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专项10 计数原理与统计概率重难点
分析维度 具体内容
核心考点 1. 计数原理：分类加法计数原理、分步乘法计数原理，排列与组合的定义、公式
及应用，二项式定理（展开式、通项公式、二项式系数与项的系数）；2. 统计基
础：随机抽样（简单随机抽样、系统抽样、分层抽样），用样本估计总体（频率
分布直方图、平均数、方差、众数、中位数）；3. 概率基础：随机事件的概率、
互斥事件与对立事件的概率，古典概型、几何概型的定义与计算；4. 概率综合：
条件概率、相互独立事件的概率，随机变量及其分布（超几何分布、二项分布、
正态分布），期望与方差的计算及应用；5. 统计综合：成对数据的统计分析（线
性相关、回归方程、相关系数），独立性检验（列联表、卡方统计量）；6. 综合
应用：计数原理与概率的结合，统计与概率的实际应用（应用题），与函数、不
等式的简单结合。
考查形式 1. 客观题（单选题+多选题）：5-10分，多为第4-10题，考查计数原理（排列组
合、二项式定理）、古典概型、几何概型、统计图表解读、期望方差基础计算，
难度低-中档；2. 解答题：12分，固定为中档大题（多为第17或18题），命题
模式固定：第一问考查随机抽样、统计图表分析或计数原理应用，第二问考查概
率计算、随机变量分布列与期望，或独立性检验、回归分析；3. 新高考特点：多
选题增加统计图表辨析、概率性质判断，强化基础性考查，注重与实际生活结
合，弱化复杂运算，增强试题开放性和应用性，强调知识的融会贯通，偶尔结合
其他模块设计综合题目。
命题特点 1. 基础题（送分）：分类分步计数原理简单应用、排列组合基础计算、二项式定
理简单求值、古典概型基础计算、统计图表基础解读，直接套用公式即可得分；
2. 中档题（核心得分）：排列组合综合应用（分组、分配问题）、二项式定理与
其他知识结合、古典概型与互斥/独立事件结合、统计图表综合分析、随机变量分
布列与期望计算，侧重方法应用和规范书写；3. 难题（低频）：复杂排列组合问
题（含限制条件）、条件概率与全概率公式应用、正态分布的综合应用、回归分
析与独立性检验的综合，难度中等偏上，占比低；4. 命题趋势：整体稳定，重基
础、重应用、重实际，紧扣高考评价体系，深化基础性考查，引导教学回归课
标，注重考查学生的数据分析能力和逻辑推理能力，减少纯复杂计算，强化知识
的横向联系和综合应用。
重难点突破 1. 重点：① 分类加法与分步乘法计数原理的辨析与应用（核心是区分“分类”
与“分步”）；② 排列与组合的定义辨析、公式应用，分组与分配问题的解题
方法；③ 二项式定理的通项公式应用（求特定项、项的系数、二项式系数）；
④ 古典概型、几何概型的概率计算（核心是确定样本空间和事件A包含的样本
点）；⑤ 随机变量分布列、期望与方差的计算（超几何分布、二项分布为
主）；⑥ 统计图表的解读与应用，回归方程、独立性检验的基础应用；2. 难
点：① 复杂排列组合问题（含限制条件、分组分配、有序与无序辨析）；② 二
项式系数与项的系数的区别与计算，二项式定理的综合应用；③ 条件概率、全
概率公式的理解与应用；④ 正态分布的性质与应用，期望与方差的变形公式应
用；⑤ 回归分析中回归方程的求解与应用，独立性检验的步骤与结论判断；⑥
计数原理与概率、统计的综合应用，实际应用题的建模与求解。
关联模块 1. 直接关联：函数（期望与方差的函数应用、随机变量的函数分布）、不等式
（排列组合中的范围问题、统计中的最值问题）；2. 间接关联：数列（二项式系
数的性质、排列组合的递推关系）、三角函数（几何概型中的角度计算）、立体几何（几何概型中的体积计算），是高考中综合性较强的模块之一，常与实际场
景结合考查。
备考策略 1. 基础过关：熟记计数原理、排列组合、二项式定理的核心公式，掌握随机抽
样、统计图表、古典概型的基础方法；牢记期望、方差、相关系数、卡方统计量
的公式，能直接套用；2. 方法强化：专项练习排列组合的解题方法（优先法、捆
绑法、插空法、分组分配法），区分二项式系数与项的系数；重点练习古典概
型、随机变量分布列与期望，规范解题步骤；3. 难点突破：总结复杂排列组合的
解题套路，针对性练习条件概率、全概率公式；掌握回归方程、独立性检验的解
题步骤，理解其统计意义；强化实际应用题的建模训练，学会将实际问题转化为
数学问题；4. 实战训练：多练解答题，规范统计图表分析、概率计算、分布列书
写的步骤，避免计算失误；重点练习与实际生活结合的题目，积累解题经验；5.
易错规避：重点练习分类分步的辨析、排列与组合的区别，避免重复或遗漏；注
意二项式定理中通项公式的符号，避免公式记错；规范独立性检验、回归分析的
步骤，避免结论判断错误。
解题技巧 1. 计数原理：区分“分类”（互斥，方法数相加）与“分步”（依存，方法数相
乘），复杂问题可画图或列表辅助分析；排列组合优先处理特殊元素、特殊位
置，分组分配注意“有序”与“无序”的区别；2. 二项式定理：通项公式优先，
求特定项时先确定k值，区分二项式系数（仅与k有关）与项的系数（与字母系
数和k有关），灵活运用二项式系数的性质简化计算；3. 概率计算：古典概型优
先列举样本点（复杂时用排列组合计算），几何概型重点确定“测度”（长度、
面积、体积）；条件概率优先用公式P(B|A)=P(AB)/P(A)，复杂问题用全概率公
式；4. 统计分析：解读频率分布直方图时，注意纵轴为“频率/组距”，平均数
用加权平均计算；回归方程必过样本中心点，相关系数判断线性相关强度；独立
性检验先列列联表，再计算卡方，最后对比临界值下结论；5. 实际应用：先梳理
题干条件，明确考查类型（计数、概率、统计），建立数学模型，再套用对应方
法求解，注意单位统一和结论符合实际意义。
易错点汇总 1. 混淆分类加法与分步乘法计数原理，导致方法数计算错误（重复或遗漏）；2.
混淆排列与组合（有序与无序），尤其是分组分配问题中，忽略“平均分组”的
消序；3. 记错二项式定理的通项公式，或混淆二项式系数与项的系数，符号出
错；4. 古典概型中，计算样本点总数或事件A包含的样本点时，重复或遗漏；5.
几何概型中，错误确定“测度”（如混淆长度与面积），或忽略定义域限制；6.
条件概率中，混淆P(B|A)与P(A|B)，或未正确计算P(AB)；7. 期望与方差计算
中，记错公式，尤其是D(aX+b)=a²D(X)、E(aX+b)=aE(X)+b的变形错误；8. 回归
分析中，忘记回归直线必过样本中心点，或误解“相关”与“因果”的关系；9.
独立性检验中，计算卡方出错，或混淆临界值对应的结论，误判两个分类变量的
独立性；10. 实际应用题中，未能正确建模，或忽略题干中的限制条件（如“放
回”与“不放回”）。
一、基础核心考点（送分题，必拿分）
（一）计数原理基础
1. 分类加法计数原理：完成一件事，有n类不同方法，每类方法有k₁、k₂、…、kₙ种，总方法数为k₁+k₂+…+kₙ
（核心：分类互斥，方法相加）。
2. 分步乘法计数原理：完成一件事，需要n个步骤，每步有k₁、k₂、…、kₙ种方法，总方法数为k₁×k₂×…×kₙ（核
心：分步依存，方法相乘）。3. 考法：客观题简单应用，判断分类/分步，计算基础方法数，难度偏低。
（二）排列与组合
1. 定义辨析：
- 排列（有序）：从n个不同元素中取出m个，按一定顺序排成一列，记为Aₙᵐ，公式：Aₙᵐ = n×(n-1)×…×(n-
m+1)；
- 组合（无序）：从n个不同元素中取出m个，不考虑顺序组成一组，记为Cₙᵐ，公式：Cₙᵐ = Aₙᵐ / m! =
n!/[m!(n-m)!]。
2. 核心性质：Cₙᵐ = Cₙⁿ⁻ᵐ；Cₙ⁰ = 1；Cₙᵐ + Cₙᵐ⁻¹ = Cₙ₊₁ᵐ。
3. 考法：客观题基础计算，简单组合/排列问题，如“从n个元素中选m个”，直接套用公式。
（三）二项式定理基础
1. 核心公式：(a+b)ⁿ = Cₙ⁰aⁿb⁰ + Cₙ¹aⁿ⁻¹b¹ + … + Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ + … + Cₙⁿa⁰bⁿ（n∈N*）。
2. 通项公式：第k+1项Tₖ₊₁ = Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ（k=0,1,2,…,n）。
3. 基础考法：求特定项（如常数项、xⁿ项）、二项式系数（Cₙᵏ），直接套用通项公式。
（四）统计基础
1. 随机抽样（必考）：
- 简单随机抽样：抽签法、随机数表法，适用于总体容量小、个体均匀；
- 系统抽样：将总体均分，按固定间隔抽取，适用于总体容量大；
- 分层抽样：按比例从各层抽取，适用于总体差异明显（如不同年级、不同性别）。
2. 用样本估计总体：
- 频率分布直方图：纵轴为“频率/组距”，频率=组距×纵轴高度，所有频率和为1；
- 数字特征：平均数（加权平均）、方差（反映波动大小）、众数（出现次数最多）、中位数（中间位置数
值）。
3. 考法：客观题抽样方法判断、统计图表解读、数字特征计算，难度偏低。
（五）概率基础
1. 随机事件概率：0≤P(A)≤1，必然事件P(A)=1，不可能事件P(A)=0。
2. 互斥与对立事件：
- 互斥事件：A、B不能同时发生，P(A∪B)=P(A)+P(B)；
- 对立事件：A、B互斥且必有一个发生，P(Ā)=1-P(A)。
3. 古典概型：样本空间有限、每个样本点等可能，P(A)=事件A包含的样本点个数/样本空间总数。
4. 几何概型：样本空间无限、等可能，P(A)=事件A对应的测度（长度、面积、体积）/总体测度。5. 考法：客观题概率计算，简单古典概型、几何概型，直接套用公式。
二、核心应用考点（中档题，核心得分区）
（一）排列与组合综合应用
1. 常见题型：含限制条件的排列组合（如“某元素必须在首位”“某两个元素不相邻”）、分组分配问题。
2. 解题方法：
- 优先法：优先处理特殊元素、特殊位置；
- 捆绑法：处理相邻元素（捆绑为一个整体，再排列）；
- 插空法：处理不相邻元素（先排无限制元素，再插空）；
- 分组分配：有序分配（先分组再排列）、无序分配（平均分组需消序）。
3. 考法：客观题中档题、解答题第一问，计算复杂方法数。
（二）二项式定理综合
1. 核心考查：
- 项的系数与二项式系数的区别：二项式系数仅为Cₙᵏ，项的系数需乘字母系数（如(2x+1)ⁿ中，xᵏ的系数为
Cₙᵏ×2ᵏ）；
- 二项式系数的性质：对称性、最大值（n为偶数时，中间一项最大；n为奇数时，中间两项最大）；
- 赋值法：求各项系数和（令a=b=1）、奇偶数项系数和（令a=1、b=-1）。
2. 考法：客观题中档题，求项的系数、系数和，难度中等。
（三）概率综合计算
1. 条件概率：P(B|A)=P(AB)/P(A)（A发生的前提下，B发生的概率），核心是“缩小样本空间”。
2. 相互独立事件：A、B独立，P(AB)=P(A)×P(B)，如“放回抽样”。
3. 考法：解答题第一问，结合古典概型、互斥事件，计算条件概率、独立事件概率。
（四）随机变量及其分布
1. 核心分布（必考）：
- 超几何分布：不放回抽样，如“从N件产品中抽n件，求次品数X的分布”，期望E(X)=nM/N（M为次品总
数）；
- 二项分布：放回抽样、n次独立重复试验，记为X~B(n,p)，期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。
2. 分布列与期望：
- 分布列：列出X的所有取值，计算对应概率，满足所有概率和为1；
- 期望与方差：E(X)=x₁P₁+x₂P₂+…+xₙPₙ；D(X)=E(X²)-[E(X)]²，牢记变形公式D(aX+b)=a²D(X)、
E(aX+b)=aE(X)+b。3. 考法：解答题第二问，求分布列、期望，难度中等，是核心得分点。
（五）统计综合应用
1. 成对数据的统计分析：
- 线性相关：相关系数r（|r|越接近1，线性相关性越强；|r|越接近0，相关性越弱）；
- 回归方程：y=bx+a，必过样本中心点((cid:7) 𝑥̄(cid:2), ȳ)，核心是套用公式计算b、a。
2. 独立性检验：
- 步骤：列列联表→计算卡方统计量χ²→对比临界值→判断是否有足够把握认为两个分类变量相关。
3. 考法：解答题，统计图表分析、回归方程求解、独立性检验，规范步骤即可得分。
三、高阶综合考点（难题，低频拉分）
（一）复杂排列组合问题
1. 题型：多限制条件、混合分组分配、排列组合与概率结合，如“含特殊元素的分组分配+概率计算”。
2. 关键：分清有序与无序，避免重复或遗漏，可借助画图、列表辅助分析。
（二）概率与统计高阶综合
1. 全概率公式：P(A)=P(B₁)P(A|B₁)+P(B₂)P(A|B₂)+…+P(Bₙ)P(A|Bₙ)（B₁,B₂,…,Bₙ为样本空间的一个划分），低频
考查；
2. 正态分布：X~N(μ,σ²)，性质：曲线关于x=μ对称，P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9545，
P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9973；
3. 回归分析与独立性检验综合：结合统计图表，同时考查回归方程与独立性检验，侧重数据分析能力。
（三）实际应用问题
1. 题型：概率应用题（如抽奖、产品检验）、统计应用题（如增长率、满意度调查），核心是建模。
2. 关键：梳理题干条件，将实际问题转化为计数、概率或统计问题，套用对应方法求解，注意题干限制条件（如
“放回”与“不放回”）。
四、高考考法总结与易错提醒
（一）考法总结
1. 客观题（5-10分）：侧重基础，考查计数原理、排列组合、二项式定理、古典概型、统计图表，难度低-中档；
2. 解答题（12分）：固定为中档大题，第一问考查抽样、统计图表或计数原理，第二问考查概率、分布列与期望，
或回归分析、独立性检验；
3. 新高考趋势：强化基础性、应用性，注重与实际生活结合，弱化复杂运算，多选题增加统计图表辨析、概率性
质判断。（二）易错提醒
1. 混淆分类加法与分步乘法计数原理，导致方法数重复或遗漏；
2. 混淆排列（有序）与组合（无序），尤其是平均分组问题中忘记消序；
3. 记错二项式通项公式，或混淆二项式系数与项的系数；
4. 古典概型计算时，样本点总数或事件A包含的样本点重复、遗漏；
5. 几何概型中，错误确定测度（如混淆长度与面积）；
6. 条件概率中，混淆P(B|A)与P(A|B)，或未正确计算P(AB)；
7. 期望与方差计算中，记错变形公式（如D(aX+b)误算为aD(X)+b）；
8. 回归分析中，忘记回归直线必过样本中心点，或误解“相关”与“因果”关系；
9. 独立性检验中，卡方计算出错，或误判临界值对应的结论；
10. 实际应用题中，未能正确建模，或忽略题干限制条件。
一、单选题
1．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50
分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（ ）
A． 对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75
C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在 内
【答案】D
【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，
C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在 的频率和 的频率，可得到70百分位数的范围.
【详解】设 对应矩形的高度为 ，则 ，解得 ，A选项正确；由图可知， 的数据最多，众数的估计值为 ，B选项正确；
平均值为： ，C选项正确；
样本数据 的频率为 ，
样本数据 的频率为 ，
故样本成绩的第70百分位数落在 内，所以D选项错误.
2．（2026·重庆北碚·模拟预测）从预测雾霾动态，到预警水体污染；从评估森林碳汇，到守护生物多样性——AI
正成为环境治理领域中一双敏锐的“无形之手”．某公司为评估AI辅助预测模型的准确性，记录了某月连续7天
的PM2.5预测误差（预测误差=实际浓度-预测浓度，单位： ）．如下表：
日期 1 2 3 4 5 6 7
预测误差： 1 0 1 2
下列关于这7天预测误差 的描述中，正确的是（ ）
A．这组数据的众数仅是 B．这组数据的平均数是0
C．这组数据的极差是6 D．这组数据的中位数是0
【答案】D
【分析】根据题意，结合众数，中位数，和极差的定义，以及平均数的计算公式，逐项分析求解，即可得到答案.
【详解】将这7天的预测误差的7个数据从小到大排序，可得 ，
对于A，统计数据中 和 出现的次数都是两次，且次数最多，
所以众数是 和 ，所以A错误；
对于B，统计数据的平均数为 ，所以B不正确；
对于C，统计数据的极差为 ，所以C错误；
对于D，根据中位数的定义，可得统计数据的中位数为 ，所以D正确.
3．（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞
到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在 叶上，则跳
三次之后停在 叶上的概率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，
根据概率公式即可得到结论．
【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是 ，沿顺时针方向跳的概率是 .
蜻蜓跳三次要回到 叶上只有两条途径：
第一条，按 ，此时停在 叶上的概率 ；
第二条，按 ，此时停在A叶上的概率 .
所以跳三次之后停在 叶上的概率 .
4．（2026·河北张家口·三模）现要举办A，B两个活动，每个活动进行一次，已知先举办活动A，活动A失误的概
率为 ，不失误的概率为 ．若活动A没有失误，则活动B失误的概率为 ，不失误的概率为 ；若活动A出现
失误，则活动B失误与否的概率均为 ，则这两个活动有且仅有一个失误的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据互斥事件的概率加法公式和条件概率的乘法公式，即可求解.
【详解】记事件E表示“活动A失误”，事件F表示“活动B失误”，这两个活动有且仅有一个失误的概率为
.
二、多选题
5．（2026·云南曲靖·模拟预测）下列说法正确的是（ ）A．若随机变量 ，则
B．若事件 ， 相互独立，则
C．若样本数据 ， ， ， 的方差为2，则数据 ， ， ， 的方差为5
D．用相关指数 刻画回归效果， 越接近1，说明回归模型的拟合效果越好
【答案】AD
【分析】利用正态曲线的对称性即可判断A，根据随机事件的概率加法公式与互斥事件的概率公式即可判断B；利
用方差的性质即可判断C；根据相关指数与残差平方和之间的关系即可判断D.
【详解】对于A：因随机变量 ，则 ，
由正态曲线的对称性可得 ，故A正确；
对于B：由事件 ， 相互独立，可知 ，对于随机事件 ， ，
都有 ，
故仅当 ， 互斥时，才有 ，故该结论不成立，即B错误；
对于C，由题意， ， ，
对于数据 ， ， ， ，
其均值为 ，
其方差为 ，故C错误；
对于D，相关指数 越接近1，值越大，残差平方和接近0，值越小，
则该回归模型的拟合效果越好，故D正确.
6．（2026·河北沧州·一模）已知一组数据 ， ，…， 的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是 ，
， ， ，对该组数据作线性处理 得到另一组数据 ， ，…， ，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于 ，则 ，A正确；
对于 ，则 ，B不正确；
对于 ，第75百分位数位置不变，即 ，C正确；
对于 ，最大数和最小数的位置不变，故 ，即 ，
D正确.
【点睛】
7．（2026·云南曲靖·二模）某学校高三年级共有800人，其中男生480人，为调查学生的身高情况，现采用性别
比例分配的分层随机抽样抽取容量为40的样本，其中，男生身高的平均数和方差分别为170和16，女生身高的平
均数和方差分别为160和16，则（ ）
A．该校每位男生被抽到的可能性大于每位女生被抽到的可能性
B．男生中抽取的样本量为24
C．该校高三年级学生身高的平均数估计值为165
D．该校高三年级学生身高的方差估计值为40
【答案】BD
【详解】A，比例分配的分层随机抽样中，每一个个体被抽到的可能性相同，故A错；
B，由题抽样比例为 ，故男生被抽到人数为 人，故B对；
C，估计该校高三年级学生身高的平均数为： ，故C错；
D，估计该校高三年级学生身高的方差为： ，故D对．
8．（2026·广东深圳·二模）某公司统计了去年1月份到5月份某种产品的销售额如下表：
月份 1 2 3 4 5
销售额 万元 1.8 2.2 2.8 3.1
根据表中数据，通过最小二乘法求得的经验回归方程为 ，则（ ）
A．变量 与 正相关B．
C．样本数据 的下四分位数为1.8
D．当 时， 的预测值为4.1万元
【答案】ABD
【分析】根据回归系数 ，可判定A正确；根据回归直线方程经过样本中心 ，列出方程，求得 的值，可
判定B正确；根据百分位数的计算方法，可判定C错误；根据回归直线方程，求得预测值，可判定D正确.
【详解】对于A，由回归直线方程 ，可得 ，
所以变量 与 正相关，所以A正确；
对于B，因为回归直线方程经过样本中心 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，解得 ，所以B正确；
对于C，将样本数据 的数据排序为： ，
由 ，则样本数据 的下四分位数为第 个数据 ，所以C不正确；
对于D，当 时， ，所以 的预测值为 万元，所以D正确.
9．（2026·湖北黄石·模拟预测）已知数据 ， ，…， 的平均数为 ，标准差为 ，中位数为 ，极差为 .由
这组数据得到新数据 ， ，…， ，其中 （ ），则下列命题中正确的是（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是
C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是
【答案】ACD
【分析】对于AB，由平均数，标准差的计算公式直接验算即可；对于 CD， 直接由中位数，极差的定义验证即
可.
【详解】A，因为 ，所以 ，故A正
确；B，因为 ，所以 ，故B错
误；
C、D，不妨设 ，所以 ，
而 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，故D正确.
10．（2026·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．样本相关系数 越大，则线性相关性越强
B． 的上四分位数是15
C．若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
D．若随机变量 的方差 ，期望 ，则
【答案】BC
【详解】A：样本相关系数 越接近1线性相关性越强，并非 越大越强，A错误.
B：数据共8个，上四分位数位置为 ，取第6项与第7项均值，即 ，B正确.
C：由题意， ，则 ， ，C正确.
D：由 ，得 ，D错误.
11．（2026·湖北襄阳·二模）下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 的值为 或 ．
B．从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有 种.
C． 的展开式中 的系数为 ．
D．从5本不同的书中选出3本分配给3位同学，每人一本，则分配方案总数为60．
【答案】ACD
【详解】选项A：根据组合数性质 等价于 或 ，且上标满足 .列方程：① ，解得 ，此时上标为7，符合要求.
② ，解得 ，此时上标分别为4和6，符合要求，故 或 ，A正确.
选项B：用间接法计算，总选法 ，全是男生的选法 ，故至少1名女生的选法为 种，不是
42种，B错误.
选项C： 的展开通项为 ，得到 项分两类：
①2乘 中 项，系数为； .
② 乘 中 项，系数为 .
总系数为 ，C正确.
选项D：从5本不同的书中选3本分给3位同学，属于排列问题，总方案数为 ，D正确.
12．（2026·陕西西安·三模）某班级有30名男生、20名女生，共50名学生参加数学单元测验，满分100分．下列
说法正确的有（ ）
A．若按性别采用分层抽样抽取容量为10的样本分析数学成绩，则需要抽取4名女生的成绩
B．若数学成绩的众数为75，中位数为80，则数学平均成绩一定高于中位数
C．若男生数学成绩的方差为12，女生数学成绩的方差为8，则女生的数学成绩比男生的数学成绩更稳定
D．若将所有学生的数学成绩都加10分，则平均分增加10分，方差也增加10
【答案】AC
【分析】根据分层抽样、众数、中位数、平均数的概念、方差的意义与线性性质，逐一验证选项.
【详解】对于A：女生占总人数的 ，因此抽取的10人中，女生的人数为 ，A正确；
对于B：众数是出现次数最多的数，中位数是数据按从小到大或从大到小的顺序排列后处于中间位置的数，平均
数受所有数据的影响，三者没有必然的大小关系，B错误；
对于C：方差是衡量数据波动程度的统计量，方差越小，数据越稳定、越整齐．女生数学成绩的方差8小于男生数
学成绩的方差12，因此女生的数学成绩更稳定，C正确；
对于D：所有数学成绩同步加10分后，平均分增加10分，但方差反映数据的离散程度，整体加减不会改变数据的
波动幅度，因此方差不变，D错误．
13．（2026·贵州贵阳·二模）为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，
实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，
6，8，10，7．下列说法正确的是（ ）
A．该样本的70%分位数为7分 B．该样本的极差为5分
C．用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D．用样本方差估计总体方差，其值约为1.8【答案】BCD
【分析】根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可.
【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10,
选项A，分位数位置： ，因为 为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位
数是 ，A错误
选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确；
选项C，样本均值 ，用样本均值估计总体均值，C正确；
选项D，样本方差 ，D正确.
14．（2026·安徽·模拟预测）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，分别是东岳泰山，西岳华山，南岳衡山，北
岳恒山，中岳嵩山.小明与其父母共 人计划在五一假期出游，每人选一个地方，则下列说法正确的是（ ）
A． 人选择的地点均不同的方法总数为 B． 人均不选泰山的方法总数为
C．恰有 人选同一个地方的方法总数为 D．恰有 人选华山的概率是
【答案】ABD
【分析】利用排列、组合计数问题，结合分步乘法计数原理及排除法逐项列式计算判断.
【详解】对于A， 人选择的地点均不同的方法总数为 ，故A正确；
对于B， 人均不选泰山的方法总数为 ，故B正确；
对于C，恰有 人选同一个地方的方法总数为 ，故C错误；
对于D，恰有 人选华山的方法数为 ， 人所有的方法数为 ，
所以恰有 人选华山的概率是 ，故D正确．
15．（2026·辽宁大连·三模）已知随机事件A，B，C满足 ， ， ， ，则下
列说法正确的是（ ）
A．事件A，B相互独立
B．
C．若 ，则D．若 ，则
【答案】ACD
【分析】利用条件概率公式，相互独立事件概率公式，并事件概率公式来进行求解即可.
【详解】利用概率加法公式： 由 ，
代入 ， ， 得： ，
又 ，所以算 ，
所以事件 相互独立，故A正确；
根据条件概率公式计算： ，
则 ，故B错误；
由 ，且 ，得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，故C正确；
由 可得： ，
代入 ， ，可得 ，
又因为 ，两式消元解得：
，故D正确.
三、填空题16．（2026·新疆喀什·一模） 的展开式中含 的项为____.
【答案】
【分析】解法一：将三项展开式变为 ，根据 和 展开式的通项乘积可求得结果；解法二：
直接根据组合数公式计算多项式的系数可得.
【详解】方法一:因为 ，
二项式 展开式的通项为 ，
二项式 展开式的通项为 ，
所以多项式 展开式的通项为 ，
令 ，得 ，且 ，
所以 或 或 或 或 .
①当 时， 的展开式中含 的项为 ；
②当 时， 的展开式中含 的项为 ，
③当 时， 的展开式中含 的项为 ；
④当 时， 的展开式中含 的项为 ；
⑤当 时， 的展开式中含 的项为 .
综上，得 的展开式中含 的项为 .
方法二： 可看成6个 相乘，
的展开式中含 的项有以下三种情况：① 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到，即 ；
② 个 多项式取 ， 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到，
即 ；
③ 个 多项式取 ， 个 多项式取 乘积得到，
即 ；
综上所述， 的展开式中含 的项为 .
17．（2026·陕西渭南·模拟预测）在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线
的周围.令 ，求得经验回归方程为 ，则该模型的回归方程为__________.
【答案】
【分析】由回归直线方程可得： ，解出 即可求解．
【详解】因为 ， ，所以 ,
则
18．（2026·陕西榆林·模拟预测）从标有 的 个小球中随机摸取 个，则摸到的 个小球上数字之和是 的
倍数的概率为_____________．
【答案】 /0.4
【分析】根据题意求出取 个小球的结果总数，再找出之和为 的倍数的情况，然后求其概率.
【详解】从袋中的 个小球中取出 个小球，共有 种情况，
取出小球之和为 的倍数情况为： ， ， ， ，共 种情况，
所以取出之和为 的倍数的概率： ．
19．（2026·重庆北碚·模拟预测） 的展开式中，x项的系数为________．
【答案】
20【分析】将原式拆分为 与 两部分，分别求出两部分中 项的系数后求和即可.
【详解】首先将原式变形为 ，
根据二项式定理， 的展开式通项为 ，其中 且 .
中 项的系数：令 ，解得 ，代入通项得该部分 项的系数为 ，
中 项的系数：要得到 项，需 中对应项的次数为 ，令 ，
解得 ，代入通项得该部分 项的系数为 ，
将两部分系数相加，得展开式中 项的总系数为 .
20．（2026·上海杨浦·模拟预测）学生的考试成绩往往与上一门考试的情况有直接联系，某校分析了学生的考试情
况，用频率估计概率，得到：学生第一门考好与考差的概率都是 ，从第二门考试起，若前一门考差，则这一门
出现考差、考好的概率分别为 ，若前一门出现考好，则这一门出现考差、考好的概率分别为 ，则该校学
生某次考试第五门考差的平均概率为__________．（精确到0.001）
【答案】0.474
【分析】设第 门考差的概率是 ，则 ，利用全概率公式求得 与 的关系，结合等比数列的通项公式求
得 ，令 计算即得.
【详解】设 “第 门考差”， “第 门考好”， “第 门考差”，
， ， ， ， ， ，
由全概率公式得
所以 ， ，
， ，
所以 是等比数列，首项是 ，公比是 ，所以 ，所以 ，
所以 .
21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）A，B两队进行篮球比赛，比赛采用三局两胜制并规定每一局比赛都没有平局，
且每局比赛A队获胜的概率都是p，记最终比赛局数为 ，若 ，则 的数学期望的最大值是
______________， 方差的最大值为______________．
【答案】
【分析】求出 的分布列，从而求出 ，再得出它的最大值；求出 ，再通过换元法求解 最大值.
【详解】由题意得 的可能取值为2，3， ，
，则 的分布列为
2 3
P
故 ，因为 ，所以当 时，
；
，令 ，因为 ，所以
，则 ，故 ．
22．（2026·天津滨海新区·三模）某塘沽中学团委组织团的知识竞赛，作为入团积极分子能否被批准入团的考核环
节．题库中共有10道题，其中2道“团章知识”题，3道“团史知识”题，5道“时事团情”题．苏同学对“团章
知识”题正确率为100 ，对“团史知识”题答对的概率为90 ，对“时事团情”题答对的概率为80 ，且答对不同题目的结果相互独立.规定不放回地抽取两道题，只有两次均答对才能被录取为团员．苏同学两次均抽到“时
事团情”题的概率为__________，若苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被录取为团员的概率为
__________．
【答案】 /
【分析】将第一次抽到“时事团情”题的概率与在第一次抽到该类题的条件下第二次抽到该类题的概率相乘，即
可求出两次均抽到“时事团情”题的概率；利用条件概率公式求解苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被
录取为团员的概率即可.
【详解】由题意苏同学两次均抽到“时事团情”题的概率为 ，
设苏同学第一次抽到“团史知识”题为事件 ，苏同学被录取为团员为事件 ，
则 ，
，
所以 ，
即苏同学第一次抽到了“团史知识”题，则他被录取为团员的概率为 .
23．（2026·山东滨州·二模）已知变量 和变量 的一组成对样本数据为 ，其中 ，
其回归直线方程为 ，当增加两个样本数据 和 后，经重新计算得到新回归直线的斜率为3，则
在新的回归直线方程的估计下，样本数据 所对应的残差为__________.（残差 观测值 预测值）
【答案】 /
【分析】将样本中心点代入回归方程中求出 ，即可得出 ，进而得出新数据的样本中
心点和回归方程，代入计算即可.
【详解】由题意得， ，
则 ， ，当增加两个样本数据 和 后，
变量 的平均数为 ，变量 的平均数为 ，
因为新回归直线的斜率为3，所以可设其方程为 ，
将 代入得 ，则 ，
令 ，则 ，则样本数据 所对应的残差为 .
四、解答题
24．（2026·陕西榆林·模拟预测）一个暗箱中装有6个大小、形状相同的球，其中1个红球，2个黄球，3个蓝球，
从中无放回地依次取出3个球．
(1)求黄球全部被取出的概率；
(2)取出的球中黄球的个数记为 ，求 的分布列及数学期望 ．
【答案】(1)
(2)
0 1 2
数学期望：
【分析】（1）先算出从6个球取3个球的总取法，再算黄球全取出的取法，得黄球全取出概率.
（2）确定 取值，分别求 取不同值时的概率，列出分布列，根据分布列用公式求数学期望.
【详解】（1）从6个球中无放回取出3个球，总的取法为组合数： ，
若黄球全部取出（即2个黄球都被取出），还需从剩余4个非黄球中取1个，
符合条件的取法为： ，
因此黄球全部被取出的概率： ，（2）由题意可知， 表示取出黄球的个数， 的所有可能取值为 ，则
，
，
，
因此 的分布列为：
0 1 2
数学期望： .
25．（2026·云南曲靖·二模）某食盐厂生产标准质量为500克的袋装食盐，由于各种因素，实际质量与标准质量或
多或少会存在一些误差，误差在 克以内视为质量合格，现为了检测一条自动流水线的机器运行情况，随机抽取
该流水线上的100袋食盐检测它们的质量（单位：克）作为样本数据，质量的分组区间为 ， ，
… ，且由样本数据绘制频率分布直方图如图：
(1)求a的值；
(2)从质量不合格的食盐样本中，随机抽取3袋，其中质量在 的食盐袋数记为X，求X的分布列和期望．
【答案】(1)
(2)
X 0 1 2 3P
【分析】（1）由频率和为1列方程求参数值；
（2）首先确定随机变量的可能值，应用超几何分布的概率求法求对应概率，写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）由直方图得 ，则 ；
（2）区间 中有5袋食盐，区间 中有5袋食盐，
且质量不合格的食盐所在区间为 和 ，
从中随机抽取3袋，则X的所有可能取值为0，1，2，3，
， ，
， ，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以 .
26．（25-26高二下·山东烟台·期中）一商场联合某商品生产商举行有奖竞猜活动，每次活动分为两轮，若顾客成
功通过第一轮活动，则获得基础抵扣券，其中获得30元的基础抵扣券的概率为 ，获得10元的基础抵扣券的概
率为 ，且须继续参加第二轮活动；否则，不获得基础抵扣券，活动结束.若顾客成功通过第二轮活动，则可获得
20元的进阶抵扣券.两种抵扣券可叠加使用购买该商品，且每位顾客只能参加一次竞猜活动.已知该商品每件的售价
为150元，原进货成本为78元，商场承担所有抵扣券金额的50%，其余的由商品生产商承担.
(1)若顾客成功通过第一轮活动的概率为 ，成功通过第二轮活动的概率为 ，记顾客购买一件该商品的实际支付
金额为 （单位：元），求 的分布列和数学期望；
(2)设顾客甲成功通过了第一轮活动，其成功通过第二轮活动的概率为 ，且顾客甲至多购买一件该商品.假设顾客甲成功通过两轮活动后使用抵扣券购买该商品的概率为 ，记此时顾客甲购买一件该商品贡
献给商场的毛利润期望（单位：元）为 ；顾客甲未成功通过第二轮活动使用抵扣券购买该商品的概率为 ，
记此时顾客甲购买一件该商品贡献给商场的毛利润期望为 .若 ，求 的取值范围.定义：毛利润
期望=顾客购买概率×（顾客实际支付金额的期望-原进货成本-商场承担的抵扣券成本的期望）
【答案】(1)分布列见上述，数学期望为 .
(2)
【分析】（1）分析出 的可能取值，再求出相应的概率，得到分布列，进而得到数学期望,
（2）根据毛利润期望，分别求出 ，再根据题意列不等式求解即可.
【详解】（1）顾客实际支付金额 的所有可能取值为 .
.
若顾客通过第一轮、未通过第二轮，基础抵扣10元，则 .
若顾客通过第一轮，未通过第二轮且基础30元，或通过两轮且基础10元，
.
若顾客通过两轮，基础抵扣30元： .
因此 的分布列为：
100 120 140 150
数学期望 .
（2）根据毛利润期望的定义：
，其中 为总抵扣额.：总抵扣期望 ，单件利润期望为 ，
因此 .
：总抵扣期望 ，单件利润期望为 ，
因此 .
因为 ，即 .
因为 ，所以 的取值范围为 .
27．（2026·陕西榆林·模拟预测）某市场上工业品零件W的三种品牌公司的产品，相应的市场占有率和优质率的
信息如下表：
品牌 甲 乙 丙
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 90% 80% 70%
记 ， ， 表示买到的工业品零件W的品牌分别为甲、乙、丙，B表示从市场上买的一个工业品零件W是优质
品．
(1)求事件B发生的概率；
(2)用比例分配的分层随机抽样方法，从该市场选取10个工业品零件W，再从这10个零件中任选2个，用X表示
这2个零件中品牌甲的个数，求X的分布列和数学期望．
【答案】(1)
(2)
X 0 1 2
P
数学期望1．
【分析】（1）由全概率公式即可求解；
（2）由分层抽样得出品牌甲乙丙工业品的个数，由题意分析出 ，1，2，分别求得对应概率即可得出分布列，
再根据期望的计算方法即可求解期望．
【详解】（1）由题得，市场占有率： ， ， ，优质率： ， ， ，
则由全概率公式得 ．
（2）由题意，10个工业品零件W中品牌甲5个，品牌乙3个，品牌丙2个，
，1，2，
，
，
，
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
数学期望 ．
28．（2026·重庆渝中·三模）2026 年 4 月 19 日， 第二届人形机器人半程马拉松在北京亦庄举行， 来自各地的
机器人参赛队伍同场竞技，引发广泛关注.为研究 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”
之间是否存在关联，某科研团队对本次参赛的 500 台机器人进行统计，得到如下列联表 （单位： 台）：
完成比赛 未完成比赛
搭载智能避障系统 180 70
未搭载智能避障系统 120 130
(1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为 “机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比
赛” 有关?
(2)从该 500 台机器人中，采用按比例分层抽样的方法（以是否搭载智能避障系统分类），抽取一个容量为 10 的
样本.再从这10台机器人中，不放回地随机抽取3台，设其中 “搭载智能避障系统” 的台数为 .求 的数学期
望 .
附： ，其中 .0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”有关.
(2) ，分布列为：
【分析】（1）先完善列联表，再计算 ，根据临界值表可得相应判断；
（2）根据超几何分布可求 的分布列，再根据期望公式计算期望即可.
【详解】（1）完善列联表如下：
完成比赛 未完成比赛 合计
搭载智能避障系统
未搭载智能避障系统
合计
设 ：“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛” 无关，
则 ，
故根据小概率值 的独立性检验，
可以认为“机器人是否搭载智能避障系统” 与 “能否完成全程比赛”有关.
（2）根据分层抽样可得10台机器人中“搭载智能避障系统” 的台数为 ，
故 可取 ，
又 ， ，
， ，
故 的分布列为：故 .
29．（2026·上海浦东新·三模）某科技公司共有员工 人，其中男员工 人，女员工 人．为推广一款新工
作软件，在全体员工中随机抽取 人进行调查，得到他们对该软件的接受与否如下表：
接受 不接受 合计
男性
女性
合计
(1)是否有 的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联；
(2)将样本中男性和女性对这款新工作软件各自的接受率作为总体中相应性别的接受率的估计．现从该公司所有员
工中随机地取 人，设事件 为“员工接受该软件”，事件 为“员工为女性”．
①求 （精确到小数点后 位）：
②若该员工接受软件，求该员工为女性的概率 （精确到小数点后 位）．
（参考公式： ）
【答案】(1)没有 的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联
(2)① ；②
【分析】（1）根据列联表中的数据计算 ，与 比较大小，得出结论.
（2）①根据题意得出 ， ， ， ，利用全概率公式即可求解；②利用条件概率公式即可
求解.
【详解】（1）提出原假设 ：“性别与是否接受该软件”无关
计算
由于 ，而 ，
因此没有95 的把握认为该科技公司“性别与是否接受该软件”有关联．（2）①由题意， ，则 ，
， ，
因此
②由题意， ．
30．（2026·山东枣庄·三模）为促进销售，某生产商联合商超对定价为100元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，
规则如下：进商超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10元或20元的“基础优惠券”（摸到10元“基
础优惠券”的概率为0.6，摸到20元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得
一张能叠加使用的20元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为 .已知摸奖与闯关优惠活动的
结果相互独立.
(1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为 （单位：元），求 的分布列和 ；
(2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.记生产
商销售一件该产品的期望利润为 （单位：元），消费者购买该产品的概率为 .已知
，商品成本为41元.试求 的最大值及取得最大值时 的值.（结果保留1位小数）
注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望）
【答案】(1)分布列如下：
60 70 80 90
数学期望
(2) 的最大值为11.7，取得最大值时 的值为 .
【分析】（1）分为四种情况，对四种情况依次分析即可；
（2）优惠券成本=基础优惠券+进阶优惠券，再利用公式求导计算最大值即可.
【详解】（1）由题可知， 可能取值为：60、70、80、90.
， ， ， ，所以消费者购买一件该产品的实际支付金额 的分布列为：
60 70 80 90
数学期望为： .
（2）设优惠券实际成本为 ，则
且支付金额的期望 ，
所以 ，
即：
求导得： ，
令 ，解得： ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以当 时， 取得最大值，此时 ，
即： 的最大值约为11.7，取得最大值时 的值约为 .
