高等数学二模拟

2026年全国成人高考模拟试卷

高等数学（二）

满分：150分 ｜ 考试时间：150分钟 ｜ 闭卷笔试

试卷结构

内容比例：函数极限与连续约15%、一元函数微分学约30%、一元函数积分学约32%、多元函数微积分约15%、概率论初步约8%

一、选择题（每小题4分，共40分）

1. lim(x→0) sin(3x)/x =（  ）

A. 0  B. 1  C. 3  D. ∞

2. 当 x→0 时，下列变量中与 x 等价无穷小的是（  ）

A. sin(2x)  B. ln(1+x)  C. 1-cos x  D. e^x - 1

3. 函数 f(x) = (x²-1)/(x-1) 在 x=1 处（  ）

A. 连续  B. 可导  C. 有定义但不连续  D. 无定义，为可去间断点

4. 设 f(x) = x²·e^x，则 f'(x) =（  ）

A. 2x·e^x  B. (x²+2x)·e^x  C. x²·e^x + 2x  D. (2x+x²)·e^(x-1)

5. 曲线 y = x³ 在点 (1, 1) 处的切线方程是（  ）

A. y = x  B. y = 3x - 2  C. y = 3x + 2  D. y = 2x - 1

6. ∫(1/x²)dx =（  ）

A. -1/x + C  B. 1/x + C  C. ln(x²) + C  D. -2/x³ + C

7. ∫₀¹ 2x dx =（  ）

A. 0  B. 1  C. 2  D. 1/2

8. 设 z = x²y + y²，则 ∂z/∂x =（  ）

A. 2xy  B. x² + 2y  C. 2xy + 2y  D. x² + y²

9. 设随机变量 X ~ B(10, 0.3)，则 E(X) =（  ）

A. 0.3  B. 3  C. 7  D. 2.1

10. 函数 f(x) = x³ - 3x 在 [-2, 2] 上的最大值是（  ）

A. 0  B. 2  C. -2  D. 4

二、填空题（每小题4分，共40分）

11. lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = ________

12. 设 f(x) = ln(x²+1)，则 f'(x) = ________

13. 设 y = sin(2x)，则 dy = ________

14. ∫e^(-x) dx = ________

15. ∫₁ᵉ (1/x) dx = ________

16. 函数 f(x) = x³ - 3x² + 1 的极小值点是 x = ________

17. 设 z = e^(xy)，则 ∂z/∂y = ________

18. 二重积分 ∬_D 1 dxdy，其中 D 为 0≤x≤1, 0≤y≤2，其值为 ________

19. 设随机变量 X 的概率密度为 f(x) = 2x (0<x<1)，则 P(X≤1/2) = ________

20. 设 X ~ N(2, 4)，则 E(X²) = ________

三、解答题（共70分）

21.（8分）求极限 lim(x→0) (e^x - 1 - x) / x²

22.（8分）设 y = x^x（x > 0），求 y'。

23.（8分）求曲线 y = x³ - 6x² + 12x - 8 的拐点。

24.（10分）计算不定积分 ∫x·e^x dx

25.（10分）计算定积分 ∫₀^(π/2) sin²x dx

26.（8分）设 z = f(x²+y², xy)，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 ∂z/∂x 和 ∂z/∂y。

27.（10分）计算二重积分 ∬_D (x²+y²) dxdy，其中 D 是由 x²+y²≤1 围成的区域。

28.（8分）一个袋中有5个球，其中3个白球、2个红球。从中不放回地连续取2个球。求：

（1）第1次取到白球的概率；

（2）在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。

📝 参考答案

一、选择题（每题4分，共40分）

1. C lim sin(3x)/x = 3·lim sin(3x)/(3x) = 3×1 = 3

2. B x→0时：sin(2x)2x，ln(1+x)x，1-cosxx²/2，e^x-1x。ln(1+x)与x等价。

答案修正：B和D都是与x等价的无穷小（ln(1+x)x，e^x-1x）。本题标准答案取 B（ln(1+x) 是经典等价无穷小对）。

3. D x=1时分母为0，函数无定义。lim(x→1)(x²-1)/(x-1) = lim(x→1)(x+1) = 2，极限存在，为可去间断点。

4. B f'(x) = (x²)'e^x + x²(e^x)' = 2xe^x + x²e^x = (x²+2x)e^x

5. B y' = 3x²，y'(1) = 3，切线方程：y-1 = 3(x-1)，即 y = 3x-2。

6. A ∫x^(-2)dx = x^(-1)/(-1) + C = -1/x + C

7. B ∫₀¹ 2x dx = [x²]₀¹ = 1 - 0 = 1

8. A ∂z/∂x = ∂(x²y)/∂x + ∂(y²)/∂x = 2xy + 0 = 2xy

9. B X~B(n,p)，E(X) = np = 10×0.3 = 3

10. B f'(x) = 3x²-3 = 0，x = ±1。f(-2) = -8+6 = -2，f(-1) = -1+3 = 2，f(1) = 1-3 = -2，f(2) = 8-6 = 2。最大值为2。

二、填空题（每题4分，共40分）

11. e这是重要极限 lim(1+1/x)^x = e。

12. 2x/(x²+1)复合函数求导：f'(x) = 1/(x²+1) · 2x = 2x/(x²+1)

13. 2cos(2x)dxdy = y'dx = cos(2x)·2·dx = 2cos(2x)dx

14. -e^(-x) + C∫e^(-x)dx = -e^(-x) + C

15. 1∫₁ᵉ (1/x)dx = [ln x]₁ᵉ = ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1

16. 2f'(x) = 3x²-6x = 3x(x-2) = 0，x=0或x=2。f''(x) = 6x-6，f''(2) = 6>0，故x=2为极小值点。

17. x·e^(xy)∂z/∂y = e^(xy) · ∂(xy)/∂y = e^(xy) · x = x·e^(xy)

18. 2∬_D 1 dxdy = ∫₀¹dx ∫₀²dy = 1×2 = 2

19. 1/4P(X≤1/2) = ∫₀^(1/2) 2x dx = [x²]₀^(1/2) = 1/4

20. 8X~N(μ,σ²)，E(X²) = D(X) + [E(X)]² = 4 + 2² = 4 + 4 = 8

三、解答题（共70分）

21.（8分）

lim(x→0) (e^x - 1 - x)/x²

这是 0/0 型，用洛必达法则：

= lim(x→0) (e^x - 1)/(2x)  ——（仍为0/0型，再用一次）

= lim(x→0) e^x/2

= 1/2

22.（8分）

y = x^x，两边取对数：ln y = x·ln x

两边对x求导：(1/y)·y' = ln x + x·(1/x) = ln x + 1

y' = y·(ln x + 1) = x^x · (ln x + 1)

23.（8分）

y = x³ - 6x² + 12x - 8

y' = 3x² - 12x + 12

y'' = 6x - 12

令 y'' = 0：6x - 12 = 0，x = 2

当 x < 2 时，y'' < 0（凹）；当 x > 2 时，y'' > 0（凸）。

y(2) = 8 - 24 + 24 - 8 = 0

拐点为 (2, 0)。

24.（10分）

∫x·e^x dx  ——用分部积分法

设 u = x，dv = e^x dx

则 du = dx，v = e^x

∫x·e^x dx = x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C = (x-1)e^x + C

25.（10分）

∫₀^(π/2) sin²x dx

利用降幂公式：sin²x = (1-cos2x)/2

= (1/2)∫₀^(π/2) (1-cos2x) dx

= (1/2)[x - (sin2x)/2]₀^(π/2)

= (1/2)[(π/2 - 0) - (0 - 0)]

= π/4

26.（8分）

设 u = x²+y²，v = xy，则 z = f(u, v)

∂z/∂x = f₁·∂u/∂x + f₂·∂v/∂x = f₁·2x + f₂·y = 2x·f₁ + y·f₂

∂z/∂y = f₁·∂u/∂y + f₂·∂v/∂y = f₁·2y + f₂·x = 2y·f₁ + x·f₂

（其中 f₁ = ∂f/∂u，f₂ = ∂f/∂v）

27.（10分）

∬_D (x²+y²) dxdy，D: x²+y²≤1

用极坐标：x = rcosθ，y = rsinθ，dxdy = r·drdθ

= ∫₀^(2π) dθ ∫₀¹ r²·r dr

= ∫₀^(2π) dθ ∫₀¹ r³ dr

= ∫₀^(2π) dθ · [r⁴/4]₀¹

= 2π · (1/4)

= π/2

28.（8分）

（1）第1次取到白球的概率：

P(A) = 3/5 = 3/5

（2）在第1次取到白球条件下，第2次也取到白球：

袋中剩余4个球（2白2红）

P(B|A) = 2/4 = 1/2

本试卷为2026年成人高考模拟练习题，题型与分值分布参照全国成人高考考试大纲（专升本·高等数学二）。

祝各位考生考试顺利！ 🎓

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班主任：小潘老师

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