每日一题第2869题(2026年全国高中数学联赛A卷一试解答10)

思路简析‍‍‍

今天的题目是今年的高联A卷的一试解答题的第10题，难度中等。

联赛没有了解析几何大题感觉还有点不习惯，做起来奇奇怪怪的。但这个立体几何题目本身并不难。

题干中给出了一个圆柱和圆柱内两个球，根据给出的半径信息可以得到两个球刚好和圆柱侧面以及上下底面相切，小铜球就刚好在两球中间的缝隙里面，根据这些信息把球心连起来，得到等腰三角形ABC，并且腰长AC=r+1，底边AB=2，高CO=1-r，这样就可以把半径算出来了。

然后要判断小铜球最多有几个，实际就是过中心去做半径为1/4的圆的切线，看两条切线夹的角的大致范围。夹角是2θ，可以得到sinθ=1/3，那么显然有θ<π/6，并且cosθ也能算，那么cos2θ就可以算了，是7/9，从这个数据可以得到>根号2/2，那么就应该是＜π/4，但是这个范围还不够精确，所以在30°到45°之间，还有一个特殊值36°，再和这个三角函数值比较一下，就可以得到2θ应该是在36°到45°之间，那么个数应该就是9个了，所以实际在写过程的时候就应该是要验证9θ<π，那么显然应该是考虑用三倍角公式来处理，所以剩下的就很自然了。

在以前的每日一题里面有一个类似的题目，每日一题第170题