AI聊数学:总习题一第1-5题 同济大学《高等数学》第8版上册)

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今天进入总习题一，这是第一章的综合性练习。第1到第5题覆盖了充分必要条件、连续性求参数、无穷小比较、间断点分类、复合函数定义域和分段函数复合，类型很丰富。

第1题：在"充分""必要"和"充分必要"三者中选择一个正确的填入空格。一共四个小题，都是判断条件之间的关系。

第一个小题：数列有界是数列收敛的什么条件？数列收敛是数列有界的什么条件？

收敛数列一定有界——收敛蕴含了有界，但有界不一定收敛，比如负1的恩次方交替取正负1，有界但不收敛。所以数列有界是数列收敛的必要条件，数列收敛是数列有界的充分条件。

第二个小题：埃夫埃克斯在埃克斯零的某一去心邻域内有界是极限存在的什么条件？极限存在是埃夫埃克斯在该邻域内有界的什么条件？

极限存在，由局部有界性定理，函数在去心邻域内一定有界，所以极限存在是充分的。但函数有界，极限不一定存在，比如正弦埃克斯分之一在0的邻域内有界但极限不存在。所以有界是必要条件，极限存在是充分条件。

第三个小题：埃夫埃克斯在去心邻域内无界是极限等于无穷大的什么条件？极限等于无穷大是在该邻域内无界的什么条件？

极限等于无穷大，则函数在该邻域内一定无界——无穷大比任何有限值都大，当然无界。但无界不一定极限为无穷大，比如埃克斯乘正弦埃克斯分之一，在0附近无界但极限不是无穷大。所以无界是必要条件，极限等于无穷大是充分条件。

第四个小题：右极限和左极限都存在且相等是极限存在的什么条件？

这个是充分必要条件！极限存在的充要条件就是左右极限都存在且相等，这是极限存在的基本定理。

总结一下：前三小题都是"前者必要、后者充分"，因为极限的各种性质（有界、去心邻域有界、无界）都是极限存在的推论，但反过来不成立。只有第四小题是等价关系。

第2题：已知函数埃夫埃克斯等于括号正弦克西埃克斯的负埃克斯平方次方，当0小于埃克斯的绝对值小于2分之派时；等于诶，当埃克斯等于0时。埃夫埃克斯在埃克斯等于0连续，求诶。

连续意味着诶等于埃夫0等于埃克斯趋于0时埃夫埃克斯的极限。

对。计算极限：埃克斯趋于0时，正弦克西埃克斯趋于1，负埃克斯平方趋于0，所以1的0次方等于1。严格来说，取对数：极限等于伊的负埃克斯平方乘以恩乘正弦克西埃克斯减1的极限。正弦克西埃克斯减1等价于负二分之埃克斯平方，所以指数部分趋于0，结果还是1。诶等于1。

这种1的无穷次方型极限，关键是取对数或者用伊的恩次方减1等价于恩的重要结论。正弦克西埃克斯减1等价于负二分之埃克斯平方，乘以负埃克斯平方，指数趋于0，所以结果是1。

第3题是两道选择题。第一小题：设埃夫埃克斯等于2的埃克斯次方加3的埃克斯次方减2，则当埃克斯趋于0时，埃夫埃克斯与埃克斯是什么关系？四个选项：等价无穷小、同阶非等价、高阶、低阶。

判断无穷小的阶，标准做法是求极限：埃克斯趋于0时，埃夫埃克斯除以埃克斯的极限。拆开算：2的埃克斯次方减1除以埃克斯的极限等于恩2，3的埃克斯次方减1除以埃克斯的极限等于恩3，加起来等于恩6。恩6不等于1，但也不是0或无穷大，所以同阶非等价，选必。

这里用到了重要极限：诶的埃克斯次方减1等价于埃克斯。2的埃克斯次方等于伊的埃克斯恩2次方，所以2的埃克斯次方减1等价于埃克斯恩2。同理3的埃克斯次方减1等价于埃克斯恩3。两个等价无穷小相加，系数分别是恩2和恩3，总和恩6，不是1，所以同阶非等价。

第二小题：设埃夫埃克斯等于伊的埃克斯分之1次方减1除以伊的埃克斯分之1次方加1，则埃克斯等于0是埃夫埃克斯的什么间断点？四个选项：可去、跳跃、第二类、连续点。

需要计算左右极限。当埃克斯趋于0负时，埃克斯分之1趋于负无穷大，伊的负无穷大等于0，所以埃夫趋于0减1除以0加1等于负1。当埃克斯趋于0正时，埃克斯分之1趋于正无穷大，伊的正无穷大等于无穷大，分子分母同除以伊的埃克斯分之1次方，得到1减0除以1加0等于1。

左极限负1，右极限1，都存在但不相等。左右极限都存在但不相等的间断点是跳跃间断点，选必。

注意区分：左右极限都存在且相等是可去间断点，左右极限都存在但不相等是跳跃间断点，左右极限至少一个不存在是第二类间断点。这道题左右极限分别是负1和1，属于跳跃间断点。

第4题：设埃夫埃克斯的定义域是0到1，求四个复合函数的定义域。

关键原则：埃夫括号内的表达式必须在0到1之间，然后解出埃克斯的范围。

第一小题，埃夫伊的埃克斯次方：需要0小于等于伊的埃克斯次方小于等于1。伊的埃克斯次方总是正的，伊的埃克斯次方小于等于1意味着埃克斯小于等于0。所以定义域是负无穷大到0。

第二小题，埃夫恩埃克斯：需要0小于等于恩埃克斯小于等于1，即1小于等于埃克斯小于等于伊。定义域是1到伊的闭区间。

第三小题，埃夫阿克坦埃克斯：需要0小于等于阿克坦埃克斯小于等于1。阿克坦0等于0，阿克坦1等于4分之派，所以0小于等于埃克斯小于等于坦1。定义域是0到坦1。

第四小题，埃夫克西埃克斯：需要0小于等于克西埃克斯小于等于1。克西埃克斯在0到1之间意味着埃克斯在4分之3派加2恩派到4分之派加2恩派的区间内，其中恩为整数。写成一般形式：2恩派减2分之派到2恩派加2分之派，恩属于整数集。

第四小题的关键是余弦函数的周期性。克西埃克斯大于等于0，埃克斯在第1和第4象限，即每个周期内从负2分之派到2分之派这一段。加上周期2派，就是2恩派减2分之派到2恩派加2分之派。

第5题：设埃夫埃克斯在埃克斯小于等于0时为0，在埃克斯大于0时为埃克斯；吉埃克斯在埃克斯小于等于0时为0，在埃克斯大于0时为负埃克斯平方。求四个复合函数：埃夫埃夫埃克斯、吉吉埃克斯、埃夫吉埃克斯、吉埃夫埃克斯。

这种分段函数复合，关键是分析内层函数值的符号，因为外层函数是按值是否大于0来分段的。

先看埃夫埃克斯的性质：埃夫埃克斯大于等于0，对所有实数成立——埃克斯小于等于0时值为0，埃克斯大于0时值为埃克斯也是正的。再看吉埃克斯的性质：吉埃克斯小于等于0，对所有实数成立——埃克斯小于等于0时值为0，埃克斯大于0时值为负埃克斯平方是负的。

那第一个：埃夫埃夫埃克斯。因为埃夫埃克斯大于等于0，代入埃夫的定义：内层值小于等于0时取0，大于0时取内层值本身。埃夫埃克斯等于0时埃克斯小于等于0，结果为0；埃夫埃克斯大于0时埃克斯大于0，结果为埃夫埃克斯本身。所以埃夫埃夫埃克斯等于埃夫埃克斯！

第二个：吉吉埃克斯。因为吉埃克斯小于等于0，代入吉的定义时永远走第一个分支，结果为0。所以吉吉埃克斯恒等于0。

第三个：埃夫吉埃克斯。同样，吉埃克斯小于等于0，代入埃夫的定义时走小于等于0的分支，结果为0。所以埃夫吉埃克斯恒等于0。

第四个：吉埃夫埃克斯。埃夫埃克斯大于等于0，代入吉的定义：小于等于0时取0，大于0时取负的埃夫埃克斯的平方。埃夫埃克斯等于0时即埃克斯小于等于0，结果为0；埃夫埃克斯大于0时即埃克斯大于0，结果为负埃克斯平方。这恰好就是吉埃克斯！所以吉埃夫埃克斯等于吉埃克斯。

总结这5道题：第1题辨析充分必要条件，第2题用连续性求参数，第3题判断无穷小阶和间断点类型，第4题求复合函数定义域，第5题分析分段函数复合。这些都是第一章的核心考点，综合性很强。