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9-2 排列与组合
1.理解排列、组合的概念.
2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
3.能利用排列组合解决简单的实际问题．
9-2 排列与组合..................................................................1
一、主干知识................................................................2
考点1：简单随机抽样.....................................................2
1．排列与组合的概念......................................................2
2.排列数与组合数.........................................................2
3．排列数、组合数的公式及性质............................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................4
题型一 排列问题..........................................................4
题型二 组合问题.........................................................19
题型三 排列与组合的综合应用.............................................41
命题点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题.............................41
命题点2 定序问题...................................................46
命题点3 分组分配问题...............................................50
三、分层训练：课堂知识巩固.................................................55
1
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、
一
主干知识
考点1：简单随机抽样
1
排列与组合的
．
概念
名称
定义
排列
从n 个不同元素中取出
m(m≤n)个元素
按照一定的顺序排成一列
组合
作为一组
2.排列
与组合
数
数
(1)排列数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A 表示．
(2)组合数：从n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C 表示．
3
排列
、组合
的公
及
．
数
数
式
性质
公式
(1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝
＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1.
性质
(1)0！＝1；A＝n！.
(2)C＝C；C＝C＋C.
【
用
常
结论总结】
解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．(2)合理分类与准确分步．(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．(5)不相邻问题插空处理．(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．(8)“小集团”排列问题先整体后局部．(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
2
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、分
题
二
类
型
3
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题
型一排列问题
｛排列数计算｝
【例题精析1】
计算
．
【例题精析2】
计算：
(1)
；(2)
．
｛用排列数公式证明｝
【例题精析3】
求证：
【例题精析4】
求证：
（
、
为大于1 的自然数）．
｛排列数
与
式
方程
不等
｝
【例题精析5】
已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
【例题精析6】
解不等式：
｛
排列问题
全
｝
【例题精析7】
将4 名乡村振兴志愿者分配到科技助农，文艺文化，科普宣传和乡村环境治理4 个项目进行
培训（每个项目都有志愿者参加），每名志愿者只分配到1 个项目，志愿者小王不去文艺文化项目，则不
4
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同的分配方案共有（ ）
A．12 种
B．24 种
C．18 种
D．48 种
【例题精析8】
将6 本不同的书排成一排，有多少种不同的排法？
｛元素
位置
的排列问题
（
）有限制
｝
【例题精析9】
2023 年4 月26 日南通支云足球队将在主场迎战河南队，组委会安排甲、乙等5 人到球场的四
个区域参加志愿服务，要求每个区域都有人服务，且每位志愿者只能服务一个区域，则甲、乙两人被安排
到同一区域的方法种数为（ ）
A．18
B．24
C．60
D．120
【例题精析10】
用1，2，3，4，5，6，7 这七个数字组成没有重复数字的四位数，其中偶数共有多少个？
【例题精析11】
5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
｛相邻问题的排列问题｝
【例题精析12】
有6 张连号的电影票，分给3 名教师和3 名学生，要求师生相间而坐．求不同分法的种数．
【例题精析13】
将5 个人排成一排，若甲和乙必须排在一起，则有多少种不同的排法？
【例题精析14】
某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3 个歌舞类和3 个语言类节目，所有
5
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节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为 ．
｛
相邻排列问题
不
｝
【例题精析15】
毕业典礼上，某班有
六人站一排照相，要求
，
两人均不在排头，且
两人
不相邻，则不同的排法种数为（ ）
A．160
B．288
C．336
D．480
【例题精析16】
在学校元旦文艺晚会上，有三对教师夫妇参加表演节目，要求每人只能参加一个单项表演节
目.按节目组节目编排要求，男教师的节目不能相邻，且夫妻教师的节目也不能相邻，则该6 名教师表演的
节目的不同编排顺序共有（ ）种.
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
【例题精析17】
甲、乙两个家庭周末到附近景区游玩，其中甲家庭有2 个大人和2 个小孩，乙家庭有2 个大
人和3 个小孩，他们9 人在景区门口站成一排照相，要求每个家庭的成员要站在一起，且同一家庭的大人
不能相邻，则所有不同站法的种数为（ ）
A．144
B．864
C．1728
D．2880
对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一
般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多
的问题可以采用间接法．
【对点精练1】
计算：
(1)
；(2)
．
6
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【对点精练2】
（1）求证：
；
（2）求证：
；
（3）求和：
．
【对点精练3】
求证：
．
【对点精练4】
求证：
(1)
；
(2)
．
【对点精练5】
解关于正整数n 的方程：
．
【对点精练6】
已知
，求x 的值．
【对点精练7】
解下列方程或不等式．
(1)
=2
；
(2)
.
【对点精练8】
【对点精练9】
解不等式：
；
【对点精练10】
将4 位司机、4 位售票员分配到4 辆不同班次的公共汽车上，每辆汽车分别有1 位司机和1 位
7
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售票员，则共有 种不同的分配方案．
【对点精练11】
3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲乙两人中间必须有
､
3 人.
【对点精练12】
7 名学生站成一排拍毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙丙
､
2 名学生要站在一起.问：
有多少种不同的排法？
【对点精练13】
从6 人中选取4 人分别去A、B、C、D 四个城市游览，要求每个城市有一人游览，而每人只
游览一个城市，且这6 人中，甲、乙两人都不去A 地游览．问：不同的选择方案共有多少种？
【对点精练14】
从7 名运动员中选4 名组成接力队参加4×100 米接力赛．问：甲、乙两人都不跑中间两棒的
排法有多少种？
【对点精练15】
3 名男生和4 名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
【对点精练16】
用
可以组成多少个无重复数字的五位数？其中能被5 整除的五位数有多少个？
【对点精练17】
某电视台连续播放6 个广告，其中含4 个不同的商业广告和2 个不同的公益广告，要求首尾
8
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必须播放公益广告，则有多少种不同的播放方式？
【对点精练18】
4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
【对点精练19】
3 男3 女共6 位同学站成一排，则3 位女同学中有且仅有2 位女生相邻的不同排法有
种
【对点精练20】
老师和学生共10 人一起照相，其中1 名老师、4 名女生、5 名男生，排成一行，要求男生、
女生必须分性别站在一起，并且老师不站在两端，那么不同站队方式有 种．
【对点精练21】
已知来自甲、乙、丙三个学校的5 名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为
1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（ ）
A．40
B．36
C．56
D．48
【对点精练22】
甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排，甲和乙不相邻，排法种数为（ ）
A．12
B．36
C．48
D．72
【对点精练23】
2 名男生和4 名女生排成一排．问：男生既不相邻也不排两端的不同排法共有多少种？
题
型二组合问题
｛排列与组合的区别｝
【例题精析18】
下列问题是组合问题的是（ ）
A．把5 本不同的书分给5 个学生，每人一本
B．从7 本不同的书中取出5 本给某个同学
9
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C．10 个人相互发一微信，共发几次微信
D．10 个人互相通一次电话，共通了几次电话
【例题精析19】
判断下列问题是组合问题还是排列问题：
(1)某铁路线上有4 个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？
(2)把5 本不同的书分给5 个学生，每人一本；
(3)从7 本不同的书中取出5 本给某个学生．
｛组合数计算｝
【例题精析20】
（ ）
A．35
B．56
C．70
D．84
【例题精析21】
计算
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析22】
计算
.
【例题精析23】
知
(m>1)，则
的值为 .（结果用数字作答）
｛用组合数公式证明｝
【例题精析24】
已知m 是自然数，n 是正整数，且
．求证：
(1)
；
(2)
．
【例题精析25】
m 是自然数，n 为正整数，且
，求证：
．
10
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｛组合数
与
式
方程
不等
｝
【例题精析26】
解关于正整数x 的方程：
(1)
；(2)
．
【例题精析27】
（1）解不等式
．
（2）若
，求正整数n．
｛组合数性质及
应用
其
｝
【例题精析28】
若
，则m 的值可以是（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【例题精析29】
若
，则
的值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．13
【例题精析30】
若
,则
的值是 .（用数字作答）
｛
问题
的组合
数问题
实际
中
计
｝
【例题精析31】
将甲、乙等5 名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，至多两人，则甲乙
不在同一路口的分配方案共有（ ）
A．81 种
B．72 种
C．63 种
D．36 种
【例题精析32】
从10 名大学毕业生中选3 人担任村主任助理，求甲、乙至少有一人入选，而丙没有入选的不
同选法的种数．
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【例题精析33】
盒子中有大小与质地相同的个白球、个黑球，若从中随机地摸出
个球，求它们颜色不同
的概率.
【例题精析34】
某小组共有10 名学生，其中女生3 名．现任选2 名代表，则至少有1 名女生当选的选法有多
少种？
｛
数
的组合
数问题
代
中
计
｝
【例题精析35】
从1 到10 的连续10 个整数中随机抽取3 个，已知这3 个数之和为奇数，则这3 个数之积为偶
数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例题精析36】
在，，
，，
，，这个数中任取
个数，将其组成无重复数字的四位数，则能被
整除，且比
大的数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
【例题精析37】
“2020”含有两个数字0，两个数字2，“2121”含有两个数字1，两个数字2，则含有两个数字
0，两个数字2 的四位数的个数与含有两个数字1，两个数字2 的四位数的个数之和为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
｛
的组合
数问题
几何中
计
｝
【例题精析38】
如图，在
的两边
、
上分别有5 个点和6 个点（都不同于点O），这连同点O
在内的12 个点可以确定多少个不同的三角形？
【例题精析39】
已知正方形ABCD 的中心为点O，以A、B、C、D、O 中三个点为顶点的三角形共有
个.
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｛x+y+z=的
数
数问题
整
解个
｝
【例题精析40】
方程
的正整数解的个数为（ ）
A．56
B．35
C．70
D．66
【例题精析41】
已知
，
，
，则关于
，
，的方程
共有（ ）组不
同的解.
A．
B．
C．
D．
组合问题常有以下两类题型变化
(1)“含有”或“不含有”问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不
含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
(2)“至少”或“最多”问题：用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，
考虑逆向思维，用间接法处理．
【对点精练24】
（多选）下列问题中，属于组合问题的是（ ）
A．10 支战队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少次比赛
B．10 支战队以单循环进行比赛，这次比赛的冠、亚军获得者有多少种可能
C．从10 名员工中选出3 名参加同一种的娱乐活动，有多少种选派方法
D．从10 名员工中选出3 名分别参加不同的娱乐活动，有多少种选派方法
【对点精练25】
（多选）给出下面几个问题，其中是组合问题的有（ ）
A．由1，2，3，4 构成的含有2 个元素的集合个数
13
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B．五个队进行单循环比赛的比赛场次数
C．由1，2，3 组成两位数的不同方法数
D．由1，2，3 组成的无重复数字的两位数的个数
【对点精练26】
（ ）
A．84
B．120
C．126
D．210
【对点精练27】
计算：(1)
(2)
【对点精练28】
计算：(1)
(2)
【对点精练29】
（1）计算：①
＝ ；②
＝ ．
【对点精练30】
计算
.
【对点精练31】
证明：
【对点精练32】
证明下列各等式．
(1)
＝
；(2)
.
【对点精练33】
求证：
14
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(1)
，(2)
．
【对点精练34】
证明：
．
【对点精练35】
若
，求m.
【对点精练36】
（1）解方程：
（2）解不等式
；
【对点精练37】
（1）已知：
，求
；（2）解不等式：
，其中
.
【对点精练38】
不等式
的解为 ．
【对点精练39】
.
【对点精练40】
若
（
），则
.
【对点精练41】
利用组合数的性质化简：
．
【对点精练42】
从6 名男生和5 名女生中选出4 人去参加某项大赛．
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(1)如果要求4 人中男生和女生都要有，那么有多少种选法（用数字作答）？
(2)如果男生甲和女生乙最多只能选1 人，那么有多少种选法（用数字作答）？
【对点精练43】
甲、乙、丙3 名同学选修兴趣课程，从5 门课程中，甲选修2 门，乙选修4 门，丙选修3 门，
则不同的选修方案共有 种．
【对点精练44】
一个口袋里装有7 个白球和1 个红球，从口袋中任取5 个球，其中恰有一个红球的取法有
种．
【对点精练45】
由0，1，2，3 这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有（ ）
A．
个
B．
个
C．
个
D．
个
【对点精练46】
从
中任取个数字，至少有个数字是偶数的情况有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【对点精练47】
（每小问均须用数字作答）在
中选出4 个数字组成一个四位数
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)若5 和6 至多出现1 个，可以组成多少个没有重复数字的四位数？
【对点精练48】
【对点精练49】
从0，2，4，6 中任取3 个数字，从1，3，5 中任取2 个数字，一共可以组成个没有重复数字
的五位数 ．
【对点精练50】
在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3 个，使它们和点P 在同
一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
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【对点精练51】
从正六边形的6 个顶点中任取3 个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为 ．
【对点精练52】
在如图所示的三角形边上的9 个点中任取3 个，可构成三角形的个数是 .
【对点精练53】
方程
的非负整数解的组数为 ．
【对点精练54】
方程
的非负整数解的个数为 .
题
型三排列与组合的综合应用
题
命
点1 相邻、相间及特殊元素(位置)问题
【例题精析42】
4 名男生、3 名女生站成一排，分别求满足下列条件的站法种数．
(1)男生和女生均相邻；
(2)男生均相邻；
(3)女生均不相邻；
(4)男生与男生、女生与女生均不相邻；
(5)至少有两个女生相邻．
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【例题精析43】
（1）6 名同学站成一排照相，其中甲、乙两人必须相邻的站法有多少种？
（2）一台晚会有6 个节目，其中有2 个小品，如果2 个小品不连续演出，共有多少种不同的演出顺序？
【例题精析44】
从7 名男生和5 名女生中选取3 人依次进行面试．
(1)若参加面试的人全是女生，则有多少种不同的面试方法？
(2)若参加面试的人中，恰好有1 名女生，则有多少种不同的面试方法？
【例题精析45】
5 名篮球队员甲、乙、丙、丁、戍，排成一排．
(1)共有多少种不同的排法？
(2)若甲必须站在排头，有多少种不同的排法？
(3)若甲不能站排头，也不能站排尾，有多少种不同的排法？
相邻、相间问题的解题策略
(1)要求相邻时，把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排
列．
(2)对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空
当中．
【对点精练55】
3 名男生､4 名女生排成一行.在下列要求下，分别求不同排列方法的种数：
(1)甲不在最左边，乙不在最右边；
(2)男生必须排在一起；
(3)男生和女生相间排列；
(4)在甲乙两人中间必须有
､
3 人.
【对点精练56】
3 名男生和4 名女生按下列条件排成一排，分别有多少种不同的排法？
(1)男生排在一起，女生排在一起；
(2)男、女生间隔排列；
(3)男生互不相邻．
【对点精练57】
用数字0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的自然数，问：
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(1)能够组成多少个五位偶数？
(2)能够组成多少个小于
的正整数？
题
命
点2 定序问题
【例题精析46】
某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6 节课.
(1)如果数学和物理不能相邻，则不同的排法有多少种？
(2)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种排法？
(3)原定的6 节课已排好，学校临时通知要增加生物化学地理3 节课，若将这3 节课插入原课表中且原来的
6 节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？
【例题精析47】
5 个人站成一排，求在下列条件下的不同排法种数：
(1)甲在乙前；
(2)甲在乙前，并且乙在丙前．
【例题精析48】
某班级甲组有5 名男生，3 名女生；乙组有6 名男生，2 名女生．
(1)若从两队中选2 人值日，则有多少种不同的选法？（结果用数字表示）
(2)若从甲、乙两队各选2 人参加值日，则选出的4 人中恰有1 名男生的不同选法共有多少种？（结果用数
字表示）
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(3)让甲组成员排成一排，若女生身高互不相等，女生从左到右按高矮顺序排，有多少种不同排法？（结果
用数字表示）
定序问题的处理策略
对于给定元素顺序确定，再插入其他元素进行排列：顺序确定的元素为n 个，新插入的元素
为m 个，则排列数为.
【对点精练58】
有7 名学生，其中3 名男生，4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排法种数．
(1)全体站成一排，其中甲不站在最左边，也不站在最右边；
(2)男生顺序已定，女生顺序不定；
(3)站成三排，前排2 名同学，中间排3 名同学，后排2 名同学，其中甲站在中间排的中间位置；
(4)7 名同学站成一排，其中甲、乙相邻，但都不与丙相邻．
【对点精练59】
7 人站成一排．
(1)甲必须在乙的前面（不一定相邻），则有多少种不同的排列方法？
(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻），则有多少不同的排列方法？
【对点精练60】
有4 名男生、3 名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法：
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间；
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．
20
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题
命
点3 分组分配问题
【例题精析49】
习近平总书记在湖南省湘西州花垣县十八洞村考察时，首次提出“精准扶贫”概念，“精准
扶贫”已成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家“精准扶贫”战略，某省农业厅派出8 名农业技术专
家（6 男2 女）分成两组，到该省两个贫困县参加扶贫工作，若要求女专家不单独成组，且每组至多6 人，
则不同的选派方案共有（ ）种
A．480
B．252
C．306
D．236
【例题精析50】
有6 本不同的书，分给甲、乙、丙三个人．
(1)如果每人得两本，则有多少种不同的分法？
(2)如果一个人得1 本，一个人得2 本，一个人得3 本，则有多少种不同的分法？
(3)如果把这6 本书分成三堆，每堆两本，则有多少种不同分法？
【例题精析51】
现有4 本书和3 位同学，将4 本书全部分给这3 位同学.（用数字作答）
(1)若4 本书都不相同，每位同学至少分一本书，共有多少种不同的分法？
(2)若4 本书仅有两本相同，按一人2 本，另两人各1 本分配，共有多少种分法？
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解决分组分配问题的策略
(1)对于整体均分，分组后一定要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数．
(2)对于部分均分，若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m！.
【对点精练61】
中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱.2022 年10 月31 日我国将
“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按
照计划成功对接，成为“T”字形架构，我国成功将中国空间站建设完毕.2023 年，中国空间站将正式进入
运营阶段.假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安
排方法有（ ）
A．450 种
B．360 种
C．90 种
D．70 种
【对点精练62】
6 本不同的书，按照以下要求处理，各有几种方法?
(1)分给甲、乙、丙三人，每人2 本；
(2)分为三份，每份2 本；
(3)分为三份，一份1 本，一份2 本，一份3 本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人1 本，一人2 本，一人3 本.
【对点精练63】
甲､乙､丙､丁四名同学去某社区做志愿者工作，现将他们随机安排到A，B，C 三个岗位中，
每个岗位至少安排一人.
(1)求共有多少种安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一岗位的概率.
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、分
三
层训练：课堂知识巩固
1．（2023•乙卷）甲乙两位同学从6 种课外读物中各自选读2 种，则这两人选读的课外读物中恰有1 种相
同的选法共有
A．30 种
B．60 种
C．120 种
D．240 种
2．（2023•甲卷）有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，
则两天中恰有1 人连续参加两天服务的选择种数为
A．120
B．60
C．40
D．30
3．（2023•新高考Ⅱ）某学校为了了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样
调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有400 名和200 名学生，
则不同的抽样结果共有
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
4．（2022•新高考Ⅱ）甲、乙、丙、丁、戊5 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相
邻，则不同的排列方式共有
A．12 种
B．24 种
C．36 种
D．48 种
5．（2021•乙卷）将5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，
每名志愿者只分配到1 个项目，每个项目至少分配1 名志愿者，则不同的分配方案共有
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A．60 种
B．120 种
C．240 种
D．480 种
6．（2020•山东）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1 个场馆，甲场馆安排1 名，
乙场馆安排2 名，丙场馆安排3 名，则不同的安排方法共有
A．120 种
B．90 种
C．60 种
D．30 种
7．（2020•海南）要安排3 名学生到2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一
名志愿者，则不同的安排方法共有
A．2 种
B．3 种
C．6 种
D．8 种
8．（2023•邯郸三模）某医院安排3 名男医生和2 名女医生去甲、乙、丙三所医院支援，每所医院安排一
到两名医生，其中甲医院要求至少安排一名女医生，则不同的安排方法有
A．18 种
B．30 种
C．54 种
D．66 种
9．（2023•平定县校级模拟）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假
设空间站要安排甲、乙等5 名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱
的种数有
A．60
B．66
C．72
D．80
10．（2023•周至县一模）公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率
的范围是：
，
为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926 称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数
学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6 位数字3，1，4，1，5，9 进行某种排列得到密码．
如果排列时要求两个1 不相邻，那么小明可以设置的不同密码有 个
A．240
B．360
C．600
D．720
11．（2023•泉州模拟）某停车场行两排空车位，每排4 个，现有甲、乙、丙、丁4 辆车需要泊车，若每排
都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有
A．288 种
B．336 种
C．384 种
D．672 种
12．（2023•抚顺二模）第19 届亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8 日在杭州举行，甲、乙等4 名杭州
亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名
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志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有
A．12 种
B．18 种
C．24 种
D．36 种
13．（2023•屯昌县二模）某学校为了丰富同学们的寒假生活，寒假期间给同学们安排了6 场线上讲座，其
中讲座
只能安排在第一或最后一场，讲座
和
必须相邻，问不同的安排方法共有
A．34 种
B．56 种
C．96 种
D．144 种
14．（2023•济宁二模）为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，
凝聚班级集体的力量，激发学生热爱体育的热情．某中学举办田径运动会，某班从甲、乙等6 名学生中选
4 名学生代表班级参加学校
米接力赛，其中甲只能跑第1 棒或第2 棒，乙只能跑第2 棒或第4 棒，
那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案总数为
A．48
B．36
C．24
D．12
15．（2023•香坊区校级三模）算盘起源于中国，迄今已有2600 多年的历史，是中国古代的一项伟大的发
明．在阿拉伯数字出现前，算盘是世界广为使用的计算工具．下图一展示的是一把算盘的初始状态，自右
向左分别表示个位、十位、百位、千位
，上面的一粒珠子（简称上珠）代表5，下面的一粒珠子（简称
下珠）代表1，五粒下珠的大小等同于一粒上珠的大小．例如，如图二，个位上拨动一粒上珠、两粒下珠，
十位上拨动一粒下珠至梁上，代表数字17．现将算盘的个位、十位、百位、千位、万位分别随机拨动一粒
珠子至梁上，则表示的五位数至多含3 个5 的情况有
A．10 种
B．25 种
C．26 种
D．27 种
16．（2023•蕉城区校级模拟）近年来喜欢养宠物猫的人越来越多．某猫舍只有5 个不同的猫笼，金渐层猫
3 只（猫妈妈和2 只小猫崽）、银渐层猫4 只、布偶猫1 只．该猫舍计划将3 只金渐层猫放在同一个猫笼里，
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4 只银渐层猫每2 只放在一个猫笼里，布偶猫单独放在一个猫笼里，则不同的安排有
A．8 种
B．30 种
C．360 种
D．1440 种
17．（2023•茂名一模）将4 个6 和2 个8 随机排成一行，则2 个8 不相邻的情况有
A．480 种
B．240 种
C．15 种
D．10 种
18．（2023•四川模拟）某班在一次班团活动中，安排2 名男生和4 名女生讲演，为安排这六名学生讲演的
顺序，要求两名男生之间不超过1 人讲演，且第一位和最后一位出场讲演的是女生．则不同的安排方法总
数为
A．168
B．192
C．240
D．336
19．（2023•朝阳区校级模拟）某人将斐波那契数列的前6 项“1，1，2，3，5，8”进行排列设置数字密码，
其中两个“1”必须相邻，则可以设置的不同数字密码有
A．120 种
B．240 种
C．360 种
D．480 种
20．（2023•雁峰区校级模拟）如图，一圆形信号灯分成
，
，
，
四块灯带区域，现有3 种不同的
颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1 种颜色，且相邻的2 块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总
数为
A．18
B．24
C．30
D．42
21．（2023•贺兰县校级四模）从2 名教师和5 名学生中，选出3 人参加“我爱我的祖国”主题活动．要求
入选的3 人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是
A．20
B．25
C．30
D．55
22．（2023•让胡路区校级模拟）某台小型晚会由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前
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两位，节目乙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．54 种
23．（2023•贺兰县校级模拟）某教师有相同的语文参考书3 本，相同的数学参考书4 本，从中取出4 本赠
送给4 为学生，每位学生1 本，则不同的赠送方法共有
A．15 种
B．20 种
C．48 种
D．60 种
24．（2023•商丘三模）某小学从2 位语文教师，4 位数学教师中安排3 人到西部三个省支教，每个省各1
人，且至少有1 位语文教师入选，则不同安排方法有（ ）种．
A．16
B．20
C．96
D．120
25．（2023•唐县校级二模）某班级选出甲、乙、丙等六人分别担任语文、数学、英语、物理、化学、生
物六门学科的课代表，已知甲只能担任语文或英语课代表，乙不能担任生物或化学课代表，且乙、丙两人
中必有一人要担任数学课代表，则不同的安排方式有
A．56 种
B．64 种
C．72 种
D．86 种
26．（2023•香洲区校级模拟）“校本课程”是现代高中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的
人文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，艺术科组准备了学生喜爱的中华文化传承系列的
校本活动课：创意陶盆，拓印，扎染，壁挂，剪纸五个项目供同学们选学，每位同学选择1 个项目．则甲、
乙、丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
A．360 种
B．480 种
C．720 种
D．1080 种
27．（2023•江西模拟）中国空间站
的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实
验舱
年10 月31 日
分，我国将“梦天实验舱”成功送上太空，完成了最后一个关键部分的发射，
“梦天实验舱”也和“天和核心舱”按照计划成功对接，成为“
”字形架构，我国成功将中国空间站建
设完毕．2023 年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排甲、乙等6 名航天员开展实验，三
舱中每个舱至少一人至多三人，则不同的安排方法有
A．450 种
B．72 种
C．90 种
D．360 种
28．（2023•香坊区校级三模）“第二课堂”是哈九中多样化课程的典型代表，旨在进一步培养学生的人
文底蕴和科学精神，为继续满足同学们不同兴趣爱好，美育中心精心准备了大家非常喜爱的中华文化传承
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系列的第二课堂活动课：陶艺，拓印，扎染，创意陶盆，壁挂，剪纸六个项目供同学们选学，则甲、乙、
丙、丁这4 名学生至少有3 名学生所选的课全不相同的方法共有
A．135 种
B．720 种
C．1080 种
D．1800 种
29．（2023•秦淮区一模）某学校有6 个数学兴趣小组，每个小组都配备1 位指导老师，现根据工作需要，
学校准备将其中4 位指导老师由原来的小组均相应的调整到其他兴趣小组，其余的2 位指导老师仍在原来
的兴趣小组（不作调整），如果调整后每个兴趣小组仍配备1 位指导老师，则不同的调整方案为
A．135 种
B．360 种
C．90 种
D．270 种
30．（2023•安徽二模）积极参加公益活动是践行社会主义核心价值观的具体行动．现将包含甲、乙两人
的5 位同学分成2 个小组分别去敬老院和老年活动中心参加公益活动，每个小组至少一人，则甲、乙两名
同学不分在同一小组的安排方法的总数为
A．12
B．14
C．15
D．16
31．（2023•新高考Ⅰ）某学校开设了4 门体育类选修课和4 门艺术类选修课，学生需从这8 门课中选修2
门或3 门课，并且每类选修课至少选修1 门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
32．（2022•上海）用数字1、2、3、4 组成没有重复数字的四位数，则这些四位数中比2134 大的数字个数
为 （用数字作答）
33．（2020•新课标Ⅱ）4 名同学到3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1 个小区，每个小区至
少安排1 名同学，则不同的安排方法共有 种．
34．（2020•上海）从6 个人挑选4 个人去值班，每人值班一天，第一天安排1 个人，第二天安排1 个人，
第三天安排2 个人，则共有 种安排情况．
35．（2019•上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4 人参加连续5 天的志愿者活动，其
中甲连续参加2 天，其他人各参加1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）
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