高中物理模型&知识总结 200 例|第 20 期 三力平衡·矢量三角形法

三力平衡·矢量三角形法

适合：【高三一轮】

一、模型识别

三个力平衡，不必建系。把三个力的箭头首尾相接，它们必然围成一个闭合三角形——三角形的三条边就是三个力的大小，三个内角就是力之间的夹角。几何关系一摆出来，答案往往一眼可见。

识别信号：

• 恰好三个力，其中一个是重力
• 另外两个力的方向由几何结构定死：垂直斜面、沿绳、垂直于挡板
• 题干里出现"缓慢移动""缓慢转动""缓慢增大"，问某个力怎么变
• 问"至少要用多大的力""最小力是多少"

二、核心规律

闭合三角形

三个力平衡时，把它们平移、首尾相接，必然回到起点：

于是三个力构成一个闭合三角形。推论：任意两个力的合力，与第三个力等大反向。

什么时候用三角形，什么时候用正交分解

• 三个力，且三角形里有直角、或能凑出直角三角形 —— 用三角形，一步到位
• 四个力以上，或者角度零碎、凑不出特殊角 —— 老老实实正交分解
• 三个力但几何关系复杂（力的三角形与某个几何三角形相似）—— 那是下一期的话题

方法不是对错问题，是快慢问题。

动态平衡的三个不变量

• 一个力恒定：通常就是重力，大小方向都不动
• 一个力方向不变：支持力垂直斜面、绳的拉力沿绳，方向被结构锁死
• 第三个力的方向在变

这时候把三角形画出来：重力那条边钉死不动，方向不变的那个力是从端点射出的一条射线，第三个力的箭头就在这条射线上滑。滑到哪、变长变短，图上直接看。

最小力

已知一个力恒定、另一个力的方向固定，第三个力垂直于第二个力时最小——点到直线的距离，垂线段最短。

一句话：三力平衡画三角形，重力那条边不动，方向不变的那个力是一条射线，第三个力在这条射线上滑；最短的位置就是垂足。

力矩平衡的边界

本期只处理共点力。三个力不共点时，靠的是力矩平衡，那是后面的内容。

三、例题 1（基础 · 同步）

题倾角 37° 的光滑斜面固定在水平面上，斜面上放一个质量  的光滑小球，球被一块竖直挡板挡住而静止。求斜面对球的支持力和挡板对球的压力。取 、、。

解

球受三个力：重力  竖直向下；斜面的支持力  垂直斜面向左上；挡板的支持力  水平向右。

三个力平衡，首尾相接成闭合三角形：

• 一条边竖直，长 100，对应 
• 一条边水平，对应 
• 斜边垂直斜面，对应 

 垂直于斜面，而斜面与水平面成 37°，所以  与竖直方向也成 37°。三角形是直角三角形，直角夹在  与  之间：

答案斜面对球的支持力 ，垂直斜面向左上；挡板对球的压力 ，水平向右。

由牛顿第三定律，球对挡板的压力  水平向左，球对斜面的压力  垂直斜面向下。问"对挡板的压力"时别答成挡板对球的力，方向正好相反。

还有一个反直觉的结果：斜面的支持力 125 N 比重力 100 N 还大。不少人默认"支持力不会超过重力"，因为水平地面上  的印象太深。这里挡板把球往斜面里挤，斜面就得多顶回去。斜面越陡（角度越大）， 越大，支持力越离谱——极端情况下斜面接近竖直， 会大到把球挤坏。

四、例题 2（难度）

题质量  的小球用细绳悬挂在  点，另用一个水平方向的力  拉小球，平衡时绳与竖直方向成  角。取 。（1） 时，求  和绳的张力 ；（2）保持  水平、缓慢增大 ，使  从零增到 37°，说明  与  各怎么变；（3）若小球仍停在  的位置，但拉力的方向可以任意选，求所需的最小拉力  及其方向。

关键步骤

第一步第（1）问画三角形。

三个力：重力  向下， 水平， 沿绳指向 。闭合三角形里， 与  是两条直角边， 是斜边， 与竖直方向的夹角就是 。

第二步第（2）问看三角形怎么变。

重力边不动。 始终水平，所以  那条边始终在水平方向； 那条边随  一起转。 从零增大， 越来越斜， 那条边被迫越来越长：

两个都随  增大而增大。 到 37° 时， 从 0 长到 ， 从  长到 。

第三步第（3）问找最小力。

位置不变， 的方向就被绳锁死了；只剩  的方向可以调。在三角形里， 边不动， 是从  端点射出的一条射线， 的箭头落在这条射线上。 什么时候最短？从  的另一端向这条射线作垂线，垂足处最短。

此时  垂直于绳。、、 组成直角三角形， 是斜边：

 也随之变成 。

答案（1），；（2）两者都增大， 从 0 增到 ， 从  增到 ；（3）最小 ，方向垂直于绳、指向右上方。

第（3）问的两个陷阱：位置不变，绳的方向就不变，变的只是绳的张力大小；以及最小不等于零，虽然  从 75 N 降到 60 N，但降到 60 N 就到底了，再往别的方向偏，需要的力量反而回升。

还可以顺手记一条：当  垂直于绳时，、。斜面问题里"垂直于斜面的最小推力"是同一个道理，只是把绳换成斜面。

五、易错点

• 三角形画反了：三力首尾相接才闭合。若把箭头都从同一点射出，那画的是"合力为零"，不是三角形——两种画法都能算，但换算角度时容易错。
• 把  与竖直方向的夹角当成斜面倾角以外的东西： 垂直斜面，斜面与水平成 37°，则  与竖直也成 37°。这个"垂直关系的传递"要用熟。
• 认为支持力一定小于重力：例 1 的  就超过 ，成因是多了一个挡板往斜面上挤。
• 动态平衡里只看公式不看趋势：、 都随  单调增，但若题目改成" 方向始终沿绳拉"，结论就完全不同。先画三角形再下结论。
• 最小力方向找错：最小是垂直，不是沿绳、不是水平。判定方法只有一条——从定点向方向线作垂线。
• 忘了绳只能拉不能推：算出  为负，说明这个位置用绳根本维持不住，得换成杆或者别的方法。

一句话总结

三力平衡一句话：三个力首尾相接必闭合成三角形；重力那条边钉死不动，方向不变的那个力是一条射线，第三个力的箭头在射线上滑——最短的位置就是垂足。