2025年信宜教招面试——高中 数学

第一部分面试考情

面试采取现场试讲的方式进行。考生备考15分钟，试讲10分钟，最后1分钟举牌提醒。

第二部分试讲真题及解析

考试内容：北师大版，高中数学，必修一《一元二次不等式的求解方法》

一、情境导入

同学们，上课！大家好，请坐。老师先问大家一个问题，我们学过一次函数和一元一次不等式，比如2x减1大于0，我们能很快求出解集。那如果换成二次的，比如x平方减2x减3小于0，它的解集是什么呢？你能用类似的方法求解吗？你来说，可以看对应的二次函数图象。对！我们可以利用二次函数的图象来求解二次不等式。今天这节课，我们就一起来学习《一元二次不等式的求解方法》。

二、探究新知

我们先以不等式x²减2x减3小于0为例。大家回忆一下，初中我们是怎么解一元一次不等式的？可以利用一次函数的图象。同样的道理，我们画出一元二次函数y等于x²减2x减3的图象。大家观察图象，它与x轴交点的横坐标是多少？你来说，负1和3。也就是说，当x等于负1或x等于3时，函数值等于0。那什么时候函数值小于0呢？你来说，当x在负1和3之间时，图象在x轴下方，函数值小于0。所以原不等式的解集是x大于负1小于3。这就是利用二次函数图象求解二次不等式的核心方法——把不等式问题转化为函数图象与x轴的位置关系问题。

接下来我们系统总结一下。对于一元二次不等式ax²加bx加c大于0，其中a大于0，它的解集与对应方程的判别式Δ有关。我们分三种情况讨论。第一种，Δ大于0，方程有两个不相等的实数根x₁和x₂，且x₁小于x₂。此时二次函数图象与x轴有两个交点，不等式大于0的解集是x小于x₁或x大于x₂；不等式小于0的解集是x₁小于x小于x₂。第二种，Δ等于0，方程有两个相等的实数根x₀。此时图象与x轴只有一个交点，不等式大于0的解集是x不等于x₀；小于0的解集是空集。第三种，Δ小于0，方程没有实数根。此时图象全部在x轴上方，不等式大于0的解集是全体实数；小于0的解集是空集。这就是a大于0时的三种情况。如果a小于0，可以先在不等式两边同时乘以负1，把二次项系数化为正数再求解。

我们来看几个具体例子。例2，求9x²减6x加1大于0的解集。先看判别式Δ等于负6的平方减4乘9乘1，等于0，方程有两个相等实数根，解得x₁等于x₂等于三分之一。因为图象开口向上，与x轴只有一个交点，所以大于0的解集是x不等于三分之一。例3，求3x²加5x减2大于0的解集。Δ等于5的平方减4乘3乘负2，等于49大于0，两根为负2和三分之一。图象开口向上，所以解集是x小于负2或x大于三分之一。除了图象法，我们也可以用因式分解法。将3x²加5x减2分解为括号x加2乘括号3x减1大于0，转化为两个不等式组求解，同样得到解集x小于负2或x大于三分之一。两种方法得到的结果一致。例4是一个含参数的问题，解x²加括号1减a乘x减a小于0。因式分解得括号x加1乘括号x减a小于0。当a小于负1时，解集为a到负1；当a等于负1时，解集为空集；当a大于负1时，解集为负1到a。

三、巩固练习

学完了求解方法，我们来练一练。第一题，求2x²减13x加20大于0的解集。先算判别式，负13的平方减4乘2乘20等于169减160等于9，两根为2分之13加减3除以4，得到2分之5和4，所以解集为x小于2分之5或x大于4。第二题，7x²加5x加1小于0，判别式等于25减28等于负3小于0，开口向上，所以解集为空集。第三题，4x²减4x加1小于0，判别式等于0，方程有两相等根x等于二分之一，小于0的解集为空集。第四题，负x²加8x减2小于0，先将二次项系数化为正，两边乘负1得x²减8x加2大于0，判别式为56，解出两根4减根号14和4加根号14，所以解集为x小于4减根号14或x大于4加根号14。大家在解题时要注意，当二次项系数为负时，要先化为正数再求解。

四、课堂小结

同学们，这节课我们学习了一元二次不等式的求解方法。大家说一说，你有哪些收获？你来说。我掌握了利用二次函数图象来求解一元二次不等式的方法。还有吗？你来说。我知道了要根据判别式Δ的三种情况来分类讨论解集。还有谁想说？你来说。我学会了当a小于0时要先转化为a大于0再求解。同学们总结得非常好！一元二次不等式的求解是高中数学的重要内容，它把方程、不等式和函数图象紧密联系在了一起，体现了数形结合的重要思想。希望大家在以后的学习中，能够熟练运用这种方法。

五、布置作业

课上的学习虽然结束了，但一元二次不等式的应用还可以继续探索。今天的作业请同学们从以下三个任务中任选一个来完成。第一个任务，请你在练习本上画出三个一元二次函数的图象，分别对应Δ大于0、等于0、小于0三种情况，并标注出对应的不等式的解集区域。第二个任务，例4是一个含参数的不等式，请你在a取不同值的情况下，分别写出它的解集，并用数轴表示出来。第三个任务，老师给大家一个挑战任务，请思考：如果二次项系数a小于0，能否总结出一套直接的求解规则？试着完成教材第4题，画出a小于0时ax²加bx加c大于0的求解思路图。下节课我们一起来分享交流。同学们，下课！