这道导数题,它很好的说明了什么叫“导数是用来研究性质的”!

题目来自一位教师朋友。第一问我们其实可以不直接求导，而是先用平方差公式变形再适当约分，万一结论突然变简单了呢？

第二问直接分参发起攻击，但是要注意分段时候，符号要转向。接下来，我们冷静求导，发现导数有着另一种神奇的“对称”：。这样我们只需要考虑大于的单调性，再导，发现是递增的，那么在到之间肯定递减。然后我们就冷静的猜出导函数在到正无穷上的变号零点是，则另一个在处。

这样一来，原函数两边的单调性也就全部被攻破，算出极值最值，也就冷静的终结了本题！

天星

已知函数.求证：;若关于的不等式恒成立, 求实数的取值范围.

即证明

由于

只需证：

以下：

, 则

即证

即证

即

即证

令

此时

同理只需证, 也是成立的!

综上原不等式成立!

 即  恒成立

其实我们直接分参强攻并不复杂：

 时, , 显然成立

 时, 即  恒成立

恒成立

 时,  恒成立

以下单独分析 ：

再构造

我们惊奇发现：

那么分析完  上的单调性,  的也“串烧”了：

当 ：

, 那么  上显然 

那么零点也一定有这样的对称性：

诶, 为了能开心抵消

我们预期 , 即 

巧了, 

那明显 

当  时

 在  上 ,  上 

 时

当  在  上 ,  上 

从而,