八下习题19.1:根式为整数,怎样找n?圆柱半径怎样求?

教材原题｜习题19.1 拓广探索

9.（1）已知√（18－n）是整数，求自然数n所有可能的值； （2）已知√（24n）是整数，求正整数n的最小值。

10. 一个圆柱的高为10，体积为V。求它的底面半径r（用含V的代数式表示），并分别求当V＝10π和20π时，底面半径r的大小。

同学们，进入二次根式这一章，我们不仅要会按计算器求根号的近似值，更要看懂根号所表达的条件。第9题把“开方后是整数”转成完全平方数问题，第10题把圆柱的体积关系转成根式。它们的共同起点是：先看清被开方数，再决定怎么求。

先猜一猜：根号里的数非负，就一定开出整数吗？

非负只能保证平方根在实数范围内存在，不能保证算术平方根是整数。例如二是正数，但它的算术平方根不是整数。要开出整数，被开方数还必须是一个非负整数的平方。不要把“有意义”和“结果为整数”混为一谈。

01 · 用范围保证不漏，用平方数缩小候选

第9（1）题分析：先圈定范围，再找平方数

因为n是自然数，所以n≥0；因为根式有意义，所以18－n≥0。两条条件合起来，得到0≤18－n≤18。这个范围很小，其中的完全平方数只有零、一、四、九、十六。

这样做不是逐个尝试所有自然数，而是先列出可能的被开方数，再反推出n。根号前没有负号，算术平方根是非负数，所以这里得到的整数根只可能是零、一、二、三、四。

第9（1）题解答｜五个值都要保留

解：设√（18－n）＝k，其中k为非负整数。 则18－n＝k²，且0≤k²≤18。 所以k＝0，1，2，3，4。 由n＝18－k²，依次得到 n＝18，17，14，9，2。 答：自然数n所有可能的值是2，9，14，17，18。

检查时，把这五个数代回被开方数，分别得到十六、九、四、一、零，都能开出整数。尤其别漏掉n＝18：零的算术平方根也是零，而零当然是整数。n＝0虽然是自然数，却不能使本题的根式为整数。

02 · 看质因数指数，补齐没有配对的因子

第9（2）题分析：完全平方数的质因数要成对

把24分解为2³×3。一个正整数平方后，质因数的指数都会变成偶数，也就是每种质因数可以两两配对。二的指数三是奇数，三的指数一也是奇数，因此还需要各补一个二和一个三。

乘上2×3＝6后，24×6＝2⁴×3²＝144，平方根为十二。这样不仅找到了可行的n，还看到了为什么不能用更小的正整数代替它。

第9（2）题解答｜最小正整数n＝6

解：∵ √（24n）是整数， ∴ 24n必须是完全平方数。 又∵ 24＝2³×3， ∴ n中质因数2、3的指数都必须为奇数，因而至少各含一个。 所以n至少为2×3＝6。 当n＝6时，√（24n）＝√144＝12，符合题意。 故n的最小值是6。

“试到六可以”还不能单独说明它最小，上面的质因数分析说明了任何合格的正整数n都必须含有因子六。因此，六既能取到，又是不能再小的值。也可以逐一检查一到五，再验证六，但配对法更容易推广。

第10题分析：由体积先求半径的平方

圆柱体积等于底面积乘高，底面积为πr²，高为十，所以V＝10πr²。两边除以10π，得到r²＝V/（10π）。接下来开平方时，要根据半径的实际意义取正值。

这里的V表示实际圆柱的体积，应有V＞0；半径也应为正。题目没有指定长度单位，我们保持所用长度单位一致，体积使用相应的立方单位，不自行添写厘米或米。

第10题解答｜半径取正的平方根

解：由V＝πr²×10，得r²＝V/（10π）。 ∵ r＞0， ∴ r＝√［V/（10π）］。 当V＝10π时，r＝√［10π/（10π）］＝1； 当V＝20π时，r＝√［20π/（10π）］＝√2。

√2已经是准确答案，不必强行写成小数。若需要估计大小，可以说约为一点四一四。代回检验：半径为一时体积为10π，半径为√2时体积为20π，与题意一致。

失分提醒：平方根与算术平方根要区分

正数有两个平方根，但根号表示的是非负的算术平方根。第9题不能把根式写成正负两个整数；第10题从平方关系求半径，也不能留下负的长度。第9题第二问还限定n为正整数，不能用零来凑出整数根。

为什么只验证几个数还不够？

第一问要求所有可能的值，除了确认列出的数都能用，还要说明没有遗漏。我们已用范围排除了五及更大的整数根，因此这五种情况就是全部。第二问要求最小值，也要兼顾两件事：所选的六确实可行，任何合格的正整数又都不小于六。完整解答既要有答案，也要有排除其他可能的理由。

名师方法｜有限范围列举，无界问题找结构

第9题第一问有明确上界，列平方数最直接；第二问没有给上界，要抓住质因数成对的结构。第10题则先列几何公式，再开平方，并由实际意义筛选结果。方法不同，但每一步都离不开题设条件。

当堂检测

1. 若√（12－n）是整数，求自然数n的所有可能值。 2. 若√（18n）是整数，正整数n最小是多少？ 3. 同样高为十的圆柱，若V＝40π，半径是多少？

想好再看：第一题为3、8、11、12；第二题为2；第三题为2。注意，圆柱高度不变时，体积变成四倍，半径只变成两倍，这来自半径的平方关系。

内容依据：新人教版八年级下册数学第十九章《二次根式》第5页，习题19.1“拓广探索”第9、10题。