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排列与组合
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】排列数与组合数的推导、化简和计算
【题型二】数字排列
【题型三】几何问题
【题型四】捆绑法
【题型五】插空法
【题型六】定序问题（先选后排）
【题型七】列举法
【题型八】多面手问题
【题型九】错位排列
【题型十】涂色问题
【题型十一】分组问题
【题型十二】分配问题
【题型十三】隔板法
【题型十四】分解法模型与最短路径问题
【题型十五】环排问题
【误区点拨】点拨常见的易错点
易错点：对两个计数原理理解混乱
：排列组合和二项式定理是高考热点知识点，有了多选题型后常和概率结合起来考察，所
以需要考生对于排列组合的基础题型有所了解，以及一些特殊的方法，这块有很多固定的题型，当然在掌
握题型的基础上还需要明白其原理，能够冷静分析，合理运用好排列组合的解题思维。
：根据高考回归课本的趋势，排列数与组合数的运算以及术与式的归纳理解要求要相继变高，
而这块内容也是因为传统的固定题型容易被学生忽略的知识点，需要重视起来。
【题型一】排列数与组合数的推导、化简和计算
【例1】已知
为正整数，若
，则
．
【例2】排列数和组合数都有丰富的性质和实际应用，下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，则
（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式2】（1）已知
，求n．
（2）
．
【题型二】数字排列
【例1】用
这五个数组成无重复数字的五位数，则不同的奇数共有（ ）
A．120 个
B．72 个
C．60 个
D．48 个
【例2】设一个三位数的个位、十位、百位上的数字分别为
，
，，若
，
，则称这个三位数
为“峰型三位数”，例如251 和121 都是“峰型三位数”，在由0，1，2，3，4，5 中的部分数字组成的三
位数中，“峰型三位数”的个数为 .
【变式1】设集合A 中的元素均为无重复数字的三位正整数，且从中任取两个相乘所得均为5 的倍数，则A
的元素个数最多为 ．
【变式2】用0，1，2，3，4，5 这六个数字组成无重复数字的整数，求满足下列条件的数各有多少个．
(1)六位数；
(2)六位奇数．
【题型三】几何问题
【例1】平面上给定10 个点，任意三点不共线，由这10 个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除
原10 点外），无两条直线互相平行.求：
(1)这些直线所交成的点的个数（除原10 点外）；
(2)这些直线交成多少个三角形.
【例2】在正方体中，下列说法正确的是（ ）
A．正方体的8 个顶点可以确定28 条不同的线段
B．以正方体的顶点为顶点的直三棱柱有12 个
C．以正方体的顶点为顶点的三棱锥有64 个
D．以正方体的顶点为顶点的四棱锥有48 个
【变式1】连结正三棱柱的6 个顶点，可以组成 个四面体．
【变式2】点集
且
，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？
【题型四】捆绑法
【例1】名男生与
名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算
结果，用数字作答.
(1)从中选出
名男生和
名女生排成一列；
(2)全体站成一排，男生互不相邻；
(3)全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
(4)全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
【例2】甲、乙、丙等7 名同学站成一排照相．
(1)甲、乙、丙3 名同学相邻的排法共有多少种？
(2)甲、乙、丙3 名同学不相邻的排法共有多少种？
【变式1】现有8 名师生站成一排照相，其中老师2 人，男学生4 人，女学生2 人，在下列情况下，各有多
少种不同的站法？
(1)4 名男学生互不相邻；
(2)老师站在最中间，2 名女学生分别在老师的两边且相邻，4 名男学生两边各2 人；
(3)2 名老师之间有男女学生各1 人.
【变式2】6 位同学报名参加2022 年杭州里运会4 个不同的项目（记为A，B，C，D）的志愿者活动，每
位同学恰报1 个项目．
(1)6 位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少
种?
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式?
【变式3】数学竞赛中，某校有
共6 位同学获奖，在竞赛结束后站成一排合影留念时，假设
两人必须相邻且站在正中间，
两人不能相邻，则不同的站法共有 种.
【题型五】插空法
【例1】《哪吒2》9 天登顶中国影史票房榜，之后持续狂飙，上映16 天票房突破100 亿；21 天登顶全球
动画电影票房榜，电影中哪吒需要从风、火、水、雷、土五种灵珠中选出四个，按顺序排列成法阵对抗敌
人，已知风灵珠和火灵珠不能相邻，问共有多少种法阵组合方式 ．（用数字作答）
【例2】在体育课上，某项体育测试需要对
，
，
在内的名同学依次进行测试，下列说法正确的是
（ ）
A．
同学在最先或最后进行测试，安排方法一共有
种
B．
，
，
三名同学需要相邻，安排方法一共有
种
C．
，
，
三名同学都不相邻，安排方法一共有
种
D．
，
两名同学既不在最先也不在最后进行测试，安排方法一共有
种
【变式1】2024 年4 月26 日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间站，激发了全国人民的民
族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6 名宇航员分别是“70 后”蔡旭哲、“80 后”叶光富、李聪、李广
苏，“90 后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家福”.假设6 人站成一排，两
位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80 后”彼此不相邻，两位“90 后”彼此不相邻，则不同
的站法共有（ ）
A．16 种
B．32 种
C．48 种
D．64 种
【题型六】定序问题（先选后排）
【例1】在一张节目单中原有7 个节目已排好顺序，现要插入3 个节目，并要求不改变原有7 个节目前后相
对顺序，则一共有 种不同的插法．
【例2】一条铁路线原有
个车站，为了适应客运需要，新增加了2 个车站，客运车票增加了58 种，问：
原有多少个车站？现有多少个车站？
【例3】花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，
现有悬挂着的6 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为_________
【变式1】14 名同学合影，站成前排5 人后排9 人，现摄影师要从后排9 人中抽2 人调整到前排，若其他
人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】城步苗族自治县“六月六山歌节”是湖南省四大节庆品牌之一，至今已举办25 届.假设在即将举
办的第26 届“六月六山歌节”中，组委会要在原定排好的10 个“本土歌舞”节目中增加2 个“歌王对
唱”节目.若保持原来10 个节目的相对顺序不变，则不同的排法种数为（ ）
A．110
B．144
C．132
D．156
【变式3】某5 位同学排成一排准备照相时，又来了甲､乙､丙3 位同学要加入，若保持原来5 位同学的相对
顺序不变，且甲､乙2 位同学互不相邻，丙同学不站在两端，则不同的加入方法共有（ ）
A．360 种
B．144 种
C．180 种
D．192 种
【题型七】列举法
【例1】数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：
任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数
．设
，其中a，b，c，d 均为自然数，则满足条件的有序数组
的个数是（ ）
A．28
B．24
C．20
D．16
【例2】已知字母
，
，各有两个，现将这6 个字母排成一排，若有且仅有一组字母相邻（如
），
则不同的排法共有（ ）种
A．36
B．30
C．24
D．16
【变式1】工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓.若按一定顺序将每个螺
栓固定紧，但不能连续固定相邻的2 个螺栓.则不同的固定螺栓方式的种数是________．
【题型八】多面手问题
【例1】某国际旅行社现有11 名对外翻译人员，其中有5 人只会英语，4 人只会法语，2 人既会英语又会法
语，现从这11 人中选出4 人当英语翻译，4 人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225
B．185
C．145
D．110
【例2】“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在
端午节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只
会划右桨，2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同
的选派方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
【变式1】我校去年11 月份，高二年级有10 人参加了赴日本交流访问团，其中3 人只会唱歌，2 人只会跳
舞，其余5 人既能唱歌又能跳舞．现要从中选6 人上台表演，3 人唱歌，3 人跳舞，有（ ）种不同的选法．
A．
B．
C．
D．
【变式2】某龙舟队有9 名队员，其中3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，2 人既会划左舷又会划右舷．现
要选派划左舷的3 人、右舷的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选派方法共有（ ）
A．56 种
B．68 种
C．74 种
D．92 种
【题型九】错位排列
【例1】将编号为、
、、
、、的小球放入编号为、
、、
、、的六个盒子中，每盒
放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】编号为1、2、3、4、5 的5 个人分别去坐编号为1、2、3、4、5 的五个座位，其中有且只有两
个人的编号与座位号一致的坐法有（ ）
A．10 种
B．20 种
C．30 种
D．60 种
【变式1】“数独九宫格”原创者是18 世纪的瑞士数学家欧拉，
它的游戏规则很简单，将1 到9 这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9 个空格里，每个空格填一
个数，且9 个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左
至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（ ）
A．72
B．108
C．144
D．196
【变式2】将编号为1､2､3､4､5､6 的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6 的六个盒子里，每个盒子放一
个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（ ）
A．20
B．40
C．120
D．240
【题型十】涂色问题
【例1】如图所示，积木拼盘由
五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘
的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如：
与
为相邻区域，
与
为不相邻区域），现有五种不同的
颜色可供挑选，则不同的涂色方法的种数是 .
【例2】如图，一个区域分为5 块，现给每块着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．若有4 种颜色可供
选择，则不同的着色方法共有 种．
【变式1】将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的4 个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂
不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
①
②
④
③
【变式2】从4 种不同颜色中选择若干种颜色，给正四面体
的每条棱染色，要求每条棱只染一种
颜色，且共点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有 种．
【题型十一】分组问题
【例1】将6 本不同的书（包括1 本物理书和1 本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能
分给同一个人，则不同的分配种数是（ ）
A．6
B．12
C．18
D．24
【例2】（1）由0，1，2，3，4，5，6 这7 个数字组成的没有重复数字的四位偶数有多少个？
（2）把5 个不同颜色的小球放入3 个不同的盒子，每个盒子至少放入1 个小球，有多少种不同的放法？
（3）某书法兴趣小组有7 名组员，其中3 人只擅长硬笔书法，2 人只擅长软笔书法，其余2 人既擅长硬笔
书法，又擅长软笔书法，现从书法兴趣小组中选择擅长硬笔书法的2 人参加硬笔书法比赛，擅长软笔书法
的2 人参加软笔书法比赛（每个人不能同时参加两个比赛），则不同的选择方法有多少种？
【变式1】某市政工作小组就民生问题开展社会调研，现派遣
三组工作人员对市内甲，乙、丙、丁
四区的居民收入情况进行抽样调查，若每区安排一组工作人员调研，且每组工作人员至少负责一个区调研，
则不同的派遣方案共有（ ）
A．36 种
B．48 种
C．56 种
D．72 种
【变式2】某高校要在假期安排甲、乙等名大学生到
、
、
三个公司进行社会实践，要求每个公司都
要有大学生去，且甲和乙都不能去
公司，则不同的安排方式有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【题型十二】分配问题
【例1】现将1 个红球、1 个黄球、1 个绿球及3 个白球（白球之间没有区别）放入3 个不同的盒子中，每
个盒子放入2 个球，则不同的放法种数为 ．（用数字作答）
【例2】若将4 名志愿者分配到3 个服务点参加抗疫工作，每人只去1 个服务点，每个服务点至少安排1 人，
则不同的安排方法共有（ ）
A．36 种
B．48 种
C．96 种
D．108 种
【题型十三】隔板法
【例1】学校决定把
个参观航天博物馆的名额给三（1）､三（2）､三（3）､三（4）四个班级.要求每个
班分别的名额不比班级序号少，即三（1）班至少个名额，三（2）班至少
个名额，……，则分配方案有
（ ）
A．种
B．
种
C．
种
D．
种
【例2】某校将个三好学生名额分配到高三年级的个班，每班至少个名额，则共有多少种不同的分配
方案（ ）
A．15
B．20
C．10
D．30
【变式1】学校有6 个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1 个名额，则有（
）种分配方案．
A．135
B．10
C．75
D．120
【变式2】现有9 个相同的球要放到3 个不同的盒子里，每个盒子至少一个球，各盒子中球的个数互不相
同，则不同放法的种数是（ ）
A．28
B．24
C．18
D．16
【题型十四】分解法模型与最短路径问题
【例1】夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不知道杨高
路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修的路，如图，假设夏老师
家在
处，学校在
处，
段正在修路要绕开，则夏老师从家到学校的最短路径有（ ）条．
A．23
B．24
C．25
D．26
【例2】有一种走“方格迷宫”游戏，游戏规则是每次水平或竖直走动一个方格，走过的方格不能重复，
只要有一个方格不同即为不同走法．现有如图的方格迷宫，图中的实线不能穿过，则从入口走到出口共有
多少种不同走法？
A．6
B．8
C．10
D．12
【变式1】如图，某城市的街区由12 个全等的矩形组成（实线表示马路），CD 段马路由于正在维修，暂
时不通，则从A 到B 的最短路径有（ ）
A．23 条
B．24 条
C．25 条
D．26 条
【变式2】方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社会生活
规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小相同的竹棍构造一个大
正方体（由个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从
点出发，沿着竹棍到达
点，则蚂蚁选择的
不同的最短路径共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【题型十五】环排问题
【例1】现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】A，B，C，D，E，F 六人围坐在一张圆桌周围开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅
子，B，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有（ ）
A．60 种
B．48 种
C．30 种
D．24 种
【变式1】如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个
区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.
A．40320 种
B．5040 种
C．20160 种
D．2520 种
【变式2】21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的人
出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数
为（ ）
A．19
B．38
C．51
D．57
易错点：对两个计数原理理解混乱
两个计数原理
完成一件事的策略
完成这件事共有的方法
分类加法
计数原理
有两类不同方案❶，在第1 类方案中有m 种不同
的方法，在第2 类方案中有n 种不同的方法
N＝m＋n 种不同的方法
分步乘法
计数原理
需要两个步骤❷，做第1 步有m 种不同的方法，
做第2 步有n 种不同的方法
N＝m×n 种不同的方法
(1)每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法
就可完成这件事.
(2)各类方法之间是互斥的、并列的、独立的.
(1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成
这件事.
(2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏.
易错提醒：1.完成一件事可以有n 类不同方案，各类方案相互独立，在第1 类方案中有m1 种不同的
方法，在第2 类方案中有m2 种不同的方法……在第n 类方案中有mn 种不同的方法.那么，完成这件事共
有N＝m1＋m2＋…＋mn 种不同的方法.
2.完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可，做第1 步有m1 种不同的方法，做第2 步有m2 种不同
的方法……做第n 步有mn 种不同的方法.那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn 种不同的方法.
【例1】甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相同的选法共
有
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
【例2】有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天
中恰有1 人连续参加两天服务的选择种数为
A．120
B．60
C．40
D．30
【例3】某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初
中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，则不同的抽样
结果共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
