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高中数学|及时调整视角,寻找解题思路(旧文重生)
及时调整视角，寻找解题思路
湖北 陈功
本文是多年前发表于华中师范大学《数学通讯》上的一篇文章。文章从三个方面阐述调整视角的途径，很有指导意义，现在回头再读文章，依然有借鉴作用。
观察客观事物，必须从不同角度，不同的方位审视它，才能认识事物的本质。解数学题也是如此，所谓一题多解，多题一解，其实质都是一个“视角”问题。同一道题目，有时看起来困难重重，找不到入口，无从下手，变换一个角度审视它却一目了然，易于反掌。因此，在解题过程中，如果能灵活自如，不失时机地调整视角，不但可以曲径通幽，“难”题不难，而且还能独辟蹊径，奇思妙解纷至沓来。
本文将从几个实例出发，就视角的调整方法问题作一简要阐述。
一、注意“背景”和“对象”的转换
心理学的研究结果表明；人在知觉客观事物时，总是有选择地把少数事物作为知觉的“对象”，而把其它事物作为知觉的“背景”。这种对象与背景的划分保证了人们对于知觉对象的清晰反映。但是，对象与背景的划分并不是绝对的，在一定条件下，对象和背景可以互相转移。
解数学题也是这样，由于思维定势的影响，人们在解决多个变量问题时，往往先入为主地把某一类“变元”确定为“对象”，而把其它变元置于“背景”地位。这样做在通常情况下是可行的，但在某些情况下则很困难，这时，若能及时交换“对象”和“背景”的位置则很可能轻易得解。
例 1 解关于 的方程
。
习惯上，我们总是以 为方程的未知量（况且题目又指明 是未知量），但我们很快发现这个关于 的四次方程是不好求解的（试试看！）若视为关于 的二次方程
，
显然可分解成
从而有 或 ，对 作适当的讨论，这两个二次方程不难解出。
例 2 解关于 、、 的三元一次方程组
分析 这个题通常采用“消元法”或“行列式法”求解，但计算量都不小，容易出错。根据本题特征，不妨视 、、 为一组已知量，则 、、 就可看作三次方程 的三个根，从而由韦达定理得原方程解集是
例 3 设 、，
，
，
都是平面 内的点集。讨论是否存在 、，使得下列条件（1），（2） 同时成立。（1986 年高考题）
这个题目可以沿着这样的思路考虑：若实数 、 使得（1）成立，则有 、 使得 且 ，从而得 。如何审视这个等式，有两种：其一视 为变元，它表示二次方程（或抛物线）；其二视 、 为变元，则是直线。事实证明后者可以使解题步骤大大简化，且条理清晰，意义直观。
由上述有 （直线），由（2）有 ，于是原题就变成考察直线 与圆面 有无公共点，而圆心 到直线 的距离
，
当且仅当 时等号成立，但 ，故不存在这样的 、 符合原题条件。
有时候，背景与对象之间并不存在明显的界线，同一类型的字母也可以主观上让其一部分成为背景，一部分成为对象。如 ，习惯上总视为点 在单位圆 上，事实上，我们还可以把点 看作在直线 上。下面这道题正是作这样的处理，从而使解题过程大为简化。
例 4 若 ，、 均不为 ，求证：
。
证 点 在直线 ： 上， 点 到点 的距离不小于它到直线 的距离，
即
，
。
二、排除干扰因素，摄取“特写镜头”
解力学问题时，常常采用“隔离法”。即将分析对象从系统中隔离开来，单独分析其受力情况。这种集中条件，排除干扰，摄取“特写镜头”的方法在数学中也常被采用。如多项式乘除的竖式运算的分离系数法，解线性方程组的行列式法或矩阵法。在立体几何中，这种方法更有用武之地。因为在空间图形中，往往存在一些特殊的平面，它们能把题目中分散的关系集中于其上，能把已知条件和结论挂上钩，能把条件中隐含的有关图形性质显示出来。只要找到了这样的平面，就可以把它们从原立体图中隔离开来，画成真实直观的平面图形成为“特写镜头”，从而用平面几何方法解决原题。
例 5 已知 是边长为 的正方形，、 分别是 、 的中点， 垂直于 所在的平面，且 ，求点 到平面 的距离。（1991 年理科高考题）
如图 1，若设对角线 交 于 、交另一对角线 于 ，在平面 上过 作 于 。易证直线 平面 ，从而点 到平面 的距离转化为直线 到平面 的距离，进而转化为点 到直线 的距离 ，这只需在平面 上做“文章”画出这个“特写镜头”（图 2）。
先求出 ，。
由 知 ，。
即点 到平面 的距离是 。
例 6 如图 3，已知三棱锥 的侧棱 、、 上分别有一点 、、 且满足 ，，，又知三棱锥 的体积等于 ，求三棱锥 的体积。
题目故意把图中的三棱锥称为“”，这是颇具迷惑性的。事实上，如果将点 视为三棱锥的顶点，这个题目难以下手。如果将 、、 中任一点看作三棱锥的顶点，那么就排除了干扰，不难找到其“特写镜头”，使问题迎刃而解。
解 考虑三棱锥 和三棱锥 ，则由 知 到底面 的距离与 到底面 的距离之比为 。又
，
，
，
，
即 。
三、对同一数学表达式，用不同的“眼光”去观察，用不同的观点去分析
在解题过程中，如果能用不同的“眼光”审视同一个表达式，从不同的角度去理解它，联想它在不同学科中的含义，就能迅速找到解题“入口”，得到多种解法。
例 7 已知函数 ，试证明 。
本题的常规证法是比差法或比商法。这都是可行的。但是，若能深入地、仔细地观察这个题目的结构特征，联想它在不同学科中的含义就可以获得多种别具匠心的证法。
1．用三角代换的思想去观察，表达式 可以联想到关系式 ，因而得到代换证法。令 ，，问题变为证明 ，这比直接证原题容易多了。
2．用解析几何的观点去观察， 表示的是双曲线 的上半支，而 是曲线上两点 和 连线（弦）斜率的绝对值。而双曲线的渐近线的斜率正好是 ，直观上，这个问题极易解决。
3．在平面直角坐标系中， 还可看作点 到原点的距离，则 的含义就是平面内三角形两边之差不大于第三边，这是明显的事实。
4．从复数的角度去看待，自然使人联想到复数 或复数 的模。因而证明不等式 ，就是证明复数模不等式 ，这当然不成问题。
另外，如果学习了微积分，还可以考虑用拉格朗日中值定理去证明之。
总之，调整视角，对于寻求解题契机，培养思维的灵活性，提高数学能力具有十分积极的作用。我们应该进行这方面的学习和训练。
