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专题20 排列组合原理与二项式定理经典常考小题
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：二项式定理之特定项、三项式问题.............................................................2
题型二：二项式定理之系数和问题.............................................................................2
题型三：二项式定理之系数最值问题.........................................................................3
题型四：特殊优先与正难则反策略.............................................................................3
题型五：相邻问题与不相邻问题.................................................................................4
题型六：定序问题.........................................................................................................4
题型七：多面手问题.....................................................................................................5
题型八：错位排列问题.................................................................................................5
题型九：涂色问题.........................................................................................................5
题型十：分组与分配问题.............................................................................................6
题型十一：隔板法.........................................................................................................7
题型十二：环排与多排问题.........................................................................................7
题型十三：电路图模型.................................................................................................7
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型.................................................8
02 重难创新练...............................................................................................................9
1
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题型一：二项式定理之特定项、三项式问题
1．
的展开式中
的系数为（ ）
A．5
B．10
C．20
D．
2．
的展开式中，含
的项的系数为（ ）
A．240
B．
C．560
D．360
3．
的展开式中的常数项为（ ）
A．
B．
C．192
D．240
题型二：二项式定理之系数和问题
4．（多选题）已知
，则（ ）
A．
的值为2
B．
的值为
C．
的值为
D．当
时，
除以11 的余数为10
5．（多选题）若
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
2
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B．
C．
D．
6．（多选题）已知
，则（ ）
A．展开式的各二项式系数的和为0
B．
C．
D．
题型三：二项式定理之系数最值问题
7．在
的二项展开式中，二项式系数最大的项为 ．
8．
的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
9．已知
的展开式中，只有第6 项的二项式系数最大，则该展开式中系数最大的项为 ．
题型四：特殊优先与正难则反策略
10．5 个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为（
）
A．18
B．36
C．48
D．60
11．有5 本不同的书，其中语文书2 本，数学书2 本，物理书1 本．若将其并排摆放在书架的同一层上，
则同一科目书都不相邻的放法种数是（ ）
3
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A．24
B．48
C．72
D．96
12．将甲、乙等6 位身高各不相同的同学平均分为两组，甲、乙在这六位同学中身高（从高到低）分别排
在第4、3 位，则分成的两组中甲不是所在组最矮的且乙不是所在组最高的分组方式共有（ ）种.
A．
B．
C．
D．
题型五：相邻问题与不相邻问题
13．某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G 七道工序，要求A，B 两道工序必须相邻，C，D 两
道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．960 种
B．836 种
C．816 种
D．720 种
14．2024 年4 月6 号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结束后，其中5 男3 女共
8 位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4 人，若男运动员中恰有2 人左右相邻，则不同的排
列方法共有（ ）
A．732 种
B．2260 种
C．4320 种
D．8640 种
15．邵阳市二中高一、高二、高三年级的优秀团员各两名站成一排拍照，恰有一个年级的团员相邻的站法
有（ ）
A．144 种
B．240 种
C．288 种
D．336 种
题型六：定序问题
16．在100，101，102，…，999 这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺
序排列的数的个数是（ ）
A．120
B．204
C．168
D．216
17．DNA 是形成所有生物体中染色体的一种双股螺旋线分子，由称为碱基的化学成分组成它看上去就像是
两条长长的平行螺旋状链，两条链上的碱基之间由氢键相结合．在DNA 中只有4 种类型的碱基，分别用
A、C、G 和T 表示，DNA 中的碱基能够以任意顺序出现两条链之间能形成氢键的碱基或者是A-T，或者是
C-G，不会出现其他的联系因此，如果我们知道了两条链中一条链上碱基的顺序，那么我们也就知道了另
一条链上碱基的顺序．如图所示为一条DNA 单链模型示意图，现在某同学想在碱基T 和碱基C 之间插入3
4
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个碱基A，2 个碱基C 和1 个碱基T，则不同的插入方式的种数为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．120
18．花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼具生活功能与艺术特色.如图，现
有悬挂着的8 盏不同的花灯需要取下，每次取1 盏，则不同取法总数为 （ ）
A．2520
B．5040
C．7560
D．10080
题型七：多面手问题
19．“赛龙舟”是端午节的习俗之一，也是端午节最重要的节日民俗活动之一，在我国南方普遍存在端午
节临近，某单位龙舟队欲参加今年端午节龙舟赛，参加训练的8 名队员中有3 人只会划左桨，3 人只会划
右桨，2 人既会划左桨又会划右桨．现要选派划左桨的3 人、划右桨的3 人共6 人去参加比赛，则不同的选
派方法共有（ ）
A．26 种
B．30 种
C．37 种
D．42 种
题型八：错位排列问题
20．若5 个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5 张卡片放入一个不透明的箱
子里，并搅拌均匀，再让这5 人在箱子里各摸一张，恰有1 人摸到自己写的卡片的方法数有（ ）
A．20
B．90
C．15
D．45
21．5 个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（ ）
A．42
B．44
C．46
D．48
22．若5 个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1 个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（
）
A．45 种
B．40 种
C．55 种
D．60 种
5
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题型九：涂色问题
23．用九种颜色给一个正四面体涂色，使相邻两个面颜色不同（若两种涂色方法可以通过旋转使得每个面
的颜色一对应，则算作一种涂色方法）共有（ ）种涂色情况.
A．121
B．454
C．621
D．以上答案均不对
24．如图，给
六个点涂色，现有五种不同的颜色可供选用，要求每个点涂一种颜色，且每条线段
的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）种．
A．1440
B．1920
C．2160
D．3360
25．某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5 个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜
色不能相同.若有6 种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（ ）
A．1080 种
B．720 种
C．660 种
D．600 种
题型十：分组与分配问题
26．
年“喜迎全运•志愿一夏”广州中小学生志愿服务系列主题活动启动仪式在广州亚运会亚残运会
博物馆举办．现需要分配
名学生志愿者对
种不同的体育运动进行宣讲，每个宣讲至少分配人，则不同
的分配方案种数为 ．
27．加强学生心理健康工作已经上升为国家战略，为响应国家号召，东兴区心理协会派遣具有社会心理工
作资格的3 位专家去定点帮助5 名心理特异学生.若要求每名学生只需一位专家负责，每位专家至多帮助两
名学生，则不同的安排方法共有 种.
28．随着马拉松运动的普及，我国已成功举办多次全民马拉松赛事．现某城市举办全民马拉松比赛，第一
6
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处供给点需要三组工作人员，其中有3 名医生和6 名社会志愿者组成，每组人员由1 名医生和2 名志愿者
组成．根据需要，志愿者甲与乙要分配在同一组，则这9 名工作人员分组方法种数为 ．
题型十一：隔板法
29．方程
的正整数解的个数为（ ）
A．56
B．35
C．70
D．66
30．学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分
配方案.
A．
B．
C．
D．
31．若方程
，其中
，则方程的正整数解的个数为（ ）
A．10
B．15
C．20
D．30
题型十二：环排与多排问题
32．甲、乙、丙等八个人围成一圈，要求甲、乙、丙三人两两不相邻，则不同的排列方法有（ ）
A．720 种
B．1440 种
C．2880 种
D．4320 种
33．21 个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1 到3 循环报数，报数字“3”的人出来表
演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（
）
A．19
B．38
C．51
D．57
34．现有8 个人围成一圈玩游戏，其中甲、乙、丙三人不全相邻的排法种数为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型十三：电路图模型
35．如图，只闭合两个开关将一条电路从A 处到B 处接通，可构成线路的条数为（ ）
7
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A．8
B．4
C．5
D．3
36．如图，一条电路从
处到
处接通时，可构成的通路有（ ）
A．8 条
B．6 条
C．5 条
D．3 条
37．如图，在由开关组
与
组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有 种.
重难点突破：机器人跳动、波浪数、卡特兰数模型
38．甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落
的过程中依次撞击到树枝
；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；（3）丙在下落的
过程中依次撞击到树枝
，
，
；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝
，
，
；（5）戊在下落
的过程中依次撞击到树枝
，
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．最高处的树枝一定是
B．这九根树枝从高到低不同的顺序共有24 种
C．最低处的树枝一定是
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有21 种
39．形如45132 这样的数叫做“五位波浪数”，即十位数字、千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由
数字0，1，2，3，4，5，6，7 可构成无重复数字的“五位波浪数”的个数为 ．
8
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1．（2025·江西·一模）现安排甲、乙、丙三位同学在星期一到星期六值日，每人两天，且都不连续值日的
不同方法种数为（ ）
A．6
B．15
C．20
D．30
2．（2025·甘肃白银·模拟预测）某高校有8 名研究生要去小兴安岭采集植物样本，其中男生6 人，女生2
人，将这8 人分成两组，若要求每组至少2 人，且两名女生不单独成组，则不同的分组方案共有（ ）
A．240 种
B．158 种
C．126 种
D．118 种
3．（2025·贵州安顺·模拟预测）甲，乙两名大学生计划今年寒假分别从黄果树风景名胜区、龙宫景区、天
龙屯堡景区、安顺古城四个不同的景区中随机选两个景区前往旅游打卡，则这两人恰好有一个景区相同的
选法共有（ ）
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
4．（2025·辽宁沈阳·一模）若
能被5 整除，则x，n 的一组值可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
若
，则
（ ）
A．5
B．8
C．9
D．14
6．（24-25 高三上·湖北·期中）小明新买的储蓄罐有5 位密码，他决定在“斐波那契数列”的前6 项中随
机抽取5 个数字设置为储蓄罐的密码，且密码的第3 位是偶数，已知“斐波那契数列”的前6 项依次为
“1、1、2、3、5、8”，则可以设置的不同密码个数为（ ）
A．144
B．120
C．84
D．116
7．（2025·广西柳州·模拟预测）180 的不同正因数的个数为（ ）
A．8
B．10
C．12
D．18
8．把8 个相同的篮球分发给甲、乙、丙、丁4 人，不同的分发种数为（ ）
A．70
B．99
C．110
D．165
9．（多选题）（2025·广东·一模）已知在
的展开式中，设前项的系数分别为
，
，，若
9
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，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式的中间项为
C．展开式中有
项有理项
D．展开式中系数最大项为第项和第
项
10．（2025·广东肇庆·二模）在
的展开式中，所有项的系数和为 .
11．（2025·河南·模拟预测）设
（其中
、
），则
．
12．（2025·浙江温州·模拟预测）已知二项式的展开式：
，则
．
13．（2025·辽宁·二模）设数列
是等比数列，
，公比q 是
的展开式中
的第二项（按x 的降幂排列），且
为
的前n 项和，若
，则
.
（用含n 和x 的式子表达）
14．（2025·河南郑州·一模）甲、乙两人各有4 张卡片，每张卡片上分别标有1，2，3，4 四个数字之一.两
人进行四轮比赛，在每轮比赛中，甲、乙各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较卡片上数字的大小，
数字大者胜，然后各自舍弃此轮所选卡片舍弃的卡片在此后的轮次中不能使用
则四轮比赛中，甲、乙
每轮所出数字大小均不相同的情况共有 种.
15．（2025·安徽合肥·一模）在
的展开式中，
的系数为
用数字作答
16．（2025·湖南永州·模拟预测）用红、橙、黄、绿四种颜色给一些大小相同的正四面体模具上色，要求
每个正四面体四个面颜色各不相同.我们规定：如果两个已上色的四面体，可以通过旋转将其中一个变得与
另一个完全相同，则认为它们用了同一种上色模式.那么不同的上色模式共有 种.
17．（2025·广东佛山·一模）
的展开式中
的系数是 ．
18．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测）有8 张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8 张卡
片中随机抽出3 张，则抽出的3 张卡片上的数字之和与其余5 张卡片上的数字之和相等的概率为
．
10
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11
