文档文本内容
第03 讲 直线、平面平行的判定与性质
目录
01 常考题型过关练
题型01 有关平行命题的判断
题型02 线面平行的判定定理
题型03 线面平行的性质定理
题型04 面面平行的判定定理
题型05 面面平行的性质定理
题型06 线面平行的探索性问题
题型07 面面平行的探索性问题
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 有关平行命题的判断
1．在如图所示的正方体
中，一条平行于
的直线与该正方体的表面交于P、Q 两点，
其中点P 在侧面
上，有以下结论：①平面ABCD 上不存在满足条件的点Q；②平面
上存在
满足条件的点Q，下列判断正确的是（ ）
A．①，②均正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①，②均错误
【答案】C
【详解】连接
相交于
，
当
为
中点时，连接
,则
，此时
在平面
,故此时
位于
处，故①错误，
连接
相交于
，
当
为
中点时，连接
,则
，此时
在平面
,故此时
位于
处，故②正确，
故选：C
2．（多选）设
、
是两条不同的直线，
、
是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若
，
，则
、
是异面直线
B．若
，
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ABD
【详解】对于A 选项，若
，
，则
、
平行、相交或异面，A 错；
对于B 选项，若
，
，
，则
、
没有公共点，即
、
平行或异面，B 错；
对于C 选项，若
，
，则
，C 对；
对于D 选项，若
，
，则
或
或
与
相交（不一定垂直），D 错.
故选：ABD.
3．（多选）设
，
是两条不同的直线，
，
是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
，
是异面直线
D．若
，
，
，则
或
，
是异面直线
【答案】ABC
【详解】A：当
时，
，
可以相交、平行、异面，因此本选项不正确；
B：当
，
时，直线
可以在平面
内，因此本选项不正确；
C：当
，
时，
，
是可以是相交直线、平行直线、异面直线，因此本选项不正确；
D：因为
，
，
，所以直线
，
是两条没有交点的直线，
所以
或
，
是异面直线，因此本选选项正确，
故选：ABC
4．（多选）已知平面
平面
直线，点
平面
，点
平面
，且
，点
分
别是线段
的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．当
时，
不可能重合
B．
可能重合，但此时直线
与不可能相交
C．当直线
相交，且
时，
可与相交
D．当直线
异面时，
可能与平行
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，当
时，若
四点共面且
时，
两点能重合，可知A 错
误；
对于B 选项，若
重合，则
，
，
则
平面
，
，平面
平面
直线，故
，
此时直线
与直线不可能相交，可知B 正确；
对于C 选项，当
与
相交，且
时，
，
结合线面平行的性质可知
，
所以直线
与平行，可知C 错误；
对于D 选项，当
与
是异面直线时，
不可能与平行，可知D 错误．
故选：ACD．
02 线面平行的判定定理
5．已知在四棱锥
中，侧面
平面
，
，
，
，
，
分别是
，
的中点.
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）连接
交
于点
，
因为
，
为
的中点，所以
，
因为
且
，所以
为
，
的中点，
又
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
.
6．如图，S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，
、
为底面圆的两条直径，且
，
，P
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求圆锥
的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：连结
.如下图示：
根据题意可知：
、O 分别为
、
的中点，
.
又
平面
，
平面
，
平面
．
（2）
，P 为
的中点，
．
又
S 为圆锥顶点，O 是圆锥底面圆的圆心，
根据圆锥的性质可得：
平面
，又
平面
，
所以
，
，
圆锥
的表面积
．
7．如图，四棱锥
的底面是边长为4 的正方形，点
在线段
上，
平面
，
，
是
的中点．
(1)证明：
平面
．
(2)求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）证明：因为
平面
，所以
．
又
，所以
是
的中点，
所以
，
．
取
的中点
，连接
，
，
可知
，
，
所以
，
，
所以四边形
是平行四边形，从而
．
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
．
（2）因为
平面
，所以点
到平面
的距离等于点
到平面
的距离，
所以
，
又因为
，
，
，所以三棱锥
的体积为4.
8．如图，在棱长为1 的正方体
中，M，N 分别是线段
上的动点，且满足
．
(1)证明：
平面
．
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）
在平面
A1B1C1D1内过点
作
平行线分别交
，
于
，
；
在平面
内过点
作
的平行线分别交
，
于
，
，连接
，
；
在
中，由
，可知
，又B1 M=a且正方体边长为1，
代入可得
，所以
， 所以
；同理可得
.
又由
，且
，所以四边形
为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
9．如图所示，在正四棱锥
中，P 为侧棱
上的点，且
，Q 为侧棱
的中点，平面
平面
．
(1)证明：
平面
；
(2)证明：
．
【答案】(1)答案见详解
(2)答案见详解
【详解】（1）
设
，连接
，
，Q 为侧棱
的中点，
为
的中点，
又
是正四棱锥，
为
的中点，
在
中有
，
平面
，
平面
，
平面
；
（2）在正四棱锥
中，有
，
平面
，
平面
，
平面
；
又
平面
，平面
平面
，
由线面平行的性质定理可得
．
03 线面平行的性质定理
10．在平行六面体
中，点M 是
上靠近B 的三等分点，直线DM 交平面
于点N，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】设平面DAM 与
交于点P，连接DP 交
于点Q，连接QN，如图：
因为
平面DAM，
平面DAM，
所以
平面DAM，又
平面
，平面
平面
，所以
，
因为M 是三等分点，所以
，因为
平面
平面
，所以
平面
，
又
平面PDM，平面
平面
，所以
，
所以
，因此
．
故选：C
11．如图所示，在棱长为1 的正方体
中，设
分别是线段
、
上的动点，若
平面
，则线段
长的最小值为 ．
【答案】
【详解】过点
分别作
交
于点
，
交
于点
，
连接
，
要想
平面
，则四边形
为平行四边形，故
，
设
，则
，故
，
由勾股定理得
，
其中
，
当且仅当
时，等号成立，
故
.
故答案为：
12．在棱长为2 的正方体
中，点
分别是棱
的中点，
是上底面
A1B1C1D1内
一点（含边界），若
平面
，则
点的轨迹长为 .
【答案】
【详解】如图，取
中点
，
中点
，可知
，
，故平面
平面
，故点
的轨迹为线段
故答案为：
13．如图，在四棱锥
中，
，
.点E 在AD 上，且
，
.
(1)求证：
平面SCE；
(2)若点F 在线段SE 上，且
平面SCD，求证：F 为线段SE 的中点.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）连接CE，因为
，即
，
又因为
，所以四边形ABCE 为平行四边形，所以
，
又因为
平面
，
平面SCE，所以
平面SCE.
（2）连接BF，过点F 作
交SD 于点G，连接CG，
因为
，所以
，所以B，C，G，F 四点共面，
因为
平面
，
平面BCGF，平面
平面
，
所以
，所以四边形BCGF 是平行四边形，
所以
，所以
，所以F 为线段SE 的中点.
14．在空间四边形
中，
，与直线
都平行的平面分别交
于点E，
F，G，H．
(1)求证：四边形
是平行四边形；
(2)求四边形
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）证明：因为直线
平面
平面
，平面
平面
，所以
．
同理得
，所以
．同理得
，所以四边形
是平行四边形，
（2）由（1）可知
，两式相加得
，所以四边形
的周长为
．
04 面面平行的判定定理
15．（多选）在正方体
中，下列四对平面彼此平行的一对是（ ）
A．平面
与平面
B．平面
与平面
C．平面
与平面
D．平面
与平面
【答案】AB
【详解】
如图，对于A：∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
．
又
，同理可证
平面
．
又
，
平面
，
∴平面
平面
，故A 正确；
对于B：∵
，
平面
，
平面
，
∴
平面
．
又
，同理可证
平面
．
又
，
平面
，
∴平面
平面
，故B 正确；
对于C：平面
与平面
有公共点
，故平面
与平面
不可能平行，故C 不正确；
对于D：
平面
，且
与
相交，又
平面
，
平面
，故平面
与平面
不可能平行，故D 不正确.
故选：AB．
16．图1 是边长为1 的正六边形
，将其沿直线
折叠成如图2 的空间图形
，若
，则几何体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】过
作
，垂足为
，连接
，由对称性可得
，
又
，
平面
，
平面
，
过
作
，垂足为
，连接
，则
，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
，即空间几何体
为直三棱柱.
∵
，
，所以
，
，
同理求得
，
，则
，
又
，等腰三角形
的面积为
，
空间几何体
拆分为三棱柱
、三棱锥
和三棱锥
三个部分，
∴空间几何体
的体积为
.
故选：D.
17．如图，正四棱锥
的底面为平行四边形．
、
、
分别为
、
、
的中点，设平面
与平面
的交线为．
(1)求证：平面
平面
；
(2)求证：
；
(3)若
，求四棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)
.
【详解】（1）因为
、
、
分别为
、
、
的中点，底面
为平行四边形，
所以
，
，
又
平面
，
平面
，
则
平面
，
同理
平面
，
平面
，
可得
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
．
（2）因为底面
为平行四边形，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
所以
.
（3）
因为四棱锥
是正四棱锥，
所以底面
是正方形，
在底面上的投影是底面的中心，
又
，所以
，
又
，
所以四棱锥的高为
，
所以正四棱锥
的体积
．
18．如图，在四棱锥
中，四边形
是梯形，
，
，
、
分别是棱
、
上的点，且
，
.
(1)证明：平面
平面
；
(2)记多面体
的体积为
，三棱锥
的体积为
，求
的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为
且
，所以
，
因为
，所以
，故四边形
为平行四边形，则
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
，所以
，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
、
平面
，所以平面
平面
;
（2）设四棱锥
的底面积为，高为，则四棱锥
的体积为
，
由（1）可知
，则点
到平面
的距离为
，
，
从而三棱锥
的体积为
，
所以多面体
的体积为
，故
.
05 面面平行的性质定理
19．如图，四棱柱
中，四边形ABCD 为平行四边形，E，F 分别在线段DB，
上，
，G 在
上且平面
平面
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在四棱柱
中，连接
，FG，如图，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
平面
，则
，于是
，
平面
平面
，而
平面
，则
平面
，
在平面
内存在与
不重合的直线
，又平面
平面
，
平面
，
则
平面AEF，在平面AEF 内存在与
不重合直线
，从而
，
平面AEF，
平面AEF，则
平面AEF，又
平面
，平面
平面
，
因此
，BG，AF 可确定平面
，因为平面
平面
，
平面
平面
，平面
平面
，于是
，即有
，
所以
.
故选：B
20．（ 2023·黑龙江大庆·三模）如图，在长方体
中，
，
，
为
的中点，
为底面
上一点，若直线
与平面
没有交点，则
面积的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】直线
与平面
没有交点，所以
平面
，
取
的中点
，连接
、
、
，
取
的中点
，连接
、
，如下图所示：
在长方体
中，
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，所以，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，所以，
且
，
因为
且
，所以，
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，
因为
且
，
、
分别为
、
的中点，则
且
，
所以，四边形
为平行四边形，则
，所以，
，
因为
平面
，
平面
，所以，
平面
，
同理可证
平面
，
因为
，
、
平面
，所以，平面
平面
，
故当
在
上运动，
平面
，则
平面
，
当
时，
最小，且最小值为
，
此时
的面积最小，且最小值为
.
故选：C.
21．如图，在正方体
中，M，N 分别为棱
，
的中点，过点
、M、N 作正方体的
截面
交
于点Q，则
.
【答案】
【详解】如图，连接
，则平面
即为过点
、M、N 作的正方体的截面
，
因为平面
平面
，且平面
，平面
，
故
，又
，且
的对应两边的射线方向一致，
故
，而
，
故
∽
，故
，而
故
，则
，
故答案为：
22．如图，在多面体
中，四边形
是菱形，且有
，
，
，
平面
，
．求证：
平面
；
【答案】证明见解析
【详解】因为四边形
是菱形，
所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
又
平面
，
所以
平面
．
23．如图，在三棱柱
中，侧面
是矩形，侧面
是菱形，
，
、
分
别为棱
、
的中点，
为线段
的中点．证明：
平面
.
【答案】证明见解析
【详解】证明：如图所示：
取
的中点
，连接
、
、
，
因为
且
，故四边形
为平行四边形，
所以
且
，
因为
为
的中点，所以
且
，
因为
、
分别为
、
的中点，
所以
且
，
所以
且
，故四边形
为平行四边形，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
、
分别为
、
的中点，
所以
，
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，
、
平面
，
所以平面
平面
，
因为
平面
，故
平面
．
06 线面平行的探索性问题
24．如图，在正方体
中，
分别是
的中点.
(1)证明：
平面
；
(2)棱
上是否存在点
，使
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）连接
，
分别为
中点，
，
，
，
四边形
为平行四边形，
，
，又
平面
，
平面
，
平面
.
（2）假设在棱
上存在点
，使得
平面
，
延长
交于
，连接
交
于
，
，
为
中点，
为
中点，
，
，
，
平面
，
平面
，平面
平面
，
，又
，
四边形
为平行四边形，
，
；
当
时，
平面
.
25．如图，四棱锥
的底面
为平行四边形，
分别为
的中点.
(1)证明：AF
平面
；
(2)在线段
上是否存在一点
，使得
平面
，并给出必要的证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【详解】（1）证明：取
中点
，连接
，在
中，
为
的中点，
.
为
的中点，
，
即四边形
为平行四边形，
.
平面
平面
平面
.
（2）设
，取
中点
，连接
，则在
中，
分别是
的中点，
平面
平面
，
平面
.
与
相似，且相似比为
，
为
的三等分点.
在
点位置时满足
平面
.
即点
在线段
靠近
端的三等分点时符合题意.
26．如图，在底面半径为2､高为4 的圆柱中，
，
分别是上､下底面的圆心，四边形
是该圆柱的
轴截面，已知
是线段
的中点，
是下底面半圆周上靠近
的三等分点.
(1)求三棱锥
的体积；
(2)在底面圆周上是否存在点
，使得
平面
？若存在，请找出符合条件的所有
点并证明；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)
；(2)存在，
为
的中点，证明见解析.
【详解】解：（1）因为圆柱的底面半径为2､高为4，
是线段
的中点，
是半圆周上的三等分点，
所以三棱锥
的体积为：
.
（2）存在点
，
为
的中点，使得
平面
.理由如下：
连接
，因为
､
是半圆周的三等分点，
所以
；
又
，所以
为等边三角形，所以
，
所以
；
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
由
是圆柱的轴截面，所以四边形
是矩形；
又因为
､
分别是
､
的中点，所以
，即
；
又
平面
，
平面
，所以
平面
；
且
，
平面
，
平面
，
所以平面
平面
；
又
平面
，所以
平面
.
27．如图所示，三棱柱
，底面是边长为2 的正三角形，侧棱
底面
，点
分别是
棱
上的点，点
是线段
上的动点，
．
(1)当点M 在何位置时，
平面
?
(2)若
平面
，求
与
所成的角的余弦值．
【答案】(1)点
为
的中点
(2)
【详解】（1）
如图1 所示，分别取
的中点为
，连接
．
因为
分别是
的中点，
所以
，且
.
又因为
，
所以
，所以
.
又
，所以
.
所以四边形
为平行四边形，
所以
．
因为
平面
，
平面
，
所以
平面
.
所以，当点
为
的中点时，有
平面
.
（2）由（1）知，点
为
的中点，且
与
异面.
因为
，
所以
与
所成的角
（或其补角），即等于
与
所成的角.
由已知可得，
，
，
所以
.
如图2，取
中点为
，连接
，易知
，
则
，
，
所以
，
，
所以
.
因为
是
的中点，所以
，
所以，
，
所以，在
中，有
，
所以
与
所成的角的余弦值为
．
07 面面平行的探索性问题
28．如图，在正方体
中，
为
的中点．能否同时过
，B 两点作平面
，使平面
平面
？证明你的结论．
【答案】能，证明见解析
【详解】能作出满足条件的平面
，其作法如下：
如图，连接
，取
的中点
，连接
，则
与
所确定的平面即为满足条件的平面
．
证明如下：连接
交
于
，连接
，则
为
的中点，又
为
的中点，则
．
因为
平面
，
平面
，故
平面
．
又因为
为
的中点，
所以
，则四边形
是平行四边形，故
，又
平面
，
平面
，从
而
平面
．
又因为
，
，
，所以平面
平面
．
29．如图，在直四棱柱
中，底面
为正方形，
为棱
的中点，
．
(1)求三棱锥
的体积．
(2)在
上是否存在一点
，使得平面
平面
.如果存在，请说明
点位置并证明.如果不存在，
请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
为
的中点
【详解】（1）在直四棱柱
中，底面
为正方形，
所以
平面
，
所以
.
（2）当
为
的中点时满足平面
平面
，
设
，连接
，
因为
为正方形，所以
为
的中点，又
为棱
的中点，
所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
为
的中点，所以
且
，所以
为平行四边形，
所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，
所以平面
平面
.
30．知正方体
中，
、
分别为对角线
、
上的点，且
(1)求证：
平面
；
(2)若
是
上的点，
的值为多少时，能使平面
平面
？请给出证明.
【答案】(1)证明见解析
(2)当
的值为
时，能使平面
平面
，证明见解析
【详解】（1）连结
并延长与
的延长线交于
点，
因为四边形
为正方形，所以
，
故
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
.
又
平面
，
平面
，
故
平面
.
（2）当
的值为
时，能使平面
平面
.
证明：因为
，即有
，故
.所以
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
平面
，
，
平面
，
所以平面
平面
.
31．如图
平面
，
是矩形，
，
，点
是
的中点，点
是
边上的
任意一点．当
是
的中点时，线段
上是否存在点
，使得平面
平面
，若存在指出点
位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在
为
中点使面
面
，理由见解析
【详解】存在
为
中点，使得平面
平面
，理由如下：
当
为
中点，连接
，
又
是
的中点，
是
的中点，
所以
，
，
而
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可证
面
，
又
，即平面
平面
，
综上，
为
中点时平面
平面
．
32．如图，在三棱柱
中，
，
分别为线段
，
的中点．
(1)求证：
平面
．
(2)在线段
上是否存在一点
，使平面
平面
请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【详解】（1）证明：因为
，
分别为线段
的中点所以
A.因为
，所以
B.又因为
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）取
的中点
，连接
，
因为
为
的中点所以
．
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得，
平面
，又因为
，
，
平面
，所以平面
平面
故在线段
上存在一点
，使平面
平面
．
1．已知正四棱柱
的侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱
的中点，F 是棱
上靠近点C
的三等分点，动点P 在侧面
（包括边界）内运动，若
平面
则线段
长度的最小值是
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【详解】
取
的中点
，
上靠近点
的三等分点为
，
上靠近点
的三等分点为
，
上靠近点
的三等分点为
，连接
，
，
，
，
，
，如图所示.
在正四棱柱
中，
∵
，且
，
∴四边形
是平行四边形，∴
.
又
平面
，
平面
，∴
平面
.
∵
，
分别是
和
的中点，∴
.
同理可知
，
又
，
∴四边形
是平行四边形，∴
.
∴
.
又
平面
，
平面
，∴
平面
.
又
，
平面
，
平面
，
∴平面
平面
.
∵
平面
，动点P 在矩形
（包括边界）内运动，
∴点
在线段
上运动.
在
中，易求
，
，
为等腰三角形，
∴点
为线段
的中点时，
取得最小值.
此时
，
即
的最小值为
.
故选：C.
2．
正四面体
的体积为
为其中心，正四面体EFGH 与正四面体ABCD 关于点O 对称，
则这两个正四面体的公共部分的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由题意结合几何体的结构特征可将该几何体放于一个正方体中，如图：
分别是
的中点，
，
平面
，
平面
，
则
平面
，同理
平面
，
平面
，
故平面
平面
，由此可知
∽
，且
，
则
，
由题意可知正四面体EFGH 与正四面体ABCD 的公共部分的体积等于正四面体ABCD 的体积减去其每个顶
点处的小正四面体的体积，
即公共部分的体积为
，
故选：B
【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于根据结合体的结构特征，构造出正方体，结合正方体的结构特征
去解决问题.
3．（ 2024·四川乐山·三模）在三棱柱
中，点
在棱
上，且
，点
在棱
上，
且
为
的中点，点
在直线
上，若
平面
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【详解】依题意，作出图形如图所示
设
为
的中点，
因为
为
的中点，
所以
,
又
平面
，
平面
，
所以
平面
，
过点
作
，交
于
,则易知
平面
，
又因为
平面
，
平面
，
所以平面
平面
.
又
平面
,
所以
平面
.
因为
,
所以四边形
为平行四边形，
所以
,
因为
，
所以
,
,
所以
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用线面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性质定理，求出四边形
为
平行四边形即可.
4．如图，在长方体
中，
，
，点
在矩形
内运动（包括边界），
，
分别为
的中点，若
平面
，当
取得最小值时，
的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】如图，取
的中点
，
的中点
，连接
，所以
，
又
分别为
的中点，所以
，故
，
平面
，
平面
，所以
平面
，
又
，
，所以四边形
为平行四边形，故
，
平面
，
平面
，
平面
，
又
平面
，
，故平面
平面
，
所以当
平面
时，
平面
，则点
在线段
上，
当
时，
取得最小值，易知
，
此时
为线段
的中点.
由平面几何知识可知，
，
，
，
.
所以
的余弦值为
.
故选：D.
【点睛】方法点睛：
平面
，则
点在过
与平面
平行的平面内，
分别为
的中
点，由平面
平面
得点
在线段
上，且
为线段
的中点，三角形中余弦定理求
的
余弦值.
5．如图，几何体
是四棱锥，
为正三角形，
，
，
为线段
的中点.则直线
与平面
的位置关系为 （填相交或平行）.
为线段
上一点，使得
四点共面，则
的值为 .
【答案】 平行
【详解】（1）记
为
的中点，连接
，如图1，
因为
分别为
的中点，故
，
因为
平面
平面
所以
平面
，
又因为
为正三角形，所以
，
，
又
为等腰三角形，
，所以
，
所以
，即
，
所以
，又
平面
平面
所以
平面
，又
，
平面
，
故平面
平面
，
又因为
平面
，故
平面
.
（2）延长
相交于点
，连接
交
于点
，连接
，过点
作
交
于点
，如图
2，
因为
平面
，
平面
，平面
平面
，
所以
，此时
四点共面，
由（1）可知，
，得
，
故
，
又因为
，所以
，
则有
，
故
.
故答案为：平行；
.
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平行的判定，考查平面的性质，解题的关键是根据已知条件作出辅助
线，考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
6．（ 2024·浙江·模拟预测）三棱锥
的所有棱长均为2，E，F 分别为线段BC 与AD 的中点，M，
N 分别为线段AE 与CF 上的动点，若
平面ABD，则线段MN 长度的最小值为 ．
【答案】
/
【详解】延长CM 交AB 于点I，因为
平面ABD，
由线面平行性质定理可知
，设
，
因为三棱锥
的所有棱长均为2，
所以
，且E 为线段BC 的中点，
所以AE 平分∠BAC，由角平分线定理可知
，
所以
，
因为F 为线段AD 的中点，所以
，
由余弦定理可知
，
所以
，
令
，
，化简可得
，
因为
，所以
，
则
在
时取得最小值，
所以
，
综上当
，即
时MN 取得最小值
．
故答案为：
．
7．如图，在正四面体
中，
，E，F，R 分别是
，
，
的中点，取
，
的中点
M，N，Q 为平面
内一点．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若
平面
，求线段
的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
【详解】（1）证明：因为
，
，
分别是
，
，
的中点，
所以
，
平面
，
平面
，
所以
平面
．
同理，
平面
，又因为
，
所以平面
平面
．
（2）解：由（1）可得平面
平面
，若
平面
，则点Q 在线段
上移动，
在
中，
，
，
，
的最小值为R 到线段
的距离，
因为
是等腰三角形，故
的最小值为
．
8．如图已知四棱锥
，底面
为梯形，
，
，
，P、Q 为侧
棱
上的点，且
，点
为
上的点，且
．
(1)求证：
平面
；
(2)求证：平面
平面
；
(3)平面
与侧棱
相交于点
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【详解】（1）连接
，
在
中，
，
，且
，
又
，
，
且
，
四边形
为平行四边形，
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
.
（2）由（1）得
，又
平面
，
平面
，
平面
，
在
中，
，
，
又
平面
，
平面
，
平面
，
又因
且
均在平面
中，
平面
平面
.
（3）由（1）知
，又
面
，
面
，
平面
，
又
平面
，面
面
，
，又
，
，
．
1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥
中，
与
均为等腰直角三角形，
，E 为BC 的中点．
(1)若
分别为
的中点，求证：
平面PAB；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）取PA 的中点N，PB 的中点M，连接FN、MN，
与
为等腰直角三角形且
，
不妨设
，
.
.
E、F 分别为BC、PD 的中点，
，且
.
，
，
，∴四边形FGMN 为平行四边形，
，
平面PAB，
平面PAB，
平面PAB；
2．（2025·全国二卷·高考真题）如图，在四边形
中，
，F 为CD 的中点，点E
在AB 上，
，
，将四边形
沿
翻折至四边形
，使得面
与面EFCB 所成的二面角为
．
(1)证明:
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）设
，所以
，因为
为
中点，所以
，因为
，
，所以
是平行四边形， 所以
，所以
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
因为
平面
平面
，所以
平面
，
又
，
平面
，所以平面
平面
，
又
平面
，所以
平面
．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）如图，四棱锥
中，
底面ABCD，
，
．
(1)若
，证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）（1）因为
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
，
平面
，所以
平面
，
而
平面
，所以
.
因为
，所以
， 根据平面知识可知
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边
形ADEF 均为等腰梯形，
，
，
，
为
的中点．
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见详解；
【详解】（1）因为
为
的中点，所以
，
四边形
为平行四边形，所以
，又因为
平面
，
平面
，所以
平面
；
5．（2024·天津·高考真题）如图，在四棱柱
中，
平面
，
，
．
分别为
的中点，
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）取
中点
，连接
，
，
由
是
的中点，故
，且
，
由
是
的中点，故
，且
，
则有
、
，
故四边形
是平行四边形，故
，
又
平面
，
平面
，
故
平面
；
6．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）如图，
是三棱锥
的高，
，
，E 是
的中点．
(1)证明：
平面
；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：连接
并延长交
于点
，连接
、
，
因为
是三棱锥
的高，所以
平面
，
平面
，
所以
、
，
又
，所以
，即
，所以
，
又
，即
，所以
，
，
所以
所以
，即
，所以
为
的中点，又
为
的中点，所以
，
又
平面
，
平面
，
所以
平面
7．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：
底面
是边长为8（单位：
）的正方形，
均为正三角形，且它们所在的
平面都与平面
垂直．
(1)证明：
平面
；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
．
【详解】（1）如图所示：
分别取
的中点
，连接
，因为
为全等的正三角形，所以
，
，又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，所以
平面
，同理可得
平面
，根据线面垂直的性质定理可知
，而
，所以四边形
为平行四边形，所以
，又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）[方法一]：分割法一
如图所示：
分别取
中点
，由（1）知，
且
，同理有，
，
，
，由平面知识可知，
，
，
，所以该几何体的体积等于长方体
的体积加上四棱锥
体积
的
倍．
因为
，
，点
到平面
的距离即为点
到直线
的
距离
，
，所以该几何体的体积
．
[方法二]：分割法二
如图所示：
连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH 的体积加上三棱锥A-OEH
的
倍,再加上三棱锥E-OAB 的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH 的中点P，连接AP,OP.则EH 垂
直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH 与三棱锥E-OAB 的高均为EM 的长.所以该几何体的
体积
8．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱
中，侧面
为正方形，平面
平面
，
，M，N 分别为
，AC 的中点．
(1)求证：
平面
；
【答案】(1)见解析
【详解】（1）取
的中点为
，连接
，
由三棱柱
可得四边形
为平行四边形，
而
，则
，
而
平面
，
平面
，故
平面
，
而
，则
，同理可得
平面
，
而
平面
，
故平面
平面
，而
平面
，故
平面
，
