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2020年10月份成人高考入学考试
高等数学（一）通关资料
主讲人：张老师一、极限
考点1：极限的四则运算法则
1.利用极限的四则运算法则求极限
如果 lim f ( x)  A, lim g ( x)  B , 则
x x x x
0 0
 
1. lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  A  B
x x x x x x
0 0 0
 
2. lim f ( x).g ( x)  lim f ( x) lim g ( x)  AB
x x x x x x
0 0 0
lim f ( x)
f ( x) A
3. 当 lim g ( x)  0 ， lim  x x 0 
x x x x g ( x) lim g ( x) B
0 0
x x
0
 
lim c. f ( x)  c. lim f ( x)
x x x x
0 0
n
lim

f ( x)
n


lim f ( x)

 
 
x x x x
0 0一、极限
考点2：无穷小量和无穷大量定义及关系
1.无穷小量概念：
如果当自变量x  x（或x  ）时，函数f（x）的极限值为零，
0
则称在该变化过程中，f（x）为无穷小量，简称无穷小，记作
lim f(x) （0 或limf（x） 0）
xx x
0
在微积分中，常用希腊字母，，来表示无穷小量.
2.无穷大量概念
如果当自变量x  x（或x  ）时，函数f (x)的绝对值可以
0
变得充分大（即无限得增大），则称在该变化过程中，f (x)为
无穷大量.记作lim f (x)  
xx
0
两者关系：
1
在同一变化过程中，如果f (x)为无穷大量，则 为无穷小量
f (x)
1
反之，如果f (x)为无穷小量，且f (x)  0，则 为无穷大量
f (x)一、极限
考点3：无穷小量性质及比较
1.无穷小量的性质.
（1）有限个无穷小量的和 、差、积仍为无穷小量.
（2）无穷小量与有界之量 的积仍为无穷小量.
2.无穷小量的比较.
设和是同一过程中的无穷小 量，
即lim 0，lim 0

（1）如果lim  0，则称是比高阶的无穷小量.


（2）如果lim  C  0，则称是与同阶的无穷小量.


（3）如果lim  C 1，则称是与等价无穷小量，记作等价于.


（4）如果lim  ,则称是比低阶的无穷小量.
一、极限
考点4：等价无穷小
1.
如果、、、都是同一变化过程中的无穷小量，
1 2 1 2
且 ~ ， ~ 
1 1 2 2
 
则 lim 1  lim 1
 
2 2
这个定理说明，两个无穷小量之比的极限，可以用与
它们等价的无穷小量之比的极限来代替以后我们可以
.
用这个方法来求两个无穷小量之比的极限，此方法可
叫做等价无穷小代替法。
常用等价无穷小：
当 x  0 时， x ~ sinx ~ ln （ 1 x ） ~ arcsinx~ arctanx~ e x -1
1
~ tanx ， 1-cosx ~ x 2，（ 1 x ） -1~x （为实常数， 0 ）
2一、极限
考点5：两个重要极限
sinx
特殊极限一： lim  1
x0 x
特殊极限二：
1
lim （ 1 ）x  e
x x
1
lim （ 1 ）n  e
n n
1
lim （ 1 x ） x  e
x0二、连续
考点1：函数在某一点的连续
定义 1 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果有
0
自变量x （初值为
x
）趋近于
0
时，相应的函数改变量y 也趋
0
近于 0 ，即 lim[ f （ x  x ） - f （ x ） ]  0
0 0
x0
则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 .
0
定义 2 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果当
0
x  x 时，函数 f （ x ）的极限值存在，且等于 x 处的函数值 f （ x ）
0 0 0
即 lim f （ x ） f （ x ），则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 .
0 0
xx
0
定义 3 ：设函数 y  f （ x ）在点 x 的某个邻域内有定义，如果当
0
x  x 时，函数 f （ x ）的左右极限存在且等于函数值 f （ x ），即
0 0
lim f （ x ） lim f （ x ） f （ x ），则称函数 y  f （ x ）在点 x 处连续 .
0 0
xx - xx 
0 0二、连续
考点2：函数间断点
定义：如果函数 （ ）在点 处不连续，则称点 为 （ ）的
f x x x f x
0 0
一个间断点由函数在某点连续的定 义可知，如果函数 （ ）
. f x
在点 处有下列三种情况之一 ，则点 是 （ ）的一个间断点：
x x f x
0 0
（ ）在点 处， （ ）没有定义。
1 x f x
0
（ ）在点 处， （ ）的极限不存在。
2 x f x
0
（ ）虽然点 处 （ ）有定义，且 （ ）存在，但
3 x f x lim f x
0
xx
0
lim f
（
x
）
f
（
x
）
0
xx
0三、导数
（一）导数定义
设函数 y  f （ x ）在点 x 的某一邻域内有定义，若自变量
0
x 在点 x 处的改变量为x （ x  x 仍在该领域内） . 函数 y 
0 0
f （ x ）相应地有改变量y  f （ x  x ） f （ x ） . 如果极限
0 0
y f （ x  x ） f （ x ）
lim  lim 0 0
x0 x x0 x
存在，则此极限值为函数 y  f （ x ）在点 x 处的导数 .
0
dy
记作 ， ， 或 （， ）
y f x .
0
xx dx
0
xx
0
f （ x  x ） f （ x ）
即 f （， x ） lim 0 0
0 x0 x
f
（
x
）
f
（
x
）
f （， x ） lim 0
0 xx x  x
0
0
f （ x  h ） f （ x ）
f （， x ） lim 0 0
0
h0 h三、导数
（二）基本初等函数的导数公式
1 （ . c ）'  0
2 （ . x a）'  ax a 1
1
3 （ . log x ）'  （ a  0, 且 a  1 ）
a
xlna
1
4 （ . ln x ）' 
x
5 （ . a x）'  a x lna
6 （ . e x）'  e x
7 （ . sin x ）'  cos x
（ cos x ）'   sin x
8 （ . tan x ）'  sec 2 x
(cot x ）'   csc 2 x三、导数
（二）基本初等函数的导数公式
9 （ . secx ）'  secx.tanx/ （ cscx ）'  cscx.cotx
1
10 （ . arcsinx ）'  （1 x 1 ）
1 x 2
1
11 （ . arccosx ）'   （1 x 1 ）
1 x 2
1
12 （ . arctanx ）' 
1 x 2
1
13 （ . arccotx ）'  
1 x 2三、导数
（三）导数的四则运算公式
1 （ . u  v ）'  u '  v '
2 （ . u.v ）'  u ' .v  u.v '
3 （ . cu ）'  cu （' c 为常数）
' '
u u .v - u.v
4 （ . ）'  （ v  0 ）
2
v v三、导数
（四）复合函数求导
如果函数 u （ x ）在点 x 处可导，函数 y  f （ u ）在对应点
u 处也可导，则复合函数 y  f [（ x ） ] 在点 x 处可导，且有
dy dy du
 .
dx du dx
y '  y ' .u '
x u x

f [（ x ） ]
'
 f （' u ） u （' x ）
解题思路：
（ 1 ）找出复合框架， y  f (u),u  f (x)
y  f (u),u  f (v),v  f (x)
（ ）分别求导相乘
2三、导数
（五）参数方程表示的函数求导法则
一般的，如果参数方程
x  u （ t ）
（ 为参数）
 t
y  v （ t ）

确定了 为 的函数，在计算此类由参数方程
y x
所确定的导数时，不需要先消去参数 后再进行求导
t .
dy
（' ） '
dy dy dt u t y
dt t
  .  
dx dx dt dx v （' t ） x '
t
dt三、导数
（六）隐函数的求导
解析法表示函数通常有 两种：
（ 1 ） .y  f （ x ）来表示的，称之为显 函数。
如 y  sinwx ， y  e x ln （ x  1 x 2）
（
2
）
.x
与
y
之间的函数关系是由一 个方程
F
（
x
，
y
）
0
来确定
这种称之为隐函数，
如 2x  y 3 -1  0 ， xy - e x  e y  0
对于隐函数的求导通常 做法：
可直接在方程
F
（
x
，
y
）
0
的两端同时对
x
求导，而把
y
视为中间变量，利用复 合函数求导法即可。
特殊情况：对数求导法 时，先两边同时取对数 ，再求解）
(一、求导方法
（七）对数函数求导法
利用对数函数的运算性质可以将原来的函数两边同时取对数后化简
然后利用隐函数求导法或复合求导法求导，因此称为对数求导法
通常解决函数类型为：
y  u(x) v(x)
步骤为：
（）两边同时取对数得
1
ln y  vx.lnu(x)
两边同时对 求导得到
(2) x
'
1 vx.u (x)
.y '  v ' (x).lnu(x) 
y u(x)三、导数
（八）高阶求导
如果函数 y  f （ x ）的导数 y '  f （' x ）仍是 x 的可导函数，
那么就称 （' ）的导数为 （ ）的二阶导数，相应地 （' ）
f x f x f x
称为函数 y  f （ x ）的一阶导数 . 二阶导数记为
2 2
d y d f
''， （'' ）， 或
y f x
2 2
dx dx
2
d y d dy
y '' （ y ）' ’， f （'' x ） [ f （' x ） ] '或  （ ）
2
dx dx dx四、微分
（一）微分公式和微分法则
微分公式：
(1)d （ c ） （ 0 c 为常数）（ . 2 ） d ( x a )  ax a1 dx
(3)d (a x )  a x ln adx (a  0, 且 a  1)
1
(4)d (e x )  e x dx .( 5)d log x  dx (a  0, 且 a  1)
a
x ln a
1
(6)d (ln x )  dx .( 7 )d (sin x )  cos xdx
x
(8)d (cos x )   sin xdx
函数的和、差、积、商 微分运算公式
设 u  u ( x ), v  v ( x ) 可微分，则
d (cu )  cdu (c 为常数）； d (u  v )  du  dv
u vdu  udv
d (uv )  vdu  udv ; d ( )  (v  0)
2
v v五、导数应用
（一）洛必达求导
如果当 x  a( 或 x  ) 时，函数 f (x) 与 F(x)
f (x)
都趋于零或都趋于无穷大，则称
lim
F(x)
xa
(x)
0 
为未定型极限，并分别简记为“ ”或“ ”
.
0 
洛必达法则是求未定型极限的一种有效方法。
其它类型未定式： 0.；
-
也可以变形
0 
为“ ”或“ ”来求解
0 五、导数应用
（二）曲线的切线方程与法线方程
若函数 y  f (x) 在点 x 处可导，由导数的几何意义，知 f ' (x )
0 0
表示过曲线上点 ， 的切线斜率，所以，过曲线上点
M (x f (x ))
0 0
， 的切线方程为：
M (x f (x ))
0 0
y - f (x )  f ' (x )(x  x )
0 0 0
1
法线的斜率为 ，法线方程为
'
f (x )
0
1
y  f (x )   (x  x )
0 ' 0
f (x )
0五、导数应用
（三）函数单调性判断
设函数 在区间 内可导
f (x) (a,b) .
1. 如果在区间 (a,b) 内 f ' (x)  0, 则函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是递增的；
2. 如果在区间 (a,b) 内 f ' (x)  0, 则函数 f (x) 在区间 (a,b) 内是递减的。
注： f (x) 在个别点处 f ' (x)  0 不影响 f (x) 的单调性 .五、导数的应用
（四）函数的极值
极值的第一充分条件
1.
设 在 的某领域内可导
f (x) x .
0
（ 1 ）若 x  x 时， f ' (x)  0 ， x  x ， f ' (x)  0 时则称 x 为极大值点， f (x ) 为极大值
0 0 0 0
（ 2 ）若 x  x 时， f ' (x)  0 ， x  x ， f ' (x)  0 时则称 x 为极小值点， f (x ) 为极小值
0 0 0 0
（ ）如果 ' 在 两侧的符号相同，那么 不是极值点。
3 f (x) x x
0 0
极值的第二充分条件
2.
设函数 y  f (x) 在 x 处存在二阶导数，且 f ' (x)  0 ，则
0
（ 1 ）若 f '' (x )  0 ， f (x ) 为极大值， x 为极大值点；
0 0 0
（ 2 ）若 f '' (x )  0 ， f (x ) 为极小值， x 为极小值点；
0 0 0
（ 3 ）若 f '' (x )  0 ，此方法不能判定 x 是否为极值点，而改用
0 0
极值第一充分条件来判定。五、导数的应用
（四）函数的极值
极值存在的必要条件：
设函数 在 可导，且在点 处取得极值，则必有
f (x) x x
0 0
f ' (x )  0 ，称满足 f ' (x )  0 的点为函数 f (x) 的驻点，
0 0
由此可知，可导函数的极值点必为驻点。五、导数的应用
（五）曲线的凹凸性及拐点
曲线凹凸性的判别法：
设函数 y  f (x) 在 [a,b] 上连续，在（ a,b ）内具有一阶和二阶导数，
那么
（ 1 ）若在（ a,b ）内， f '' (x)  0, 则 f 则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凹的
（ 2 ）若在（ a,b ）内， f '' (x)  0, 则 f 则 f (x) 在 [a,b] 上的图形是凸的
曲线的拐点：
在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。五、导数的应用
（六）曲线的水平渐近线与铅直渐近线
定义：
若 lim f (x)  A 或 lim f (x)  A 或 lim f (x)  A ，则
x x- x
称直线 y  A 是曲线 y  f (x) 的水平渐近线 .
若 lim f (x)  或 lim f (x)  或 lim f (x)  ，则
xa  xa  xa
称直线 x  a 是曲线 y  f (x) 的铅直渐近线 .六、不定积分
（一）原函数
区间上 的原函数的全体，称为 在 上的不定积分
f (x) f (x) I
记为
f (x)dx.
如果 （ ）为 的一个原函数，则有
F x f (x)
 f (x)dx F （ x ） C ，其中 C 为任意常数 .六、不定积分
（二）不定积分
区间上 的原函数的全体，称为 在 上的不定积分
f (x) f (x) I
记为
f (x)dx.
如果 （ ）为 的一个原函数，则有
F x f (x)
 f (x)dx F （ x ） C ，其中 C 为任意常数 .六、不定积分
（三）不定积分的性质
 
'
（ 1 ） f （ x ） dx  f （ x ） , d  f ( x)dx  f ( x)dx
（ 2 ） dF ( x) F ( x)  C ,  F ' ( x)dx  F ( x)  C
（ 3 ） kf ( x)dx  k  f ( x)dx (k 为常数）
 
（ 4 ） f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx六、不定积分
（四）基本积分公式
1
（ 1 ） x a dx  x a1  C(a  1)
a 1
1
(2) dx  ln x  C
x
x
a
(3) a x dx   C(a  0, a  1)
ln a
(4) e x dx  e x  C
(5) sin xdx   cos x  C
(6) cos xdx  sin x  C六、不定积分
（四）基本积分公式
1
（ 7 ） dx  arctan x  C
1 x 2
1
（ 8 ） dx  arcsin x  C
1 x 2六、不定积分
（五）求不定积分的两种常用方法：
一、换元积分法（凑微分法）
设 f (u) 有原函数 F (u) ，且 u  v(x), 则 F[v(x)] 是 f [v(x)]v ' (x)
的原函数，即有：
 f [v(x)]v ' (x)dx F[v(x)]  C
二、分部积分法
设 、 都是 的可微函数，则有
u v x
 udv  uv   vdu七、定积分
（一）定积分的定义
b

f (x)dx
a
称 在区间 上可积
f (x) [a,b] .
其中 称为被积函数， 称为被积表达式，
f (x) f (x)dx x
称为积分变量， 称为积分区间， 称为积分下限，
[a,b] a
称为积分上限
b .七、定积分
（二）定积分的注意点
注意：
（）定积分若存在，它只是一个确定的常数，它只与
1
被积函数 及积分区间 有关，而与积分变量的
f (x) [a,b]
b b
符号无关，即应有 f (x)dx   f (t)dt.
a a
b
（
2
）定积分
f (x)dx
中，上下限的大小没有限制，但若颠倒
a
积分上下限，必须改变定积分的符号，即
b a
 f (x)dx  - f (x)dx
a b
特别地有
a
 f (x)dx  0
a七、定积分
（三）定积分的性质
常数可以提到积分号之外，即若 为常数，则有
1. k
b b
 kf (x)dx  k f (x)dx
a a
两函数代数和的定积分等于它们的定积分的代数和
2.
即有
b b b
 [ f (x)  g(x)]dx   f (x)dx   g(x)dx
a a a
可以推广到有限个函数的代数和的情况
.
定积分的可加性：如果积分区间 被点 分成两个
3. [a,b] c
小区间 与 ，则有
[a,c] [c,b]
b c b
 f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx
a a c
4. 如果在区间 [a,b] 上，总有 f (x)  g(x), 则有
b b
 f (x)dx   g(x)dx
a a七、定积分
（四）牛顿——莱布尼茨公式
如果 是连续函数 在区间 上
F (x) f (x) [a, b]
任意一个原函数则有
b
b
 f (x)dx  F (x)  F (b)  F (a)
a a（五）定积分的几何意义
b
（ 1 ）当 f (x)  0 时，定积分 f (x)dx 表示由连续曲线
a
y  f (x), 直线 x  a, x  b(a  b) 和 x 轴所围成的
b
曲边梯形 aABb 的面积 S ，即 S   f (x)dx
a
(2) 当 f (x)  0 时，曲边梯形 aABb 的面积 S 如图 2.
b
即 S  -  f (x)dx
a七、定积分
（五）定积分的几何意义——求平面图形面积
（1）由y  f (x), x  a, x  b(a  b)及x轴所围成的封闭平面图 形的面积S :
b
S   f (x)dx
a
(2)由y  f (x)，y  f (x)，x  a, x  b(a  b)所围成的封闭平面图形 的面积S :
1 2
b
S   f (x)  f (x)dx
2 1
a
（3）由x (y), y  c, y  d(c  d)及y轴所围成的封闭平面图 形的面积S :
d
S   (y)dy
c
(4)由x (y), x (y), y  c, y  d(c  d)所围成的封闭平面图形 的面积S :
1 2
d
S   (y) (y)dy
2 1
c
(5)由y  f (x)，y  f (x)所围成的封闭平面图形 的面积S :
1 2
y  f (x)
先求两条曲线的交点， 只需求解方程组：

1 ，得出交点中 x的最小值，
y  f (x)
2
记为a,及交点中x的最大值，记为 b，则
b
S   f (x)  f (x)dx
2 1
a七、定积分
（五）定积分的几何意义——求旋转体体积
（ 1 ）曲线段 y  f (x),a  x  b 绕 Ox 轴旋转所得旋转体体积 V :
x
b
V  f 2 (x)dx
x
a
(2) 曲边梯形 y  f (x) ， x  a, x  b(a  b) 及 Ox 轴所围成的图形
绕 轴旋转所得旋转体体积
Ox V :
x
b
V  f 2 (x)dx
x
a
（ 3 ）曲线段 x (y) ， c  x  d(c  d) 绕 Oy 轴旋转所得旋转体体积 V :
y
d
V  2 (y)dy
y
c
(4) 曲边梯形 x (y) ， y  c, y  d(c  d) 及 Oy 轴所围成的图形
绕 轴旋转所得旋转体体积
Oy V :
y
d
V  2 (y)dy
y
c七、定积分
（五）定积分的几何意义——求旋转体体积
(5) 由 y  f (x) ， y  f (x) ， x  a, x  b(a  b) 所围成的封闭图形
1 2
绕 轴旋转所得旋转体体积
Ox V :
x
b
V  f 2 (x)  f 2 (x)dx
x 2 1
a
(6) 由 x ( y) ， x  ( y) ， y  c, y  d(c  d) 所围成的图形
1 2
绕 轴旋转所得旋转体体积
Oy V :
y
d
V   2 ( y)  2 ( y)dy
y 2 1
c八、多元函数
（一）多元函数定义
定义：设 为 平面上的一个区域，如果对于 上的每一点
D xOy D
（ ），变量 依照某一规律 有唯一确定的数值与之对应，
P x, y z f
则称 z 为 x, y 的函数，记作 z  f (x, y)
类似的可以定义三元函数，记作 u  f (x, y, z)
二元及二元以上的函数统称多元函数
.八、多元函数
（二）偏导数
偏导数的求法：
求二元函数 z  f (x, y) 对 x 和 y 的偏导数，并不需要新的
方法，当求 对 的偏导数时，只要将二元函数中的
f (x, y) x
看成是常数，而对 求导数就行了
y x .
同理，求 对 的偏导数时，只要将二元函数中的
f (x, y) y
看成是常数，而对 求导数就行了
x y .
如果要求 在点（ ）处的偏导数，只需在偏导
f (x, y) x , y
0 0
函数中将 x  x ， y  y 带入即可。
0 0八、多元函数
（三）二阶偏导数
 z  2 z
( )   z ''  f '' ( x, y)
xx xx
x x x 2
 z  2 z
( )   z ''  f '' ( x, y)
xy xy
y x xy
 z  2 z
( )   z ''  f '' ( x, y)
yx yx
x y yx
 z  2 z
( )   z ''  f '' ( x, y)
yy yy
y y y 2
 2 z  2 z
称 ， 为 z  f ( x, y) 的二阶混合偏导数 .
xy yx八、多元函数
（四）二元函数极值
解题思路：设函数 z  f (x, y) 在点（ x , y ) 的某邻域内
0 0
连续，有一阶和二阶连 续偏导数，且
f ' (x , y )  0, f ' (x , y )  0
x y
0 0 0 0
又设
f '' (x , y )  A, f '' (x , y )  B, f '' (x , y )  C
xx xy yy
0 0 0 0 0 0
则（ 1 ）当 B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处取得
0 0
极值，且当 A  0 时时有极大值，当 A  0 时有极小值 .
（ 2 ） B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处无极值 .
0 0
（ 3 ） B 2 - AC  0 时，函数 f (x, y) 在点（ x , y ) 处极值不能确定 .
0 0八、多元函数
（五）全微分
f f
全微分 dz  dx  dy
x y
一元函数 y  f (x) 在点 x 处可导与可微是等价的 。
二元函数 z  f (x ， y) 可微与偏导数存在的关 系是：
函数 z  f (x ， y) 在点 (x ， y) 处可微的必要条件是偏 导数
f f f f
， 存在。可微的充分条件 是 ， 存在且连续。
x y x y
类似地，若三元函数 u  f (x, y, z) 可微，则
f f f
du  dx  dy  dz
x y z九、常微分方程
（一）一阶微分方程
（ ）可分离变量的解法
1
（ ）一阶线性微分方程
2
dy
 p(x) y  q(x) 的解法，可用公式法求解
dx

p(x)dx
 
p(x)dx

y  e  q(x)e dx  C
 
 九、常微分方程
（二）二阶线性微分方程
y ''  py '  qy  0 的通解形式
特征方程 r 2  pr  q  0 的根 r ,r
1 2
(1)  p 2  4q  0, 两个不等的实根 r ,r ， y  C e r 1 x  C e r 2 x
1 2 1 2
(2)  p 2  4q  0, 两个相等的实根 r ,r ， y  (C  C x)e r 1 x
1 2 1 2
(3)  p 2  4q  0, 一对共轭复根 r ,r  i ， y  e x (C cosx  C sin x)
1 2 1 2
若 y  C y  C y 为对应的齐次方程的通 解， y 为非齐次方程的特解
1 1 2 2
则 C y  C y  y 为非齐次方程的通解
1 1 2 2九、无穷级数
 
（一）定义：设有数列 u (n  1,2,...), 称表达式 u  u  ...
n 1 2

u  ...   u 为无穷级数，简称级数 ，而称 u 为首项，
n n 1
n1
为级数的一般项。
u
n
（二）收敛与发散

如果数列  S  有极限，即 lim S  S, 则称级数  u 收敛 .
n n n
n
n1

极限值 称为级数的和，或者说 级数 收敛收敛于 ，
S u S
n
n1

记为 u  S. 反之，若极限 lim S 不存在，则称级数发散 。
n n
n
n1九、无穷级数
（三）收敛级数的必要条件

若级数 u 收敛，则 limu  0 ，由此可知：
n n
n
n1

若 limu  0 ，则级数 u 一定发散
n n
n
n1
 
1
若级数 u  0 ，级数的收敛性不能判断，如级数 发散，
n
n
n1 n1

1
级数 收敛。
2
n
n1
（四）绝对收敛与条件收敛
  
若级数 收敛，则级数 一定收敛，此时 称为绝对收敛
u u u
n n n
n1 n1 n1
 
若级数 发散，但级数 收敛，此时收敛为条件收敛
u u
n n
n1 n1九、无穷级数
（五）判定方法
比较判别法
1.
 
若 u 与 v 皆为正项级数，且 0  u  v （ n 1,2,...n). 则
n n n n
n1 n1
 
（）若 收敛时， 必收敛。
1 v u
n n
n1 n1
 
（ ）若 发散时， 必发散。
2 u v
n n
n1 n1
比值判别法（达朗贝尔 判别法）
2.

 为正项级数
u
n
n1
1 时收敛
u 
如果 lim n1  ，则  1 时发散
n u

n 1 时不定

如果 常有因子 ，用这种方法判别正项 级数的收敛性
u n
n
比较方便九、无穷级数
（六）收敛半径

幂级数 n收敛半径的求法
a x
n
n0

a
（ 1 ）对于不缺项的幂级数  a x n，设 lim n1  , 则
n
n a
n0
n
 1
， 0   




收敛半径 R  0, 

 , 0


九、无穷级数
（六）收敛半径

幂级数  n收敛半径的求法
a x
n
n0

(2) 对于缺项的幂级数 . 如 a x 2n，令 u  a x 2n ,u  a x 2(n1) ,
n n n n1 n1
n0
2(n1)
u a x
考察 lim n1  lim n1  x 2
2n
n u n a x
n n
则当x 2  1 ，级数收敛，可知
 1
， 0   




收敛半径 R    ， 0

0 ， 


十、向量代数与空间解析几何
（一）空间直线方程
直线的标准方程：
 
过点 M （ x , y , z ）且平行于向量 s  m, n, p 的直线方程
0 0 0 0
x  x y  y z  z
0  0  0
m n p
称为直线的标准式方程（又称点向式方程，对称式方程）
 
常数 s  m, n, p 为所给直线的方向向量。十、向量代数与空间解析几何
（二）曲面方程
（ 1 ）球面：（ x  x ）2 （ y  y ）2 （ z  z ）2  R 2
0 0 0
2 2 2
x y z
（ 2 ）椭球面：   1
2 2 2
a b c
（ 3 ）圆柱面： x 2  y 2  R 2
2 2
x y
（ 4 ）椭圆柱面：  1
2 2
a b
2 2
x y
（ 5 ）双曲柱面：   1
2 2
a b
（ 6 ）抛物柱面： x 2  2 py  0( p  0)
（ 7 ）旋转抛物面： z  x 2  y 2
（ 8 ）圆锥面： x 2  y 2  z 2  0祝 考 试 顺 利 ！