2026年新高考数学I卷试题及详细解析

一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.

1. 样本数据6,8,4,5,12的中位数为

A. 5  B. 6 C. 8 D. 9

【答案】B

【解析】将数据从小到大排列为4,5,6,8,12,中间数为 6,选 B.

1. 已知平面向量  不共线，且，则

A. B. 

C. D.

【答案】A

【解析】因为 不共线,所以对应系数相等,得  ,选 A.

1. 已知集合,则 

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

,所以  ,则 ,选 C.

1. 曲线  在点  处的切线方程为

A. B. 

C. D. 

【答案】D

【解析】  ,当  时, ,切线为  ,即  选 D.

1. 已知抛物线  和 均经过点  ,则 的焦点与  的焦点之间的距离为

A. 12 B. C. 6D. 

【答案】D

【解析】由  得  ,由  得 . 因为  的焦点为 的焦点为 ,所以两焦点为 ,距离为,选 D.

1. 已知函数  的最大值为 1,则 

A. B. 1C. D. 2

【答案】B

【解析】由选项知  ,分母恒正. 最大值为 1,即 对一切  成立,且能取等. 设  ,则 ,当  时  最大，且  , 所以  ,选 B.

1. 一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩.该塔群共有 108 座塔, 依山势自上而下排成 12 行, 将第  行中塔的座数记为 ,其中 ,且 是一个首项为 7,公差为 2 的等差数列. 将 分为 6 组,每组 2 个数,使得每组的 2个数之和可构成一个项数为 6 且公差为  的等差数列，则 

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

【答案】B

【解析】

 时，

1. 设为空间中 64 个点构成的集合,点  , 记样本空间 。从  中随机取一个点,定义随机变量 如下: 对  中的每个点  ,令 ，则  的数学期望为

A. B. C. 0D. 

【答案】A

【解析】

方法一：对  中所有点求和，每个坐标中  各出现 16 次，所以

。去掉  后,少掉的值为  ,于是 。又  ,故 ,选 A.

方法二： 关于原点成中心对称，把点  与  配对，两个点的 值相反，全部抵消。现在只删去  ，它的配对点 留下，贡献为  ,因此平均值立刻是 ，选 A.

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 6 分， 部分选对的得部分分， 有选错的得 0 分。

1. 设  ，则

A. B. 

C. D.

【答案】ACD

【解析】由  ，得  ， A 正确； ， B 错； ， C 正确；， D 正确；故选 ACD.

1. 在空间中，  为两个定点，动点  到直线  的距离为 2，动点 到直线  的距离为 1，若二面角  为  ，则

A.   B. 

C. 当  时，  平面 

D. 当  平面  时，

【答案】BC

【解析】以直线  为  轴，设  为原点，， 则.

A：取  ，则，所以  可以小于  错；

B：

，所以  ，B 正确；

C：若  ，则  ，此时直线  与 的方向向量数量积为，又  ，所以 平面  ， C 正确；

D：若  平面  ， 则  ，此时，所以  不成立，D 错；故选 BC.

1. 已知圆  ，圆 ，圆 . 直线 与  均有两个交点。 记  被  截得弦长为  ，则

A.  可以取任意实数

B. 满足  的直线  共有 3 条

C. 满足  的直线  多于 3 条

D. 当  时，  的最大值为

【答案】BCD

【解析】

方法一： 设  ，圆心到直线  的有向距离分别为

，所以  ，且必须有 .

A: 若  ，则  . 由 得  ，由 得  ，矛盾， 故 A 错。

B: 由  得 . 先由 得  或  . 若  ，则 ； 若  ，则  . 三条直线都满足割线条件，故 B 正确。

C: 取  ，记  ，则 . 令其等于 3，得 ，平方得  ，解得 或  ，对应  或 ，已有 4 条直线，故 C 正确。

D: 当  时，仍有. 令  ，则  . 由柯西不等式，，当  时取等，所以 ， D 正确。 故选 BCD.

方法二： 把三个圆心记为  ，它们是边长为 2 的正三角形。 直线能同时割三圆，等价于三个圆心在法向上的投影能放进长度为 2 的开区间。 若法向平行  ， 对应 ，投影宽度正好是 2，开区间无法盖住，A 错。

弦长只由圆心到直线的距离决定。 三弦相等时，直线到三个顶点距离相等； 这样的直线正好是与三边分别平行、并平分对应顶点到对边距离的 3 条，即 、 正确。

再看过原点的直线。 设  ，则 ，于是

 . 令  ，同样得  或 ，对应四条过原点的直线，故 C 正确。

令  ，则  . 而，等号在  时可取， D 正确，故选 BCD.

三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

1. 双曲线  的离心率为_____.

【答案】 

【解析】由  ，得 ，所以 ， ，故 ，应填：  .

1. 已知 是偶函数，  在区间  单调递增。

则  _____， _____。

【答案】 

【解析】若  ，则  为常函数，不合题意。若  ，由 ， 得  ，所以 ，从而  。又 ， 故  或 。

当  时，  ，不合单调递增； 当 时，  。此时 ，要在 内恒为正，需  或  。于是

 ，应填： .

1. 设实数  满足: 存在数列  ，使得对于任意 ，均有 ， 且 中有某连续 9 项 是公比为  的等比数列。 则 的最大值为。

【答案】 

【解析】方法一： 令  ，由题意得，因此每个三项块  的和为  . 设这 9 项为  ，记  . 由于 ，且完整三项块和均为正， 下面按  除以 3 的余数讨论。 若  ，这 9 项正好包含三个完整三项块，得 ， . 于是 且 ，矛盾，故这种起点不存在。 若  ，其中两个完整三项块为第  、 块，得  ，所以 . 若  ，其中两个完整三项块为第 块，得  ，  ，所以 .

综上  ，所以  . 等号可以取到: 取  ，令 ， 设 ，则  ； 再把 及其余三项块补足到规定的和  即可构成符合条件的数列。 应填：  .

方法二：9 个连续位置至少含两个相邻完整三项块，它们在等比九项中相隔 3 项， 所以相邻完整块和之比就是  ； 若含三个完整块，则 不成等比， 排除。 能放进窗口的最早相邻完整块是  ，和为4，6，故 . 第 2 到第 10 项成等比并令 可取等，故最大值为  .

四、解答题:本大题共 5 小题， 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

1. (13分)如图，在直三棱柱  中， ，  ，  ，  分别为  ， 的中点。

(1)证明:  平面  ；

(2)设  ，直线  与平面  所成的角为 ，求直线  到平面  的距离。

【解析】

(1)设  ，以  为原点，分别以 所在直线为  ，  轴建立空间直角坐标系。则  。因为  分别为  的中点，所以， 从而 . 平面  为  ，直线  的方向中  分量为 0，且 不在该平面内，所以  平面  . (2)由  ，得 . 平面 为  ，其法线方向可取 设直线  与平面  所成的角为  ，则 . 由  ，得，解得  . 因为直线  平行于平面  ，所以所求距离为 .

1. (15 分)已知在  中，  ， ，  .

(1)求  ；

(2)设  两点满足:  在  的延长线上，  ， . 若  ， 求  .

【解析】(1)由余弦定理，

， 所以  ，从而  . 因此.

(2)以  为原点，  所在直线为  轴，过  且垂直于  的直线为 轴。 由(1)知  ，又 . 设  ，则  . 设  . 因为  且  在 的延长线上，所以  . 由  ，得 . 又  ，所以点  的横坐标为 0，即  ，得 . 于是 ， 所以  .

1. (15 分) 设整数  ，某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮 次，当且仅当投中 1 次时或  次均未投中时，停止练习。 设该同学每次投中的概率为  ， 各次投中与否相互独立，记 为停止练习时该同学的投篮次数。

(1)当  时，求  的分布列；

(2)设  ，  均为自然数。

(i) 当  时，求  ；

(ii) 当  时，证明: .

【解析】 (1)令  . 当  时， ； 而  . 所以  的分布列为:

(2)记  .

(i) 当  时，事件  表示前  次都未投中，所以

(ii) 由  ，得  . 因此

又由 (i) 知  ，所以 .

1. (17 分)已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为  .

(1)求  的方程；

(2)设  为坐标原点，过  且斜率大于 0 的动直线  与  交于 两点，其中  在第三象限，直线  与  的另一个交点为  .

(i) 若  的面积是  的面积的 3 倍,求  的方程;

(ii) 求  的最小值.

【解析】 方法一：(1)由  ，得  . 又 ，所以  ，故 .

(2)设  ，  ， ，其中  . 由 与  联立,得 ,所以. 椭圆关于原点对称,所以  ,且 . (i) 由坐标面积公式,. 由  ,得 ,即 . 令  ,由  与 ,得 . 代入  ，得，解得  . 故  ,所以  . (ii) 直线  的斜率为. 于是. 当  时取等号,故  的最小值为 .

方法二：(1) 由  ,得  ,故 .

(2)(i)设  ，其中  . 由  在椭圆上，得 . 设 ,则  . 把  代入椭圆,得结合  化简,得 . 其中  对应点 ,故另一根为  . 又  ,所以  ， . 面积比为3，得 ，所以  . 于是  ,得 . 再由  ,得 ,所以 . 故 . (ii) 设  的斜率为  的斜率为  . 因为  ,所以 . 由  都在  上,作差得. 两边同除以 ,得  ,所以  . 因此. 当且仅当  ，即 时取等号，所以最小值为  .

方法三：(1)由左焦点和离心率，  ，  ，故  ， ，  .

(2)设  与  轴正向夹角为  ，则  ， . 记  ，  . 椭圆上任一点  满足  . 若  在 沿  方向，设  ， 则  . 于是  ,解得  ; 反方向同理得  . (i) 因为  ,点  到 的距离为  ,点  到  的距离为 . 所以. 得  ,即  ,所以 . 因此  ,故 . (ii) 令  ,则  . 由焦点极坐标可得

于是. 所以. 当且仅当  ,即 时取等号,所以最小值为  .

1. (17 分)已知函数  的定义域为  ，且当  时， . 对任意  ， 定义集合.

(1)若当  时，  ，求  ；

(2)若  是奇函数， ，且 ，证明: ；

(3)设  满足:①若 ，则  ；②当 时， 

(i) 证明:  ；

(ii) 证明:  在区间  单调递增。

【解析】

方法一：(1)设  ，则  . 当 时，  ，得  ； 当  时， ，得  . 所以 ，即  ，故 .

(2)因为  是奇函数，所以  时  时 . 当  时，只有从  右移到  与 0 之间才会变大，所以  ； 当  时，移到负半轴或移到0 会变大， 在正半轴内继续右移也会变大， 所以

若  ，由 得 ，于是 ，即

若  ，由 得 ，于是，所以  .

若  ，则 ，且. 若  ，则 ，与 矛盾。 综上 .

(3)先证明两个引理。

引理 1: 任意  ，若  ，则  . 取 ，且让  . 因为  ，所以 ，即  . 又 ，由① 得  ，所以  ，即 .

引理 2: 任意  ，若  ，则  . 取 ，使  . 因为  ，所以 ，即  . 由  得 所以  ，从而 .

(i) 若  ，取  使  ，再取 . 此时  ，所以  ； 又 ，由①得  ，于是  ，即 . 但  ，由②得  ，矛盾。 故 .

(ii) 先证  时  . 当  时，若 ，由引理 2 取  ，得  ，这与②矛盾，所以  时 . 若存在  使  ，由引理 2 取  ，得 ，结合 (i) 得  . 取 ，再取  ，令  ，则  ，且 . 令  ，则  . 又 ，由①得  ，所以  ，于是 . 这与  时  矛盾。 因此  时  . 任取  ，令 . 因为 ，由引理 1 得  ， 所以 在  单调递增。

方法二： (1) 令  . 题目只是在问  的 在哪里: 负半轴上是  ， 得  ； 非负半轴上是 ，得  . 所以 ，从而 .

(2)奇函数把右半轴完全确定:  时  ，且 . 于是直接得到两类点的增大平移量:  时  时

 . 同号时， 等价于 ，两个集合的包含关系随之成立； 异号时只有 可能，此时. 故 

(3)把①读成一句话:函数值越大，可增大的平移量越少。 由负半轴 很快得到两条门槛规则:

右移门槛: 对任意  ，若  ，则  .

左移门槛: 对任意  ，若  ，则  .

若  ，取  使  ，再取 ，则  . 由  得 ，所以  ，与  时 矛盾。 故  .

再看正半轴。 若  且  ，由左移门槛得 ，与②矛盾，所以  时  . 若存在  使 ，则左移到 0 可知  ，从而  . 取 ，令  ，则  . 平移 从  到

 时函数值变大，而  ，按①同一平移也必须使  变到 后函数值变大， 于是  ，矛盾。 所以正半轴上恒有  .

最后对任意  ，有，由右移门槛直接得  . 因此 在  单调递增。

方法三： (1) ，由

① 当  ，即  时，，此时  ② 当  ，即  时，，此时  ，即集合

(2)  为奇函数，  时， ，作出  大致图像如下:

(i) 若  ，由，此时即  ，显然此时 ，且，  ，同理

若  同理得出

若  ，则此

若  ，即  ，此时 ，显然成立

若  ，即 ，此时  或

由且，证毕!

(3)(i)反证法

若  ，取  ，让  ，即

易知

 ，这与 时，  恒成立矛盾，  假设不成立

即 

(ii) 先证明: 对 

否则可设  ，取 ，使得 

，又

 ，即这与  矛盾，舍同理可延伸证明: 对

任取  ，由

再由  ，故

 ，即 在 上单调递增