考查通项
的特点，一般需要建立方程求
，再将
的值代回通项求解，注意
的取值范围
．
（1）第
项：此时
，直接代入通项；
（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为
建立方程；
（3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解．
9、赋值法研究二项式的系数和问题
“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如
，
的式
子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令
即可；对形如
的式子求其展
开式各项系数之和，只需令
即可．
10、二项式系数最大项的确定方法
5
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（1）若
是偶数，则中间一项（第
项）的二项式系数最大；
（2）若
是奇数，则中间两项（第
项与第
项）的二项式系数相等数最大．
6
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1．（2024 年北京高考数学真题）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 年高考全国甲卷数学（理）真题）
的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
3．（2024 年天津高考数学真题）在
的展开式中，常数项为 ．
4．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在如图的4×4 的方格表中选4 个方格，要求每行和每列均恰有一
个方格被选中，则共有 种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4 个数之和的最大
值是 ．
5．（2023 年天津高考数学真题）在
的展开式中，
的系数为 ．
6．（2023 年新课标全国Ⅰ卷数学真题）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从
这8 门课中选修2 门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数
字作答）．
7．（2023 年高考全国甲卷数学（理）真题）现有5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、
星期日两天，每天从这5 人中安排2 人参加公益活动，则恰有1 人在这两天都参加的不同安排方式共有（
）
A．120
B．60
C．30
D．20
8．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选
读的课外读物中恰有1 种相同的选法共有（ ）
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
7
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9．（2023 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机
抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名
和200 名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
10．（2022 年新高考全国II 卷数学真题）有甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不
站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
11．（2022 年新高考浙江数学高考真题）已知多项式
，则
，
．
12．（2022 年新高考全国I 卷数学真题）
的展开式中
的系数为 （用
数字作答）．
8
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题型一：二项式定理之特定项、三项式问题
【典例1-1】
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例1-2】
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．6
D．
【变式1-1】
的展开式中，含
的项的系数为（ ）
A．240
B．
C．560
D．360
【变式1-2】在
的展开式中，系数为整数的项数是（ ）
A．9
B．4
C．3
D．2
1．
的展开式中，
的系数为（ ）
A．60
B．
C．120
D．
9
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题型二：二项式定理之系数和问题
【典例2-1】（多选题）若
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2-2】（多选题）已知
，则下列结论成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】（多选题）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】（多选题）已知
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
1．（多选题）若
，且
，则实数
的值可以是（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
题型三：二项式定理之系数最值问题
【典例3-1】在二项式
的展开式中，系数最大的一项为 .
【典例3-2】在
的展开式中系数最大的项是第 项．
【变式3-1】在
的二项展开式中，系数最小的项为 .
【变式3-2】在
的展开式中系数最大的项为 .
1．已知
的二项展开式中，二项式系数最大的项为a，系数最大的项为b，则
．
题型四：特殊优先与正难则反策略
【典例4-1】在学校运动会期间，学校安排甲、乙、丙、丁四名体育教师到
三个比赛场地做比赛安
全指导工作，且每个场地至少安排一人，则甲不安排在C 场地，乙安排在A 场地的不同安排方法种数为（
）
A．
B．10
C．12
D．24
【典例4-2】在某次太空游行中，宇航员们负责的科学实验要经过5 道程序，其中
，
两道程序既不能放
在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有（ ）
A．18 种
B．36 种
C．72 种
D．108 种
【变式4-1】从包含甲、乙两人的
人中选出人分别担任班长、团支书、学习委员，则甲、乙至多有人
11
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被选中的不同选法有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式4-2】2024 年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7 天．某单位安排7 位员工值班，每人
值班1 天，每天安排1 人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则
不同的安排方案共有（ ）
A．1440 种
B．1360 种
C．1282 种
D．1128 种
1．某校举办中学生运动会，某班的甲，乙，丙，丁，戊名同学分别报名参加跳远，跳高，铅球，跑步
个项目，每名同学只能报个项目，每个项目至少有名同学报名，且甲不能参加跳远，则不同的报名方法
共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
题型五：相邻问题与不相邻问题
【典例5-1】我校田径队有十名队员，分别记为
，为完成某训练任务，现将十名
队员分成甲、乙两队．其中将
五人排成一行形成甲队，要求
与
相邻，
在
的左边，剩下
的五位同学排成一行形成乙队，要求
与
不相邻，则不同的排列方法种数为（ ）
A．432
B．864
C．1728
D．2592
【典例5-2】春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6 个自
编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6 个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排
在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（ ）
A．240 种
B．188 种
C．144 种
D．120 种
【变式5-1】小明将1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个
12
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2 不相邻，且1 与4 相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144
B．72
C．36
D．24
【变式5-2】北京时间2023 年10 月26 日19 时34 分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3
人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3 人）人驻
“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6 名航天员站成一排合
影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（ ）
A．144 种
B．204 种
C．156 种
D．240 种
1．某班上有5 名同学相约周末去公园拍照，这5 名同学站成一排，其中甲、乙两名同学要求站在一起，丙
同学不站在正中间，不同的安排方法数有（ ）
A．24
B．36
C．40
D．48
题型六：定序问题
【典例6-1】如图，左车道有2 辆汽车，右车道有3 辆汽车等待合流，则合流结束时汽车通过顺序共有（
）种.
A．10
B．20
C．60
D．120
【典例6-2】满足
，且
的有序数组
共有（ ）个.
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知
，则满足
的有序数组
共有（ ）个
13
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A．
B．
C．
D．
【变式6-2】六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队伍依次走出幼儿
园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3 人.则爸爸们不需要通过插队就能接
到自己家的小朋友的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．三根绳子上共挂有8 只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一只球，而且规定只有打破
下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350
B．140
C．560
D．280
题型七：多面手问题
【典例7-1】某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．
现要选派划左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
【典例7-2】我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会
跳舞，其余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（ ）种不同的选
法．
A．
B．
C．
D．
【变式7-1】某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又
14
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会法语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
1．有名歌舞演员，其中
名会唱歌，名会跳舞，从中选出
人，并指派一人唱歌，另一个跳舞，则不
同的选派方法有 （ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．72 种
题型八：错位排列问题
【典例8-1】“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1 到9 这
九个自然数填到如图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一个数，且9 个空格的数字各不相间，若
中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是
从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
A．72
B．108
C．144
D．196
【典例8-2】编号为1、2、3、4、5 的5 个人分别去坐编号为1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只
有两个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
【变式8-1】将编号为、
、、
、、的小球放入编号为、
、、
、、的六个盒子中，
每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式8-2】将编号为1､2､3､4､5､6 的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6 的六个盒子里，每个盒子放一
15
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个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20
B．40
C．120
D．240
1．元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，
则四张贺卡不同的分配方式有（ ）
A．6 种
B．9 种
C．11 种
D．23 种
题型九：涂色问题
【典例9-1】已知正四棱锥
，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种
颜色，且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240
B．420
C．336
D．120
【典例9-2】如图，用4 种不同的颜色对图中 5 个区域涂色（4 种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜
色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．24
B．96
C．48
D．108
【变式9-1】如图，对
，
，
，
，
五块区域涂色，现有种不同颜色的颜料可供选择，要求每块区
域涂一种颜色，且相邻区域（有公共边）所涂颜料的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式9-2】中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造．如图所示的雨伞，
16
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其伞面被伞骨分成个区域，每个区域分别印有数字，
，，
，
现准备给该伞面的每个区域涂色，
要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域
如区域与区域
所涂颜色
相同．若有
种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有
（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
1．五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说是华夏文明重要组成部分.
古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间存在相生相克的关系.下图
是五行图，现有5 种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种颜色（例如金生火，水生
木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同一种颜色），则不同的涂
色方法种数有（ ）
A．3125
B．1000
C．1040
D．1020
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题型十：分组与分配问题
【典例10-1】某宾馆安排甲、乙、丙、丁、戊五人入住3 个房间，每个房间至少住1 人，且甲和乙住同一
个房间，则共有 种不同的安排方法．（用数字作答）
【典例10-2】为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请
、
、
、
、
五位党的二十大代表分别到一中、
五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中
、
因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三
人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有 种.
【变式10-1】在杭州亚运会比赛中，6 名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，
若每项工作至少安排1 人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字
作答）
【变式10-2】将分别标有号码
的6 个小球平均分为两组，则“标号为4 的小球不是所在组标号最大的
且标号为3 的小球不是所在组标号最小的”的分组方式有 种.
1．
展开式共 项.
题型十一：隔板法
【典例11-1】满足不等式
的有序整数组
的数目为（ ）
A．228
B．229
C．230
D．231
【典例11-2】小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择（可以有笔记本不被选
择），单价均为一元一本，小明只有元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式11-1】把分别写有1，2，3，4，5，6 的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分
得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
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A．60
B．36
C．30
D．12
【变式11-2】在空间直角坐标系
中，
，则三棱锥
内部整点
（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．
B．
C．
D．
题型十二：环排与多排问题
【典例12-1】甲、乙等6 人围成一圈，且甲、乙两人相邻，则不同的排法共有（ ）
A．6 种
B．12 种
C．24 种
D．48 种
【典例12-2】一对夫妻带着3 个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3 个小孩均不相邻的站法种数
是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．36
【变式12-1】 A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面
的椅子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【变式12-2】现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4 的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨
一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有（ ）
A．6 种
B．8 种
C．12 种
D．16 种
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1．已知甲、乙、丙三位同学围成一个圆时，其中一个排列“甲乙丙”与该排列旋转一个或几个位置后得
到的排列“乙丙甲”或“丙甲乙”是同一个排列．现有
位同学，若站成一排，且甲同学在乙同学左边的
站法共有
种，那么这
位同学围成一个圆时，不同的站法总数为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：电路图模型
【典例13-1】如题图所示，要选择一条路径接通从A 到B 的电路，不同的接法共有（ ）．
A．6 种
B．7 种
C．8 种
D．12 种
【典例13-2】如图是一个空气开关，又名空气断路器，是家中非常重要的一种电器，它集控制和多种保护
功能于一身，能对电路或电气设备发生的短路、严重过载及欠电压等进行保护．某学校配电房共有18 个空
气开关排成一列，电工准备进行电路调试，打算关闭3 个，头尾不能关闭，关闭的相邻两个开关之间至少
有两个是打开的，则不同的方案种数是（ ）
A．220
B．364
C．560
D．680
【变式13-1】如图所示，在
间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通,今发
现
之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况有（ ）
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A．9 种
B．11 种
C．13 种
D．15 种
【变式13-2】一个电路中含有（1）（2）两个零件，零件（1）含有A，B 两个元件，零件（2）含有C，
D，E 三个元件，每个零件中有一个元件能正常工作则该零件就能正常工作，则该电路能正常工作的线路
条数为（ ）
A．9
B．8
C．6
D．5
1．已知如图所示的电路中，每个开关都有闭合、不闭合两种可能，因此5 个开关共有
种可能，在这
种可能中，电路从P 到Q 接通的情况有 种．
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型
【典例14-1】形如45132 的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，由
1，2，3，4，5 构成的无重复数字的五位“波浪数”的个数为（ ）
A．13
B．16
C．20
D．25
【典例14-2】几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依
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次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次
撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次
撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共有（ ）
A．23
B．24
C．32
D．33
【变式14-1】清代数学家明安图所著《割圆密率捷法》中比西方更早提到了“卡特兰数”（以比利时数学
家欧仁･查理･卡特兰的名字命名）.有如下问题：在
的格子中，从左下角出发走到右上角，每一步只能
往上或往右走一格，且走的过程中只能在左下角与右上角的连线的右下方（不能穿过，但可以到达该连
线），则共有多少种不同的走法？此问题的结果即卡特兰数
.如图，现有
的格子，每一步只
能往上或往右走一格，则从左下角
走到右上角
共有 种不同的走法；若要求从左下角
走到
右上角
的过程中只能在直线
的右下方，但可以到达直线
，则有 种不同的走法.
【变式14-2】一只小蜜蜂位于数轴上的原点处，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飞行一个单位或者两个
单位距离的能力，且每次飞行至少一个单位．若小蜜蜂经过5 次飞行后，停在数轴上实数3 位于的点处，
则小蜜蜂不同的飞行方式有 种．
1．若某人对机器狗发出一次指令，使机器狗沿着直线方向要么前进一步，要么后退一步，允许重复过任
何一点．若此人发出6 次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种；
若此人发出
次指令后，机器狗相对于初始位置前进了两步，则不同指令方案数有 种．
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