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2026 年高考考前平稳发挥练手卷
数学（全国Ⅱ卷）
（考试时间：120分钟，分值：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集 ， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，则 ，
又 ，，则 .
2．已知复数 ， 满足 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的四则运算和复数的模即可求解.
【详解】由复数 满足 ，可得 ，代入方程 ，则 ，所以 ，则 ，因此 ，故B正确.
3．已知向量 ， ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】已知向量 ， ，则 ，
，解得 ．
4．已知随机事件A，B， ， ， ，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据条件概率公式计算判断各个选项.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ，则 ，
所以 .
5．已知正四面体 的四个顶点均在球 的表面上，若球 的半径为3，则正四面体 的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将正四面体补形为正方体，得正四面体的外接球与对应正方体的外接球为同一个球，通过正方体的外接
球半径推导正四面体棱长与外接球半径的关系，求出正四面体的棱长；由正四面体的四个面为全等的正三角形，
求得正四面体的表面积.
【详解】以正四面体 的棱为正方体的面的对角线，将正四面体 扩展为正方体，如图所示，则正
方体的外接球与正四面体 的外接球为同一个球.设正方体的边长为 ，则正四面体 的棱长为 ，外接球 的半径 ；
球 的半径为3， ，得 .
正四面体 的棱长为 .
，即正四面体 的表面积为 .
6．如图为函数 的部分图象， 为图象与 轴的两个交点坐标，
则 （ ）
A． B． C．0 D．
【答案】C
【详解】由图可得 解析式，然后由 周期性可得答案.
【点睛】由图可得 最小正周期为 ，则 ，又 ，则 .又由图可得 ，则 ，取 ，得 ，
从而 ， .
结合 最小正周期为4， ，则
.
7．已知圆 ： ，直线 ： ，则直线 被圆 截得的弦长的最小
值为（）
A． B． C． D．10
【答案】B
【分析】先确定直线 所过的定点，然后根据圆的性质，当直线 与圆心和定点的连线垂直时，直线 被圆C截得的
弦长最短，最后利用垂径定理求出弦长的最小值即可.
【详解】
由 整理为：
，
所以联立方程组得 ，
解得 ，即直线 恒过定点 ，
因为 ，所以圆心 ，半径 ，所以圆心到定点的距离为： ，
所以点 在圆内，直线 与圆始终相交，
当 最大时，弦长 最小；当直线 时， ，
所以弦长最小值为： .
8．不等式 恒成立，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令f (t)=t+lnt，根据 ，结合 的单调性，可得 ，进而得 在
上恒成立，求得 的最小值即可.
【详解】由题意可得， .
令f (t)=t+lnt，则 在 上单调递增，
又 ， ，
所以 ，所以 ，即 在 上恒成立.
xex
令
，则h′(x)=
，
(x+1) 2
当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，所以 .
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的
得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】本题考查三角恒等变换,结合已知 ,利用半角公式、二倍角公式、齐次式化简方法逐一验证选项即
可.
【详解】选项A：设 ,则 ,代入 得 ,整理得 ,解得 , 有
两个可能取值,故A错误.
选项B： ,故B正确.
选项C： ,代入得 ,故C正确.
选项D： ,代入得 ,故D错误.
10．已知数列 ， 的前 项和分别为 ， ，且满足 ， ， ，则下列结论
正确的是（）
A． B．
C． 是等差数列 D．
【答案】BCD
【分析】先利用 与 的关系式变形推出 为等差数列，求出 进而得到通项 ，判定A错C对，再
求出 与 的值验证等式成立确定B正确，最后把 从第二项起两两分组求和，每组和为 ，化简得到对应式
子证得D正确。
【详解】由 ，且 .
得 ，整理得 ，所以 .又 ，故 ，
因此 是首项为 ，公差为 的等差数列，选项C正确.
选项A，由等差数列通项公式， ，故 .
当 时， ，
验证 时， ，符合题意，即 ，选项A错误.
选项B： .
由 ， .
得 ， ， ， ， ，
所以 .故 ，选项B正确.
选项D： ，
.
第 项一组，第 项一组，…，第 项一组，共 组.
每组和： （ ），
因此 ，选项D正确.
11．已知函数 ， 的定义域为 ， 为偶函数且 ， ，若 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性进行分析，从而确定正确答案.【详解】由 为偶函数，得 .
对 作变量代换 ，得 ，因此， .
将 代入上式，得 ，
结合 ，得 ，
进而， ，即 的最小正周期为 ；
由 ，可得 的最小正周期也为 .
对于选项A：由 ，令 ，得 ，故A错误.
对于选项B：由 ，令 ，得 ，故B正确.
对于选项C：由 ，令 ，得 ，故C正确.
对于选项D：由 周期为 ，得 ，故D正确.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列 的前 项和为 ，若 ， ， 成等差数列，则 ______．
【答案】
【详解】因为 ， ， 成等差数列，所以 ，
当 时，可得 ，解得 ，
当 时，可得 ，
则 ，
得到 ，化简得 ，
设 ，则 ，得到 ，
则 ，即数列 是公比为2的等比数列，得到 ，故 .
13．在平面直角坐标系 中，圆 与双曲线 相交于 ， ， ， 四点，
若点 ， ， ， 构成圆O的四等分点，圆 的直径长度是双曲线 实轴长的3倍，则双曲线 的离心率为
_________.
【答案】
【分析】先根据四等分圆周的几何条件得到交点坐标，结合“圆直径是双曲线实轴3倍”求出参数 ，将交点代入
双曲线方程得 ，最后代入双曲线离心率公式计算即可.
【详解】圆 的半径为 ，直径为 .
由题意知，圆的直径是双曲线实轴长的 倍，双曲线实轴长为 ，
因此 ， .
因为 四等分圆周，第一象限的交点 的夹角为 ，
坐标为 ，
将 代入双曲线方程 得
.
离心率 ，且 ，因此 ，
因此双曲线 的离心率 .
14．记 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，点 满足 ，记 ，
，则 _________，对任意给定的实数 ， 的最小值是_________（结果用
表示）．【答案】
【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和公式与两角和与差的三角函数公式，可求 的值；先根据
的值，结合三角形的内角和公式与两角和的正切公式，用 表示出 ，再利用基本不等式求 的
最小值.
【详解】如图：
因为 ，
由正弦定理，可得 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
整理得： ，
因为 为三角形内角，所以 ，所以 ，
即 ，又 ， 为 的两个内角，
所以 .
因为 ，所以 ，且 为锐角.
设 ，则 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
由 ，所以 ，
整理得 .所以 .
因为 为锐角，所以 ，
所以 （当且仅当 即 时取等号）.
所以 （当且仅当 时取等号）.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求 的内角中最大的角的大小；
(2)点 在边 上，且 ，若 ， 的面积为6，求 .
【答案】(1) .
(2)
【分析】（1）利用诱导公式、二倍角的正弦公式变形，结合余弦函数性质可得；
（2）结合（1）得 ，然后设 ，则 ，表示出题中各线段长，求得 ，利用三角形面积公
式求得 得边长，然后由余弦定理求解．
【详解】（1） , .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
所以 的内角中最大的角的大小为 .
（2）因为 ，所以 ，结合（1）可得 .
设 ，则 ， ， ， ， ， .的面积为 ，解得 ，所以 ， .
在 中， .
16．某电器公司的市场研究人员为了解公司的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，结果
如表所示：
年份 2025年 2026年
月份 9月 10月 11月 12月 1月 2月
月份代码 1 2 3 4 5 6
市场占有率
11 13 16 15 20 21
y（%）.
(1)求 关于 的线性回归方程，并预测何时该种产品的市场占有率超过30%？
(2)根据市场供需情况统计，得到该公司产品2025年的月产量 （单位：万件）的分布列为
1 1.2
0.6 0.4
2026年的该公司产品的市场价格 （单位：万元/件）对应的概率分布为 .假设每月固定成本为
200万元，求该产品平均每月利润的分布列和数学期望.
参考数据： ， ， .
参考公式：回归直线方程为 ，其中： ， .
【答案】(1) ，2026年7月.
(2)分布列见解析，3148万元.
【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线，进而估计对应时间.
（2）确定随机变量的可能值并求出对应概率，写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）（1）因 ，
，由题意得 ，
而 ，
于是得 ，
所以 关于 的线性回归方程为 ，
令 ，即 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故从2026年7月开始，该种产品的市场占有率超过 ；
（2）（2）设该产品平均每月利润为 万元，且 ，则 ，
， ， ，
所以Z的可能取值为2800，3300，3400，4000，
故 ，
，
，
，
所以 的分布列为：
2800 3300 3400 4000
0.48 0.12 0.32 0.08
故 万元.
17．如图，已知四棱锥 的底面 是矩形，侧棱 底面 ， ， ， 是
的中点．(1)证明： 平面 ；
(2)求点 到平面 的距离；
(3)求平面 与平面 夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据中位线及线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用线面垂直的判定与性质可证明 平面 ，即可得解；
（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】（1）如图，连接 ，交 于点 ，连接 ，
由题意可知 ， 分别为 ， 的中点，故 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 ， ．
又 ， 为 的中点，所以 ，且 ．
又 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ．又 平面 ，所以 ．
又 ，且 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离等于线段 的长，即点 到平面 的距离为 ．
（3）以 为坐标原点， ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，则 ， ， ， ， ，
， ， ， ，
设 是平面 的一个法向量，
则 ， ．
设 是平面 的一个法向量，
则 ， ．
设平面 与平面 的夹角为 ，
❑√6
则
，sinθ=❑√1−cos2θ=
，
6
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．过焦点 作垂直于长轴的直线与椭圆交于A，
B两点， 为等边三角形．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若椭圆C的长轴长为6，点 ，点M，N为椭圆上异于D的动点，且直线MD，ND的斜率互为相反数，
直线MN的斜率是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)是定值
【分析】（1）由题意计算可得 ，结合椭圆的性质可求离心率；
（2）由题意求得椭圆C的方程，设直线MN的方程为： ， ， ，与椭圆方程联立，根
3t2−18
据根与系数的关系，求得 ，x x = ，利用 ，计算求解即可.
1 2 3k2+2
【详解】（1）将 代入椭圆可得 ， ，
又 为正三角形， ，即 ，则可得 ，
又 ，∴❑√3c2+2ac−❑√3a2=0．
离心率 ， ， （ 舍去）.
（2）由题意可知： ，结合（1）可得 ， ，则椭圆 。
由题意可知，符合条件的直线MN的斜率必存在，
设直线MN的方程为： ， ， ，
联立椭圆和直线方程： ，消去y可得 ，
直线和椭圆必有交点，则 ，
−6kt 3t2−18
∴x +x = ，x x = ，
1 2 3k2+2 1 2 3k2+2
，ND的斜率是互为相反数，∴k +k =0．
MD ND
y −2 kx +t−2 y −2 kx +t−2
又k = 1 = 1 ，k = 2 = 2 ，
MD x −❑√3 x −❑√3 ND x −❑√3 x −❑√3
1 1 2 2kx +t−2 kx +t−2
∴k +k = 1 + 2 =0，
MD ND x −❑√3 x −❑√3
1 2
化简可得 ，
即3❑√3k2−9k+3kt−❑√3t+2❑√3=0
因式分解 ，则可得 或❑√3k+t=2，
当❑√3k+t=2时，所以 ，
所以直线MN经过点 ，故不符合题意.
则直线MN的斜率为定值 ．
19．已知函数 .
(1)若 ，求证： ；
(2)设数列 的通项公式 ， 是其前 项和，求证： ；
(3)设等差数列 的公差 ， 是其前 项和，且 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由 结合两角和与差的正弦公式可得 ，进而结合二倍角公式求
证即可；（2）将 裂项并求和可得 ，利用正弦函数的性质放缩求证即可；
（3）结合三角恒等变换公式及等差数列的前 项和可得 ，
，…， ，进而得到
，令
，利用导数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】（1）证明：由 ，
则
，
即 ，则 ，
即 ，而 ，则 ，即 ，则 .
（2）证明：由 ，
则
，
因为 ，所以 ，
而 ， ，则 .
（3）由 为等差数列，
则，
同理可得， ，…， ，
则
，
令 ，
则 ，
而 ， ，
则 ，所以 在 上单调递增，则方程 有且仅有一个解，
所以 ，
则T =2026π.
2026
