文档内容
专项突破-几何专项
（讲义+笔记）
主讲教师：张清扬
授课时间：2021.01.22
粉笔公考·官方微信专项突破-几何专项（讲义）
【例1】（2015 联考）有一块直角梯形形状的草地，上底与下底的长度之比
为3∶4，现在要扩充其面积，将上底增加了 15 米，下底变成以前的2 倍，正好
变成一个正方形。问原来草地的面积是多少平方米？( )
A.252 B.268
C.289 D.324
【例 2】（2017 联考）在如下图的圆形广场上举办一个市民文艺活动，参加
活动的n 名市民排成如图中ABCD 的菱形方阵（图中数字单位为米）。已知方阵面
积为m 平方米，且n=2m，问n 的值为多少？( )
A.96 B.120
C.192 D.240
【例 3】（2017 浙江）如图所示，一个小区的道路围成了一个五边形，经实
地勘测，五边形内有三个角为直角，AD 边、BC 边和 CD 边长度相等，且 OA 边长
度为其一半。已知AD 边长20 米，问道路围成的五边形面积为多少平方米？( )
A.(50√2+200)平方米 B.(50√3+200)平方米
1C.(50√2+400)平方米 D.(50√3+400)平方米
【例 4】2017 年河北省石家庄）如下图，将矩形纸片 ABCD 沿直线 EF 折叠，
使点C 落在AD 边上的中点C'处。点B 落在点B'，处，其中AB=9，BC=6，则FC'、
FC 的长为（ ）。
A.三分之十 B.4
C.4.5 D.5
【例5】（2018 联考）某雷达站位于点O，其有效探测范围为以点O 为中心，
半径 200 公里的圆形。在点 O 东偏北 15°方向，与点 O 相距 320 公里处有一架
直升飞机，以 300 千米/小时的速度向正西南方向飞行。问该飞机有多少分钟在
雷达站的有效探测范围以内？
2A.40 B.44
C.48 D.50
【例 6】（2018 阳江）某圆柱体高比原来增加 20%，底面积不变，则该圆柱
体的体积是原来体积的（ ）倍。
A.1.2 B.1.4
C.2 D.4
【例 7】（2019 广州）在一个正方体木块朝上的一面上竖直挖个贯通的正方
形通道，已知正方体的边长为 20cm，通道洞口的边长为 10cm，则正方体的表面
积增加了（ ）。
3A.100cm² B.400cm²
C.500cm² D.600cm²
【例 8】（2015 联考）某人决定从西安到北京自驾游，可供他选择的道路如
下图所示，如果他每次只能由西南到东北方向行驶，则他到北京有多少种不同的
行驶路线？
A.8 B.9
C.10 D.11
4【例 9】（2018 天津）一个边长为 8 的立方体，由若干个边长为 1 的正立方
体组成，现在要将大立方体表面涂上颜色，问被涂上颜色的小立方体有多少个？
A.296 B.324
C.328 D.384
5专项突破-几何专项（笔记）
【注意】考情分析：
1.近五年职测联考中考查几何的频率较低、数量较少。2015 年～2019 年事
业单位联考A 类共考查了6 个题目，以平面几何为主，立体几何鲜有考查。
2.学习中建议主要学习平面几何的公式。
3.本节课分为公式计算类和计数类两类讲解。
【注意】公式计算类：中、小学中已经学过，是一个学科性的基础知识，课
上主要是回顾公式，总结该类公式在行测联考中的做题方法和技巧。
1.平面几何：公式、勾股定理相关知识。
2.立体几何：相关公式。
3.长度（周长）计算公式：
（1）正方形：C=4a。四边加和。
（2）长方形：C=2（a+b）。四边加和，（长+宽）*2。
6（3）圆形：C=2πr=πd。r 为圆的半径，d 为圆的直径。
（4）弧长（扇形上 a 到 b 的距离）：C=2πr*n°/360°。将扇形放在圆上
进行计算，先算出整个圆的周长 2πr，再乘以弧长所占整个圆周长的比例：n°
/360°。
4.平面几何面积计算公式：
（1）正方形：S=a²。
（2）长方形：S=ab。
（3）三角形：S=1/2*ah。
（4）平行四边形：S=ah。底边*高。
（5）梯形：S=1/2*（a+b）h。1/2*（上底+下底）*高。
7（6）菱形：S=对角线乘积/2=ab/2。菱形是一个特殊的平行四边形，已知底
边长度为c，高度为h，另一个公式为S=ch。
（7）圆：S=πr²，r 为半径。
（8）扇形：S=πr²*n°/360°。假设扇形为圆的一部分，先算出整个圆的
面积为πr²，再乘以扇形所占整个圆的比例：n°/360°，按照角度所占比例判
定扇形所占圆的比例。
5.勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。两直角边
分别为长度a、b，斜边长度为c：a²+b²=c²。
（1）常见勾股数组：（3、4、5），（6、8、10），（5、12、13）。（3、
4、5）同时扩大两倍变为（6、8、10），再扩大两倍为（12、16、20）依然为勾
股数组。
（2）特殊三角形三边关系：
①直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半，三边之比为 1：√3：2。
②45°角的等腰直角三角形中，两个直角边长度相等，三边之比为1：1：√2。
③只需要记住三边的比例关系即可。
（3）应用：如果题目中求距离、线段的长度，如求 AB 的长度，如果没有发
现 AB 与其他几何图形的长度关系，可以考虑构造直角三角形，利用勾股定理求
出AB 长度。
【例1】（2015 联考）有一块直角梯形形状的草地，上底与下底的长度之比
为3∶4，现在要扩充其面积，将上底增加了 15 米，下底变成以前的2 倍，正好
变成一个正方形。问原来草地的面积是多少平方米？( )
A.252 B.268
8C.289 D.324
【解析】例 1.按照题目画图，已知梯形上底：下底=3：4，高表示为 h，扩
充面积后变为正方形，求梯形面积。S =1/2（上底+下底）*h。根据比例关系
梯形
假设上底为 3x，下底为 4x，变化后为正方形，四边相等，即上底=下底=高,即
3x+15=4x*2=h，解得x=3，h=24。上底=9，下底=12，S=（9+12）*24/2=21*24/2=21*12，
选项尾数不同，利用尾数法，21*12 尾数为2，对应A 项。【选A】
【例 2】（2017 联考）在如下图的圆形广场上举办一个市民文艺活动，参加
活动的n 名市民排成如图中ABCD 的菱形方阵（图中数字单位为米）。已知方阵面
积为m 平方米，且n=2m，问n 的值为多少？( )
A.96 B.120
C.192 D.240
【解析】例 2.求人数 n 的值，只要求出 m 的值，就可以求出 n 的值，即实
际需要求出菱形面积。
方法一：S =对角线的乘积*1/2=AC*BD*1/2，已知 BD=12，AC 长度为矩形
菱形
的长，假设矩形四个点分别为 EFGH，连接EG，AC=EF，EG 为斜边，EF 和FG 为两
条直角边，EG 为圆的直径=20，AC=EF=√EG² −FG²=√20² −12²=√256=16，
9S=12*16/2=96，即m=96，n=2m=96*2=192，对应C 项。
方法二：猜题法，选项中有 2 倍关系，A、C 项，B、D 项分别为 2 倍关系，
题干中存在n=2m 的2 倍关系，可以考虑以坑治坑，因此可以排除 A、B 项，在C、
D 项中选择答案。如果更精确进行猜题，需要先计算出菱形面积，已知 BD=12，
AC＜20，S ＜120，n＜240，因此可以排除D 项。【选C】
ABCD
【注意】公式类解题思路：
1.规则图形直接用公式。
2.不规则图形，转化为规则图形，再用公式。方法：切割、补。
【例 3】（2017 浙江）如图所示，一个小区的道路围成了一个五边形，经实
地勘测，五边形内有三个角为直角，AD 边、BC 边和 CD 边长度相等，且 OA 边长
度为其一半。已知AD 边长20 米，问道路围成的五边形面积为多少平方米？( )
A.(50√2+200)平方米 B.(50√3+200)平方米
C.(50√2+400)平方米 D.(50√3+400)平方米
【解析】例3.通过肉眼观察可知，∠D、∠C、∠O 为直角。AD=BC=CD=2OA=20，
10则OA=10。五边形无法通过公式直接进行计算，可以切割为两个规则图形，连接
AB ，将五边 形分 为一 个直 角三 角形 和一 个正 方形 ， S =S +S
五边形 ABCD △
=20*20+1/2*10*OB=400+5*OB，OB=√AB²− AO²=√400 −100=10√3，S
AOB 五边形
=400+50√3，对应D 项。
方法二：只需要记住特殊的三边关系即可。在△AOB 中，直角边 AO=10，斜
边 AD=20，直角边为斜边的一半，满足 1：2：√3的关系，所以 OB=10√3。如果
算出正方形的面积为400，可以直接选带√3的D 项。
方法三：观察选项，A、B 项后面的整数部分是+200，D、C 项是+400，先计
算出正方形的面积为 20*20=400，排除 A、B 项。如果是带√2的，则在△AOB 中
AO=OB，而很明显AO≠OB，排除C 项。【选D】
【例4】（2017 年河北省石家庄）如下图，将矩形纸片 ABCD 沿直线EF 折叠，
使点C 落在AD 边上的中点C'处。点B 落在点B'，处，其中AB=9，BC=6，则FC'、
FC 的长为（ ）。
A.三分之十 B.4
C.4.5 D.5
11【解析】例 4.从已知条件入手，AB=9，由于在矩形中，可以推出 CD=9，因
为BC=6，所以AD=6，C 落在AD 边上的中点C'处，所以C'D=1/2*6=3。折叠后位
置发生了变化，但是对应线段的长度是不变的，BE=B’E，BC=BC’，FC=FC’，
要求 FC'、FC 的长，FC'在直角三角形 FC'D 中，设 FC=FC'=x，C’D=3，
CD=FC+FD=x+FD=9，则FD=9-x，根据勾股定理，x²=（9-x）²+3²，x²=81-18x+x²+9，
90=18x，x=5，对应D 项。【选D】
【例5】（2018 联考）某雷达站位于点O，其有效探测范围为以点O 为中心，
半径 200 公里的圆形。在点 O 东偏北 15°方向，与点 O 相距 320 公里处有一架
直升飞机，以 300 千米/小时的速度向正西南方向飞行。问该飞机有多少分钟在
雷达站的有效探测范围以内？
12A.40 B.44
C.48 D.50
【解析】5.东偏北 15°就是从东边偏向北边 15°，假设 A 点是直升机的点
位，A 点距离 O 点 320 公里，直升飞机以 300 千米/小时的速度向正西南方向飞
行，直升飞机有一段路程在雷达探测范围，即BC 段，问多长时间在探测范围内，
要求时间，t=BC/v，速度已经给出了，但是BC 的长度不知道，只要求出BC 的长
度，就可以求出时间。BC 是圆内的一条弦，如果一道题让你算一条线段的长度，
看能否构造直角三角形来计算，连接OC，OC=200，过O 点作BC 的垂线交于H 点，
H 点平分BC，CH=BH，OH 是直角三角形AOH 的直角边，∠1=15°，OA=320，内错
角是相等的，所以上面的角也是 15°，则下面的角是 30°，∠OAB=30°，根据
30 ° 所 对 的 直 角 边 是 斜 边 的 一 半 ， OH=1/2*AO=1/2*320=160 ，
CH=√200² −160²=120，或者根据直角三角形的三边之比为 5：4：3=200：160：
120，也可以推出 CH=120，所以 CB=240，t=240/300=4/5 小时=48 分钟，对应 C
项。【选C】
1314【知识点】立体几何：
1.表面积相关公式：
（1）S =6a²。正方体有6 个面，12 条棱，8 个顶点。
正方体
（2）S =2ab+2bc+2ac。长方体相对面的面积是相等的。
长方体
（3）S =4πr²。
球
（4）S =2πr²+2πrh。
圆柱
2.体积相关公式：
（1）V =a³。
正方体
（2）V =abc。
长方体
（3）V =Sh。
柱形
（4）V =1/3*Sh。
锥形
（5）V =4/3*πr³。
球
【例 6】（2018 阳江）某圆柱体高比原来增加 20%，底面积不变，则该圆柱
体的体积是原来体积的（ ）倍。
A.1.2 B.1.4
C.2 D.4
【解析】例 6.本题属于送分题，不要浪费。原来的 V=Sh，现在 S 不变，h
15变为原来的1.2 倍，则现在的V=1.2Sh，所以是原来的1.2 倍，对应A 项。【选A】
【例 7】（2019 广州）在一个正方体木块朝上的一面上竖直挖个贯通的正方
形通道，已知正方体的边长为 20cm，通道洞口的边长为 10cm，则正方体的表面
积增加了（ ）。
A.100cm² B.400cm²
C.500cm² D.600cm²
【解析】例 7.求增加了多少表面积，挖通之后可以与空气接触的面就是新
增加的，如图所示，总共增加了 4 个面，每个面的面积是一样的，一个面的面积
=10*20，则四个面的面积=800，但是没有800 这个选项，因为减少了上下两个正
方形的面积，每个正方形的面积为 100，则增加的表面积=800-200=600，对应 D
项。【选D】
16【知识点】计数类：
1.平面：枚举类，不重不漏。
2.立体：涂色类。
【例 8】（2015 联考）某人决定从西安到北京自驾游，可供他选择的道路如
下图所示，如果他每次只能由西南到东北方向行驶，则他到北京有多少种不同的
行驶路线？
A.8 B.9
C.10 D.11
【解析】例 8.本题用排列组合的方法很困难，选项最大的是 11，可以用枚
举法。如图所示，从西安出发，可以到延安、临汾、运城；到了延安，可以到忻
州、北京、阳泉，到达忻州之后可以直达北京，也可以先去保定、再去北京；到
了阳泉之后可以直达北京，也可以先去保定、再去北京。到了临汾，只能去阳泉，
到了阳泉，可以直达北京，也可以先去保定、再去北京。到了运城，不能去延安
（由于方向是从西南到东北），只能去临汾，然后去阳泉，到了阳泉之后可以直
达北京，也可以先去保定、再去北京。总共有 9 种不同的路线可以到北京。【选
17B】
【知识点】涂色类：有一个大正方体，每条棱有 n 个边长为 1 的小正方体，
18把这个大正方体外面涂色，问这些小正方体中：
1.三面涂色的有8 个（顶点：蓝色）。
2.两面涂色的有12（n-2）个（棱：黄色）。总共12 条棱，每条棱上的顶点
需要减去。
3.一面涂色的有 6（n-2）²个（面：红色）。总共有 6 个面，一面涂色的正
方形的边长为n-2，面积=（n-2）²。
4.未被涂色的有（n-2）³个（内部）。可以理解为把外表“剥掉”，只要里
面的“瓤”，或者想象为洋葱，外表是红色的，剥开后的里面是白色的，未涂色
的正方体边长为n-2。
【例 9】（2018 天津）一个边长为 8 的立方体，由若干个边长为 1 的正立方
体组成，现在要将大立方体表面涂上颜色，问被涂上颜色的小立方体有多少个？
A.296 B.324
C.328 D.384
【解析】例9.正方体棱长为8，问被涂上颜色的小立方体有多少个，被涂上
色=总数-未被涂色=8³-（8-2）³=8³-6³=512-216=296，对应A 项。【选A】
19【注意】几何问题：
1.几何公式：
（1）周长：
①正方形：4a。
②长方形：2（a+b）。
③圆形：2πR。
④弧长：2πR*n°/360°。
（2）面积：
①正方形：a²。
②长方形：ab。
③三角形：ah/2。
④圆形：πR²。
⑤扇形：πR²*n°/360°。
⑥梯形：（a+b）/2*h。
⑦菱形：对角线乘积/2。
20（3）表面积：
①正方体：6a²。
②长方体：2（ab+bc+ac）。
③圆柱体：2πR²+2πRh。
④球体：4πR²。
（4）体积：
①正方体：a³。
②长方体：abc。
③柱体：Sh。
④椎体：1/3*Sh。
⑤球体：4/3*πR³。
2.公式类：
（1）规则：直接用公式。
（2）不规则：转化为规则图形后再用公式。
3.计数类：
（1）平面：按顺序数，不重不漏。
（2）立体（正方体涂色）：
①3 面涂色：8 个。
②2 面涂色：12（n-2）个。
③1 面涂色：6（n-2）²个。
④未涂色：（n-2）³个。
【答案汇总】1-5：ADCDC；6-9：ADBA
21遇见不一样的自己
Be your better self
22
