文档文本内容
拔高点突破 01 计数原理与概率背景下的新定义问题
目录
01 方法技巧与总结...............................................................................................................................2
02 题型归纳与总结...............................................................................................................................2
题型一：二项式定理新定义................................................................................................................2
题型二：排列组合新定义....................................................................................................................4
题型三：定义新概念............................................................................................................................6
题型四：定义新运算............................................................................................................................9
题型五：信息熵问题..........................................................................................................................11
03 过关测试.........................................................................................................................................14解决计数原理与概率背景下的新定义问题，就是要细读定义关键词，理解本质特征，适时转化为“熟
悉”问题．总之，解决此类问题，取决于已有知识、技能、数学思想的掌握和基本活动经验的积累，还需
要不断的实践和反思，不然就谈不上“自然”的、完整的解题．
题型一：二项式定理新定义
【典例1-1】（2024·山东·模拟预测）设 ， .如果存在 使得 ，那么就说 可被
整除（或 整除 ），记做 且称 是 的倍数， 是 的约数（也可称为除数、因数）． 不能被 整
除就记做 ．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若 ， ，则 ；② ， 互质，
若 ， ，则 ；③若 ，则 ，其中 .
(1)若数列{a }满足， ，其前 项和为 ，证明： ；
n
(2)若 为奇数，求证： 能被 整除；
(3)对于整数 与 ， ，求证： 可整除 .
【典例1-2】（2024·河南·三模）定义1 进位制：进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系
统，约定满二进一，就是二进制：满十进一，就是十进制；满十二进一，就是十二进制；满六十进一，就
是六十进制；等等．也就是说，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几，一般地，若 是一个大
于1的整数，那么以 为基数的 进制数可以表示为一串数字符号连写在一起的形式
进制的数也可以表示成不同位上数字符
号与基数的幂的乘积之和的形式．如 ．定义2 三角形数：形如 ，即 的数叫做三角形数．
(1)若 是三角形数，试写出一个满足条件的 的值；
(2)若 是完全平方数，求 的值；
(3)已知 ，设数列 的前 项和为 ，证明：当 时， ．
【变式1-1】（2024·山东济南·三模）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设 ，
记 ，并规定 .记
，并规定 .定义
.
(1)若 ，求 和 ；
(2)求 ；
(3)证明：
【变式1-2】莫比乌斯函数在数论中有着广泛的应用．所有大于1的正整数 都可以被唯一表示为有限
个质数(质数是指大于1的自然数中，只有1和它本身两个因数的数)的乘积形式： （ 为
的质因数个数， 为质数， ），例如： ，对应
．现对任意 ，定义莫比乌斯函数
(1)求 ；(2)记 的所有真因数（除了1和 以外的因数）依次为 ，
①若 ，求 ；
②若 且 ，求 ．
题型二：排列组合新定义
【典例2-1】组合数学研究的内容之一是计数，母函数是重要的计数工具之一．其定义如下：对于序
列 ，定义 为序列 的母函数．母函数的计数方法与二项式定理
的原理相似：假设有红、黄、蓝各一个小球，计算由它们组成的所有组合的个数，可考虑三步完成，即每
个小球是否参与组合我们用 即1代表小球不参与，x代表小球参与，根据分类加法计数原理， 代表
一个小球是否参与组合的两种情况，根据分步乘法计数原理，用代数式 表示三个小球是
否参与组合的情况，所以母函数为 ，例如其中 中的系数3就是由两个小球构成的
所有组合个数，而总的组合个数就是 ．
(1)假设有四个不同的小球，令 为由它们组成的含有n个小球的所有组合个数，试写出 的一
个与问题对应的母函数 ；
(2)已知 ，其中 ．现有一序列 的母函数
，其中 ，证明： ；
(3)在某班中的8位男同学和5位女同学中，组一个由偶数个男生和不少于两个女生的小组，令 为从8位
男同学中选取n位的所有组合个数，令 为从5位女同学中选取n位的所有组合个数，分别写出
和 的与问题对应的母函数 和 ，并求总的组合个数．
【典例2-2】（2024·黑龙江·模拟预测）已知集合
对于 ，定义 与 的差
与 间的距离为 .
(1)当 时，设 ，求 ；(2)证明： ，且 ；
(3)设 中有 个元素，记 中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明： .
【变式2-1】（2024·山西临汾·二模）在计算机科学中， 维数组 是
一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于 维数组 ，
，定义 与 的差为 与 之间的距离为
．
(1)若 维数组 ，证明： ；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有 ；
(3)设集合 中有 个 维数组，记 中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明：
．
【变式2-2】（2024·安徽合肥·一模）“ 数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设 是非零实数，
对任意 ，定义“ 数” 利用“ 数”可定义“ 阶乘”
和“ 组合数”，即对任意 ，
(1)计算： ；
(2)证明：对于任意 ，
(3)证明：对于任意 ，【变式2-3】（2024·海南海口·一模）在计算机科学中， 维数组
是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．
对于 维数组 ，定义 与 的差为
与 之间的距离为 ．
(1)若 维数组 ，证明： ；
(2)证明：对任意的数组 ，有 ；
(3)设集合 ，若集合 中有 个 维数组，记
中所有两元素间的距离的平均值为 ，证明： ．
题型三：定义新概念
【典例3-1】某公司有甲乙两条生产线生产同一种产品，为了解产品的质量情况，对两条生产线生产
的产品进行简单随机抽样，经检测得到了A、B的两项质量指标值，记为 ，定义产品的指标偏差
，数据如下表：
甲生产线抽样产品编
号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
指标
0.98 0.96 1.07 1.02 0.99 0.93 0.92 0.96 1.11 1.02
2.01 1.97 1.96 2.03 2.04 1.98 1.95 1.99 2.07 2.02
0.03 0.07 0.11 0.05 0.05 0.09 0.13 0.05 0.18 0.04
乙生产线抽样产品编号
1 2 3 4 5 6 7 8
指标
1.02 0.97 0.95 0.94 1.13 0.98 0.97 1.01
2.01 2.03 2.15 1.93 2.01 2.02 2.19 2.040.03 0.06 0.20 0.13 0.14 0.04 0.22 0.05
假设用频率估计概率，且每件产品的质量相互独立．
(1)从甲生产线上随机抽取一件产品，估计该产品满足 且 的概率；
(2)从甲乙两条生产线上各随机抽取一件产品，设 表示这两件产品中满足 的产品数，求 的分布
列和数学期望 ；
(3)已知 的值越小则该产品质量越好．如果甲乙两条生产线各生产一件产品，根据现有数据判断哪条生产
线上的产品质量更好？并说明理由．
【典例3-2】定义： 为不超过 的最大整数部分，如 ， ．甲、乙两个学
生高二的6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）如下表所示：
高二成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试
甲 68 74 77 84 88 95
乙 71 75 82 84 86 94
进入高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的数学测试成绩预计有了大的提升．设甲或乙高二
的数学测试成绩为 ，若 ，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为
；若 ，则甲或乙高三的数学测试成绩预计为
100．
(1)试预测：在将要进行的高三6次数学测试成绩（测试时间为90分钟，满分100分）中，甲、乙两个学生
的成绩（填入下列表格内）；
高三成绩 第1次考试 第2次考试 第3次考试 第4次考试 第5次考试 第6次考试
甲
乙
(2)记高三任意一次数学测试成绩估计值为 ，规定： ，记为转换分为3分； ，记为转
换分为4分； ，记为转换分为5分．现从乙的6次数学测试成绩中任意抽取2次，求这2次成绩
的转换分之和为8分的概率．【变式3-1】（2024·江苏南京·二模）在三维空间中，单位立方体的顶点坐标可用三维坐标
表示，其中 .而在 维空间中 ，以单位立方体的顶点坐标可表示为 维
坐标 ，其中 .现有如下定义：在 维空间中， ，
两点的曼哈顿距离为
(1)在3维单位立方体中任取两个不同顶点，试求所取两点的曼哈顿距离为1的概率；
(2)在 维单位立方体中任取两个不同顶点，记随机变量 为所取两点间的曼哈顿距离
（i）求出 的分布列与期望；
（ii）证明：随机变量 的方差小于 .
【变式3-2】（2024·山东·模拟预测）在机器学习中，精确率 、召回率 、卡帕系数 是衡量算法性
能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分
位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测， 表示事件“选到的位点实际有雷”， 表示事件
“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率 ，召回率 ，卡帕系数 ，其中
．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率 和召回率 ．
实际有
实际无雷 总计
雷
检测到有雷 40 24 64
检测到无雷 10 26 36
总计 50 50 100
(2)对任意一次测试，证明： ．
(3)若 ，则认为机器人的检测效果良好；若 ，则认为检测效果一般；若 ，
则认为检测效果差．根据卡帕系数 评价（1）中机器人的检测效果．题型四：定义新运算
【典例4-1】（2024·辽宁大连·二模）大连育明高级中学高三学生在交流2016年全国新课标Ⅲ卷单选
压轴题时，各抒己见展示各自的解法.
题干：定义“规范01数列”{a }如下：{a }共有 项，其中 项为0， 项为1，且对任意 ，
n n
中0的个数不少于1的个数.若 ，则不同的“规范01数列”共有[14]个.
A同学发现数据较少，可以列出所有情况，得到14个；
B同学在组合数学中学过卡特兰数， ，所以此题是 的情况， .
在一次活动课上，甲、乙俩人设计了一个游戏，抛硬币一次，若正面向上加一分，反面向上减一分.若起始
分为零分，出现负分游戏立刻停止.
(1)求在一次游戏中，恰好在第十一次后结束，中途只出现过两次零分的概率；
(2)如果一个人在一次游戏中，连续抛了十次硬币，求此时积分 的分布列和期望；
(3)参与一次游戏，记总共抛硬币次数为 ， 的期望为 ，求满足 的最小正整数 .
【典例4-2】（2024·重庆·模拟预测）平面直角坐标系中有 只蚂蚁，分别位于点
．定义一次操作如下：将每只蚂蚁进行一次移动，等可能地朝上、下、左、右四
个方向移动一个单位，各只蚂蚁的移动互不影响，移动后允许有多只蚂蚁在同一点处．若该点没有蚂蚁，
则称这个点为“空点”．设随机变量 为一次操作后 （ 且 ）中的“空点”数目．
(1)若 ，求 的分布列；
(2)定义随机变量 ，当 时，求 的分布列与期望 ；
(3)当 时，求 的最小值，使得 ．
（参考公式：若 ，则 ）【变式4-1】设离散型随机变量X，Y的取值分别为 ， ．定义X关
于事件“ ” 的条件数学期望为 ，已知条件数学期望满
足全期望公式 ．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的
影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开
始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生
理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；
②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为 ．规定 ， ．
(1)求 ， ；
(2)证明 ；
(3)已知 ，求 ，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X， ．
【变式4-2】（2024·广东佛山·模拟预测）定义：一个正整数 称为“漂亮数”，当且仅当存在一个正
整数数列 ，满足①②：
① ；
② ．
(1)写出最小的“漂亮数”；
(2)若 是“漂亮数”，证明： 是“漂亮数”；
(3)在全体满足 的“漂亮数”中，任取一个“漂亮数” ，求 是质数的概率．
题型五：信息熵问题
【典例5-1】（湖北省云学部分重高中联盟2024届高三10月联考（一模）数学试卷）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵.若把信息熵定义为概率分
布的对数的相反数，设随机变量 的所有取值为 ，定义信息熵：
(1)若 ，且 ，求随机变量 的信息熵；
(2)若 ，求随机变量 的信息熵；
(3)设 和 是两个独立的随机变量，求证： .
【典例5-2】信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文
《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，
并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量 所有可能的取值为 ，且
， ，定义 的信息熵 .
(1)当 时，计算 ；
(2)当 时，试探索 的信息熵关于 的解析式，并求其最大值；
(3)若 ，随机变量 所有可能的取值为 ，且 ，证
明: .
【变式5-1】信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量 和 的分布列分别为： ，
，其中 ．定义 的信息熵： ， 和 的“距离”：
．
(1)若 ，求 ；
(2)已知发报台只发出信号 和 ，接收台只收到信号 和 ．现发报台发出信号 的概率为 ，由于通信信
号受到干扰，发出信号 接收台收到信号 的概率为 ，发出信号 接收台收到信号 的概率也为 ．（ⅰ）若接收台收到信号为 ，求发报台发出信号为 的概率；
（ⅱ）记 和 分别为发出信号和收到信号，证明： ．
【变式5-2】（2024·辽宁·模拟预测）若函数 在区间 上满足 对任意
成立，则称 为 上的“可加函数”.
(1)若在区间 上的“可加函数” 单调递减，证明： ；
(2)若对任意 及满足 的正实数 ，都有 ，则称函数 是区
间 上的“凸函数”. 若对区间 上的“凸函数” 及给定的正整数 ，对任意
及满足 的正实数 ，都有
，证明：对任意 及满足
的正实数 ，都有
；
(3)设随机变量 的可能取值为 ，记 ，则 . 信息熵是信息论中的一个重要
概念，发生概率越高的事件能提供的信息量越少，设随机变量 时提供的信息量为 ，在实际应
用中常取 等. 定义信息熵 为信息量的数学期望，证明：当 时， .
【变式5-3】（2024·高三·河北·期末）在信息论中，熵（entropy）是接收的每条消息中包含的信息的
平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.这里，“消息”代表来自分布或数据流中的事件､样本或
特征.（熵最好理解为不确定性的量度而不是确定性的量度，因为越随机的信源的熵越大）来自信源的另一
个特征是样本的概率分布.这里的想法是，比较不可能发生的事情，当它发生了，会提供更多的信息.由于
一些其他的原因，把信息（熵）定义为概率分布的对数的相反数是有道理的.事件的概率分布和每个事件的
信息量构成了一个随机变量，这个随机变量的均值（即期望）就是这个分布产生的信息量的平均值（即
熵）.熵的单位通常为比特，但也用 、 、 计量，取决于定义用到对数的底.采用概率分布的对数
作为信息的量度的原因是其可加性.例如，投掷一次硬币提供了1 的信息，而掷 次就为 位.更一般地，
你需要用 位来表示一个可以取 个值的变量.在1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为
了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻.设随机变量 所有取值为 ，
定义 的信息熵 ，（ ， ）.
(1)若 ，试探索 的信息熵关于 的解析式，并求其最大值；
(2)若 ， （ ），求此时的信息熵.
【变式5-4】信息熵是信息论之父香农（Shannon）定义的一个重要概念，香农在1948年发表的论文
《通信的数学理论》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为“信息熵”，
并给出了计算信息熵的数学表达式：设随机变量 所有可能的取值为 ，且
，定义 的信息熵 .
(1)当 时，计算 ；
(2)若 ，判断并证明当 增大时， 的变化趋势；
(3)若 ，随机变量 所有可能的取值为 ，且 ，证
明： .
1．（2024·山东淄博·二模）定义：给定一个正整数m，把它叫做模．如果用m去除任意的两个整数a与b
所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作 ．如果余数不同，我们就说a，b对模m
不同余，记作 ．设集合 ．
(1)求 ；
(2)①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{a }，并构造 ，
n
②将集合B中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{b }，并构 ．
n
请从①②中选择一个，若选择_____．
证明：数列 单调递增，且有界（即存在实数M，使得数列中所有的项都不超过M）．
注：若①②都作答，按第一个计分．
2．对于集合 ，定义运算符“ ” 两式恰有一式成立}， 表示集合 中元素的
个数．
(1)设 ，求 ；
(2)对于有限集 ，证明 ，并求出固定 后使该式取等号的 的数量；（用含
的式子表示）
(3)若有限集 满足 ，则称有序三元组 为“联合对”，定义
， ．
①设 ，求满足 的“联合对” 的数量；（用含 的式子表示）
②根据（2）及（3）①的结果，求 中“联合对”的数量．
3．（2024·辽宁鞍山·二模）设数列 的前 项和为 ，已知 ，且 ．
(1)证明： 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值
范围；
(3)高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， ，设 ，数
列 的前 项和为 ，求 除以16的余数．
4．（2024·浙江·三模）莫比乌斯函数，由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出，数学家梅滕斯首先使用
作为莫比乌斯函数的记号，其在数论中有着广泛应用.所有大于1的正整数 都可以被唯一表示为有限
个质数的乘积形式： （ 为 的质因数个数， 为质数， ， ），例如：
，对应 ， ， ， ， ， ， .现对任意 ，定义莫比乌
斯函数 .
(1)求 ， ；
(2)已知 ，记 （ 为 的质因数个数， 为质数， ， ）的所有因数从小
到大依次为 ， ，…， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）求 的值（用 （ ）表示）.
5．若函数 的定义域、值域都是有限集合 ， ，则定义 为集合A上的有限
完整函数.已知 是定义在有限集合 上的有限完整函数.
(1)求 的最大值；
(2)当 时，均有 ，求满足条件的 的个数；
(3)对于集合M上的有限完整函数 ，定义“闭环函数”如下： ，对 ，且 ，
.若 ， ， ，则称 为“m阶闭环函数”.证明：存在一个闭环函数 既是3阶闭环函数，也是4阶闭环函数（用列表法表示 的函数关系）.
6．（2024·江苏南通·三模）“熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的
不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量 对应取值 的概率为
，其单位为bit的熵为 ，且 ．（当 ，规定 ．）
(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为 ，正面向上的次数为 ，分别比较 与 时
对应 的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
(2)若拋掷一枚质地均匀的硬币 次，设 表示正面向上的总次数， 表示第 次反面向上的次数（0或
1）． 表示正面向上 次且第 次反面向上 次的概率，如 时， ．对于两个离散的
随机变量 ，其单位为bit的联合熵记为 ，且
．
（ⅰ）当 时，求 的值；
（ⅱ）求证： ．
7．已知集合 ，对于 ，
，定义 与 之间的距离为 .
(1)若 ，求所有满足 的点 所围成的图形的面积;
(2)当 时， ，并且 ，求 的
最大值（用 表示);
(3)当 时，求集合 中任意两个元素之间的距离的和.8．（2024·浙江温州·三模）现有 张形状相同的卡片，上而分别写有数字
，将这 张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数
字后放回，现在甲同学随机抽取4次.
(1)若 ，求抽到的4个数字互不相同的概率；
(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义 为随机变量 的 阶矩，其中1阶矩就
是 的期望 ，利用 阶矩进行估计的方法称为矩估计.
（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量 ，计算随机变量 的1阶矩 和2阶矩 ；（参考公式：
）
（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来
计算 的估计值 .（ 的计算结果通过四舍五入取整数）
9．通信信号利用BEC信道传输，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同．若
BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．传输技术有两种：一种是传统通信传输技术，采用多个信
道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图1）．
另一种是华为公司5G信号现使用的土耳其通讯技术专家Erdal Arikan教授的发明的极化码技术（以两个信
道为例，如图2）．传输规则如下，信号 直接从信道2传输；信号 在传输前先与 “异或”运算得
到信号 ，再从信道1传输．若信道1与信道2均成功输出，则两信号通过“异或”运算进行解码后，传
至接收端，若信道1输出失败信道2输出成功，则接收端接收到信道2信号，若信道1输出成功信道2输
出失败，则接收端对信号进行自身“异或”运算而解码后，传至接收端．（注：定义“异或”运算： ）．假设每个信道传输成
功的概率均为 ．
(1)对于传统传输技术，求信号 和 中至少有一个传输成功的概率；
(2)对于Erdal Arikan教授的极化码技术；
①求接收端成功接收信号 的概率；
②若接收端接收到信号 才算成功完成一次任务，求利用极化码技术成功完成一次任务的概率．
10．在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标 表示，其中 ．而在n维
空间中 ，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标 ，
其中 ．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点
与 坐标差的绝对值之和，即为 ．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于 ．
11．（2024·河南·三模）设离散型随机变量 和 的分布列分别为 ， ， ，
， ， ．定义 ，用来刻画 和 的相似程度，设
， ．
(1)若 ， ， ，求 ；
(2)若 ，且 的分布列为0 1 2
求 的最小值；
(3)对任意与 有相同可能取值的随机变量 ，证明： 的值不可能为负数．
12．（2024·浙江·一模）混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策
略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检
测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为 ．
目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数 ，这里X指该组样本N个人中患病毒的
人数．
(1)证明： ；
(2)若 ， ．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人
为阳性．
13．（2024·安徽合肥·模拟预测）在一个典型的数字通信系统中，由信源发出携带着一定信息量的消息，
转换成适合在信道中传输的信号，通过信道传送到接收端.有干扰无记忆信道是实际应用中常见的信道，信
道中存在干扰，从而造成传输的信息失真.在有干扰无记忆信道中，信道输入和输出是两个取值
的随机变量，分别记作 和 .条件概率 ，描述了输入信号和输出信号之间
统计依赖关系，反映了信道的统计特性.随机变量 的平均信息量定义为：
.当 时，信道疑义度定义为(1)设有一非均匀的骰子，若其任一面出现的概率与该面上的点数成正比，试求扔一次骰子向上的面出现的
点数 的平均信息量 ；
(2)设某信道的输入变量 与输出变量 均取值0，1.满足：
.试回答以下问题：
①求 的值；
②求该信道的信道疑义度 的最大值.
14．信息熵是信息论中的一个重要概念，用来刻画一些随机事件的不确定程度.设随机变量 所有可能的
取值为 ，且 ，定义 的信息熵 .
(1)若随机变量 的分布列如下表所示.求 的值；
(2)若 ，求 的最大值及对应的 ， 的值；
(3)若 ，随机变量 所有可能的取值为 ， ，试判断 与
的大小关系.
