第 02 讲 排列组合（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第13题,5分 实际问题中的组合计数问题 分类加法计数原理
分步乘法计数原理及简单应用
2023年新Ⅱ卷，第3题,5分 实际问题中的组合计数问题 抽样比、样本总量、各层总数、总体容
量的计算
2023年全国甲卷（理），
排列数的计算 分类加法计数原理
第9题,5分
2023年全国乙卷（理）， 排列数的计算
分步乘法计数原理及简单应用
第7题,5分 实际问题中的组合计数问题
2022年新I卷，第5题,5分 实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率
元素(位置)有限制的排列问题
2022年新Ⅱ卷，第5题,5分 无
相邻问题的排列问题
2022年全国甲卷（理），
组合计数问题 计算古典概型问题的概率
第15题,5分
2022年全国乙卷（理），
实际问题中的组合计数问题 计算古典概型问题的概率
第13题,5分
2021年全国甲卷（理），
不相邻排列问题 计算古典概型问题的概率
第10题,5分
2021年全国乙卷（理），
排列组合综合 无
第6题,5分
2020年新I卷，第3题,5分 排列组合综合 无
2020年新Ⅱ卷，第6题,5分 分组分配问题 无
2020年全国乙卷（理），
相邻问题的排列问题 分步乘法计数原理及简单应用
第14题,5分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度中等，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握排列与组合的定义2.掌握排列数与组合数的性质，会计算排列数与组合数
3.熟练掌握排列组合的解题方法
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般会和分类加法原理与分步乘法原理结合在小题中考查，
需重点复习
知识讲解
1．排列、组合的定义
从n个不同元素中 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不
排列的定义
取出m(m≤n)个元 同元素中取出m个元素的一个排列
组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
素
2．排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数 组合数
从 n 个 不 同 元 素 中 取 出
从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素
定义 m(m≤n，m，n∈N*)个元素
的所有不同排列的个数
的所有不同组合的个数
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C
3. 求解排列应用问题方法汇总
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元
插空法
素排列的空档中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
定序问题
对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起
除法处理 (共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列
数A，即得到不同排法种＝A.
间接法 正难则反、等价转化的方法
平均分组、部分平均分组
1．对不同元素的分配问题
(1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情
况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．
分组分配 (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 m组
元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就
要除以几个这样的全排列数．
(3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都
不相等，所以不需要除以全排列数．
将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有
种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每
隔板法
个盒子里所含元素个数，则可将这 个元素排成一列，共有 个空，使
用 个“挡板”进入空档处，则可将这 个元素划分为 个区域，刚好
对应那 个盒子(1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为
(2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为
环排问题
(3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的
排列数为
涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜
色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的
涂色问题
区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域
搭配的可能，再进行涂色即可。
考点一、 简单排列之排列数计算
1．（2023·全国·高三专题练习）若 ，则 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】根据排列数的计算公式即可求解.
【详解】由题意，得 ，化简可得 ，解得 ．
故选:B
2．（2022·全国·高三专题练习）现从6名学生干部中选出3名同学分别参加全校资源、生态和环保3个夏
令营活动，则不同的选派方案的种数是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【答案】C
【分析】根据排列可求不同的选派方案的种数.
【详解】共有 种不同的选派方案．
故选：C.
1．（2022·上海松江·统考一模）第24届冬奥会将于2022年2月4日20日在北京-张家口举行，某大学从7
名志愿者中选出4人分别从事对外联络､场馆运行､文化展示､赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同
的选派方案共有 种.
【答案】840【分析】根据题意可知不同安排方法为 种，即可求解.
【详解】根据题意，由7人选4人从事不同工作，是排列问题，
故不同的选派方案共有 ，
故答案为：840
2．（2022·上海·高三专题练习）第14届国际数学教育大会将于7月在上海举办，大会一共进行8天.若有4
位学者分别作个人大会报告，一天只能安排一个报告，且第一天和最后一天不安排报告，则不同的安排方
案种数为 (用数字作答).
【答案】360
【分析】根据题意，只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，由排列数公式计算可得
答案.
【详解】根据题意，大会一共进行8天，第一天和最后一天不安排报告，
只需在中间的6天中，任选4天，安排4位学者作报告即可，
则有 种安排方法，
故答案为：360.
考点 二 、 简单组合之组合数计算
1．（2023·陕西·高三校考阶段练习）某高中政治组准备组织学生进行一场辩论赛，需要从6位老师中选出
3位组成评审委员会，则组成该评审委员会不同方式的种数为（ ）
A．15 B．20 C．30 D．120
【答案】B
【分析】根据组合数计算即可
【详解】由题意，组成该评审委员会不同方式的种数为 种
故选：B
2．（2022·全国·统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.
【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有 种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有： ，共7种，故所求概率 .
故选：D.
3．（海南·统考高考真题）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排
1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
1．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随
机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有 件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有 ，
所以这2名学生来自不同年级的概率为 .
故选：D.
2．（2023·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）某学校门口现有2辆共享电动单车，8辆共享自行车.现
从中一次性随机租用3辆，则恰好有2辆共享自行车被租用的概率为 .
【答案】
【分析】根据古典概型列式结合组合数计算求解概率即可.【详解】恰好有2辆共享自行车被租用的概率为
故答案为: .
3．（2023秋·北京·高三北京四中校考开学考试）有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名学
生，其中恰好有1名男生的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用古典概型结合组合数计算概率即可.
【详解】由题意可得恰有一名男生的概率为： .
故选：A
考点 三 、 先选后排之排列组合综合
1．（山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科
的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【分析】首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有 种不同安排方法.
【详解】首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有 种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有 种情况.
所以共有 种不同安排方法.
故选：C
2．（海南·高考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少
有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有 种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有 种安排方法
所以，不同的安排方法共有 种故选：C
【点睛】解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
1．（2023秋·内蒙古包头·高三统考开学考试）将3名优秀教师分配到2个不同的学校进行教学交流，每名
优秀教师只分配到1个学校，每个学校至少分配1名优秀教师，则不同的分配方案共有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】D
【分析】先将3名教师分组，然后再分配即可.
【详解】将3名教师分组，有 种方法，
再分配到2个不同的学校得 ，即不同的分配方案共有6种.
故选：D.
2．（2023·全国·高三专题练习）党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进．为学习贯彻党的二十大精神，
某宣讲小分队将5名宣讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲
员，则不同的分配方案共有（ ）
A．480种 B．240种 C．120种 D．60种
【答案】B
【分析】先选出2人为1组有 种，再将4组人员分配到4个社区有 ，根据分步计数原理，即可求出结
果.
【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1，1，1，2，
先选出2人为1组有 种，再将4组人员分配到4个社区有 ，
所以不同的分配方案共有 .
故选：B.
3．（2023秋·海南儋州·高三海南省洋浦中学校考阶段练习）某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，
D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一
个学校.则不同的安排方法共有（ ）
A．96种 B．144种 C．240种 D．384种
【答案】C
【分析】先将6名教师分成4组，然后再分配到学校即可.
【详解】将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校.若教师人数依次为 ，则不同的安排方法种数
为： 种；
若教师人数依次为 ，则不同的安排方法种数为： 种，
故不同的安排方法共有 种.故选：C.
考点 四 、 捆绑法
1．（2023春·重庆·高三校考）有3名男生和2名女生排成一排，女生相邻的不同排法有（ ）
A．36种 B．48种 C．72种 D．108种
【答案】B
【分析】根据捆绑法进行求解即可.
【详解】不同排法种数为 种，
故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）随着杭州亚运会的临近，吉祥物“琮琮、莲莲、宸宸”开始走俏国内外.现
有 个完全相同的“宸宸”，甲、乙、丙 位体育爱好者要与这 个“宸宸”站成一排拍照留念，则有且只
有 个“宸宸”相邻的排队方法数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先将 位体育爱好者进行排序，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，再将“大元
素”与另外一个“宸宸”插入 位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），结合分步乘法原理可得结果.
【详解】先将 位体育爱好者进行排序，共有 种排法，
因为 个“宸宸”完全相同，将其中两个“宸宸”捆绑，形成一个“大元素”，
再将“大元素”与另外一个“宸宸”插入 位体育爱好者所形成的空位中（包括两端），
由分步乘法计数原理可知，不同的排队方法种数为 种.
故选：C.
3．（2023·全国·高三专题练习）某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现
有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙
在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．72种 B．81种 C．144种 D．192种
【答案】D
【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的
排法，即可得出答案.
【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为 ，
若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为 ，
由间接法可知，满足条件的排法种数为 种.
故选：D.4．（2023·全国·高三专题练习）某校实行选科走班制度(语文、数学、英语为必选科目，此外学生需在物理、
化学、生物、历史、地理、政治六科中任选三科)．根据学生选科情况，该校计划利用三天请专家对九个学
科分别进行学法指导，每天依次安排三节课，每节课一个学科．语文、数学、英语只排在第二节．物理、
政治排在同-天．化学、地理排在同一天，生物、历史排在同一天，则不同的排课方案的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】先将语文、数学、英语排在第二节，有 种排法，
将物理和政治，化学和地理，生物和历史分别“捆绑”，有 种排法，将捆绑后的三个元素排在
三天，有 种排法，则不同的排课方案的种数为 种．故选D．
1．（2023春·广东中山·高三统考期末）6名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须在一起的不同排法共
有（ ）
A．36种 B．72种 C．144种 D．720种
【答案】C
【分析】利用捆绑法可求不同的排法.
【详解】甲、乙、丙三人在一起，有 种不同的排法，
把甲、乙、丙看成一个整体，与其余的3个人混排，共有 种不同的排法，
故共有 种，
故选：C.
2．（2023秋·安徽·高三校考阶段练习）将3名男生，2名女生排成一排，要求男生甲必须站在中间，2名
女生必须相邻的排法种数有（ ）
A．4种 B．8种 C．12种 D．48种
【答案】B
【分析】根据分步乘法原理结合排列数求解即可.
【详解】先让甲站好中间位置，再让2名女生相邻有两种选法，最后再排剩余的2名男生，
根据分步乘法原理得，有 种不同的排法.
故选：B
3．（2023·北京·校考模拟预测）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，
丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．32种 D．40种
【答案】B
【分析】利用捆绑法求出丙和丁相邻的不同排列方式，再减去甲站在两端的情况即可求出结果．【详解】把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有 种情况，
甲站在两端的情况有 种情况，
甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有 种.
故选：B．
4．（2023秋·重庆·高三统考阶段练习）雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022
到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖
仪式上，女篮队员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组
三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据捆绑法以及特殊元素优先安排的原则，即可由排列组合以及分步乘法计数原理求解.
【详解】选择左右两边其中一边将教练组3人捆绑看作一个整体安排共有 种排法，
将剩余的11名队员全排列共有 ，
由分步乘法计数原理可得总的站法有 ，
故选:B.
考点 五 、 插空法
1．（2023秋·黑龙江·高三校考）甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】甲和乙不相邻，先排丙、丁、戊三人，再将甲乙插空即可．
【详解】先排丙、丁、戊三人，共有 种排法，
甲和乙不相邻，再将甲、乙插空，
共有 种排法，故排法种数为 ．
故选：D
2．（2023春·河北石家庄高三校考）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，
有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个
不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容
融”丙相邻的不同的排列方法总数为（ ）
A．480 B．960 C．1080 D．1440
【答案】B【分析】先用捆绑法再用插空法计算.
【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有 种排法，排好后包括左右两边有5个空，
再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有 种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别
插入前面的5个空中，有 种方法；
所以总的排列方法数为： ；
故选：B.
3．（2023·四川·校联考模拟预测）甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2个大人和2个小
孩，乙家庭有2个大人和3个小孩，他们9人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，
且同一家庭的大人不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144 B．864 C．1728 D．2880
【答案】C
【分析】利用捆绑以及插空法求得正确答案.
【详解】甲家庭的站法有 种，乙家庭的站法有 种，
最后将两个家庭的整体全排列，有 种站法，
则所有不同站法的种数为 ．
故选：C
4．（2023春·江苏校考阶段练习）阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着
3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻
照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面
也不排最后面．则不同的排法种数共有( )
A．144种 B．216种 C．288种 D．432种
【答案】C
【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．
【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有 种排法；
第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有 种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有 种排
法；
第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝
与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有 种排法．
∴不同的排法种数有： 种．
故选：C．1．（2023·全国高三专题练习）某种产品的加工需要经过 道工序，如果工序C，D必须不能
相邻，那么有 种加工顺序（数字作答）
【答案】72
【分析】利用插空法，先排其余的3道工序，出现4个空位，再将这2道工序插空.
【详解】先排其余的3道工序，有 种不同的排法，
出现4个空位，再将C，D这2道工序插空，
有 种不同的排法，
所以由分步乘法原理可得，共有 种加工顺序.
故答案为：72
2．（2022秋高三课时练习）根据新课改要求，昆明市艺卓中学对学校的课程进行重新编排，其中对高二
理科班的课程科目：语文、数学、英语、物理、化学、生物这六个科目进行重新编排（排某一天连续六节
课的课程，其中每一节课是一个科目），编排课程要求如下：数学与物理不能相邻，语文与生物要相邻，
则针对这六个课程不同的排课顺序共有（ ）
A．144种 B．72种 C．36种 D．18种
【答案】A
【分析】由题意知，语文生物相邻用捆绑法“捆绑法”，先与不受限学科全排列，数学物理不相邻，用
“插空法”后排列，最后要考虑语文生物的顺序，根据排列数公式以及分步乘法原理即可求出结果.
【详解】语文与生物要相邻，将语文与生物捆绑看作一个整体. 数学与物理不能相邻，采用插空法，后排.
第一步，将语文与生物捆绑看作一个整体后，与英语、化学共3个，排列种类为 ；
第二步，第一步完成后共有4个位置，将物理和数学排好，排列种类为 ；
第三步，语文与生物的排列种类为 .
所以，总的排列顺序有 .
故选：A.
3．（2023春·浙江台州高三统考）第19届亚运会将于今年9月23日到10月08日在杭州举行.其吉祥物是
一组名为“江南忆”的机器人.三个吉祥物分别取名“琮琮”、“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产
“良渚古城遗址”、“西湖”、“京杭大运河”.某校开展了一系列的“迎亚运”活动，其中一项是由志愿
者扮演吉祥物和同学们合影留念.甲乙两位同学和三个吉祥物一起合影，站成一行，要求甲乙不相邻，且甲
乙均不站在两端，则不同的站法种数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】C
【分析】利用插空法即可求解.
【详解】先将三个吉祥物进行全排列，则有 种；再将甲乙进行插孔，因为甲乙不相邻，所以有 种，
所以共有 种不同的站法，
故选：C.
4．（2023春·陕西高三校考）某中学于2023年4月25日召开春季运动会，在开幕式之前，由高一，高二
学生自发准备了7个娱乐节目，其中有2个歌曲节目，3个乐器独奏，2个舞蹈节目，要求舞蹈节目一定排
在首尾，另外2个歌曲节目不相邻．则这7个节目出场的不同编排种数为（ ）
A．288 B．72 C．144 D．48
【答案】C
【分析】先把舞蹈节目排好，再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，再利用插空法排2个歌唱节目即
可.
【详解】先把舞蹈节目排好，共 种，
再在2个舞蹈节目中间排好3个乐器独奏，共 种，
这样3个乐器独奏与2个舞蹈节目中间共产生4个空档（不包括两边），
2个歌唱节目排在4个空档上，共 种．
故这7个节目出场的不同编排种数为 种．
故选：C．
考点 六 、 特殊元素法
1．（2023·全国·高三对口高考）运输公司从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，到
， ， ， ， 这五个不同地区执行任务，要求 地只能派男司机， 地只能派女司机，则不同的方
案种数是（ ）
A．360 B．720 C．1080 D．2160
【答案】D
【分析】根据分步乘法，先抽取司机，再分配去不同地方，有限制条件的先排.
【详解】第一步，先从5名男司机，4名女司机中选派出3名男司机，2名女司机，共有 种方法，
第二步，从抽取到的司机中，派1名男司机去 地，派一名女司机去 地，共有 种方法，
第三步，剩下3名司机随机去 ， ， 三地，共有 种方法，
故不同方案种数为 ，
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）某地区为发展 ， ， ， ， 五个村的经济，引入了“林果、茶园、
养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制， 村无法实施“农业特色深加工”项目， 村无法实施“养殖”项目， ， ， 三个村可以实
施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．60种 B．72种 C．78种 D．120种
【答案】C
【分析】分 村实施“农业特色深加工”项目与 村不实施“农业特色深加工”项目两种情况讨论，按照
分类、分步计数原理计算可得.
【详解】解：依题意，①若 村实施“农业特色深加工”项目，则其余 个村庄无限制，则有 种安
排方法；
②若 村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的 个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有
种方法，
再从除 村以外的 个村庄选择一个实施“养殖”项目，有 种方法，
剩下 个村庄与项目全排列即可，有 种方法，
按照分步计数原理可得有 种方法，
综上可得一共有 种方法；
故选：C
3．（2023春·新疆·高三校考）某校为深入开展劳动教育，通过学校的电子屏幕播放“我的校园我打扫”，
大力宣传劳动的价值意义，使学生树立正确的劳动观 某日甲、乙、丙、丁四名同学值日打扫卫生，卫生区
域划分为 ， ， ， 四块，每个区域安排一个同学去打扫，其中甲不去打扫 区域，乙不去打扫 区
域，则不同的安排方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分甲取打扫 区域和甲去打扫 或 区域两种情况，结合分步乘法计数原理和分类加法计数原理
求解.
【详解】因为甲不去打扫 区域，所以可以安排甲去打扫 中的一个区域，
若甲去打扫 区域，则甲的安排方法只有一种，再安排乙，丙，丁三人共 种安排方法，由分步乘法计数
原理可得有 种安排方法，
若甲去打扫 区域或 区域，则甲的安排方法只有两种，再安排乙，由于乙不能去打扫 区域，故乙的安
排方法有两种，再安排丙，丁两人，共 种安排方法，由分步乘法计数原理可得有 种安排方
法，
由分类加法计数原理可得共有 种安排方法.
故选：B.
4．（2023·全国·高三专题练习）第 届世界大学生夏季运动会于 月 日至 月 日在成都举办，现在从
男 女共 名青年志愿者中，选出 男 女共 名志愿者，安排到编号为 、 、 、 、 的 个赛场，
每个赛场只有一名志愿者，其中女志愿者甲不能安排在编号为 、 的赛场，编号为 的赛场必须安排女志愿者，那么不同安排方案有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】对女志愿者甲是否被选中进行分类讨论，分别确定各赛场的人员安排，结合分类加法计数原理可
得结果.
【详解】分以下两种情况讨论：
①女志愿者甲被选中，则还需从剩余的 人中选出 男 女，选法种数为 ，
则女志愿者甲可安排在 号或 号或 号赛场，另一位女志愿者安排在 号赛场，
余下 个男志愿者随意安排，此时，不同的安排种数为 ；
②女志愿者甲没被选中，则还需从剩余 人中选出 男 女，选法种数为 ，
编号为 的赛场必须安排女志愿者，只需从 名女志愿者中抽 人安排在 号赛场，
余下 人可随意安排，此时，不同的安排方法种数为 .
由分类加法计数原理可知，不同的安排方法种数为 种.
故选：D.
1．（2023春·四川绵阳·高三期末）第31届世界大学生夏季运动会，将于2023年7月28日在成都举办，是
中国西部第一次举办世界性综合运动会．某高校有甲，乙，丙，丁，戊5名翻译志愿者去参加A，B，C，
D，E，五个场馆的服务工作，每人服务一个场馆且每个场馆需要一人．由于特殊原因甲不去A场馆，乙不
去 场馆，则不同的安排方法有（ ）
A．120种 B．96种
C．78种 D．48种
【答案】C
【分析】先进行5人全排列，再减五考虑将甲去A场馆，乙去B场馆，最后加回甲去A场馆，同时乙去B
场馆，即可.
【详解】先将五人全排列放入五个场馆，共有 种方法，
再考虑将甲去A场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
乙去B场馆，其他四个人全排列，共有 种方法，
而甲去A场馆，同时乙去B场馆，共有 种方法，
所以满足要求的方法有 种.
故选：C
2．（2023春·天津·高三统考期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你
中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共
有（ ）
A．14种 B．48种 C．72种 D．120种
【答案】D
【分析】按照合唱歌曲的个数来分类：可能选出两首，可能是一首，合唱歌曲有要求，则需要先排，然后
进行排列.
【详解】（1）若只选取一首合唱歌曲，有 种方法，那么独唱歌曲要选 首，有 种方法，然后先排合
唱歌曲在最后，其余的全排列 ，共 种；
（2）若选取两首合唱歌曲，有 种方法，那么独唱歌曲要选 首，有 种方法，然后先排选一首合唱歌
曲在最后有 种方法，其余的全排列 ，共 种.
因此一共 种.
故选：D
3．（2023春·北京·高三统考）某班一天上午有4节课，下午有2节课．现要安排该班一天中语文、数学、
政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数有（
）
A．48种 B．96种 C．144种 D．192种
【答案】D
【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．
【详解】由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有 种，
再排其余4节，有 种，
根据乘法原理，共有 种方法，
故选：D．
4．（2023春·山东青岛·高三统考阶段练习）五个人站队排成一行，若甲不站排头，乙不站排尾，则不同排
法的种数为（ ）
A．36 B．72 C．78 D．120
【答案】C
【分析】首先对甲的站位进行分类，再按照分步原理进行计算.
【详解】由题意，分成2种情况，
一种情况是甲站排尾，则其余4人全排列，有 种方法，
另一种情况是甲不占排尾，则甲有3种方法，乙有3种方法，其余3人全排列，有 种方法，
综上可知，共有 种方法.
故选：C考点 七 、 特殊位置法
1．（2022·全国·统考高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，
丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有 种排列方
式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有： 种不同的排列方式，
故选：B
2．（2023·江苏·高三校考期末）某餐厅并排有7个座位，甲、乙、丙三位顾客就餐，每人必须选择且只能
选择一个座位，要求两端座位不能坐人，并且连续空座至多有2个，则不同的坐法有（ ）
A．24种 B．36种 C．48种 D．56种
【答案】C
【分析】先安排甲、乙、丙在去掉两端的 个位子，再将连续空座超过 个的情况减去，得到答案.
【详解】因为7个座位两端座位不能坐人，
所以甲、乙、丙可以在剩余的 个位子有顺序的就坐，坐法有 种，
因为连续空座至多有 个，
所以出现连续 个空座的情况为最左端的 个为空座，
甲、乙、丙三人坐在第 、 、 个位子上，第 个位子是最右端，只能空着，
则这种情况为 ，
同理，连续 个空座的情况为最右端的 个为空座，这种情况为 ，
所以，满足要求的坐法有 种.
故选：C.
【点睛】本题考查排列问题的应用，正确的分类和分布是解决问题的关键，利用问题的反面，将不符合要
求的情况缺掉，属于中档题.
3．（2023·河北·高三统考）包括甲、乙、丙3人的7名同学站成一排拍纪念照，其中丙站中间，甲不站在
乙的左边，且不与乙相邻，则不同的站法有（ ）
A．240种 B．252种 C．264种 D．288种
【答案】C
【解析】先排甲、乙、丙外的4人，再对甲、乙、丙三人分类讨论即可得解.【详解】先排甲、乙、丙外的4人，有 种排法，再排甲、乙2人，有两类方法：
一类是甲、乙2人插空，又甲排在乙的左边，然后丙排在中间，
故有 种不同的站法；
另一类是把甲、乙、丙按乙、丙、甲的顺序插入中间，有 种不同的站法，
所以共有264种不同的站法.
故选：C
【点睛】此题考查计数原理的应用，利用排列组合相关知识解决排位问题，需要熟练掌握计数原理相关知
识.
4．（2023·北京·高三统考）某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班1天，若7位
员工中的甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排方案共有（ ）
A．504种 B．960种 C．1008种 D．1108种
【答案】C
【分析】根据题意，用间接法分析：先计算甲乙相邻的排法种数，进而计算其中“甲乙相邻且丙排在初
一”、“甲乙相邻且丁排在初七”和“甲乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七”的排法种数，据此分析可
得答案．
【详解】根据题意，用间接法分析：
甲乙相邻，即甲乙排在相邻的两天，有 ＝1440种情况，
其中，甲乙相邻且丙排在初一的排法有 ＝240种，甲乙相邻且丁排在初七排法有 ＝240种，甲
乙相邻且丙排在初一同时丁排在初七排法有 ＝48种，
则不同的安排方案共有1440－240－240＋48＝1008种，
故选：C．
5．（2023·重庆·高三统考）2010年广州亚运会结束了，某运动队的7名队员合影留念，计划站成一横排，
但甲不站最左端，乙不站最右端，丙不站正中间.则理论上他们的排法有( )
A．3864种 B．3216种 C．3144种 D．2952种
【答案】B
【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、甲在右端，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后
再将剩余的4个人全排列；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. ③、若甲不在中
间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，分乙在中间与乙不在中间，再安排丙的位置，最后再将剩
余的4个人全排列；最后由分类计数原理计算可得答案．
【详解】根据题意，分3种情况讨论：
①、甲在右端，若乙在中间，则丙有5个位置可选，再将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，
有 种情况；
甲在右端，若乙不在中间，则乙还有5个位置可选，此时丙还有4个位置可选，再将剩余的4个人全排列，
安排在其余的4个位置， 有 种情况；两种情况合并，共有 种情况；②、若甲在中间，分丙在右端与丙不在右端两种，情况同①. 共有 种情况；
③、若甲不在中间也不在右端，先排甲，有4种方法，再排乙，乙若在中间，则丙有5种排法；乙若不在
中间，则乙有4种排法，此时丙有4种排法；最后，将剩余的4个人全排列，安排在其余的4个位置，共
有 种情况；
综上，则共有 种不同的站法．
故选：B.
1．（2023·广东·高三校联考）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若丙不站在两端，
甲和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【分析】利用捆绑法和特殊位置优先法结合分步乘法原理求解即可
【详解】将甲和丁看作一个整体，有 种方法，
从乙、戊和甲丁的整体中选两个安排在两端，则有 种方法，
再安排丙和剩下的人，有 种方法，
根据分步乘法原理可知共有 种方法，
故选：B
2．（2023·贵州·高三校考阶段练习）高三毕业来临之际，甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影留念，
排成一排，甲老师在正中间且甲乙教师相邻的排法共有（ ）种.
A．36 B．24 C．20 D．12
【答案】D
【分析】分类讨论结合分步计数原理计算即可.
【详解】甲乙两名教师和三名学生参加毕业拍照合影，排成一排有五个位置，
第一步先排老师，甲老师在正中间且甲乙教师相邻有 两种安排，即乙老师在甲老师左侧或右侧，
第二步剩余三人三个位置全排列有 种排法，故共有 种排法.
故选：D
3．（2023·湖南长沙·高三校考阶段练习）某小学班级星期一要排5节课,语文、数学、英语、音乐、体育各
1节,考虑到学生学习的效果,第一节不排数学,语文和英语相邻,且音乐和体育不相邻,则不同的排课方式有(
)
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【分析】利用间接法,先求出第一节没有要求的排列的种数,再排除第一节排数学的种数,即可求得答案.【详解】 把语文和英语看作一个复合元素和数学全排,形成了三个空,把音乐和体育插入到其中 个空中.
有 种,
又 第 节排数学,第 节只能排语文和英语,第 节只能排音乐和体育,
有 种,
第 节不排数学,语文和英语相邻.且音乐和体育不相邻,
不同的排课方式有 种,
故选：C.
【点睛】本题考查组合计数问题的求解.对于限制条件较多的组合计数问题,通常采用间接法来进行求解,易
错点是忽略限制条件的彼此影响,造成求解错误,考查了分析能力,属于中档题.
4．（2023·全国·高三开学考试）在“学宪法､讲宪法”活动中，将甲､乙､丙､丁四位法律老师分配到A､B､C､
D四个班级进行宣讲，每个班级分配一位老师.若甲不分配到A班，丁不分配到D班，则分配方案的种数为
（ ）
A．12 B．14 C．16 D．24
【答案】B
【解析】先分配甲，按甲分到 班和不分到 班分类讨论．再分配丁，最后考虑乙和丙即可得．
【详解】甲分到 班，有 种方法；甲分到 或 班，有方法数 ，
总共有方法数为 种．
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题考查排列组合的综合运算，解题关键是确定完成事件的方法，对于特殊元素特
殊位置需优先安排．本题完成分配方案可先安排甲，然后安排丁，最后安排乙和丙，
安排甲时需分类讨论：甲安排在 班时，另外三人随便安排即可，甲安排在 两班之一，由丁只有两个
班可安排，最后再安排乙丙，由此应用乘法原理和加法原理可得结论．
5．（2023·全国·高三专题练习）5名同学坐成一排照相，要求甲不在正中间，且甲、乙不相邻，则这5名
同学不同坐法的种数为（ ）
A．24 B．36 C．60 D．72
【答案】C
【分析】根据特殊元素及特殊位置优先考虑，再利用分步加法计数原理及排列数公式即可求解.
【详解】由题意可知，有的5个座位，如图所示
1 2 3 4 5
先安排甲：①甲坐1或5，有2种坐法，则乙有3种坐法，剩下的3名同学有 种坐法，共有
种坐法；②甲坐2或4，有2种坐法，则乙有2种坐法，剩下的3名同学有 种坐法，共
有 种坐法.所以这5名同学坐成一排的不同坐法共有 （种）.
故选:C.6．（2023·全国·高三专题练习）因演出需要，身高互不相等的9名演员要排成一排成一个“波浪形”，即
演员们的身高从最左边数起：第一个到第三个依次递增，第三个到第七个依次递减，第七、八、九个依次
递增，则不同的排列方式有（ ）种．
A．379 B．360 C．243 D．217
【答案】A
【分析】依题意，重点要先排好7号位和3号位，余下的按部就班即可.
【详解】依题意作图如下：
上面的数字表示排列的位置，必须按照上图的方式排列，其中3号位必须比124567要高，
1，7两处是排列里最低的，3，9两处是最高点，
设9个演员按照从矮到高的顺序依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，
则 3号位最少是7，最大是9，下面分类讨论：
第3个位置选7号：先从1，2，3，4，5，6号中选两个放入前两个位置，
余下的4个号中最小的放入7号位置，剩下的三个放入中间三个位置，
8，9号放入最后两个位置，即 ；
第3个位置选8号：先从1，2，3，4，5，6，7号中选两个放入前两个位置，
余下的5个号中最小的放入7号位置，剩下4个选3个放入中间三个位置，
余下的号和9号放入最后两个位置，即 ；
第3个位置选9号：先从1，2，3，4，5，6，7，8号中选两个放入前两个位置，
余下的6个号中最小的放入7号位置，剩下5个选3个放入中间三个位置，
余下的2个号放入最后两个位置，即 ；
由分类计数原理可得共有 种排列方式；
故选：A.
考点 八 、 间接法
1．（2023春·广东·高三统考阶段练习）2022年在贵州省黔东南州台盘乡举办的贵州省“美丽乡村”篮球
联赛，经由短视频火爆全网，被称为“村BA”，中国驻美大使及外交部发言人在海外媒体发文推荐．某高三班主任从网上找到6个与此相关的短视频 ， ， ， ， ， ，准备从这6个短视频中再选出3个向
学生推荐，则 ， ， 至少选1个的方法种数为（ ）
A．8 B．18 C．19 D．24
【答案】C
【分析】利用间接法进行求解，先求总数，去掉不合要求的，可得答案.
【详解】不同选法种数为 .
故选:C．
2．（2023春·重庆·高三校考）甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰
参加一门学科竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种不同
的参加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
【答案】C
【分析】先不考虑甲乙两名同学，利用分组分配法求出安排总数，再减去甲乙参加同一学科的情况，即可
得解.
【详解】依题意将 名同学分成 、 、 、 四组，再分配到四门学科中有 种，
其中甲乙两人恰好参加同一学科竞赛的有 种，
所以不同的参加方法有 种.
故选：C
3．（2023·江西南昌·校考模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的
点，则不同的取法种数为（ ）
A．141 B．144 C．150 D．155
【答案】A
【分析】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案．
【详解】从10个点中任取4个点有 种取法，其中4点共面的情况有三类．
第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有 种；
第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种；
第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱），
它的4顶点共面，有3种．
以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有 种．
故选：A．
4．（2023·江苏·高三校考）某校组织一次认识大自然的活动，有10名同学参加，其中有6名男生､4名女
生，现要从这10名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本.抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共（
）
A．192种 B．120种 C．96种 D．24种【答案】C
【分析】根据给定条件，利用排除法、组合应用问题列式计算作答.
【详解】从10名同学中随机抽取3名同学有 种方法，抽取的人全是男生的有 种，全是女生的有 种，
所以抽取人中既有男生又有女生的抽取方法共 （种）.
故选：C
5．（2022·河北·高三校考）现有16张不同的卡片，其中红色，黄色，蓝色，绿色卡片各4张，从中任取3
张，要求这3张卡片不能是同一颜色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种数为（ ）
A．484 B．472
C．252 D．232
【答案】B
【分析】用间接法分析.先求出“从16张卡片中任取3张的所有取法数”，再分析“取出的3张为同一种
颜色”和“取出的3张有2张绿色卡片”的取法数，从而可求出答案.
【详解】根据题意，不考虑限制，从16张卡片中任取3张，共有 种取法，
如果取出的3张为同一种颜色，则有 种情况，
如果取出的3张有2张绿色卡片，则有 种情况，
故所求的取法共有 种.
故选：B.
1．（2022·辽宁·校考一模）2022年2月4日，中国北京第24届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气
的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出
“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文
化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放
置方式有多少种？（ ）
A．192 B．240 C．120 D．288
【答案】A
【分析】先用捆绑法得到，只有“立春”和“惊蛰”相邻的情况，再减去“清明”和“惊蛰”相邻的情况
即可.
【详解】由题，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到 ,
当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布
两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即 ，
所以最终满足题意的排法为240-48=192.
故选：A2．（2023·上海·高三专题练习）2021年7月20日郑州特大暴雨引发洪灾，各地志愿者积极赴郑州救灾.某
志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前两天每天1人，第三天2人，且其中的
甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（ ）
A．72种 B．60种 C．54种 D．48种
【答案】C
【分析】分随机选4人只含甲乙中的一个、含甲乙两人两种情况，结合分步计算及间接法分别求得安排方
法数，最后加总即可.
【详解】若随机选4人中只含甲乙中的一个，则 种，
前两天每天1人，第三天2人，有 种，
此时，共有 种；
若随机选4人中含甲乙两人，则 种，
前两天每天1人，第三天2人且甲、乙不同在第三天值班，有 种，
此时，共有 种.
综上，共有54种.
故选：C
3．（2023·江苏·高三校考）中国空间站（ChinaSpaceStation）的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和
梦天实验舱. 年 月 日 分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分
的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“ ”字形架构，我国成功将中国
空间站建设完毕. 年，中国空间站将正式进入运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等 名航天员都去开
展实验，三舱中每个舱至少一人，且甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D．以上都不对
【答案】B
【分析】利用间接法，：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为 、 、 ，再将这三组人分配给三个舱；
其次考虑虑甲、乙两人在同一舱时，分配的方法种数，作差可得结果.
【详解】利用间接法：先考虑将四人分为三组，每组人数分别为 、 、 ，再将这三组人分配给三个舱，
不同的分配方法种数为 ；
然后考虑甲、乙两人在同一舱的情形，只需将另外两人分成两组，每组一人，再将这三组人分配给三个舱，
此时，不同的分配方法种数为 种.
综上所述，甲、乙两人不同舱，则不同的安排方法种数为 种.
故选：B.
4．（2023·江苏·高三校考）将4名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理
4个项目进行培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小王不去文艺文
化项目，则不同的分配方案共有（ ）A．12种 B．24种 C．18种 D．48种
【答案】C
【分析】应用排列数求任意分配方法数及小王去文艺文化项目的分配方法数，再利用间接法求不同的分配
方案数.
【详解】由题意，4名志愿者任意分配共有 种分法，
若志愿者小王去文艺文化项目，其它3名任意分配有 种分法，
所以志愿者小王不去文艺文化项目的分配方法有 种.
故选：C
5．（2023·河南·高三校考）某班团支部换届选举，从已产生的甲、乙、丙、丁四名候选人中选出三人分别
担任书记、副书记和组织委员，并且规定：上届任职的甲、乙、丙三人不能连任原职，则不同的任职结果
有（ ）.
A．15 B．11 C．14 D．23
【答案】B
【分析】利用正难则反的方法，求出总的方法数，利用分类讨论的方法，分一、二、三个职位连任，可得
答案.
【详解】四人中选出三人分别任职三个不同的岗位，其方法数为 ，
三个职位中有一位连任，假设上届任职的甲、乙、丙三人分别担任书记、副书记和组织委员，
假设甲连任书记，副书记可选的人选分别为丙和丁，
当丁担任了副书记，则组织委员只能选乙；当丙担任了副书记，则组织委员只能选乙和丁，
故其方法数为 ；
三个职位中有两位连任，其方法数为 ；
三个职位中三位都连任，其方法数为1.
故符合题意的方法数为 .
故选：B.
考点 九 、 隔板法
1．（2023·甘肃·高三校联考阶段练习）某学校购买了10个相同的篮球分配给高三年级6个班，要求每个班
至少一个篮球，则不同的分配方法有（ ）
A．126种 B．84种 C．72种 D．48种
【答案】A
【分析】由排列、组合及简单计数问题，结合相同元素分组问题隔板法求解即可.
【详解】将10个篮球排成一排，形成9个空，插入5个挡板将篮球分成6组，所以不同的分配方案有 种.
故选:A.
2．（2023·高三课时练习）中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50
台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意，每所学校1台，还剩40台，再在中间39空中，插入9个挡板，即可求出不同的发放方
案种数．
【详解】首先每个学校配备一台，这个没有顺序和情况之分，剩下40台；将剩下的40台排队一样排列好，
则这40台校车之间有39个空．对这39个空进行插空，比如说用9面小旗子隔开，就可以隔成10部分了，
所以是在39个空里选9个空进行插空，所以是 .
故选D.
【点睛】本题主要考查了元素相同的分配问题——隔板法，属于常见的组合问题，属于典型问题.
3．（2023·河北·高三校考阶段练习）小明同学去文具店购买文具，现有四种不同样式的笔记本可供选择
（可以有笔记本不被选择），单价均为一元一本，小明只有 元钱且要求全部花完，则不同的选购方法共
有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】B
【解析】将问题等价转化为将 个完全相同的小球放入 个盒子里，允许有空盒，进一步转化为：将 个
完全相同的小球放入 个盒子里，每个盒子里至少有 个球，利用隔板法可得出结果.
【详解】问题等价转化为将 个完全相同的小球放入 个盒子里，允许有空盒.
进一步转化为：将 个完全相同的小球放入 个盒子里，每个盒子里至少有 个球.
由隔板法可知，不同的选购方法有 种.
故选：B.
【点睛】本题考查利用隔板法解决实际问题，将问题进行等价转化是解题的关键，考查计算能力，属于中
等题.
4．（2023·黑龙江·高三校考）小明去文具店购买中性笔，现有黑色､红色､蓝色三种中性笔可供选择，每支
单价均为1元.小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（ ）
A．10种 B．15种 C．21种 D．28种
【答案】D
【分析】将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，
每组对应一种颜色的中性笔，利用隔板法求解.
【详解】解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，
将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，
6个小球､2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有 种；
故选：D.
【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：简单问题原理法、小数问题列举法、相邻问题捆绑法、不相
邻问题插空法、至少问题间接法、复杂问题分类法、等概率问题缩倍法.要根据已知条件灵活选择方法求解.
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合 ，其中 为自然数且 ，则符合条件的
集合A的个数为（ ）
A．833 B．884 C．5050 D．5151
【答案】A
【分析】利用隔板法，然后排除有两个数相同的结果，再结合集合元素的无序性可得.
【详解】将100个小球排成一列，在101个空位（包括两段的空位）中插入第一个挡板，再在产生的102
个空位中插入第二个挡板，将小球分成三段，分别记每段中的小球个数为a、b、c，共有
种结果，
因为 ，所以a、b、c中含有两个0,1,2，…，50各有3种结果，
所以a、b、c三个数各不相等的结果共有 个
因为三个元素的每种取值有6种不同顺序，
所以，由集合元素的无序性可知符合条件的集合A的个数为 个.
故选：A
1．（2022·高三课时练习）现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班，其中一、二班每班至少3个名额，三、
四、五班每班至少2个名额，则名额分配方式共有（ ）
A．15种 B．35种 C．70种 D．125种
【答案】B
【分析】利用隔板法求解.
【详解】根据题意，先将15个名额分配给一班、二班每班2个，三、四、五班每班1个，还剩下8个名额，
将剩下的8个名额进行分 组，每组至少一人，
利用“隔板法”求解，8个有7个间隔，要分成 组，7个间隔选4个即可，则有 种分配方法.
故选： .
2．（2023·安徽·高三校考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（
）
A．840 B．35 C．20 D．15
【答案】C【分析】利用“隔板法”即可得解．
【详解】将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，
因为每个盒子都有球，所以每个盒子至少有一个球，
不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同
插入方法共有 种，
所以每个盒子都有球的放法种数为20．
故选：C．
3．（2024·全国·高三专题练习）方程 的非负整数解的组的个数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成 部分，利用隔板法即可得解.
【详解】依题意，可知 为非负整数，
因为 ，所以 ，
从而将问题转化为：将排成一列的14个完全相同的小球分成 部分，
一共有13个间隔，利用4个隔板插入即可，故共有 种.
故选：A
4．（2022·高三课时练习）有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得4个苹
果，问有多少种不同的分配方案？
A．680 B．816 C．1360 D．1456
【答案】A
【详解】先给每个小朋友分三个苹果，剩余 个苹果利用“隔板法”，
个苹果有 个空，插入三个 “板”，共有 680种方法.
故选：A.
5．（2023·北京·高三校考阶段练习）已知 ，且 ，记 为 ， ， 中的最大值，
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据隔板法得到 的解有 组，然后列举得到 有6组解，最后求
概率即可.
【详解】根据隔板法，将10看做10和完全相同的小球排成一排，中间形成9个空，放入两个隔板，可求得 的解有 组，
时， 或 或 或 或 或 ，
所以 .
故选：A.
考点 十 、 定序倍缩法
1．（2023·浙江·高三统考）将甲、乙、丙等六位同学排成一排，且甲、乙在丙的两侧，则不同的排法种数
共有( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据排列中的定序问题的除法处理即可求解
【详解】将甲、乙、丙等六位同学进行全排可得 种，
甲、乙、丙的排列为 种，
因为甲、乙在丙的两侧，所以可能为甲丙乙或乙丙甲，
所以不同的排法种数共有 种．
故选：D.
2．（2023·甘肃·高三校考）由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中百位、十位、个位数字总
是从小到大排列的共有（ ）
A．120个 B．100个 C．300个 D．600个
【答案】B
【分析】先计算所有组成的六位数的情况，再根据对特定的3个数字排到百十个位，共 种情况求解即可.
【详解】数字0,1,2, 3,4,5可组成 个没有重复数字的六位数，又因为对特定的3个数字排到百十个位，
共 种情况，从小到大排列只有1种情况，故共有 个.
故选：B.
3．（2023·全国·高三专题练习）在一次学校组织的研究性学习成果报告会上，有 共6项成果
要汇报，如果B成果不能最先汇报，而A､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻），那么不同的汇报安排种数
为（ ）
A．100 B．120 C．300 D．600
【答案】A【分析】利用间接法和缩倍法求解.
【详解】不考虑限制条件共有 种， 最先汇报共有 种，
如果 不能最先汇报，而 ､C､D按先后顺序汇报（不一定相邻）有 .
故选：A.
4．（2023·全国·高三专题练习）某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出A，B，C，D，E，F等6
位同学参加比赛．在安排这6人的比赛顺序时要保证A要在B之前，D和F的顺序不能相邻，则符合要求
的安排共有（ ）
A．240种 B．180种 C．120种 D．150种
【答案】A
【分析】先考虑D和F的顺序不能相邻，用插空法，然后考虑A要安排在B之前与A要安排在B之后的数
量一样多，从而可得结论．
【详解】解：6位同学参加接力赛跑，先考虑D和F的顺序不能相邻，其他四人的顺序数为
种，D和F进行插空共有 种，在所有符合条件的排序中，A要安排在B之前与A要安排在B之后的数
量一样多，所以，符合要求的顺序有 ＝240种．
故选：A．
1．（2023·辽宁·高三校考阶段练习）现有5名学生：甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，要求甲与乙相邻，
且甲、乙、丁的左右顺序固定，站法种数为（ ）
A．36 B．24 C．20 D．12
【答案】D
【分析】由题意结合相邻问题、定序问题的解法直接计算即可得解.
【详解】因为甲与乙相邻，且甲、乙、丁的左右顺序固定，
所以可将甲和乙看作一个整体，共有1种站法，
再与其余三人进行排列，共有 种站法.
故选：D.
【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了相邻问题、定序问题的求解，熟练掌握相邻问题、定序问题
的解决方法是解题关键，属于中档题.
2．（2023春·江苏·高三校联考阶段练习）《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”
的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、
新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种
【答案】B
【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
定序问题用倍缩法，共有 种不同的排列方式.
故选：B.
3．（2023·贵州·高三校考阶段练习）小武是1993年12月18日出生的，他设置家里的电子门锁的时候打算
用他的出生年、月、日中的8个数字进行排列得到一个8位数的密码，那么小武同学可以设置的不同密码
的个数为（ ）
A．2760 B．3180 C．3200 D．3360
【答案】D
【分析】先将8个数字进行全排列，再利用定序倍缩法除以重复的情况即可.
【详解】先将这8个数字进行全排列，有 种情况，
而这8个数字中有三个1和两个9，可将这三个1和两个9看作是顺序固定的排列方法，
所以一共可以组成 个六位数，即可以设置的不同密码的个数为 ．
故选：D．
4．（2023·四川·高三统考）某学习小组 、 、 、 、 、 、 七名同学站成一排照相，要求 与
相邻，并且 在 的左边， 在 的右边，则不同的站队方法种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 与 捆绑，然后要求 在 的左边， 在 的右边，结合倍缩法可得结果.
【详解】由题意可知， 与 相邻，则将 与 捆绑，
然后要求 在 的左边， 在 的右边，
由捆绑法和倍缩法可知，不同的排法种数为 种.
故选：C.
考点 十一 、 平均分组1．（2023·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.分成三堆，每堆2本，有 种不同的分堆方法.
【答案】15
【分析】根据题意先对6本书进行分组，因为平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以
分组后要除以 ，进而求解.
【详解】6本书平均分成3堆，
所以不同的分堆方法的种数为 .
故答案为: .
2．（2023·重庆·高三校考）有6名大学生到甲､乙､丙三所学校去实习，每名大学生只去一所学校，若甲､
乙､丙三所学校都需要2名大学生，则不同安排方法的种数为 .(用数字作答)
【答案】
【分析】按照分步计数原理，直接分配.
【详解】利用分步计数原理，不同的安排方法共有 .
故答案为：
3．（2023·福建·高三校考阶段练习）为提高教学质量，教育厅派6位教研员，平均分成3组，去某地3所
重点高中调研，且甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排方案有（ ）种．
A．66 B．72 C．85 D．96
【答案】B
【分析】首先不考虑甲、乙两位教研员利用平均分组分配问题的方法求出总安排数，再减去甲、乙两位教
研员去同一所高中的情况.
【详解】依题意若不考虑甲、乙两位教研员则有 种安排方法，
若甲、乙两位教研员去同一所高中则有 种安排方法，
综上可得不同的调研安排方案有 种.
故选：B
1．（2023春·江苏·高三统考）将3位教师分到6个班级任教，每位教师教2个班，共有 种不同
的分法．
【答案】90
【分析】先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，从而可求得结果.
【详解】由题意可得先将6个班分成3组，然后分配给3个教师，所以共有 种不同的分法，
故答案为：90
2．（2023·云南·高三阶段练习）哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安
排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）
A．60 B．80 C．120 D．240
【答案】A
【分析】利用分组分配办法求解即可.
【详解】可分为两步求解，
第一步将四名大学生分为两组，由于分法为2，2，
考虑到重复一半，故分组方案应为 种，
第二步将此两组大学生分到5个部门中的两个部门中，不同的安排方式有 ，
故不同的安排方案有 种，
故选：A．
3．（2023·宁夏·高三校考）9名志愿者到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每个小区安排3名志愿者，则
不同的安排方法共有 种．
【答案】1680
【分析】把9个人分成3组，每组3人，再分配到3个小区即可.
【详解】把9个人分成3组，每组3人，有 种不同的方法.
再将这3组分配到3个小区，不同的安排方法种数为 ．
故答案为：1680．
考点 十二 、 部分平均分组
1．（2023·安徽·高三校考）将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多
两人，则甲乙不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81种 B．72种 C．63种 D．36种
【答案】B
【分析】根据题意，分2步进行分析：①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，②将分
好的三组安排到三个路口，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2步进行分析：
①将5名交警分为1、2、2的三组，要求甲乙不在同一组，有 种分组方法，
②将分好的三组安排到三个路口，有 种安排方法，
则有 种分派方法，
故选：B．
2．（2023·吉林·高三校联考）中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了
国际形象，增进了国际友谊．现有6支救援队前往 三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去
其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中 受灾点至少需要2支救援队，则不同的安
排方法种数是（ ）
A．180 B．240 C．320 D．360
【答案】D
【分析】将6支救援队按1，1，4、1，2，3或2，2，2分成3组，分别求出其不同的安排方法种数，再由
分类加法计算原理即可得出答案.
【详解】若6支救援队按1，1，4分成3组，则不同的安排方法种数是 · =30，
若6支救援队按1，2，3分成3组，则不同的安排方法种数是 =240，
若6支救援队按2，2，2分成3组，则不同的安排方法种数是 · =90，
故不同的安排方法种数是360.
故选：D.
3．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）教育扶贫是我国重点扶贫项目，为了缩小教育资源的差距，国家鼓
励教师去乡村支教，某校选派了5名教师到A、B、C三个乡村学校去支教，每个学校至少去1人，每名教
师只能去一个学校，不同的选派方法数有（ ）种
A．25 B．60 C．90 D．150
【答案】D
【分析】按照分类分步计数原理可先将5人分成3组，再将3组人员分配到3个学校去，即可计算出结果.
【详解】由题意可知，先将5人分成三组有2类分法，
第一类：各组人数分别为1，1，3，共有 种分法；
第二类：各组人数分别为1，2，2，共有 种分法，
再将三组人员分配到A、B、C三个乡村学校去，共有 种，
所以不同的选派方法共有 种.故选：D
4．（2023春·湖南·高三校考）某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春
风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个
社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为
A．4680 B．4770 C．5040 D．5200
【答案】C
【详解】若有 人参加“演讲团”，则从 人选 人参加该社团，其余 人去剩下 个社团，人数安排有
种情况： 和 ，故 人参加“演讲团”的不同参加方法数为
，若无人参加“演讲团”，则 人参加剩下 个社团，人数安排安排有 种情况： 和 ，
故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为 ，故满足条件的方法数为
，故选C.
【方法点睛】本题主要考查分组分配问题及排列组合的综合应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往
往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖
掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原
理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
1．（2023·江苏·高三统考）某市为了实施教育振兴计划，依托本市一些优质教育资源，每年都对本市所有
在高校就读的定向师范生实施教育教学技能培训，以提高定向师范生的毕业质量.现有5名即将毕业的定向
师范生拟分配到3所学校进行跟岗培训，每名师范生只能跟岗1所学校，每所学校至少分配1名师范生，
则不同的跟岗分配方案共有（ ）
A．150种 B．300种 C．360种 D．540种
【答案】A
【分析】分类讨论人数的配比，结合捆绑法和部分平均分组法运算求解.
【详解】若3所学校分配1名师范生的人数为 时，先取3人看成一个整体，再进行排列，
所以不同的跟岗分配方案有 种；
若3所学校分配1名师范生的人数为 时，注意到有2个学校均分配2名师范生，
所以不同的跟岗分配方案有 种；
综上所述：不同的跟岗分配方案共有 种.
故选：A.2．（2023·宁夏·高三校考）上海世博会期间，有4名同学参加志愿工作，将这4名同学分配到3个不同场
馆工作，要求每个场馆至少一人，则不同的分配方案有（ ）
A．36 B．30 C．24 D．42
【答案】A
【分析】先将4名志愿者分成3组，两组1人，一组2人，再分别分配给3个场馆，即可得出答案.
【详解】先将4名志愿者分成3组，两组各1人，一组2人，
若两组各1人，一组2人，分别分配给3个场馆，则有 种分法，
因此不同的分配方案共36种.
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）为进一步在全市掀起全民健身热潮，兴义市于9月10日在万峰林举办半程
马拉松比赛.已知本次比赛设有4个服务点，现将6名志愿者分配到4个服务点，要求每位志愿者都要到一
个服务点服务，每个服务点都要安排志愿者，且最后一个服务点至少安排2名志愿者，有（ ）种分配方
式
A．540 B．660 C．980 D．1200
【答案】B
【分析】按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，即 和 ，分别求出
其方法种数，即可得出答案.
【详解】由题知可按照最后一个服务区有2名志愿者和3名志愿者进行分配，
① ，有 ；
② ，有 ，
共有 （种）.
故选：B.
4．（2023·山东·高三校考期中）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至
少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（ ）
A．48 B．54 C．60 D．72
【答案】C
【分析】先分组，再考虑甲的特殊情况.
【详解】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，
共有 种方法；
由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，
所以由 种方法；
按照分步乘法原理，共有 种方法；故选：C.
考点 十三 、 不平均分组
1．（2023·黑龙江·高三学校考）安排4名男生和3名女生去参加甲、乙两个不同的社团活动，每个社团至
少3人，且社团甲的男生数不少于社团乙的男生数，则不同的参加方法种数是（ ）
A．31 B．53 C．61 D．65
【答案】B
【分析】分社团甲有3人和4人讨论即可.
【详解】以社团甲中的人数为分类标准，则可分为两类：第一类是社团甲有3人，第二类是社团甲有4人.
当社团甲有3人时，可以分为2男1女和3男0女两种情况，
所以此时不同的参加方法有 （种）；
当社团甲有4人时，可以分为2男2女、3男1女和4男0女三种情况，
所以此时不同的参加方法有 （种）.
由分类加法计数原理可得，满足条件的不同的参加方法种数是 .
故选：B.
2．（2023·黑龙江·高三校考期末）第 届冬季奥林四克运动会（北京冬奥会）计划于 年 月 日开幕，
共设 个大项．现将甲、乙、丙 名志愿者分配到 个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加 个大项
的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】先将三名志愿者分成两组，两组人数分别为 、 ，然后将这两组人分配给 个大项目中的两个，
利用分步计数原理可得结果.
【详解】将甲、乙、丙 名志愿者分配到 个大项中参加志愿活动，
每名志愿者只能参加 个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项，
则将甲、乙、丙 名志愿者分为两组，两组人数分别为 、 ，
然后将这两组人分配给 个大项目中的两个，
因此，不同的分配方法种数为 种.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）甲乙丙丁4位大学生前往 ， ， 3个工厂参观实习，若每人只能去其
中一个工厂，且每个工厂至少安排1人，其中甲只能去 ， 两个工厂中的一个，则不同的安排方法数是
（ ）
A．36 B．12 C．24 D．18【答案】C
【分析】满足条件的安排方法可分为两类，第一类甲去工厂 ，第二类甲去工厂 ，再结合分类加法计数
原理和分堆分配问题处理方法求解.
【详解】若甲去 ，则剩余3人，可只去 ， 两个工厂，也可分为3组去 ， ， 3个工厂，
当剩余3人只去 ， 两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有 ；
当剩余3人分为3组去 ， ， 3个工厂，此时的分配方法有 ，
综上可得，甲去 工厂，不同的安排方法数是 ，
若甲去 ，则剩余3人，可只去 ， 两个工厂，也可分为3组去 ， ， 3个工厂，
当剩余3人只去 ， 两个工厂时，人员分配为1，2，此时的分配方法有 ；
当剩余3人分为3组去 ， ， 3个工厂，此时的分配方法有 ，
综上可得，甲去 工厂，不同的安排方法数是 ，
所以，不同的安排方法数是 .
故选：C.
1．（2023·黑龙江校考）2022年12月份，齐齐哈尔出现新冠疫情，各个社区马上进入应急状态，其中甲乙
丙三个社区疫情最为严重，急需支援．学校迅速组织6位教师去支援，其中甲社区需要3位教师，乙社区
需要2位教师，丙社区需要1位教师，则学校的不同的安排方法种数为（ ）
A．30 B．60 C．90 D．180
【答案】B
【分析】利用分步乘法计数原理和组合可得.
【详解】由题意：第一步从6位教师中选3位去甲社区有 种选法，
第二步从剩余3位教师中选2位去乙社区有 种选法，
第三步剩下1位教师去丙社区有1中选法，
共有 种选法，
故选：B
2．（2023·广东茂名·高三统考）甲､乙､丙､丁4名志愿者参加创文巩卫志愿者活动，现有 三个社区
可供选择，每名志愿者只能选择其中一个社区，每个社区至少一名志愿者，则甲不在 社区的概率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据分配分组问题，结合排列组合以及分步分类即可求解个数.
【详解】4名志愿者分配到3个社区的方法共有 种，
其中甲在 社区的方法有两种情况，
若A社区分配2名志愿者，则从乙丙丁三人中选择1人连同甲一起去A社区，则有 种情况，
若A社区只有甲这1名志愿者，则从乙丙丁中选择2人去BC两个社区其中之一，则共有 种情况，
故甲不在 社区一共有 种，
故甲不在 社区的概率为 .
故选：C.
3．（2023·湖北·高三校考阶段练习）在某项建造任务中，需6名航天员在天和核心舱、问天实验舱和梦天
实验舱这三个舱内同时进行工作，由于空间限制，每个舱至少1人，至多3人，则不同的安排方案共有（
）
A．450种 B．180种 C．720种 D．360种
【答案】A
【分析】安排方案分为两类，第一类，每个舱各安排2人，第二类，分别安排3人，2人，1人，结合分堆
分配问题解决方法求解即可.
【详解】方案一：每个舱各安排2人，共有 （种）不同的方案；
方案二：分别安排3人，2人，1人，共有 （种）不同的方案．
所以共有 （种）不同的安排方案．
故选：A．
考点 十四 、 多排问题
1．（2023春·新疆·高三校考期中）6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法
共有（ ）
A．30种 B．360种 C．720种 D．1440种
【答案】C
【分析】由题目信息可以得到要将6个人排到6个不同的位置，列出排列式，然后直接计算，即可求得答
案.
【详解】 6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人
不同的排法共有： 种故选：C.
【点睛】本题考查了排列应用的题目，关键是掌握排列的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于基
础题.
2．（2022·高三课时练习）6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有 种．
【答案】720
【分析】可以分三步：前、中、后三排分别站2人即可得，也只可以相当于6人全排列．
【详解】6个人站成前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有 （种）．
故答案为：720
3．（2023·山东·高三统考）毕业季，6位身高全不相同的同学拍照留念，站成前后两排各三人，要求每列
后排同学比前排高的不同排法共有（ ）
A．40种 B．20种 C．180种 D．90种
【答案】D
【分析】可看成6位同学分成3组.
【详解】按列选取，相当于6位同学分成3组，只要选出来了，让高的同学站在后排即可，故
种，
故选：D.
4．（2023·江苏·高三校考阶段练习）10名同学拍照，站成前排3人后排7人，现摄影师要从后排7人中抽
2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）
A．168 B．420 C．840 D．20160
【答案】B
【分析】先从后排7人中抽2人，把抽出的2人插入前排保证前排人顺序不变可用缩倍法，再由分步乘法
计数原理即可求解.
【详解】从后排7人中抽2人有 种方法；
将抽出的2人调整到前排，前排3人的相对顺序不变有 种，
由分步乘法计数原理可得：共有 种，
故选：B.
1．（2023·云南·校联考模拟预测）有7个人排成前后两排照相，前排站3人后排站4人，其中甲同学站在
前排，乙同学站在后排的概率为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】总事件数看成7人站一排, 考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排,根据古典概
型的计算公式求解即可.
【详解】先计算总事件数，可以看成7人站一排有 种.
现在考虑符合题意的情况，从余下5人中选2人与甲站在前排，乙站在后排有 种，
概率为 .
故选:D.
2．（2022·全国·高三专题练习）某次数学获奖的6名高矮互不相同的同学站成两排照相，后排每个人都高
于站在他前面的同学，则共有多少种站法（ ）
A．36 B．90 C．360 D．720
【答案】B
【分析】6个高矮互不相同的人站成两排，后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 ，
由此能求出结果．
【详解】解：6个高矮互不相同的人站成两排，
后排每个人都高于站在他前面的同学的站法数为 ，
故选：B
【点睛】本题考查简单的排列组合问题，属于基础题.
3．（2023·江苏·高三校考阶段练习）3位数学家，4位物理学家，站成两排照相.其中前排3人后排4人，
要求数学家要相邻，则不同的排队方法共有
A．5040种 B．840种 C．720种 D．432种
【答案】D
【详解】试题分析：第一类：3位数学家相邻在前排有 ；第二类：三位数学家相邻在后排，先从4位
物理学家中选3为排在前排有 ，将3位数学家合一，与剩下的一名物理学家在后排排列有 ，3位数学
家再排有 ，此类共有 ，综上共有 种，故选择D.
考点：排列中的相邻问题.
考点 十五 、 环排问题
1．（2023·高三课时练习）8人围桌而坐，共有多少种坐法?
【答案】7! (种)坐法【分析】圆桌坐法没有首位，因此先故定1人为起点，再进行排列.
【详解】围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，
所以固定1人，并从此位置把圆形展成直线，其余7人共有 (种)坐法，
即(8-1)! =7! (种)坐法．
2．（2023·全国·高三专题练习）7名同学坐圆桌吃饭，其中甲、乙相邻，不同的排法种数为 .
【答案】240
【分析】将甲、乙视为一个整体，根据圆排列的方法确定其排列数，再排甲、乙即可.
【详解】将甲、乙看成一个整体，相当于6名同学坐圆桌吃饭，有 种排法，
甲、乙两人可交换位置，故排法共有 （种）.
故答案为： .
1．（2023·全国·高三专题练习）5个学生围桌而坐，共有多少种排法？
【答案】24
【分析】根据圆桌的特点，没有首尾之分，因此要固定一人位置， 再排其余4人，求出答案即可．
【详解】由围桌坐成圆形，没有首位之分，
所以固定其中任意一人，并从此位置把圆展开成一条直线，
只要让其余4人进行全排列，即有 种排法．
2. 3 盆红花 5 盆黄花围成花环, 有种不同的排法？
解:
故有
考点 十六 、 涂色问题
1．（2022·安徽·高三校考）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，
则不同的涂色方法共有（ ）A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种
【答案】D
【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，
应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.
【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有
3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．
2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F
分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．
故不同的涂色方法共有756种．
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）用四种颜色给下图的6个区域涂色，每个区域涂一种颜色，相邻区域不同
色，若四种颜色全用上，则共有多少种不同的涂法（ ）
A．72 B．96 C．108 D．144
【答案】B
【详解】设四种颜料为 ，
①先涂区域B，有4中填涂方法，不妨设涂颜色1；
②再涂区域C，有3中填涂方法，不妨设涂颜色2；
③再涂区域E，有2中填涂方法，不妨设涂颜色3；
④若区域A填涂颜色2，则区域D、F填涂颜色1，4，或4，3，
若区域A填涂颜色4，则区域D、F填涂颜色1，3或4，3，共4中不同的填涂方法，
综合①②③④，由分步计数原理可得，共有 种不同的填涂法．故选B．
3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，
且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360
【答案】A
【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最少
需要3种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色
全部用上，即 ， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最
后利用分类加法求和．
【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类，
第一类是仅用三种颜色染色，
即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有
种染法，共 种染法；
第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色或
不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共
有 种染法．
由分类加法原理得总的染色种数为 种．
故选：A．
4．（2023·黑龙江·高三校考）三国时期数学家赵家为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有 种不同
的颜色可供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到四种
颜色的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出所有的涂色方案种数，然后求出只用到四种颜色的涂色种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】先考虑所有的涂色方案种数：区域⑤有 种涂色方法，区域①有 种涂色方法，区域②有 种涂色
方法.
若区域③和区域①同色，则区域④有 种涂色方法；
若区域③和区域①异色，则区域③有 种涂色方法，区域④有 种涂色方法.
综上所述，所有的涂色方法种数为 种.
接下来考虑只用到四种颜色的涂色方案种数：先从 种颜色选择 种颜色，共 种，
区域⑤有 种涂色方法，则区域①③同色或区域②④同色，
若区域①③同色，则区域②④异色；若区域②④同色，则区域①③异色.
此时，不同的涂色方案种数为 种.
因此，该方案恰好只用到四种颜色的概率是 .
故选：C.
5．（2023·浙江·模拟预测）五行是华夏民族创造的哲学思想，多用于哲学､中医学和占卜方面，五行学说
是华夏文明重要组成部分.古代先民认为，天下万物皆由五类元素组成，分别是金､木､水､火､土，彼此之间
存在相生相克的关系.下图是五行图，现有5种颜色可供选择给五“行”涂色，要求五行相生不能用同一种
颜色（例如金生火，水生木，不能同色），五行相克可以用同一种颜色（例如水克火，木克土，可以用同
一种颜色），则不同的涂色方法种数有（ ）
A．3125 B．1000 C．1040 D．1020
【答案】D
【分析】根据不邻区域是否同色进行分类，确定涂色顺序再分步计数即可.
【详解】五行相克可以用同一种颜色，也可以不用同一种颜色，即无限制条件.
五行相生不能用同一种颜色，即相邻位置不能用同一种颜色.
故问题转化为如图 五个区域，
有 种不同的颜色可用，要求相邻区域不能涂同一种颜色，即 色 区域的环状涂色问题.分为以下两类情况：
第一类： 三个区域涂三种不同的颜色，
第一步涂 区域，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色不同，有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
由分步计数原理，则共有 种方法；
第二类： 三个区域涂两种不同的颜色，
由于 不能涂同一色，则 涂一色，或 涂同一色，两种情况方法数相同.
若 涂一色，
第一步涂 区域， 可看成同一区域，且 区域不同色，
即涂 个区域不同色，
从 种不同的颜色中选 种按序涂在不同的 个区域上，则有 种方法，
第二步涂 区域，由于 颜色相同，则有 种方法，
第三步涂 区域，由于 颜色不同，则有 种方法，
由分步计数原理，则共有 种方法；
若 涂一色，与 涂一色的方法数相同，
则共有 种方法.
由分类计数原理可知，不同的涂色方法共有 种.
故选：D.
1．（2023春·广东佛山·高三统考）如图，某单位计划在办公楼前的一个花坛的A、B、C、D四个区域重新
种花.现有红、蓝、黄、白四种颜色的花可选择，一个区域只种一种颜色的花，且相邻的两个区域不能种同
一种颜色的花，则共有（ ）种不同的种植方案.A．36 B．48 C．72 D．84
【答案】D
【分析】考虑选用两种颜色的花，三种颜色的花，四种颜色的花，利用排列组合知识求出答案后相加即可.
【详解】若选用两种颜色的花，则有 种选择，选择的两种颜色的花种在对角位置，有两种选择，故
共有 种选择，
若选用三种颜色的花，则有 种选择，必有一个对角位置使用同种颜色的花，先选择一个对角，再从
三种颜色的花中选择一种，有 种选择，
另外的对角位置选择不同位置的花，有 种选择，共有 种选择，
若选用四种颜色的花，则有 种选择，
综上：共有 种选择.
故选：D
2．（2023春·湖北武汉·高三武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）如图，现要用5种不同的
颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色
方法？（ ）
A．120 B．180 C．221 D．300
【答案】B
【分析】分Ⅰ，Ⅳ同色和不同色两种情况讨论，结合分布乘法原理即可得解.
【详解】当Ⅰ，Ⅳ同色时，则Ⅰ有 种涂色方法，Ⅱ有 种涂色方法，
Ⅲ有 种涂色方法，此时共有 种涂色方法；
Ⅰ，Ⅳ不同色时，则Ⅰ有 种涂色方法，Ⅳ有 种涂色方法，
Ⅱ有 种涂色方法，Ⅲ有 种涂色方法，此时共有 种涂色方法，
综上共有 种不同的着色方法.
故选：B.3．（2023春·上海·高三校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验
证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色
不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．120 B．420 C．300 D．以上都不对
【答案】B
【分析】根据题意，分4步依次分析区域A、B、C、D、E的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案.
【详解】分4步进行分析：
①对于区域A，有5种颜色可选，
②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;
③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;
④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色
可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有 种选择,
则不同的涂色方案有 种;
故选：B
4．（2023·江西·高三校考阶段练习）某植物园要在如图所示的5个区域种植果树，现有5种不同的果树供
选择，要求相邻区域不能种同一种果树，则共有（ ）种不同的方法.
A．120 B．360 C．420 D．480
【答案】C
【分析】利用分类计数原理求解，按2与4两区域种植果树是否相同进行分类即可.
【详解】分两类情况：
第一类：2与4种同一种果树，
第一步种1区域，有5种方法；
第二步种2与4区域，有4种方法；
第三步种3区域，有3种方法；
最后一步种5区域，有3种方法，由分步计数原理共有 种方法；
第二类：2与4种不同果树，
第一步在1234四个区域，从5种不同的果树中选出4种果树种上，是排列问题，共有 种方法；
第二步种5号区域，有2种方法，
由分步计数原理共有 种方法.
再由分类计数原理，共有 种不同的方法.
故选：C.
5．（2023·广西·高三校考）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植
的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（ ）
A．1440 B．720 C．1920 D．960
【答案】C
【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数.
【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E.
第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择；
第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择；
第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择；
第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种；
若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择；
则区域E可选择的花卉有 种，
故不同的种植方法种数是 .
故选：C
【基础过关】
一、单选题1．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）2023年春节在北京工作的五个家庭，开车搭伴一起
回老家过年，若五辆车分别为 ，五辆车随机排成一排，则 车与 车相邻， 车与 车不相邻
的排法有（ ）
A．36种 B．42种 C．48种 D．60种
【答案】A
【分析】利用捆绑法和插空法可求出结果.
【详解】将 车与 车捆在一起当一个元素使用，有 种捆法，
将除 车外的 个元素全排，有 种排法，
将 车插入，不与 车相邻，又 种插法，
故共有 种排法.
故选：A
2．（2023·广东深圳·统考二模）现将5个代表团人员安排至甲､乙､丙三家宾馆入住，要求同一个代表团人
员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住.若这5个代表团中 两个代表团已经入住甲宾馆且
不再安排其他代表团入住甲宾馆，则不同的入住方案种数为（ ）
A．6 B．12 C．16 D．18
【答案】A
【分析】由题意可知只要将余下的3个代表团安排到乙､丙两家宾馆，且每个宾馆至少有一个代表团即可
【详解】甲宾馆不再安排代表团入住，
则乙､丙两家宾馆需安排余下的3个代表团入住，
所以一个宾馆住1个代表团，另一个宾馆住2个代表团.
共有 种方法，
故选：A
3．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测） 年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个
弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在 年提出的 个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数 ，
使得 是素数，素数对 称为孪生素数．在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其中
能够组成孪生素数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】列举出不超过 的所有素数，找出能够组成孪生素数的个数，结合组合计数原理以及古典概型的
概率可求得所求事件的概率.
【详解】不超过 的所有素数有： 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 个．
在不超过 的素数中，随机选取两个不同的数，其中能够组成孪生素数的有 个，即 、、 、 ，所求概率是 ．
故选：C．
4．（2023·河南开封·校考模拟预测）某志愿小组共5人，随机分配4人去值班，每人只需值班一天，若前
两天每天1人，第三天2人，且其中的甲、乙两人不同在第三天值班，则满足条件的排法共有（ ）
A．72种 B．60种 C．54种 D．48种
【答案】C
【分析】用总共的方法减去甲、乙两人同时在第三天值班的排法即可求得．
【详解】依题意总共的排法有 种，
甲乙两人同在第三天值班的排法有 种，
所以满足条件的排法有 种.
故选：C．
5．（2023·河北·校联考三模）在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列
问题、网格路径问题等．某一城市街道如图1所示，分别以东西向、南北向各五条路组成方格网，行人在
街道上行走（方向规定只能由西向东、由北向南前行）．若从这个城市的最西北角 处前往最东南角 处，
则有70种走法，如图2．现在由平面扩展到空间，即立体交通方格网的路径问题，如图3，则从点 到点
的最短距离走法种数为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
【答案】A
【分析】根据题意，由西向东、由南向北前行共有 种不同的走法，再由6个位置能向上走一步，得到
种不同的走法，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】根据题意，由西向东、由南向北前行中，最近的走法为5步，其中由西向东3步，由南向北2步，
所以共有 种不同的走法，
又由在每种走法中，其中由6个位置能向上走一步，所以有 种不同的走法，
根据分步计数原理得，从点 到点 的最短距离走法种数共有 种.
故选：A.二、填空题
6．（2023·河北秦皇岛·校联考二模）小明准备在阳台种植玫瑰､百合､牡丹和兰花4种盆栽，共种8盆，并
且每种花至少种1盆，则小明买盆截的方法共有 种.
【答案】
【分析】利用“挡板法”求得正确答案.
【详解】 个元素，中间有 个空位，将 个挡板放入即可，
所以小明买盆截的方法共有 种.
故答案为：
7．（2023·云南曲靖·校考三模）老师排练节目需要4个男生和2个女生，将这六名学生随机排成一排，2
个女生不相邻的排法为 .
【答案】
【分析】利用插空法计算可得.
【详解】若2个女生不相邻，先排4个男生有 种排法，4个男生产生5个空，
将2个女生插人5个空中有 种排法，故有 种排法，
故答案为：
8．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知m，n，p均为正整数，则满足 的一组
解为
【答案】 或 (写一个即可)
【分析】根据阶乘的性质，用列举法进行求解即可.
【详解】因为不小于5的自然数的阶乘的尾数为0， 尾数为5，
所以 ，而 ，
所以可得 或 ．
故答案为：
9．（2023·浙江·模拟预测）从2至8的7个整数中随机取3个不同的数，则3个数的积为3的倍数的不同
取法有 .
【答案】25
【分析】按其中3和6两个数取1个和两个分类可得．
【详解】从2至8的7个整数中3 的倍数的有3和6两个，任取3个数，按3和6中取1个和2个分类可得
取法数为 ．
故答案为：25.
10．（2023·湖南永州·统考一模）为全面推进乡村振兴，永州市举办了“村晚兴乡村”活动，晚会有《走，
去永州》《扬鞭催马运粮忙》《数幸福》《乡村振兴唱起来》四个节目，若要对这四个节目进行排序，要求《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，则不同的排列种数为 （用数字作答）．
【答案】
【分析】利用捆绑求得正确答案.
【详解】由于《数幸福》与《乡村振兴唱起来》相邻，所以两者“捆绑”，
则不同的排列种数为 种.
故答案为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·河北邯郸·统考三模）某医院安排3名男医生和2名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医
院安排一到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有（ ）
A．18种 B．30种 C．54种 D．66种
【答案】C
【分析】根据题意分配方案为122，212，221，再根据甲医院要求至少有一名女医生分别求解，然后求和.
【详解】解：由题意可知，向甲、乙、丙三所医院分配医生的人数有三种类型，分别为122，212，221，
因为甲医院要求至少有一名女医生，第一种方案共有 种，
第二种方案分两种情况，分别是：甲有两名女医生、甲有一名女医生，共有 种，
同理，第三种方案有21种，
所以共有54种，
故选：C.
2．（2023·福建泉州·泉州七中校考模拟预测）某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授
全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若 高中恰好需要1名心理学教授， 三所高中各至少
需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（ ）
A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种
【答案】C
【分析】先给 高中分配 人，然后剩下的 人去 所高中利用先分组后分配的办法处理.
【详解】先从6名教授中任选1名教授到 高中，有 种不同的方法，
再将其余5名教授分配到 三所高中，可分两类：
① 三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有 种方法；
② 三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有 种不同的方法，
不同的分配方案共有 种．
故选：C3．（2023·重庆·统考模拟预测）一排10个座位，现安排甲、乙、丙三人就座，规定中间的2个座位不能坐，
且甲、乙相邻，甲、乙与丙不能相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．56 B．44 C．38 D．32
【答案】A
【分析】按甲、乙与丙在两个空位的同侧和异侧进行分类，再结合排列问题列式求解作答.
【详解】依题意，甲、乙与丙在两个空位的同侧和异侧分成两类，
当甲、乙与丙在两个空位的同侧时，共有 种，
当甲、乙与丙在两个空位的异侧时，共有 种，
由分类加法计数原理知，不同排法的种数是 种.
故选：A
4．（2023·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）某公司人事部安排小张、小胡等6名工作人员去4个不
同的岗位工作，其中每个岗位至少一人，每个人只去一个岗位工作，且小张、小胡这2人必须在一起，则
不同的安排方法有（ ）
A．240种 B．320种 C．156种 D．180种
【答案】A
【分析】各组人数按 、 分类，再应用分步计数，捆绑法及排列组合数求不同的安排方法.
【详解】将6人分组有两种情况： 、 形式，
当各组人数按 分组：
小张、小胡必在3人组，从其余4人选1人与小张、小胡捆绑，有 种，
此4组人任意安排到4个岗位，有 种方法，故共有 种；
当各组人数按 分组：
小张、小胡必在其中一个2人组，从其余4人选2人为另一2人组，有 种
此4组人任意安排到4个岗位，有 种方法，故共有 种；
综上，不同的安排方法有 种.
故选：A
5．（2023·河北·模拟预测）中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月在北京石开.会议期间，5男
3女共8位代表相约在人民大会堂前站成一排合影，若女代表中恰有2人相邻，且男代表甲不站在两端，
则不同的站位方法共有（ ）
A．7920种 B．9360种 C．15840种 D．18720种
【答案】C
【分析】先计算总情况数，再计算男代表站两端的情况数，最后相减即可.
【详解】8人站成一排,女代表中恰有2人相邻的
站位方法有 种,其中男代表甲站在两端的方法有 种,
故所求的站位方法共有 种.
故选：C.
6．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）某高校举行一场智能机器人大赛.该高校理学院获得8个参赛名额.已
知理学院共有4个班，每个班至少要有一个参赛名额，则该理学院参赛名额的分配方法共有（ ）
A．20种 B．21种 C．28种 D．35种
【答案】D
【分析】利用隔板法可得答案.
【详解】将8个参赛名额看成8个元素，之间会产生7个空隙，则分配方法数为： .
故选：D
7．（2023·河北·统考模拟预测）某班一天上午有四节课，现要安排该班上午的课程表，从语文、数学、英
语、物理、体育 科中选出 科排到课表中，体育课不能排到第一节，且数学和物理两科不能相邻，则不
同的排课方案共有（ ）种
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】按有无体育、数学、物理分成三类：第一类，不排体育；第二类，排数学和物理中的一科；第三
类若体育、数学和物理都排上.分别求出每一类的排课方案种数，利用分类加法计数原理可求得结果.
【详解】可按有无体育、数学、物理分成三类：
第一类，若不排体育，先排语文和英语两科，然后将数学和物理插入语文和英语两科所形成的空位中，
则不同的排课方案有 种；
第二类，若排数学和物理中的一科，则体育可排在第二或第三或第四节课，
则不同的排课方案有 种；
第三类若体育、数学和物理都排上，体育在第二节或第三节时有 种，
体育在第四节，则物理和数学不能排第二节，此时不同的排课方案有 种，
则不同的排课方案有 种．
由分类加法计数原理可得不同的排课方案共有 种．
故选：B.
二、填空题
8．（2023·重庆·统考模拟预测）某城市休闲公园管理人员拟对一块圆环区域进行改造封闭式种植鲜花，该
圆环区域被等分为5个部分，每个部分从红、黄、紫三种颜色的鲜花中选取一种进行栽植．要求相邻区域
不能用同种颜色的鲜花，总的栽植方案有 种．【答案】30
【分析】依颜色为出发点，分析可得必用3种颜色的鲜花，先安排1，2位置，再讨论第三种颜色的可能位
置，分析运算即可.
【详解】若只用两种颜色的鲜花，则1，3位置的颜色相同，2，4位置的颜色相同，
即可得1，4位置的颜色不同，则5位置无颜色可选，不合题意；
故必用3种颜色的鲜花，则1，2的栽植方案有 种，已用两种颜色，第三种颜色可能在3，4，5，可
得：
（i）若第三种颜色在3或5，有如下两种可能：
①3，5的颜色相同，则4的颜色有两种可能，栽植方案有 种；
②3，5的颜色不相同，则4的颜色必和1的颜色相同，栽植方案有 种；
栽植方案共有 种；
（ⅱ）若第三种颜色在4，则3的颜色必和1的颜色相同，5的颜色必和2的颜色相同，栽植方案共有 种；
综上所述：总的栽植方案有 种.
故答案为：30.
9．（2023·吉林白山·抚松县第一中学校考模拟预测）琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八
雅．为弘扬中国传统文化，某校决定从“八雅”中挑选“六雅”，于某周末开展知识讲座，每雅安排一节，
连排六节．若“琴”“棋”“书”“画”必选，且要求“琴”“棋”相邻，“书”与“画”不相邻，则不
同的排课方法共 种．（用数字作答）
【答案】
【分析】先从诗、酒、花、茶中选“两雅”， “琴”“棋”相邻用捆绑法，“书”与“画”不相邻用插
空法，最后按照分步乘法计数原理计算可得.
【详解】首先从诗、酒、花、茶中选“两雅”有 种选法，
“琴”“棋”相邻用捆绑法看做一个整体，与除“书”与“画”外的“两雅”全排列，有 种排法，
再将“书”与“画”插入到刚刚所形成的 个空中的 个空，有 种插法，
按照分步乘法计数原理可得一共有 种排法.
故答案为：
10．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）一个袋子中有大小和质地相同的5个球，其中有3个红色球，2个白
色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则第2次摸到红色球的概率为 .【答案】 /0.6
【分析】通过分析第一次不放回摸出的球的不同情况，即可得到第2次摸到红色球的概率.
【详解】由题意，
袋子中有相同的5个球，3个红球，2个白球，
不放回地依次随机摸出2个球，
∴第1次可能摸到1白色球或1红色球
∴第2次摸到红色球的概率为： ，
故答案为： .
【真题感知】
一、单选题
1．（四川·高考真题）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有
两位女生相邻，则不同排法的种数是
A．360 B．288 C．216 D．96
【答案】B
【详解】试题分析：先排三个男生有 种不同的方法，然后再从3名女生中任取2人“捆”在一起记
作A，（A共有C 2A 2=6种不同排法），剩下一名女生记作B，让A、B插入男生旁边4个位置的两个位置有
3 2
，此时共有6×6×12=432种，又男生甲不在两端，其中甲在两端的情况有：2 ×6× =144种不同
的排法，∴共有432-144=288种不同排法．故选B
考点：本题考查了排列问题
点评：对于此类问题，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原
为实际问题．
2．（湖北·高考真题）从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要
求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有
A．120种 B．96种 C．60种 D．48种
【答案】C
【详解】试题分析：根据题意，首先从5人中抽出两人在星期六参加活动，有 种情况，
再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期五、星期日参加活动，有 种情况，
则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种，
故选C．
考点：排列组合及简单计数问题点评：本题考查排列、组合的综合运用，本题解题的关键是注意优先分析特殊的元素，同时需要区分排列
与
组合的意义．
3．（全国·高考真题）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有（ ）
A．60个 B．48个 C．36个 D．24个
【答案】C
【分析】先排个位，然后排万位，再排其它位置，由此计算出正确答案.
【详解】先排个位，然后排万位，再排其它位置，
所以由1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 个.
故选：C
4．（全国·高考真题） 五人并排站成一排，如果 必须站在 的右边，（ 可以不相邻）那
么不同的排法有（ ）
A．120种 B．90种 C．60种 D．24种
【答案】C
【分析】全排列求解出五人排成一排的所有排法，根据 定序，利用缩倍法求出结果.
【详解】所有人排成一排共有： 种排法
站在 右边与 站在 右边的情况一样多
所求排法共有： 种排法
本题正确选项：
【点睛】本题考查排列组合中的定序问题，定序问题通常采用缩倍法来进行求解.
5．（重庆·高考真题）从编号为1，2，…，10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码
是6的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，从
而求出其概率.
【详解】所取4个球的最大号码是6，则编号为6的球必选，再从编号为1，2，3，4，5的球中选3个，
则所取4个球的最大号码是6的概率为 ，
故选：B．
6．（全国·高考真题）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学
参加公益活动的概率为A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：由已知，4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有 种不同
的结果，而周六、周日都有同学参加公益活动有两类不同的情况：（1）一天一人，另一天三人，有
种不同的结果；（2）周六、日各2人，有 种不同的结果，故周六、周日都有同学参加公益
活动有 种不同的结果，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 ，选D．
【考点定位】1、排列和组合；2、古典概型的概率计算公式．
7．（北京·高考真题）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果
将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（ ）
A．6 B．12 C．15 D．30
【答案】D
【分析】由已知，根据题意可使用插空法，将2个新节目有顺序插入5个节目形成的6个空中，直接列式
求解即可.
【详解】因为增加了两个新节目．将这两个节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，
所以原来5个节目形成6个空，新增的2个节目插入到6个空中，
共有 种插法.
故选：D.
8．（全国·高考真题）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段，
从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C 2C 2＝6种走法．
4 2
同理从F到G，最短的走法，有C 1C 2＝3种走法．
3 2
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法．
故选B．
【考点】计数原理、组合【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互
独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，
步步之间是相互关联的．
9．（重庆·高考真题）某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，
则同类节目不相邻的排法种数是
A．72 B．120 C．144 D．168
【答案】B
【详解】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共 种，第二类是歌舞类用三个隔开共 种，
所以N= + =120.种．选B.
10．（福建·高考真题）从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市
有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
【答案】B
【分析】分步：第一步从4人选1人去巴黎，第二步从剩下的5人中选3人去3个城市，由分步乘法原理
可得．
【详解】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有 种，其次从剩余5人中选3人到其它三个
城市游览，共有 种，共有 种，
故选：B.
【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时确定完成事件的方法，本题是分步完成，应用分步乘法原理．
11．（全国·高考真题） 名医生和 名护士被分配到 所学校为学生体检，每校分配 名医生和 名护士，
不同的分配方法共有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】D
【详解】分两个步骤：先分配医生有 种方法，再分配护士有 ，由分步计数原理可得：
，
应选答案：D．
【点睛】本题中旨在考查排列数组合数及两个计数原理的综合运用．解答本题的关键是先分步骤分别考虑
医生、护士的分配，再运用分步计数原理进行计算．但在第二个步骤中的分配护士时，可能会因为忽视平
均分配的问题而忘记除以 而致错，解答这类平均分组时，应引起足够的注意．
12．（山东·高考真题）现有 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 张.从中任取 张，要
求这 张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多 张.不同取法的种数为A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：3张卡片不能是同一种颜色，有两种情形：三种颜色或者两种颜色，如果是三种颜色，
取法数为 ，如果是两种颜色，取法数为 ，所以取法总数为
，故选C．
考点：分类加法原理与分步乘法原理．
【名师点晴】（1）对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，
我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．（2）当两个原理混合使用时，一般是
先分类，在每类方法里再分步．
13．（四川·高考真题）从甲、乙等10个同学中挑选4名参加某项公益活动，要求甲、乙中至少有1人参
加，则不同的挑选方法共有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
【答案】C
【详解】试题分析：∵从10个同学中挑选4名参加某项公益活动有 种不同挑选方法；从甲、乙之外的
8个同学中挑选4名参加某项公益活动有 种不同挑选方法；∴甲、乙中至少有1人参加，则不同的挑选
方法共有 种不同挑选方法，故选C．
考点：组合及组合数公式．
14．（安徽·高考真题）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前
排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：第一步从后排8人中选2人有 种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有
种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是
考点：排列组合
点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法
二、填空题
15．（湖北·高考真题）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个
出场，不同排法的总数是 .（用数字作答）
【答案】78
【分析】先排有约束条件的元素，因为要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，所以需
要针对于不最后一个出场的歌手第一个出场，不最后一个出场的歌手不第一个出场，根据分类计数原理得
到结果.
【详解】分两种情况：当不最后一个出场的歌手第一个出场时，有 种排法；
当不最后一个出场的歌手不第一个出场时，有 种排法；
则共有 种不同的排放.
故答案为：78.
16．（上海·高考真题）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要
求首尾必须播放公益广告，则共有种不同的播放方式 .（结果用数值表示）
【答案】48
【分析】由分步计算原理求解即可
【详解】由题意，可分步进行，
第一步，安排公益广告，不同的安排方式有 种，
第二步，安排商业广告，不同的安排方式有 种，
故总的不同安排方式有 种，
故答案为：48
17．（江苏·高考真题）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，
每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有 种.（用数字作答）
【答案】120
【分析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，从同颜色的花入手分类来求，
最后利用分类加法计数原理得到结果.
【详解】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，
若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，
所以共有 种栽种方法；
若2、4同色，则3、6同色，
所以共有 种栽种方法；
若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，
所以共有 种栽种方法；
所以共有 种栽种方法.
故答案为：120
【点睛】本题主要考查分类加法计数原理和排列组合的应用，考查学生的分析能力和分类讨论的思想，属
于中档题.
18．（浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有 种不同的选法．（用数字作答）
【答案】660
【详解】第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有
种；第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故
有 种，根据分类计数原理共有 种，故答案为 .
19．（全国·高考真题）四个不同小球放入编号为1、2、3、4四个盒子中，恰有一个空盒的放法有
种.
【答案】144
【分析】首先把四个小球分成2、1、1三组，然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，即可求解.
【详解】首先把四个小球分成2、1、1三组，共有 种不同的分法，
然后再从四个盒子中选出三个盒子放入三组小球，共有 种.
故答案为：144.
【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合应用，其中解答中熟记分配问题的处理方法是解答的关键，着
重考查分析问题和解答问题的能力.
20．（陕西·高考真题）某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教（每地1人），其中甲和
乙不同去，则不同的选派方案共有 种．
【答案】1320
【分析】根据给定条件，利用分类加法计数原理及排列、组合列式计算作答.
【详解】依题意，当甲和乙都不去时，选派方案有 种，
当甲和乙之一去时，选派方案有 种，
所以不同的选派方案共有 .
故答案为：1320
21．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式可求概率.
【详解】解：将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，
共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：
，
共6种方法，故2个0不相邻的概率为 ，
故选：C.
22．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项
目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（
）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘
法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者
中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的
位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有
种不同的分配方案，
故选：C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排
思想求解.
23．（2023·全国·统考高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方
法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200
名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
【答案】D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取 人，高中部共抽取 ，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有 种.
故选：D.
24．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物
中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有 种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有 种，
根据分步乘法公式则共有 种，
故选：C.
25．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，
每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为 ，
假设 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有
种方法，
同理： 连续参加了两天公益活动，也各有 种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有 种.
故选：B.
26．（山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入
同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用古典概型概率公式，结合分步计数原理，计算结果.
【详解】5位老师，每人随机进入两间教室中的任意一间听课，共有 种方法，
其中恰好全都进入同一间教室，共有2种方法，所以 .
故选：B
27．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有 种排法，若2个0不相邻，则有 种排法，
所以2个0不相邻的概率为 .
故选：C.
28．（2022·全国·统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为 ．
【答案】 /0.3
【分析】根据古典概型计算即可
【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3，从5名同学中随机选3名，
有：(甲，乙，1)，(甲，乙，2)，(甲，乙，3)，(甲，1，2)，(甲，1，3)，(甲，2，3)，(乙，1，2)，(乙，
1，3)，(乙，2，3)，(1，2，3)，共10种选法；
其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率 .
故答案为： .
解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为
甲、乙都入选的方法数为 ，所以甲、乙都入选的概率
故答案为：
29．（2022·全国·统考高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为
．
【答案】 .
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的 个顶点中任取 个，有 个结果，这 个点在同一个平面的有
个，故所求概率 ．
故答案为： ．
30．（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课
中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
【答案】64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有 种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有 种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有 种；
综上所述：不同的选课方案共有 种.故答案为：64.
31．（全国·统考高考真题）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小
区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.
【答案】
【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计数原
理得解.
【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同
学
先取2名同学看作一组，选法有：
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法 种
故答案为： .
【点睛】本题主要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分
析能力和计算能力，属于中档题.
