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专题02 计数原理与二项式定理
目录
01 理·思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。
02 盘·基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。
【知能解读01】两个计数原理
【知能解读02】排列与组合
【知能解读03】二项式定理
03 破·重点难点：突破重难点，冲刺高分。
【重难点突破01】涂色问题的解法
【重难点突破02】分组分配问题的解题思路
【重难点突破03】求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
【重难点突破04】二项展开式系数最大项的求法
04 辨·易混易错：辨析易混易错知识点，夯实基础。
【易混易错01】利用分步乘法原理计数，分步标准错误
【易混易错02】数字排列中“0”的位置不明
【易混易错03】忽略二项式中的负号
【易混易错04】混淆二项式系数与系数
05 点·方法技巧：点拨解题方法，练一题通一类
【方法技巧01】求解排列应用问题的六种常用方法
【方法技巧02】组合问题的常见类型与处理方法
【方法技巧03】求二项展开式的特定项
【方法技巧04】求三项展开式中的指定项
【方法技巧05】二项式系数的和与各项的系数和问题
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【方法技巧06】求二项式系数最值
【方法技巧07】二项式定理的应用
【方法技巧08】杨辉三角
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3
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01 两个计数原理
1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案．在第1 类方案中有m 种不同的方法，
在第2 类方案中有n 种不同的方法，完成这件事共有N＝m＋n 种不同的方法。
2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤．做第1 步有m 种不同的方法，做第2 步有n 种不同的方
法，完成这件事共有N＝m·n 种不同的方法。
3、两个计数原理的综合应用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如
果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事
的方法数时，使用分步计数原理．
【真题实战】（2025·河北沧州·一模）如图，为了出黑板报，某班级为黑板
四个区域进行涂色装
饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好
使用了3 种颜色的涂色方法共有（ ）
A．24 种
B．48 种
C．72 种
D．84 种
02 排列与组合1、排列与排列数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素排成一列，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个排列．从
个不同元素中取出
个元素的所有排列的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
的排列数，用符号
表示．
（2）排列数的公式：
．
特例：当
时，
；规定：
．
（3）排列数的性质：①
；②
；③
．
2、组合与组合数
（1）定义：从
个不同元素中取出
个元素并成一组，叫做从
个不同元素中取出
个元素的一
个组合．从
个不同元素中取出
个元素的所有组合的个数，叫做从
个不同元素中取出
个元素
4
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的组合数，用符号
表示．
（2）组合数公式及其推导
求从
个不同元素中取出
个元素的排列数
，可以按以下两步来考虑：
第一步，先求出从这
个不同元素中取出
个元素的组合数
；
第二步，求每一个组合中
个元素的全排列数
；
根据分步计数原理，得到
；
因此
．
这里
，
，且
，这个公式叫做组合数公式．因为
，所以组合数公式还可表
示为：
．特例：
．
注意：组合数公式的推导方法是一种重要的解题方法！在以后学习排列组合的混合问题时，一般都是
按先取后排（先组合后排列）的顺序解决问题．公式
常用于具体数字计算，
常用于含字母算式的化简或证明．
（3）组合数的主要性质：①
；②
．
3、排列和组合的区别
（1）组合：取出的元素地位平等，没有不同去向和分工．
（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或职位不同．
【注意】排列、组合都是研究事物在某种给定的模式下所有可能的配置数目问题，它们之间的主要区别在
于是否要考虑选出元素的先后顺序，不需要考虑顺序的是组合问题，需要考虑顺序的是排列问题．排列是
在组合的基础上对入选的元素进行排队，因此，分析解决排列组合综合问题的基本思维是“先组合，后排
列”．
【真题实战】（2026·河北保定·一模）A，B，C，D，E，F 共6 名同学参加AI 智能库建立创新大赛，决出
第一名到第六名的名次，A 和B 去询问名次，回答者对A 说：“你肯定不会是最差的．”对B 说：“很遗
憾，你没有得到第一名．”从这两个回答分析，6 人的名次排列可能情况的种数为（ ）
A．600
B．580
C．504
D．408
03 二项式定理
1、二项式定理
（1）二项式定理：
，
5
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（2）通项公式：
，表示展开式的第
项：，
（3）二项式系数：系数
（r=0，1，2，…，n）叫做二项式系数，
（4）两个常用的二项展开式：
①
0
1
1
(
)
( 1)
( 1)
n
n
n
r
r
n r
r
n
n
n
n
n
n
n
a
b
C a
C a
b
C a
b
C b
（
*
N
n
）
②
1
2
2
(1
)
1
n
r
r
n
n
n
n
x
C x
C x
C x
x
2、二项式展开式中的最值问题
（1）二项式系数的性质：
①每一行两端都是，即
；其余每个数都等于它“肩上”两个数的和，即
．
②对称性每一行中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即
．
（2）二项式系数的最大项
二项式系数先增后减中间项最大
①如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
②如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
（3）系数的最大项
求
展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为
，
设第
项系数最大，应有
，从而解出
来．
3、二项展开式中的系数和问题
（1）二项式系数和令
，则二项式系数的和为
，
变形式
．
（2）奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和在二项式定理中，令
，
则
，
从而得到：
．
（3）若
，则
①常数项：令
，得
．
②各项系数和：令
，得
．
【真题实战】（2026·重庆九龙坡·一模）
的展开式中，各项系数的和是 ．
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01 涂色问题的解法
（1）根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域涂色问题的基本方法；
（2）根据共用了多少种颜色，分别计算出各种情形的种数，再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种
数；
（3）根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，再利用分
类计数原理求出不同涂色方法种数.
【典例1】（2025·湖北武汉·三模）如图，某社区为墙面
、
、
、
四块区域宣传标语进行涂色装饰，
每个区域涂一种颜色，相邻区域（共边）不能用同一颜色，若只有4 种颜色可供使用，则恰好使用了3 种
颜色的涂法有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．48 种
D．144 种
【典例2】（2025·广东茂名·模拟预测）如图，现要用5 种不同的颜色对某市的4 个区县地图进行着色，要
求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（ ）
A．120
B．160
C．180
D．300
02 分组分配问题的解题思路
分组、分配问题是排列组合的综合问题，解题思想是先分组后分配
（1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组方法有三种：
①完全均匀分组，每组元素的个数都相等；
②部分均匀分组，应注意不要重复；
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③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
（2）分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：
①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；
②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配；
③有限制条件的分配问题，采用分类求解．
【典例1】（2025·广东江门·模拟预测）把6 名技术员分到3 个车间工作，分到3 个车间的人数各不相同，
每个车间至少1 人，则不同的分配方案共有（ ）
A．270 种
B．540 种
C．720 种
D．360 种
【典例2】（2025·湖南郴州·一模）“湘超”足球比赛正在如火如荼进行中，某企业赞助一批足球训练设备
给甲、乙、丙三个球队.这批设备分别为
个相同的跳箱和箱相同的药球.要求每队至少有一个跳箱，且药
球不能全部分配给同一球队，则不同的分配方案有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【典例3】（2025·全国·模拟预测）已知4 位学生被分配到A、B、C 三地学习，每地至少分配一位学生且
每位学生只能去一个地方学习，则不同的分配方式有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
【典例4】（2025·全国·模拟预测）2025 年1 月7 日9 时5 分，西藏自治区日喀则市定日县发生6.8 级地震．
现从各省共抽派7 支抢险工作队前往5 个灾区县救援，要求每个受灾县至少有一个工作队的方法种数共有
（ ）
A．1800
B．16800
C．14280
D．25200
【典例5】（2025·江西·二模）某校组织校运会活动，由甲乙丙三名志愿者负责
､
､
四个任务，每
人至少负责一个任务，每个任务都有且仅有一人负责，且甲不负责
任务，则不同的任务分配方法种数为
（ ）
A．12
B．18
C．24
D．30
【典例6】（2025·安徽六安·模拟预测）六安市旅游资源非常丰富，夏季到景点漂流是很多家庭的最佳避暑
选择.某家庭共6 个人，包括4 个大人，2 个小孩，计划去霍山漂流.景点现有3 只不同的船只可供他们选择
使用，每船最多可乘3 人，为了安全起见，小孩必须要大人陪同，则不同的乘船方式共有（ ）
种.
A．348
B．288
C．360
D．60
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03 求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
（1）若n，m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展
开分别求解．
（2）观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
（3）分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
【典例1】（2026·福建·一模）在
的展开式中
的系数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025·浙江宁波·一模）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．0
B．20
C．10
D．
04 二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为
A1，A2，…，An＋1，且第k 项系数最大，应用 从而解出k 来，即得．
【典例1】（2025·四川成都·二模）
的展开式中系数最大的项为（ ）
A．第3 项
B．第4 项
C．第5 项
D．第6 项
【典例2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）已知
的展开式中前三项的二项式系数和为
，则展开式中
系数最大的项为第（ ）
A．
项
B．项
C．项
D．
项
01 利用分步乘法原理计数，分步标准错误
辨析：仔细区分是“分类”还是“分步”是运用两个原理的关键.两个原理的区别在于一个与分类有关，一
个与分步有关.如果完成一件事有n 类办法，这n 类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一
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种方法都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；如果完成一件事需要分
成n 个步骤，缺一不可，即需要依次完成n 个步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同
的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步乘法计数原理.
【典例1】（2025·四川自贡·一模）如图，某设备内部从a 到b 的电路包含三个元件A，B，C，现该设备
从a 到b 的电路工作不正常（断路），那么该设备三个元件A，B，C 的工作状态（通路/断路）共有n 种不
同情况，则n 为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【典例2】（2024·全国·模拟预测）对于各数位均不为0 的三位数
，若两位数
和
均为完全平方数，
则称
具有“
性质”，则具有“
性质”的三位数的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
02 数字排列中“0”的位置不明
辨析：对于数字排列问题，0 是特殊的数字，在解题过程中往往会忽视0 不在首位的特殊要求。
【典例1】（2025·云南·模拟预测）从0，1，2，3 中任取三个数字组成无重复数字的三位数，则下列结论
错误的是（ ）
A．三位数共有18 个
B．百位数字为1 的三位数共有6 个
C．十位数字为1 的三位数共有6 个
D．个位数字为0 的三位数共有6 个
【典例2】（23-24 高二下·湖北·期末）从数字
中选四个组成没有重复数字且比2024 大的四位数
有（ ）
A．52 个
B．64 个
C．66 个
D．70 个
03 忽略二项式中的负号
辨析：在二项式定理(a-b)n的问题要注意b 的系数为-1，展开求解释不要忽略。【典例1】（2023·北京·三
模）在
的展开式中，含
的项的二项式系数为（ ）
A．6
B．16
C．24
D．216
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【典例2】（24-25 高三上·贵州·月考）在
的二项展开式中，第3 项的二项式系数是
（ ）
A．8
B．
C．28
D．
04 混淆二项式系数与系数
辨析：要注意二项展开式中二项式系数与某一项系数的区别. (a＋b)n的展开式中第r+1 项的系数是
，其
值只与
有关，与
无个，系数是该项中的常数，在(a＋b)n的展开式中，系数最大的项是中间项；但
当a，b 的系数不是1 时，系数最大的项的位置就不一定在中间，需要利用通项公式，根据系数的增减性具
体讨论而定.
【典例1】（2026·陕西咸阳·一模）
的展开式中，
的系数为（ ）
A．
B．40
C．
D．10
【典例2】（2024·辽宁鞍山·模拟预测）已知
的展开式中第3 项的二项式系数等于36，则该展开
式中的常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
01 求解排列应用问题的六种常用方法
1、直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；
2、优先法：优先安排特殊元素或特殊位置；
3、捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
4、插空法：不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
5、定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列
6、间接法：正难则反、等价转化的方法
1．（2025·广西柳州·一模）甲、乙等5 人站成一排，若甲和乙之间恰好有2 人，且甲不在两端，则不同排
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法共有（ ）
A．8 种
B．12 种
C．16 种
D．20 种
2．（2025·广东·模拟预测）3 个男同学和3 个女同学排成一列，进行远足拉练．要求排头和排尾必须是男
同学，则不同的排法有（ ）种．
A．36
B．108
C．120
D．144
3．（25-26 高三上·广东·月考）某单位国庆期间有4 天假期，现安排甲、乙、丙3 人值班，每人至少值班
一天，每天只安排一人值班，且甲不安排在第一天值班的安排方法共有（ ）
A．20 种
B．36 种
C．24 种
D．18 种
4．（2025·四川成都·一模）某种产品的加工需要经过5 道不同工序，如果指定其中某2 道工序必须相邻，
那么加工顺序共有（ ）
A．96 种
B．72 种
C．48 种
D．36 种
5．（2025·河南·模拟预测）某校无人机兴趣小组在市无人机大赛后合影留念，2 名指导老师和4 名组员排
成一排照相留念，若2 位老师相邻，则不同的排法共有（ ）
A．120 种
B．360 种
C．240 种
D．720 种
6．（2025·海南·模拟预测）某电影院一排有7 个座位，中间有条过道，过道左侧有4 个座位，右侧有3 个
座位，现有包含小明，小刚，小强在内的7 位同学购买了某一排的座位，其中小明想和小刚坐在一起，小
强想坐在右侧，则共有（ ）种不同的排法．
A．216
B．264
C．312
D．528
7．（2025·湖南岳阳·模拟预测）现有把相同的椅子排成一排，甲、乙、丙三人每人选取其中的一把椅子
入座，在这三人中有两人相邻坐的条件下，则三人均相邻（甲、乙、丙之间无空座）的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·江西·三模）某超市在清明节期间出售2 款A 品牌的清明果，2 款B 品牌的清明果，1 款C 品牌
的清明果.若将这5 款清明果并排摆在货架的同一层上，则同一种品牌的清明果均相邻的摆法有（
）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．48 种
9．（2025·湖南·三模）若甲乙丙丁戊随机站成一排，则甲乙不相邻的概率为（
､
､
､
､
､
）
A．
B．
C．
D．
10．（2025·贵州黔南·模拟预测）贵阳市某中学举办“贵阳文化”交流活动，计划在校园内用五个展板展
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示阳明文化，山地文化，民族文化，红色文化和饮食文化五种特色文化．规定阳明文化与红色文化不相邻，
饮食文化展板放最后．则展板的不同排列方式有（ ）
A．12 种
B．14 种
C．16 种
D．18 种
11．（2025·河北邯郸·二模）6 个不同的芯片欲组装到一个云计算的主机中，先将它们串联在一起统一测试，
在串联电路中甲，乙两个芯片不相邻的前提下，丙，丁两个芯片相邻的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三上·四川南充·月考）君子六艺包括礼、乐、射、御、书、数，这些技能不仅是周朝贵族教
育的重要组成部分，也对后世的教育体系产生了深远影响.某校国学社团周末开展“六艺”课程讲座活动，
一天连排六节，每艺一节，则“礼”与“乐”之间最多间隔一艺的不同排课方法总数有（ ）
A．432 种
B．486 种
C．504 种
D．540 种
13．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）2024 年10 月30 日，神舟十九号与神舟十八号航天员顺利会师中国空间
站，激发了全国人民的民族自豪感和爱国热情.齐聚“天宫”的6 名宇航员分别是“70 后”蔡旭哲、“80
后”叶光富、李聪、李广苏，“90 后”宋令东、王浩泽.为记录这一历史时刻，大家准备拍一张“全家
福”.假设6 人站成一排，两位指令长蔡旭哲和叶光富必须站中间，其他两位“80 后”彼此不相邻，两位
“90 后”彼此不相邻，则不同的站法共有（ ）
A．16 种
B．32 种
C．48 种
D．64 种
14．（25-26 高二上·陕西汉中·月考）某次文艺晚会上计划演出7 个节目，其中2 个歌曲节目，3 个舞蹈节
目，2 个小品节目，需要制作节目单：
(1)唱歌节目排在两头，有多少种排法？
(2)唱歌节目相邻，舞蹈节目相邻，两个小品节目不相邻，有多少种排法？
(3)三个舞蹈节目出场顺序固定，有多少种排法？
15．（2025 高三·全国·专题练习）要编制一张演出节目单，6 个舞蹈节目已排定顺序，要再插入5 个歌唱
节目，则共有 种插入方法．
02 组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；
“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
16．【多选】（2026·江苏徐州·模拟预测）某班要举办一次学科交流活动，现安排A，B，C，D，E 这五名
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同学负责语文、数学、英语、物理学科相关工作．则下列说法中正确的是（ ）
A．若这五人每人任选一门学科，则不同的选法有
种
B．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，则有240 种不同的方案
C．若数学学科必须安排两人，其余学科安排一人，则有60 种不同的方案
D．若每人安排一门学科，每门学科至少一人，其中A 不负责语文且B 不负责数学工作，则有144 种
不同的方案．
17．（25-26 高二上·甘肃白银·期末）某学校拟派5 名教师去甲、乙、丙这3 所不同的学校参观学习，每名
教师只去一所学校，每个学校至少要派遣1 名教师，若去甲校的人数不得少于丙校，则不同的派遣方案有
（ ）
A．110 种
B．100 种
C．90 种
D．80 种
18．（25-26 高二上·四川巴中·月考）某人计划去四川南江旅游，打算从光雾山、米仓山、十八月潭、元顶
山、诺水河这5 个景点中选3 个景点去游玩，则不同的选择方法种数为（ ）
A．60
B．20
C．12
D．10
19．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，
（1）任取两个数，其和能被3 整除的取法有 种；
（2）任取三个数，能构成等差数列的取法有 种；
（3）任取三个数，能构成等比数列的取法有 种.
20．（2025 高二·全国·专题练习）用0，1，2，3，4，5 这6 个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的
无重复数字的四位数？
(1)四位数是奇数；
(2)四位数大于3125．
21．（25-26 高三上·湖北荆州·开学考试）在正方体的8 个顶点和6 个面的中心（共14 个点）中任取4 个点，
以这4 个点为顶点可构成四面体的概率为 ．
03 求二项展开式的特定项
二项展开式中的特定项，是指展开式中的某一项，如第n 项、常数项、有理项等，求解二项展开式中的特
定项的关键点如下：
（1）求通项，利用(a＋b)n的展开式的通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通项．
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（2）列方程(组)或不等式(组)，利用二项展开式的通项及特定项的特征，列出方程(组)或不等式(组)．
（3）求特定项，先由方程(组)或不等式(组)求得相关参数，再根据要求写出特定项．
22．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）在
的展开式中，含
的项的二项式系数为（ ）
A．6
B．16
C．24
D．216
23．（25-26 高三上·北京·月考）在
的展开式中，
的系数为（ ）．
A．
B．8
C．
D．48
24．（24-25 高二下·江苏镇江·月考）
的展开式的第二项的二项式式系数为（ ）
A．10
B．5
C．
D．
25．（24-25 高二下·重庆·期中）已知
的展开式中第9 项、第10 项、第11 项的二项式系数成等差
数列，则
（ ）
A．11
B．14
C．11 或23
D．14 或23
26．（2026·河北邢台·一模）
的展开式中的常数项为（ ）
A．4
B．
C．1
D．
04 求三项展开式中的指定项
（a＋b＋c）n展开式中特定项的求解方法
27．（25-26 高二上·河南驻马店·月考）
的展开式中
的系数为（ ）
A．480
B．160
C．
D．
15
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28．（24-25 高三上·贵州·月考）
的展开式中
的系数为（ ）
A．30
B．
C．60
D．
29．（2026 高三·全国·专题练习）
的展开式中
的系数为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．12
30．（25-26 高三上·四川成都·月考）在
的展开式中，
的系数为（ ）
A．15
B．45
C．60
D．90
31．（25-26 高三上·北京·月考）展开式
中
的系数为（ ）
A．
B．
C．160
D．80
32．（25-26 高三上·广东·月考）在
的展开式中，
的系数为
；在
的展开式中，
的系数为
.则
（ ）
A．10
B．
C．
D．
05 二项式系数的和与各项的系数和问题
（1）系数和问题常用“赋值法”求解
赋值法是指对二项式中的未知元素赋值，从而求得二项展开式的各项系数和的方法．求解有关系数和题的
关键点如下：
①赋值，观察已知等式与所求式子的结构特征，确定所赋的值，常赋的值有：－1，0，1 等．
②求参数，通过赋值，建立参数的相关方程，解方程，可得参数值．
③求值，根据题意，得出指定项的系数和．
（2）二项式系数和：(a＋b)n的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝2n.
33．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期末）在
的展开式中，各项系数之和为（ ）
A．1
B．16
C．32
D．243
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34．（25-26 高二上·广西桂林·月考）
展开式的各项系数之和为（ ）
A．0
B．1
C．
D．
35．（2025·湖南益阳·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
36．【多选】（2026·陕西宝鸡·一模）在
的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．含
项的系数为
B．第3 项与第4 项的二项式系数相等
C．所有项的二项式系数之和为32
D．所有项的系数之和为
37．【多选】（2025·湖南永州·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
38．【多选】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知
的展开式中各项的系数之和为0，则
（ ）
A．
B．二项式系数的和为1314
C．展开式中每一项
的指数都是偶数
D．展开式中不存在常数项
39．【多选】（2024·河北·模拟预测）若
，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
40．【多选】（2025·山西·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
41．【多选】（2025·全国·模拟预测）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
42．【多选】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
43．【多选】（2025·江西赣州·二模）设
，则（ ）
A．
B．
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C．
D．
06 求二项式系数最值
二项式系数先增后减中间项最大
（1）如果二项式的幂指数
是偶数，则中间一项
的二项式系数
最大；
（2）如果二项式的幂指数
是奇数，则中间两项
，
的二项式系数
，
相等且最大．
44．【多选】（2025·四川成都·一模）已知在
的展开式中，第3 项的二项式系数与第5 项的二项式
系数相等，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．第4 项的二项式系数最大
C．
的系数为
D．展开式各项系数之和为
45．（2025·四川南充·模拟预测）已知
的二项式系数和为64，则其中错误的是（ ）
A．
B．常数项是第3 项
C．二项式系数最大值为20
D．所有项系数之和等于1
46．（2025·江苏南通·模拟预测）
的二项展开式中，二项式系数之和等于256，则二项展开式
中二项式系数最大的项为（ ）
A．
B．
C．
D．
47．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）在
的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，则展开
式中
的系数是（ ）
A．
B．
C．
D．7
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48．（2025 高二·江苏·专题练习）在
的展开式中含
项的系数为15，则展开式中二项式系数最
大的是第（ ）项
A．2
B．3
C．4
D．5
07 二项式定理的应用
1．利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理的变形，从而构造二项式．应注意：要证明一
个整式能被另一个整式整除，只要证明这个整式按二项式定理展开后的各项均能被另一个整式整除即可．
2．求余数问题中，应明确被除式f(x)与除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)与余式的关系及余式的取值范围．
3．二项式定理的逆用．
4．“算两次”是一种重要的数学思想方法，本质上是把同一个量用两种不同的方法表示出来，即同
一个量“算两次”，从而建立相等关系，这就是算两次原理.
49．（2025·云南昭通·模拟预测）若
，则
被整
除的余数为（ ）
A．
B．
C．
D．
50．（2025·河南许昌·模拟预测）若
，则
被8 整
除的余数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
51．（2025·江西新余·模拟预测）100 除
的余数为：（ ）．
A．48
B．49
C．50
D．51
52．（2025·甘肃白银·三模）98 除
的余数是（ ）
A．1
B．9
C．3
D．6
53．（2025·江西吉安·模拟预测）
的小数点后第二位的数字是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．5
54．（2025·甘肃庆阳·三模）中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设
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为整数，若
和
同时除以
所得的余数相同，则称
和
对模
同余，记为
若
，
，
，则
（ ）
A．2021
B．2022
C．2023
D．2025
55．（2025·河南·三模）《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作，书中的“中国剩余定理”对同
余除法进行了深入的研究．现给出一个同余问题：如果a 和b 被m 除得的余数相同，那么称a 和b 对模m
同余，记为
．若a 为
的二项展开式中含x 项的系数，且
，则b 的值可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
08 杨辉三角
杨辉三角的性质：
1．每一行都是对称的，且两端的数都是1.
2．从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．
3．当k<时，二项式系数是逐渐变大的；当k>时，二项式系数是逐渐变小的．
4．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．
5．C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1(n∈N*)；C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n(n∈N*)．
56．（2025·山东泰安·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式
中组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，用
代表第行，第
个数，
，例
如
，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
21
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A．
B．在第
行中，
最大
C．
D．
57．（2022·安徽合肥·三模）将三项式展开，得到下列等式：
…
观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0 行
为1，以下各行每个数是它正上方与左右两肩上的3 个数（不足3 个数时，缺少的数以0 计）之和，第k 行
共有2k+1 个数．则关于x 的多项式式
的展开式中，
项的系数（ ）
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A．
B．
C．
D．
58．（2023·江西景德镇·三模）如图为“杨辉三角”示意图，已知每行的数字之和构成的数列为等比数列
且记该数列前
项和为
，设
，将数列
中的整数项依次取出组成新的数列记为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
59．（2023·河北邯郸·三模）如图，在“杨辉三角”中从第2 行右边的1 开始按箭头所指的数依次构成一
个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，
，则此数列的前
项的和为（ ）
A．680
B．679
C．816
D．815
60．（2023·甘肃·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的
组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（
）
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A．第6 行的第7 个数、第7 行的第7 个数及第8 行的第7 个数之和等于第9 行的第8 个数
B．第2023 行中第1012 个数和第1013 个数相等
C．记“杨辉三角”第
行的第个数为
，则
D．第34 行中第15 个数与第16 个数之比为
24
